Oral PROBABILITES Mines-Ponts MP 2021(sup)
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- เผยแพร่เมื่อ 1 ส.ค. 2024
- Un exercice d'oral Mines-Ponts MP pas trop difficile et abordable dès la première année. A bien chercher avant de voir la solution !!
Erratum : J'ai oublié l'hypothèse X et 1/X d'espérance finie, ... indispensable dans le cas d'un univers infini.
00:00 Introduction
00:25 Enoncé
01:09 Solution
06:41 Preuve du Cauchy-Schwarz probabiliste
10:46 Epilogue
C'est royal de commencer par citer quelques bons réflexes au début de la correction, peu de vidéastes le font et je trouve que c'est super ! Ça permet d'apprendre à analyser correctement un énoncé.
Merci 🙏🙏
Ca ce sont les probabilités que j'aime bien, aucun jets de dés ou de boules noires et blanches, juste du calcul :)
excelent!
Aïe aïe aïe je ne connais pas mes théorèmes, au moins cette video ma rappelé mon cours merci!!
Vu que je n'avais pas ces théorèmes, jai évalué E(X/Y +Y/X)=2E(X/Y) par linéarité de l'esperance et car X et Y sont de memes lois, or X/Y+Y/X et à valeur dans [2,+inf[ donc E(X/Y+Y/X)>=2, d'où l'inégalité, j'ai bien aimé l'exercice ^^
Le t shirt est validé
Il va falloir "hunter" ces exos 🤭
J'espère que tu as ta carte de Hunter pour partir à la chasse aux exos d'oraux 😉
@@CassouMathPrepa bien sûr ! Merci beaucoup pour vos vidéos
A quel moment on a l'hypothèse que x et y admettent des espérances ?
Tres bonne remarque. Cette hypothèse ne figurait pas dans l'énoncé initial (que j'ai dû trouver dans les RMS). Du coup avec un univers infini (2eme année), il faut supposer que X et 1/X sont d'espérance finie. Je viens de faire un erratum dans la présentation de la video. Désolé pour cet oubli.
Il me semble qu'on peut utiliser l'inégalité de Jensen car la fonction 1/x est convexe sur R+*. Du coup E(1/Y) >= 1/E(Y) donc E(X)E(1/Y) >= E(X)/E(Y) = 1.
Super. A mon avis ils demanderont la preuve de Jensen donc à prévoir 😉
Oh bonne astuce, il faudra que je m'en rappelle
Une façon triviale (si on connait) est d'utiliser l'inégalité de Jensen.
Sinon, voir que par hypothese iid, c'est pareil que demontrer E[X/Y+Y/X]>=2, qui est evident puisque x+1/x>=2 pour tout x>0
La deuxième remarque sans Jensen est très très bien vue, bravo !
@Rafael-bd5kt je ne comprends pas pourquoi "c'est pareil que de démontrer E[X/Y+Y/X]>=2", en quoi est ce que ceci impliquerait E(X/Y)>=1 ? (je vois bien le sens direct mais pas le sens réciproque)
@@anisabdali5169 tout simplement car E[Y/X]=E[X/Y] puisque c'est iid (en fait les deux valent E[X]•E[1/X])
@@Rafael-bd5kt ah oui daccord merci
C'est sympa d'avoir cette solution. Je lavais vue passer dans la litterature. Mais je suis pas hyper fan car c'est un peu magique. J'arrive pas à voir comment on peut penser naturellement à faire ça et à utiliser cette petite inégalité sur x+1/x. Ça reste élégant en tout cas.
Wow ma fallu 2min30 pour comprendre que le résultat était pas évident car
E(1/y) != 1/E(y)
Cauchy Schwarz est valable pour toute forme bilinéaire symétrique positive donc on a juste besoin de montrer ça pour X,Y -> E(XY)
Mais bon ça fait pas de mal de le redémontrer
😱... Arg du coup punition !! "Trouver toutes les variables aléatoires telles que E(1/X)=1/E(X)" 😁 C'est en fait assez interessant ton erreur 😉
@@wasabissu5020 yep c'est clair, j'ai oublié de le dire. A croire que j'avais envie de faire la (belle) preuve. En plus je viens de lire que le lemme est carrément au programme MP et PC ! 😵💫
@@CassouMathPrepa
Chercher les variables aléatoires telles que E(1/X) = 1/E(X) revient à étudier le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Le cas d'égalité se produit si et seulement si U et V sont presque sûrement colinéaires
Donc ssi X est presque sûrement constante.
La remarque de Rafael bd5kt est imbattable, mais voici une autre méthode **qui n'utilise même pas l'indépendance** de X,Y
On écrit :
E[X/Y] = E[exp(ln(X) - ln(Y))]
Or si X et 1/X ont toutes deux une espérance, alors ln(X) aussi, car :
1 - 1/X
Transformer un quotient en différence. Spontané j'avoue... mais génial ! Merci pour ce complément 👍