Tópicos da aula: 00:04 definição de calota esférica 00:37 apresentação do problema: calcule o volume 01:39 uma possível solução usando Cálculo de uma variável 05:04 solução usando integrais triplas 09:36 mudança para coordenadas cilíndricas 11:15 cálculo da integral obtida
Obrigado Professor, estava fazendo um problema parecido e, nesse caso, o plano era z=1 e a esfera era do tipo x^2+y^2+z^2=4.. Uma pergunta, se eu optar por coordenadas esferícas, a determinação dos limites, facilita o cálculo da integral?
@@henriquethetraiN Olá Henrique, nesse exemplo específico que você traz (calota determinada por x²+y²+z²=4 e plano z=1), em coordenadas esféricas teríamos ∫∫∫ρ²sen∅dρd∅dθ onde a integral externa vai de 0 a 2π a integral do meio vai de 0 a π/3 a integral interna vai de sec∅ a 2. Essa integral não é difícil de resolver. Resolve-se de dentro para fora. Quando chegar na integral na variável ∅, será conveniente a substituição u=cos∅.
Nesta aula o volume da calota esférica foi calculado usando coordenadas cilíndricas na ordem dz dr dθ. Exercício sugerido: Monte também a integral na ordem dr dz dθ.
Olá Nuno. Que bom que gostou. Essas figuras 3D eu fiz no GeoGebra. O que eu fiz foi gravar a tela do GeoGebra, enquanto eu mexia nas figuras. Vou deixar aqui o link para as figuras que usei: Calota esférica: www.geogebra.org/m/gygf4q3y Sólido de revolução: www.geogebra.org/m/r8eskqbw
Olá Lidyane. Se R, o raio da esfera, for dado em metros, por exemplo, e valor de c também for dado em metros, então o volume será dado em metros cúbicos e isso é coerente com a expressão final V = π(2R³/3-cR²+c³/3).
@@lidyanesoares1689 Se você denotar por h a altura da calota esférica então você tem a relação h=R-c que é equivalente a c=R-h. Esse raio de 0,45m que você fala, vou supor que é o raio da esfera (aquele que chamamos de R) e não o raio da base da calota (o qual chamamos de "a" em 9:16). Tendo a informação de que h=0,1m, então temos que c=R-h=0,45-0,1, isto é, c=0,35. Nesse caso, é possível calcular o volume da calota em termos de R e c, com a fórmula que foi deduzida neste vídeo: V = π(2R³-3cR²+c³)/3 Também podemos obter uma fórmula para o volume diretamente em termos de R e h. Para isso bastaria na fórmula acima substituir c por R-h. Depois de algumas simplificações chega-se na fórmula: V = πh²(3R-h)/3 Agora, se a informação da medida 0,45m for referente ao raio da base da calota, isto é a=0,45, então encontramos R pela relação R²=c²+a². Em seguida, poderíamos calcular o volume usando qualquer uma das fórmulas acima.
Olá Henrique. Note em 12:24, que com a mudança de variáveis u=R²-r², quando r=0 temos u=R² e quando r=√(R²-c²) temos u=c². Então, na variável u a integração deveria ser R² até c². Ao escrever a integração na variável u, de c² até R² estamos invertendo essa ordem de integração e isso inverte o sinal da integral. Isso cancela com o sinal "-" que que aparece em - (1/2)du. Por isso, inverti a ordem de integração e ignorei esse sinal "-".
Tópicos da aula:
00:04 definição de calota esférica
00:37 apresentação do problema: calcule o volume
01:39 uma possível solução usando Cálculo de uma variável
05:04 solução usando integrais triplas
09:36 mudança para coordenadas cilíndricas
11:15 cálculo da integral obtida
Obrigado Professor, estava fazendo um problema parecido e, nesse caso, o plano era z=1 e a esfera era do tipo x^2+y^2+z^2=4..
Uma pergunta, se eu optar por coordenadas esferícas, a determinação dos limites, facilita o cálculo da integral?
@@henriquethetraiN Olá Henrique,
nesse exemplo específico que você traz
(calota determinada por x²+y²+z²=4 e plano z=1),
em coordenadas esféricas teríamos
∫∫∫ρ²sen∅dρd∅dθ
onde
a integral externa vai de 0 a 2π
a integral do meio vai de 0 a π/3
a integral interna vai de sec∅ a 2.
Essa integral não é difícil de resolver.
Resolve-se de dentro para fora.
Quando chegar na integral na variável ∅, será conveniente a substituição u=cos∅.
@@ProfessorMisturini exatamente onde cheguei.. obrigado
MEU DEUS, QUE ALUAS MARAVILHOSAS!
QUE QUALIDADE ! QUE ILUSTRAÇÕES !
Muito obrigado e, por favor, não pare de postar vídeos.
Excelente aula, professor. Muito didático.
que vídeo perfeito
Nesta aula o volume da calota esférica foi calculado usando coordenadas cilíndricas na ordem dz dr dθ.
Exercício sugerido: Monte também a integral na ordem dr dz dθ.
Professor, esse tipo de sólido pode ser expressado em coordenadas esféricas na integral tripla?
como fica a fórmula em radianos?
Explicação nota 10, professor, será que poderia me indicar o programa que usou para fazer a animação?
Olá Nuno. Que bom que gostou.
Essas figuras 3D eu fiz no GeoGebra.
O que eu fiz foi gravar a tela do GeoGebra, enquanto eu mexia nas figuras.
Vou deixar aqui o link para as figuras que usei:
Calota esférica: www.geogebra.org/m/gygf4q3y
Sólido de revolução: www.geogebra.org/m/r8eskqbw
Qual a unidade do volume?, Temos R3,R2 e R3 na expressão final
Olá Lidyane.
Se R, o raio da esfera, for dado em metros, por exemplo, e valor de c também for dado em metros, então o volume será dado em metros cúbicos e isso é coerente com a expressão final
V = π(2R³/3-cR²+c³/3).
c seria minha altura?
Nossa modelagem começou supondo que temos a esfera
x²+y²+z²=R² cortada pelo plano z=c, onde 0≤c
@@ProfessorMisturini então, no caso de ter um raio= 0,45m e h medida de 0,1, eu substituo na fórmula o c por R-c?
Ficaria c= R-c = 0,45-0,1?
@@lidyanesoares1689 Se você denotar por h a altura da calota esférica então você tem a relação h=R-c que é equivalente a c=R-h.
Esse raio de 0,45m que você fala, vou supor que é o raio da esfera (aquele que chamamos de R) e não o raio da base da calota (o qual chamamos de "a" em 9:16).
Tendo a informação de que h=0,1m, então temos que c=R-h=0,45-0,1, isto é, c=0,35.
Nesse caso, é possível calcular o volume da calota em termos de R e c, com a fórmula que foi deduzida neste vídeo:
V = π(2R³-3cR²+c³)/3
Também podemos obter uma fórmula para o volume diretamente em termos de R e h. Para isso bastaria na fórmula acima substituir c por R-h. Depois de algumas simplificações chega-se na fórmula:
V = πh²(3R-h)/3
Agora, se a informação da medida 0,45m for referente ao raio da base da calota, isto é a=0,45, então encontramos R pela relação R²=c²+a². Em seguida, poderíamos calcular o volume usando qualquer uma das fórmulas acima.
O - do 1/2du foi pra onde? kkk
Olá Henrique. Note em 12:24, que com a mudança de variáveis u=R²-r², quando r=0 temos u=R² e quando r=√(R²-c²) temos u=c². Então, na variável u a integração deveria ser R² até c². Ao escrever a integração na variável u, de c² até R² estamos invertendo essa ordem de integração e isso inverte o sinal da integral. Isso cancela com o sinal "-" que que aparece em - (1/2)du. Por isso, inverti a ordem de integração e ignorei esse sinal "-".