Vielen Dank für den Hinweis, das stimmt natürlich, aber in der Mittelstufe werden keine komplexen Zahlen behandelt, da geht es maximal um mögliche reelle Lösungen.
Die pq-Formel verwendet man, wenn man die Lösung nicht mit dem Satz von Vieta findet, sich die quadratische Ergänzung schenken will und die abc-Formel wegen a=1 zu kompliziert wäre. Was die Beispiele angeht: a) x² + 5x + 4 = (x + 1) ⋅ (x + 4) sieht man auf einen Blick, keine pq-Formel notwendig. x₁ = −1 ∨ x₂ = −4 b) y² − 4y + 1,75 = (x − 3,5) ⋅ (x − 0,5) kriegt man zumindest auf den zweiten Blick hin. x₁ = 3,5 ∨ x₂ = 0,5 c) z² − 11z − 5,75 = (x − 11,5) ⋅ (x + 0,5) geht auch noch. z₁ = 11,5 ∨ x₂ = −0,5 d) −5x² + 20x −15 = (−5) ⋅ (x −1) ⋅ (x − 3) ist wieder einfach. x₁ = 1 ∨ x₂ = 3 e) 1,1y = 3,1 + 0,1y² muss man erst zu 0,1y² − 1,1y + 3,1 = 0 umstellen, und dann würde ich nach Multiplikation mit 10 tatsächlich die pq-Formel anwenden, weil 31 eine Primzahl ist: y² −11y + 31 = 0 y₁,₂ = 5,5 ± √(30,25 − 31) = (11 ± i√3) / 2 y₁ = 11/2 − i√3/2 ∨ y₂ = 11/2 + i√3/2 f) z = z² − 1 würde ich auch nach z² − z −1 = 0 umstellen und dann mit der pq-Formel lösen: z² −z − 1 = 0 z₁,₂ = 0,5 ± √(0,25 +1) = (1 ± √5) / 2 z₁ = 1/2 − √5/2 ∨ y₂ = 1/2 + √5/2
Vielen Dank, ich finde es bewunderns- und ehrenwert, dass du das Video anschaust, obwohl du bereits weißt, wie man solche Gleichungen teilweise noch eleganter lösen kann, auch ohne pq-Formel. Die Aufgabenstellung in diesem Video verlangt aber die Anwendung der pq-Formel, so wie es in manchen Mathematikbüchern und in den Pflichtaufgaben der Realschulabschlussprüfung des Landes Hessen seit wenigen Jahren üblich ist (wobei das Niveau eher nur den ersten 2 - 3 Aufgaben entspricht...). Mein Anliegen ist, die Anwendung der pq-Formel an Hand verschiedener Beispiele zu vertiefen, einfach deshalb, weil viele Schüler Schwierigkeiten haben, den Sinn von Buchstaben in der Mathematik zu verstehen. Der Satz von Vieta wurde übrigens bisher nicht in den erwähnten Abschlussprüfungen verlangt, daher gehe ich (vorerst) auch nicht auf ihn ein. Ziel der Videos ist es, einfach und praktikabel zu bleiben und sich auf die wesentlichsten Lösungsmethoden auf dem Niveau der Realschule zu beschränken.
"x² + 5x + 4 = (x + 1) ⋅ (x + 4) sieht man auf einen Blick, keine pq-Formel notwendig. " Die allerwenigsten meiner Schüler würden das auf den ersten Blick sehen. :/ "y² − 4y + 1,75 = (x − 3,5) ⋅ (x − 0,5) kriegt man zumindest auf den zweiten Blick hin. " "z² − 11z − 5,75 = (x − 11,5) ⋅ (x + 0,5) geht auch noch." Das hätte sogar ich (langjähriger Mathe-Lehrer, der eigentlich den Satz von Vieta oft und gerne verwendet!) mit der p-q-Formel o.ä. gemacht, nicht mit Vieta.
@@bjornfeuerbacher5514 5 = 4 + 1 und 4 = 4 · 1. Ich denke, so viel Kopfrechnen kann jeder noch. Und wenn du in Linearglied einen ganzzahligen Faktor und im Absolutglied etwas mit ,25 oder ,75 hast, dann kannst du damit rechnen, dass wir in der Nullstellenform zweimal was mit ,5 haben. Weil ,5 und ,5 in Addition eine ganze Zahl ergeben und in der Multiplikation was mit ,25 oder ,75. Aber wie gesagt, wenn man es nicht sieht, kann man immer pq oder abc zur Lösung nehmen, dauert nur länger. Und in einer Klausur ist Zeit ein kostbares Gut.
@@Nikioko "Ich denke, so viel Kopfrechnen kann jeder noch." Nein, die allermeisten SuS schalten heutzutage ihren Kopf komplett aus, selbst bei den allereinfachsten Aufgaben. Ich habe auch schon welche gesehen, die 2 mal 1 inden Taschenrechner eintippen. Und ich rede hier übrigens nicht von kleinen Kindern, sondern von Schülern ab der 11. Klasse. Die sind einfach unglaublich denkfaul! "Und wenn du in Linearglied einen ganzzahligen Faktor und im Absolutglied etwas mit ,25 oder ,75 hast, dann kannst du damit rechnen, dass wir in der Nullstellenform zweimal was mit ,5 haben." Ja, das ist schon klar, trotzdem finde ich in dem Fall die p-q-Formel schneller. Außerdem: Ich habe meinen Schülern auch schon mal erklärt, wie man ganz schnell das Quadrat von Zahlen berechnen kann, die nur eine 5 hinter dem Komma haben. Hat keinen interessiert, und keiner hat das Verfahren im folgenden jemals verwendet. Nochmals: Die sind einfach unglaublich denkfaul heutzutage. Komplett dadurch verdorben, dass man schon in frühen Klassen den Taschenrechner verwenden darf, und natürlich heutzutage auf dem Handy auch immer einen dabei hat.
@@bjornfeuerbacher5514Leider ist das so. Die Denkfaulheit ist aber anerzogen. Die Kloppen ja einfach so irgendetwas in den TR ohne sich die Aufgabe anzusehen oder über eine Lösungsstrategie nachzudenken. Es ist ihnen auch egal, warum man das rechnet und wozu. Deswegen schreiben sie auch unreflektiert alles ab, wss der TR hergibt. Hauptsache irgendetwas von dem wird schon richtig sein. Ich bin in der Nachhilfe schon konsequent dazu übergegangen, mit einem wissenschaftlichen TR und GeoGebra zu arbeiten, damit sie wenigstens eine Chance haben eine korrekte Rechnung herzustellen und visuell erfassen können, was da passiert und wonach gesucht wird. Das Interesse daran ist mal größer, mal kleiner. Mit diesen Werkzeugen und den TH-cam Tutorials hätte ich mir früher in Mathe reihenweise 14+ Punkte abgeholt.
![งมหอย จับปลา มือเปล่า หาอยู่หากินแบบวีถีอีสานกับแก๊งเซียนหรั่ง ม่วนคัก! [ขอนแก่น] @Sianstudio](http://i.ytimg.com/vi/JEJZg6N-AbU/mqdefault.jpg)
Total klar!
22:31: Aufgabe e) hat schon zwei Lösungen. Bloß keine reellen.
25:16: Übrigens ist z₁ = (1 + √5) / 2 der goldene Schnitt Φ = a / b = (a + b) / a.
Vielen Dank für den Hinweis, das stimmt natürlich, aber in der Mittelstufe werden keine komplexen Zahlen behandelt, da geht es maximal um mögliche reelle Lösungen.
Die pq-Formel verwendet man, wenn man die Lösung nicht mit dem Satz von Vieta findet, sich die quadratische Ergänzung schenken will und die abc-Formel wegen a=1 zu kompliziert wäre.
Was die Beispiele angeht:
a) x² + 5x + 4 = (x + 1) ⋅ (x + 4) sieht man auf einen Blick, keine pq-Formel notwendig.
x₁ = −1 ∨ x₂ = −4
b) y² − 4y + 1,75 = (x − 3,5) ⋅ (x − 0,5) kriegt man zumindest auf den zweiten Blick hin.
x₁ = 3,5 ∨ x₂ = 0,5
c) z² − 11z − 5,75 = (x − 11,5) ⋅ (x + 0,5) geht auch noch.
z₁ = 11,5 ∨ x₂ = −0,5
d) −5x² + 20x −15 = (−5) ⋅ (x −1) ⋅ (x − 3) ist wieder einfach.
x₁ = 1 ∨ x₂ = 3
e) 1,1y = 3,1 + 0,1y² muss man erst zu 0,1y² − 1,1y + 3,1 = 0 umstellen, und dann würde ich nach Multiplikation mit 10 tatsächlich die pq-Formel anwenden, weil 31 eine Primzahl ist:
y² −11y + 31 = 0
y₁,₂ = 5,5 ± √(30,25 − 31)
= (11 ± i√3) / 2
y₁ = 11/2 − i√3/2 ∨ y₂ = 11/2 + i√3/2
f) z = z² − 1 würde ich auch nach z² − z −1 = 0 umstellen und dann mit der pq-Formel lösen:
z² −z − 1 = 0
z₁,₂ = 0,5 ± √(0,25 +1)
= (1 ± √5) / 2
z₁ = 1/2 − √5/2 ∨ y₂ = 1/2 + √5/2
Vielen Dank, ich finde es bewunderns- und ehrenwert, dass du das Video anschaust, obwohl du bereits weißt, wie man solche Gleichungen teilweise noch eleganter lösen kann, auch ohne pq-Formel. Die Aufgabenstellung in diesem Video verlangt aber die Anwendung der pq-Formel, so wie es in manchen Mathematikbüchern und in den Pflichtaufgaben der Realschulabschlussprüfung des Landes Hessen seit wenigen Jahren üblich ist (wobei das Niveau eher nur den ersten 2 - 3 Aufgaben entspricht...). Mein Anliegen ist, die Anwendung der pq-Formel an Hand verschiedener Beispiele zu vertiefen, einfach deshalb, weil viele Schüler Schwierigkeiten haben, den Sinn von Buchstaben in der Mathematik zu verstehen. Der Satz von Vieta wurde übrigens bisher nicht in den erwähnten Abschlussprüfungen verlangt, daher gehe ich (vorerst) auch nicht auf ihn ein. Ziel der Videos ist es, einfach und praktikabel zu bleiben und sich auf die wesentlichsten Lösungsmethoden auf dem Niveau der Realschule zu beschränken.
"x² + 5x + 4 = (x + 1) ⋅ (x + 4) sieht man auf einen Blick, keine pq-Formel notwendig. "
Die allerwenigsten meiner Schüler würden das auf den ersten Blick sehen. :/
"y² − 4y + 1,75 = (x − 3,5) ⋅ (x − 0,5) kriegt man zumindest auf den zweiten Blick hin. "
"z² − 11z − 5,75 = (x − 11,5) ⋅ (x + 0,5) geht auch noch."
Das hätte sogar ich (langjähriger Mathe-Lehrer, der eigentlich den Satz von Vieta oft und gerne verwendet!) mit der p-q-Formel o.ä. gemacht, nicht mit Vieta.
@@bjornfeuerbacher5514 5 = 4 + 1 und 4 = 4 · 1. Ich denke, so viel Kopfrechnen kann jeder noch.
Und wenn du in Linearglied einen ganzzahligen Faktor und im Absolutglied etwas mit ,25 oder ,75 hast, dann kannst du damit rechnen, dass wir in der Nullstellenform zweimal was mit ,5 haben. Weil ,5 und ,5 in Addition eine ganze Zahl ergeben und in der Multiplikation was mit ,25 oder ,75.
Aber wie gesagt, wenn man es nicht sieht, kann man immer pq oder abc zur Lösung nehmen, dauert nur länger. Und in einer Klausur ist Zeit ein kostbares Gut.
@@Nikioko "Ich denke, so viel Kopfrechnen kann jeder noch."
Nein, die allermeisten SuS schalten heutzutage ihren Kopf komplett aus, selbst bei den allereinfachsten Aufgaben. Ich habe auch schon welche gesehen, die 2 mal 1 inden Taschenrechner eintippen. Und ich rede hier übrigens nicht von kleinen Kindern, sondern von Schülern ab der 11. Klasse. Die sind einfach unglaublich denkfaul!
"Und wenn du in Linearglied einen ganzzahligen Faktor und im Absolutglied etwas mit ,25 oder ,75 hast, dann kannst du damit rechnen, dass wir in der Nullstellenform zweimal was mit ,5 haben."
Ja, das ist schon klar, trotzdem finde ich in dem Fall die p-q-Formel schneller.
Außerdem: Ich habe meinen Schülern auch schon mal erklärt, wie man ganz schnell das Quadrat von Zahlen berechnen kann, die nur eine 5 hinter dem Komma haben. Hat keinen interessiert, und keiner hat das Verfahren im folgenden jemals verwendet. Nochmals: Die sind einfach unglaublich denkfaul heutzutage. Komplett dadurch verdorben, dass man schon in frühen Klassen den Taschenrechner verwenden darf, und natürlich heutzutage auf dem Handy auch immer einen dabei hat.
@@bjornfeuerbacher5514Leider ist das so. Die Denkfaulheit ist aber anerzogen. Die Kloppen ja einfach so irgendetwas in den TR ohne sich die Aufgabe anzusehen oder über eine Lösungsstrategie nachzudenken. Es ist ihnen auch egal, warum man das rechnet und wozu. Deswegen schreiben sie auch unreflektiert alles ab, wss der TR hergibt. Hauptsache irgendetwas von dem wird schon richtig sein.
Ich bin in der Nachhilfe schon konsequent dazu übergegangen, mit einem wissenschaftlichen TR und GeoGebra zu arbeiten, damit sie wenigstens eine Chance haben eine korrekte Rechnung herzustellen und visuell erfassen können, was da passiert und wonach gesucht wird.
Das Interesse daran ist mal größer, mal kleiner. Mit diesen Werkzeugen und den TH-cam Tutorials hätte ich mir früher in Mathe reihenweise 14+ Punkte abgeholt.
Matheist