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- เผยแพร่เมื่อ 7 ก.พ. 2025
- 【 難易度：★★☆☆☆ 】
2017年の大妻中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
①まずは求める部分の面積がどのようになっているのかを知りましょう。この時大事になるのは、求める部分の面積は「底辺×高さ÷2」のように一発で求めることができないので、図形を分解して考えるようにしましょう。
②図形を3つの部分に分解していきます。まずは1辺6cmの正方形を左上の頂点から右下の頂点に対して対角線を引きます。そうすると、図形の中で90度を2つの12cmの辺で挟むようにしてできた直角二等辺三角形と、その他2つの三角形ができます。この時、直角二等辺三角形以外の2つの三角形の底辺と高さが分かるはずです。
③あとは3つの三角形の面積を算出することで、求める部分の面積を算出することができます。
面積の求め方が一発で出てこない図形をどのようにすれば面積を求めることができるのかを考えるのに適した問題であると思います。
底辺と高さが明確になるように分解してみることが今回の問題では一番近道になるような解法でした。
他にもたくさん解法のあるような問題だと思いますので、皆さんの解法をお教えいただけると嬉しいです！
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#中学受験 #算数 #図形
Aを通る縦の線を底辺として、左右の三角形を等積変形し、
底辺12+6=18、高さ12+6×2/3=16の三角形にする。
(12+6)×16÷2
やはり【解法1】でしたね。
真っ先に思い浮かんだのが解法2でした。そのほうが計算が少なくて楽かなと。
図でいきなり見せられるから混乱するけど、全体を辺長１２＋６＝１８cmの正方形に拡張すれば
『正方形に内接する三角形』という、よくある問題に化ける
もうそろそろ登録者7万人ですね！
小さい正方形を大きい正方形の逆(接合点からC)に対角線をひ引く。
そうすると、三角形が都合三つできる。
①12*12/2=72･･･12cmの正方形の半分
②12*6/2=36･･･右上の三角形
③12*6/2=36･･･左下の三角形
解法1が圧倒的に速く解ける、と言ったのでまあこれだろうなと思ったら違いましたね・・・。
解法1で、解きました。解法2は、なるほどと思いました。
ACを斜辺とする底辺6㎝高さ18㎝の直角三角形+BCを斜辺とする底辺18㎝高さ6㎝の直角三角形+一辺12㎝の垂直二等辺三角形－6㎝＊6㎝の正方形
補助線も比も使わず、暗算できる解法かな
対角線ABを底辺として、点CからABに垂直な直線を高さとして計算して求めてもいいけど、√を使うことになりますよね。
解法１で解きました。最近、最初の図形の外側に補助線を引くパターンが多いので、思いつきました。
反射的に、同じ形と比が頭に浮かんで解けました。
別解？①12㎝の正方形の半分の三角形の面積を求め②三角形18cm、6cm、ACの面積と三角形18cm、6cm、BCを半分に補助線を引いてそれぞれ9cm×6cmの長方形と見立て③6cmの正方形部分が重なってるのでそれを引いて答えを出しました。（12×12÷2）+（9×6）+（9×6）-（6×6）＝144
大小二つの正方形を貫くように対角線を引くと、中略、赤の面積は大きな正方形と同じになることがわかるので、144㎠です。
既出でしょうが、18x18の大きな正方形を作って、三角形3つを引きました。
18x18 - (12x12÷2 + 18×6÷2 + 6x18÷2) = 144
ＡＢを底辺とした１２の正方形半分の三角形から見て高さが２倍になるので、１２の正方形と同じ面積
なるほど、一瞬ですね。12cmの正方形の対角線の中点から接合点の長さ(対角線/2)と6cmの正方形の対角線長が同じということに気がつけば暗算でできますね。
1辺12cmの正方形を十字に区切れば1辺6cmの正方形が4つできて、合同な正方形の対角線なので長さは一緒と言うわけですね。
その視点はなかった。面白いですね。勉強になりました。
解法1はすぐに気がつきました。素直にこれで解けば……
１８ｘ１８の大きい正方形にして、１８ｘ１８ー１２ｘ１２ｘ１／２ー１８ｘ６ｘ１／２ｘ２の方法
２つの正方形の交点をDとし、CDを結んで３つの三角形にして△ABD+△BDC+△ADCの方法
あとは解説の方法の３パターンまでは見つけました
僕も同じ方法で解きました。※説明が違ってたらすみません。
3つの三角形に分けてしまえば
12×6÷2×2=72、12×12÷2=72、足して144㎠
等積変形の典型的な問題ですね
2パターンで解いて1つは前半と同じでした。
もう1つは△ABCは底辺ABの直角二等辺三角形の2倍の高さ(対角線の長さの関係より)だから
△ABC=12×12×1/2×2=144㎝^2
6cmの正方形の右にもう一つ6cmの正方形を書き、その対角線に沿ってCを右上に移動させる。（等積変形）
そうすると、底辺が 12+6+6 = 24cm、高さ12cmの三角形になる。
他の解き方をいくつか考えてみたんですが、これは思いつきませんでした。この解き方は面白いですね！
１２×１２の正方形の周りを６×６の正方形で全周を囲い、２４×２４の正方形を作りました。
１２×１２の中も６×６を４つで区切り、⊿ABCが全体の２４×２４の正方形の４分の１であるところへ導きました。
求めたい▲の内部底辺は16で高さが18なので、16✕18÷2＝144
答えを出せたのだが、迂闊にも赤い三角形で大きな正方形の外の部分が大きな正方形の半分になる理屈に気づいていなかった。
大きな正方形の右下の点をGとすると△AGC≡△BGCで共に高さ6、底辺12となる。この2つの三角形の合計は2×1/2×(12*6)=12×6 結局は大きな正方形の半分。
従って、赤い三角形は大きな正方形を等積変形したもの。
つまり、大小の正方形の辺比が1／2であれば計算無しで赤い三角形は大きな正方形の等積変形図になると言える。
出題図は、等積変形のそうした図式に具体的な値をおいたものに過ぎなかったのだ。
なので、この問題では、赤い三角形は、底辺12、高さ6の4つの三角形からできている図に分解できる。同様に大きな正方形もそう分解できる、従って赤い三角形は大きな正方形の面積に同じ。との解法があってもよかった。等積変形にすぎないので逐次的計算なしで答えを直接に得られる。
最初手古摺った。大きい１２ｃｍ角の正方形の半分とあと何か。という部分で「ん？丁度１２ｃｍ角の正方形一つ分になるのでは」と思ってそれを立証する感じで解いた。６ｃｍ角の正方形が１２ｃｍ角の正方形の半分の対角線だから直角二等辺三角形（１２ｃｍ角の正方形の半分）の倍の高さになって丁度正方形一つ分ってことになる。
底辺が12cm高さ18cmの三角形２つの面積から、12cm×12cmの正方形の半分の面積を引いて答え144。自然と大きな正方形が見えてきて後はサクサクといきました😊
6 : 12 = 1 : 2
x+2x=6 3x=6 x=2
12+2×2=16
三角形ABCの面積は
16×12×1/2+16×6×1/2=144cm^2
小さな正方形に対角線を書いて
赤い三角形を3つの三角形に分割するとわかりやすそうです
12×12×1/2の直角二等辺三角形がひとつと
6×12×1/2の三角形が2つなので
合計すると144平方センチメートルと求まりました
別のアプローチとして同じ形の図形を利用して赤い三角形が底辺16センチで高さが12センチと6センチの2つの三角形からできているという風にも考えてみました
パズルっぽく
緑枠の長方形は12x12の正方形の1/2
6x12/2の三角形は緑枠の長方形の1/2=正方形の1/4
12x12/2の直角三角形は12x12の正方形の1/2
合計すると12x12の正方形
解法1の発展形で、大きな正方形から直角二等辺三角形と細長い直角三角形2つを引くところで、
縦の直角三角形を下の横の直角三角形の上に移動させると求める面積が
上底6、下底18、高さ12の台形に等積変形できるので
(6+18)×12÷2=144
求める三角形を4つの部分に分けて解きました。
左上の部分は12×12÷2=72cm2。
次に大正方形を作り、
相似比18:6の三角形を使って小正方形の一辺を4cmと2cmに分けました。左下と右上の部分はそれぞれ12×4÷2=24cm。
右下の部分は小正方形から白い部分を引き、6×6−6×2÷2×2=24cm。
最後に4つの部分を合計して144cmとなりました。
無骨な解き方ですが、解法は一瞬でひらめき暗算できるので、時間はほとんどかかりませんでした。
いろいろな解き方がある面白い問題ですね。
小正方形を右下角から左上角で、
対角線2分割する。
小正方形内の色付きを大正方形のラインまでスライド。
小正方形内は余白だけになる。
大正方形の外の色付きが直角三角形2つ。
2つ合わせて6cm、12cmの長方形になる。
6x12＝72平方センチ。
大正方形内は色付きが半分なので、
12x12/2＝72平方センチ。
合わせて144平方センチ。
先生、答えが合ってました。実は、もう一つの方法ですけど、パズル的にやりました。長方形を作りました。もちろん、４本ぐらいの補助線？です。すると対応する図形が一緒であることが分かりました。赤く塗っているのをではなく、白く塗ってある図形に注目しました。すると１２×１２÷２＝72㎠、そして直角三角形6×(12+6)÷2＝54㎠、直角三角形が２つありますので、108㎠です。仕上げに18×18＝324㎠、そこから引いて324-(72+108)=144㎠でした。
説明が下手くそなので、お許しください。
私もこのやり方でした。1番単純明快だと思います。
おもしろい別解。
等積変形といふものは、
頂点を対辺に平行な直線上で移動させるだけでなく、
底辺を延長させた直線上で底辺を移動させることでも、
等積変形ができる。
6センチ四方の正方形の対角線の長さは、12センチ四方の正方形の対角線の半分の長さと一致するので、
6センチ四方の正方形の対角線を、12センチ四方の正方形の白い部分に持っていくと、
色の着いた三角形の面積は、
12センチ四方の正方形の面積と一致することがわかる！