Quel nombre obtient-on si on multiplie 0 nombres ? Derrière cette question apparemment farfelue, se cache une réponse d'une grande utilité pour les mathématiques.
Une fois rien, c'est rien ; deux fois rien, ce n'est pas beaucoup, mais pour trois fois rien, on peut déjà s’acheter quelque chose, et pour pas cher.” - Raymond Devos
Jérôme Nirvalo. Raymond Devos a arrêté au CEP. Un grand nombre de polytechniciens complètement oubliés dorment dans des cimetières. N'est pas immortel qui veut . . .
Il s'agit en fait bien d'une convention ... Mais cette convention est basée sur les observations explicitées dans cette vidéo. En effet, il ne s'agit pas réellement du résultat d'un calcul que les théories existantes peuvent mettre à jour, il s'agit simplement d'une interprétation logique a une question abstraite.
Comme indiqué par Mathieu Montin, on peut présenter ce résultat comme une convention (j'entends par là que le résultat du calcul n'est pas a priori bien défini, que la définition d'un produit de nombres n'est usuellement donnée que pour, disons, au moins deux nombres), mais ça ne se résume pas à une convention arbitraire : c'est la seule convention qui permette de continuer de rendre valable les règles de calcul usuelles (par là, j'entends une certaine liste précise de propriétés que je n'ai pas envie de reporter ici). Cela peut être démontré. En l'occurrence, Mickaël Launay propose de découvrir cette valeur en utilisant les règles de calcul usuelles hors de leur cadre usuel, ce qui propose une initiation à l'approche que je viens de mentionner. Il faut toutefois noter qu'il est possible de considérer le produit d'aucun nombre comme un nombre bien défini, sans référence à une convention. En effet, on peut définir le produit de k nombres n(1), ..., n(k) comme le nombre de fonctions f qu'il y a de l'ensemble des entiers compris entre 1 et k au sens large vers les entiers naturels telles que pour tout i dans le domaine de définition de f, f(i) soit compris entre 1 et n(i) au sens large. Cette définition s'applique telle quelle pour k = 0 ou 1. (L'étude des fonctions partant de l'ensemble vide se fait sans problème à partir de la définition mathématique de fonction, sans appel à des "conventions".) Ce sont deux approches complémentaires.
@Mathieu Montin: je ne pense pas non: une convention est une décision arbitraire, un choix extrinsèque à la notion de logique. Il n'y a pas de logique à convenir que + désigne une addition et - désigne une soustraction. C'est une convention. Ici le fait que 2^0 vaille 1 n'est pas le fruit d'une décision qui aurait pu être tout autre, c'est une nécessité imposée par la logique du calcul.
Oublie un peu les maths et essaie de comprendre les jeux de mots ! L'expression connue "le tout est de s'y mettre" peut s'écrire en respectant seulement la phonétique : " le tout est de 6 mètres". Dans ce cas, revenons aux mathématiques : la moitié de 6 mètres, c'est 3 mètres. Donc la moitié d'un tout est bien 3 mètres, non ? Et mieux encore : A quoi est égal le double d'un tout ?... Le double d'un tout est un chien car c'est un "toutou" ! Pour comprendre, il te faudra passer dans la classe supérieure !
Pour ceux que sa intéresse, on appelle le 0 pour l'addition et le 1 pour la multiplication: des éléments neutres pour leurs ensembles respectifs. C'est à dire qu'ils ne modifient pas les éléments avec lesquels ils sont composés.
Salut, Mickaël. Ta vidéo est super cool; j'ai vraiment beaucoup aimé. Merci de préciser que 0!=1 et 2°=1 ne sont pas des conventions comme on le voit écrit dans plusieurs manuels, mais surtout de profondes vérités mathématiques, nécessaires pour la cohérence de nombreuses structures algébriques. Merci également pour tes vidéos en général; ta façon de présenter ces curiosités peut vraiment amener beaucoup de gens à s'intéresser aux mathématiques, l'une des plus belles sciences au monde.
O est l'élément neutre dans le groupe addition et 1 l'élément neutre dans le groupe multiplication. Le terme rien est donc la vulgarisation de l'élément neutre c'est ça ?
Moi j'ai un chat, 🐈. Et bien c'est l'élément neutre de la boîte de shrodingen..machintruc. il ne fait absolument rien et ce en constante progression, ça note c'est 10.
Mickaël Launay bonsoirs , c prob que tu va me trouver Bete , mais dans les maths tu calcul des chose , carotte , personne , masse ........................ donc un truc , donc le rien est deja un truc donc un 1 , le rien c quoi , au moment ou tu le dit cela devien le 1, ou le zero breff tu pense que zero c rien ou juste un nombre important comme autre?????? c comme le moment ou tu dit '' c le present'' il est deja passer!!!!!! enfin je croit ^^ si je me tromp dit^^
ak5000 ak5000 ha et le zero c cool , c un cercle donc en plus tu peut faire de la geom avec et sa c bien cool , je suis du batiment et je peut faire plien de chose avec un cercle et calculer ce que je veut avec ce O qui est 1^^
Je pensais à un truc, vers la minute 5:50. Dans l'addition, le chiffre qui ne change rien, le "rien du tout" c'est 0 étant donné que 2+3+4 vaut la même chose que 0+2+3+4. Dans la multiplication, le chiffre qui ne change rien, le "rien du tout" c'est 1 étant donné 2X3X4 vaut la même chose que 1X2X3X4. Maintenant, si dans la multiplication, on utilise le "rien du tout" de l'addition, que se passe-t-il pour la suite 2X3X4 --> 0X2X3X4 = 0. On annule tout, on remet le compteur à zéro, quelque soit la suite de nombres qu'on avait au départ. Et bien je trouve qu'il faudrait ajouter un élément qui remette les compteurs à zéro aussi pour l'addition, un élément "Destructeur", que je vais appeler D, ainsi 2+3+4+D=0, mais aussi 2+3+4+5+6+7+D=0. De manière imagée, on a additionné des petits cubes, on les a empilés, et dès que cet élément Destructeur est rajouté, il réduit à néant tout l'empilement... le rustre. Et puis, on pourrait jouer avec cet élément: vu que quand on divise par zéro, ça donne l'infini ; si on soustrait le Destructeur, ça donnerait l'infini aussi. Ca me semble COHERENT. Peut-être cette découverte a des implications INCROYABLES !! Si on me cherche pour la médaille Fields, je nettoie ma baignoire. En vous remerciant.
Léonard Masolain Ce que tu dit est vraiment intéressant :3 *2 + 3 + 4 + D = 0*. Ok. Alors, ça voudrais dire que *D* est l'inverse de l'opération. Donc, ici, *D* serait égal à l'inverse de ce qui précède *D*. Donc : *2 + 3 + 4 + D = 0* *2 + 3 + 4 + (2 + 3 + 4) x (-1) = 0* On peux en déduire comme théorie : Si *A* est égal à une suite d'addition et / ou de soustraction, et *D* l'inverse de *A*, alors *A + D = 0* Après, je casse peut-être un peu ma théorie (^.^'), mais qu'adviendrait-il si on avait ce genre d'opération : *5 - 3 + D - 9 = ?* Et je viens de relever un autre problème. La, je n'en fait qu'une hypothèse en utilisant ma théorie : *1 + 2 + 3 - D =* *1 + 2 + 3 - (1 + 2 + 3) x (-1) =* *1 + 2 + 3 - ((-1) + (-2) + (-3)) =* *1 + 2 + 3 - (-1 - 2 - 3) =* *1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 =* *2 + 4 + 6 = 12* Donc : *1 + 2 + 3 - D = (1 + 2 + 3) x 2*
***** Salut, merci d'être indulgent. Je voyais D comme "quelque chose qui lorsqu'il est additionné fait que la réponse de l'équation est zéro". Donc la réponse de ton équation: 5 - 3 + D - 9 = - 7 + D = je dirais 0, vu que quelque soit le nombre auquel tu additionnes D, ça donnera 0. Je fais ça par analogie à la multiplication : quelque soit X, X multiplié par zéro donnera toujours zéro. Quant à ton 2ème problème: 1+2+3-D, tu en arrives à la conclusion que faire -D revient à doubler (1+2+3). De mon côté, j'aurais tendance à dire que 1+2+3-D= l'infini. En fait, je ne suis pas d'accord avec ta définition du D, qui est de dire "Alors, ça voudrais dire que D est l'inverse de l'opération. Donc, ici, D serait égal à l'inverse de ce qui précède D." Je reviens à l'analogie avec le zéro dans la multiplication: c'est comme si tu me donnais comme définition de la multiplication par zéro: multiplier une suite A par zéro revient à diviser cette suite A par elle-même puis à soustraire 1 du résultat obtenu. Exemple: 2 X 3 X 4 est une suite A ; 2 X 3 X 4 X 0 = ( (2 X 3 X 4) ÷ (2 X 3 X 4) ) - 1 = 0. OK, cette définition de multiplier par zéro serait correcte pour toutes les suites A je pense. Mais maintenant si tu divises par zéro, selon cette définition: (2 X 3 X 4) ÷ 0 = (( 2 X 3 X 4) ÷ (1/ 2 X 3 X 4)) - 1 = ( (2 X 3 X 4) X (2 X 3 X 4) ) - 1. Alors que c'est faut, on sait bien que quelque chose divisé par zéro, donne l'infini (enfin, si je me rappelle bien de mes cours de secondaires ! ) Donc par analogie avec la multiplication, je ne suis pas d'accord avec ta définition de D. Soustraire D donnerai l'infini. Faire l'inverse du Destructeur fait que tu aurais une construction infinie. Maintenant, que fait 2 X D ou 0 X D, j'en sais foutre rien.
Léonard Masolain Mais après tout, il faut bien trouver quelque chose pour que ça se vérifie. On ne va pas dire *x - D = Infini* et point barre, ça serait complètement dénué de sens. Après, si ma théorie peux aider à trouver la solution... on ne sais jamais ^.^ :p :3
+GuitarHero59310 Je pense que ta théorie du D est intéressante. Mais il existe deux "failles" : 1. D est une variable, et non une constante, du coup, c'est plutôt une formule que tu as inventée, qu'une réelle constante. 2. Les éléments d'une addition ne sont pas absorbants (j'ignore si le terme est bien choisi) donc ils ne s'influencent pas entre eux comme la multiplication, ce qui pose un problème pour obtenir une addition nulle en règle générale. Du coup, il faudrait plutôt partir du principe que 1 + 2 + 3 = (1x1) + (1x2) + (1x3) et je pense qu'on aura beaucoup plus de matériel pour avancer :D Sincèrement, LB.
Encore une fois toute ma gratitude pour m'avoir montré de manière si simple une chose qui n'aurait pas du être obscure et aussi ce que sont vraiment les mathématiques en quelques instants, je crois que je devrais faire un monument en ton honneur si c'était possible. Merci, merci, merci!
J'ai toujours détesté les maths parceque j'ai jamais rien compris. Mais j'adore regarder tes vidéos tes encore plus clair et intéressant que tous les profs de france réunis. Grace a toi je commence a apprécier les calculs !
Mon prof de maths de l'an dernier disait : - Diviser par un nombre très proche de 0 c'est comme si vous multiplier par un nombre gigantesque donc est ce que 0 est un clef vers l'infini ?
Super vidéo mais je pense que pour expliquer tu aurais dû utiliser les puissances de 10 pour que ce soit plus simple : 10^3=1 000 (3 zéro après le 1) 10^2=100 (2 zéro après le 1) 10^1=10 (1 zéro après le 1) 10^0=1 (0 zéro après le 1)
Je choisis cette vidéo pour écrire mon admiration mais il y en a tant d'autres qui sont géniales ! Merci surtout pour la mise au point à propos des "conventions" à la fin de ta vidéo.
Pour un peu plus de vocabulaire, on appelle 0 pour l'addition et 1 pour la multiplication des éléments neutres. Car ajouté 0 ou multiplié par 1 ne fait RIEN au calcul, cela ne change RIEN
En fait il ne peuvent valoire que un mais ne valent pas que un... en fait on appele ça un convention car: n^2/n^2 = n^(2-2) = n^O Mais n^2/n^2 = 1 (division d'un nombre par lui meme.) Donc: n^0 = n/n = 1
merci beaucoup, tous les jours tu m'apprends des choses
9 ปีที่แล้ว +17
Vidéo rigolote, mais je suis assez circonspect par la conclusion: il me semble que noter que x^0 = 1 reste malgré tout une convention, non pas parce qu'il est possible d'y affecter d'autres valeurs, mais tout simplement parce que il n'est absolument pas dit que la notion même de produit vide ait un sens. La convention n'est donc pas le résultat lui-même, mais de dire "cela a un sens, et le résultat vaut". La question ne porte pas sur la valeur du produit, mais sur sa définition elle-même. Afin de démontrer véritablement que ceci est un résultat et non un axiome, il faudrait revenir à la définition de la multiplication. Je n'en connais personnellement que 2: l'addition itérée, et le calcul d'aire. L'addition itérée consiste à dire que "n x k c'est additionner k à lui-même, n fois", en quel cas le résultat de 1 n'est absolument pas évident, vu qu'on relie finalement la notion de multiplication vide à celle d'addition vide... D'ailleurs, qu'obtient-on lorsque l'on multiplie deux additions vide ? Ma structure d'anneau m'assure que je peux distribuer le vide sur le vide, j'ai donc que la somme de mon produit vide est égale au produit des mes sommes vides, et donc que 0 = 1 ? Et si on se réfère à la définition par les aires (nous venant, il me semble, des grecs, qui voyait a*b comme étant l'aire d'un rectangle de côtés de longueur a et b), il parait d'autant plus étrange que l'aire de ce rectangle n'existant pas vaille 1. Cette convention/axiome est tout à fait respectable, et tout à fait pertinent dans bien des cas, y compris dans le cas de la factorielle (qui, selon sa définition, peut effectivement être proprement définie comme valant 1 en 0), mais je pense qu'à vouloir en faire une "démonstration" on risque de se heurter à bien trop de cas pathologique pour un résultat qui, au final, est très à l'aise dans son statut d'axiome.
Une petite explication sur le x^0 = 1 Je vais prendre a^0 plutot pour pas confondre avec le x que j'utiliserai pr signe multiplier a^0 = a^(p - p) où p est un nombre entier positif a^(p - p) = [a^p] x [a^(-p)] or a^(-p) = 1 / (a^p) donc a^p x a^(-p) = (a^p) x (1/ (a^p)) = (a^p) / (a^p) = 1 Voilà :)
Oui tu as raison, il faut revenir à la définition, celle de l'addition itérée, Donc définir l'addition. Qui est définie par "je prends un ensemble à p éléments, un autre ensemble à k éléments disjoints et je regarde combien d'éléments a la réunion de ces deux ensembles". De là tu définis la multiplication de là tu définis la puissance. Bon bref avec un peu de travail technique on se rend compte que n ^m, c'est le nombre d'applications d'un ensemble à m éléments vers un ensemble à n éléments. Prends m=0 tu as les applications définies sur l'ensemble vide et tu peux vérifier (en utilisant la définition d'une application) qu'il y en a exactement une (qui a pour image le vide) et ce pour n'importe quel n. Ce n'est ni une convention ni un axiome, c'est un théorème, qui découle des axiomes de Zermelo (axiomes de la théorie des ensembles) (puisque la notion d' application est construite avec la théorie des ensembles). Et plus précisément des axiomes qui sont : - Il existe un ensemble - il existe la notion d'appartenance à un ensemble et elle régit l'égalité entre ensembles (extensionnalité) - Pour tout prédicat portant sur les éléments d'un ensemble A il existe un ensemble B contenant les éléments, parmi ceux de A qui vérifient ce prédicat (sélection) - Si A et B sont deux ensembles il existe un ensemble qui contient les éléments qui sont ou dans A ou dans B. - Si A est un ensemble l'ensemble des partties de A existe. Donc en gros à partir de ses 5 axiomes tu construis la notion d'application et tu montres que la puissance correspond au nombre d'applications d'un ensemble à m éléments dans un ensemble à n éléments et tu en déduis que pour tout n (y compris zéro) n^0 = 1. Donc c'est vraiment un théorème quoi on est très très loin du postulat, de la convention, de l'axiome... etc. Tous les objets mathématiques reposent sur les axiomes de la théorie des ensembles en gros (ZFC), donc tu es tranquille hein, tu risques pas de tomber sur une "convention", comme le dit Mickael le mot "convention" c'est une sorte de drapeau blanc brandit par les profs qui ont la flemme (ou qui ont pas compris le truc). D'autres exemples : R l'ensemble des réels n'est pas une "convention" c'est une construction (assez élaborée certes) en se servant juste de ZFC ; Une variété différentielle C infini de dimension 4 et de métrique blablabla ( le monde dans lequel on vit selon la relativité générale) c'est une construction mathématique qui repose au fond uniquement sur ZFC etc. etc.
Clément Polge Je pense qu'il ne faut pas vouloir donner un sens à tout prix. Tu prends l'exemple de la définition première des grecs avec le rectangle. Mais c'est pour calculer l'aire d'un rectangle qu'ils utilisaient la multiplication. Aucun intérêt pour eux d’imaginer un rectangle avec un coté de 0 Je suis physicien, je résous donc des problèmes ancrés dans la réalité. Pourtant pour résoudre certaines équations différentielles j'utilise les nombres imaginaires Imaginaires ! Un comble pour des problèmes liés au réel non? Pourtant forcé de constater que ca marche à merveille Les mathématiques, pour moi, ne sont qu'un outil. Cet outil nous dit que x^0 = 1 ? Très bien alors c'est comme ca même si ca semble contre-intuitif
RedFox1 Lol oui ^^ je corrige. Désolé si ça paraît compliqué, mais mine de rien tu m'as corrigé donc tu as pris la peine de lire. Ce qu'il faut retenir c'est que c'est tout sauf un axiome. On se donne des axiomes qui n'ont a priori rien à voir (style "il existe un ensemble", "l'union de deux ensembles existe" etc.) et on construit toutes les maths, il n'y a aucune convention en maths, juste les axiomes ZFC. Les gens qui disent que 0^0 = 1 est une convention ils ont tort ou ils ont la flemme d'expliquer pourquoi
Encore super video! :) je suis tombée par hasard sur ta chaine et c'est vraiment très instructif. C'est cool une chaine comme ça! Tes explications sont plutot claires même s'il faut de toute façon se creuser la tête ! (Se serait trop facile sinon!) je suis en 3eme et on avait travaillé les puissances en début d'année et je suis contente de savoir enfin POURQUOI un nombre puissance 0 est égal à 1! Ta vidéo sur la somme de tous les entiers positifs était pour moi beaucoup plus subtile et c'était assez brumeux (mais je n'ai peut être pas encore toutes les clees pour comprendre la démonstration !) Qu'est ce qui t'a donné envie de faire ces video alors que les maths ne sont pas souvent ce qui passionne le plus de monde? En tout cas continué de faire des vidéos comme ça c'est super! :D
+Bor Alex Il n'y en a pas. C'est ça la problème. C'est ce qui détruit ce qu'il dit. Le "2^0=1" parce que, dans nos formules, ça nous arrange. Mais en soi, à partir de la définition de l'addition et de la multiplication, on est incapable de le démontrer.
@@AinexLeNoir Ce n'est pas une convention, ça découle de la définition de la puissance. Ecris A^n/A^m, en simplifiant m fois par A, il reste A^(n-m) (les "n" A du haut de la fraction moins les "n" A du dénominateur qu'on a simplifiés), et si n
J'apprécie tes vidéos mais ne vulgarise pas trop. J'aurais bien aimé quand même entendre ici le terme d'élément "neutre" d'une opération, plutôt que ce terme, assez moche, de "rien du tout". 0 est le neutre de l'addition, et 1 le neutre de la multiplication. fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre
je suis d'accord, tes vidéos sont très bien mais il serait bien d'approfondir un tout petit peu pour que les gens aient un aperçu des maths du supérieur :p
le terme "élément neutre" s'utilise depuis le primaire. J'imagine que s'il ne l'a pas utilisé, c'est pour mieux faire passer la notion d' opération avec aucun nombre.
Je suis tout à fait d'accord avec l'élément neutre. Car, pour moi, "rien du tout" égale ou plutôt correspond à "n'existe pas" ou "néant". Ceci donne en mathématiques plutôt un sigle "ensemble vide" et non un nombre ou même un chiffre comme l'infini car dès que l'on transforme ce sigle par autre chose , il est donc défini et si on utilise un nombre composé par un ou plusieurs, ce sera un nombre fini et donc il ne sera plus infini.
Je trouve ces vidéos toujours aussi intéressante ^^ ! En fait c'est normal 1 est l'élément neutre de la loi de composition interne "multiplier" sur les entiers naturel ! L'élément neutre 1 c'est en quelque sorte le "rien du tout" de la multiplication et le 0 celui de l'addition
C'est la première fois que je suis impressioné par les maths mais c'est vraiment incroyable ce que tu viens de m'apprendre PS: tu viens de rentrer dans mes youtubeurs favoris
Je ne suis pas totalement d'accord avec la conclusion. Si 2^0=1 et 0!=1 sont des résultats tout à fait logiques, ils ne le sont que parce qu'on a souhaité qu'ils le furent (+20 pts à mon score Pivot si cette phrase est correctement écrite). On aurait pu décidé que ces écritures n'aient pas de sens, solution de facilité. On a voulu leur en donné un car, après tout, pourquoi pas. Et on a donc regardé quel sens cela pourrait avoir. En faisant ce que tu as présenté dans la vidéo, on a remarqué que, pour respecter les règles/propriétés, on devait avoir 2^0=1 et 0!=1. Et que cela faisait parfaitement sens, 1 étant le "rien" de la multiplication (le neutre de la multiplication pour les initiés ;-) ). Dés lors, cela faisant parfaitement sens, il n'y avait aucune raison de ne pas accepté ces "normes" qui sont plus que des choix imposés par des mathématiciens, elles ont été imposé par les mathématiques. Un autre exemple est le cas des "puissances" rationnelles (fractions). Je ne détail pas, mais en prolongeant les résultats que l'on a sur les puissances entières, on "invente" ce que doit être une puissance rationnelle pour que cela colle.
Je suis assez d'accord avec ce que tu dis. Mais dans ce cas là, toutes les mathématiques sont faites de convention. On peut dire la même chose de 1+1=2 ou de 2*3=6. Ces égalités font sens, elles sont des conséquences d'un modèle que l'on créé pour coller le mieux possible à notre expérience quotidienne des nombres. Du coup, ce que je voulais dire c'est qu'il ne me semble pas légitime de dire que 2^0=1 ou 0!=1 sont plus des conventions que toutes les autres égalités mathématiques.
Mickaël Launay Quelle différence faites-vous entre une définition et une convention ? Là semble être la clef du débat. Dire que 1+1=2 ou que I + I = II relève pour moi d'une définition (deux est le nombre entier naturel suivant de un). De même, dire que 2*3 = 6 relève d'une définition : 2*3 = 2 + 2 + 2 qui vaut bien six, 6 ou VI... En revanche, les expressions a*0 ; a*1 ; a^0 ou a^1 relèvent (toujours pour moi) de conventions parce qu'elles s'écartent des définitions de base (additions ou multiplications répétées), mais permettent d'appliquer des formules de distributivité "sans soucis".
le double C'est vraiment intéressant comme question. Quelle est la différence entre une définition et une convention ? Si par exemple on définit une multiplication comme une addition répétée, alors dans ce cas, additionner 0 nombre n'a pas de sens et a*0=0 est une convention. Dans ce cas les multiplications de nombres non entiers comme 0,5*0,5=0,25 sont aussi des conventions. En fait, dans ce cas, j'ai l'impression qu'on appelle convention toutes les "rustines" qu'on est obligé de rajouter à la définition pour tenir compte de tous les cas de figures qui ont été oubliés. La distinction définition/convention dépend donc du choix de départ : si dès le départ on avait pris en compte dans la définition tous les cas de figures possibles, alors il n'y aurait pas eu besoin de conventions pour rafistoler la définition. Je crois donc qu'il n'y a pas de différence objective entre convention et définition, mais que ça dépend essentiellement de la façon dont on présente les choses. Pour revenir à la multiplication, quand on définit de façon rigoureuse les nombres réels et les opérations dans des cours de maths post-bac, la définition donnée prend en compte toutes les multiplications dès le départ. Dans ce cas il n'y a plus besoin de convention. A moins de considérer que la définition elle-même est est une convention, mais dans ce cas tout est convention. Bref, à mon avis la notion de "convention" est totalement subjective, elle dépend du point de vue qu'on adopte, et est indépendante des objets mathématiques qu'on étudie.
Mickaël Launay Je ne suis pas d'accord avec votre exemple de la multiplication de deux décimaux positifs. Dans mon esprit, on définit la multiplication de deux nombres entiers naturels comme une addition répétée et on considère que a*0 = 1 et que a*1 = a (effectivement par convention dans ce cadre). -Puis on peut définir la multiplication de deux fractions comme le fait de prendre une fraction d'une fraction de l'unité. -Puis, on peut constater que la multiplication des naturels coïncide avec la multiplication des fractions dans le cas où ces fractions sont en fait des entiers (ce qui n'est pas rien, sympa la 6ème, et s'il n'y avait que ça!...). Ce qui fait que 0,5*0,5 signifie prendre les 5/10 des 5/10 de l'unité par définition et non par convention même si ce n'est plus une addition répétée. -De même, on définit l'addition avec des nombres entiers relatifs mais cela relève plus pour moi de la convention (et encore, voir plus bas). -Puis on constate qu'elle coïncide avec l 'addition de base dans les cas positifs (ça, c'est pas trop dur). -Puis on peut définir la multiplication des nombres entiers relatifs comme une addition ou l'opposée d'une addition répétée qui coïncide à nouveau avec la multiplication de base dans le cas positif (toujours tranquille). -Pour ce qui est de la multiplication avec des rationnels quelconques, alors c'est le retour de la convention (et encore...), car il est commode de ne pas trop s'attarder par exemple sur le sens de -5/3*(-8/7) (pas le temps! et sûrement superflu au vu des nombreuses imprécisions des programmes, et on pourrait s'interroger de l'intérêt de faire ce genre de calcul sinon de fabriquer des "automaths"...) Néanmoins, on pourrait en donner un sens en revenant à la droite graduée, et en parlant du symétrique du symétrique du point d'abscisse 5/3*8/7 par rapport à l'origine de la droite tout comme il est possible de donner du sens à l'addition de nombres relatifs en parlant de l'opposée ou de l'opposée de l'opposée d'une addition répétée. -Pour ce qui est de la multiplication de deux réels positifs, si l'on veut rendre l'opération intelligible, alors on peut parler de l'aire d'un rectangle qui coïncide à nouveau avec la multiplication des fractions (et des entiers donc) ce qui n'est encore moins rien ! Décidément, pauvres petits 6èmes, encore une fois, faisons comme si c'était évident... -Enfin, on peut définir la multiplication de deux réels quelconques en "mixant" la multiplication des relatifs et l'aire d'un rectangle. Bref, dans mon esprit, ce n'est pas qu'on ajoute, à juste titre, des « rustines » comme dans le cas de a*0, a*1, a^0 ou 0^a mais bien qu'on change d'approche, (de paradigme pour faire plus classe!) : addition répétée, opposée d'addition répétée, fraction d'une quantité, aire d'un rectangle, symétrie par rapport à l'origine d'une droite graduée ou encore opposée d'une addition répétée; pour constater que la nouvelle approche recouvre à chaque fois l'approche précédente. Pour parler de l'enseignement post-bac, tout le problème est que les notions abordées y sont totalement déconnectées de la "réalité" fusse-t-elle mathématique, c'est le règne du formalisme. Pour prendre un exemple simple, les fractions sont définies par leur mode opératoire et la notion même de partage de l'unité en est totalement absente. Aussi, je suis d'accord que dans le cadre de l'enseignement post-bac, la distinction entre définition et convention n'a effectivement plus grand sens. On pourrait en dire autant des puissances qui sont directement définies pour les exposants réels à partir des fonctions ln et exp ou encore de l'équation fonctionnelle f(a+b)=f(a)*f(b) si je me souviens bien (c'est bien vieux tout ça pour moi...). Mais dans votre vidéo, vous prenez comme définition une multiplication répétée, aussi dans ce cadre, il me semble que la distinction définition/convention reprend sens et l'on peut dire que a^0 = 1 est une convention. PS. Merci de m'avoir répondu et désolé d'être toujours aussi long dans mes interventions mais je ne peux pas me résoudre à faire autrement...
L'idée de passer par des schémas logiques et intuitifs comme diviser par 4, puis par 3, puis par 2, etc... C'est bien pour se donner une idée de la réponse. Mais en soi, c'est pas vraiment une démonstration. D'une part, pour le calcul des puissances, il suffit de passer par l'écriture exponentielle : pour a > 0, a^b = exp(b*ln(a)) ; alors si b = 0, a^b = 0. D'autre part, pour la factorielle : elle n'est pas définie en 0, n! = 1*2*3*...*n, si n > 0 ; après, il y a des gens qui ont dit "on va poser 0! = 1, parce que ça nous arrange", et après, on a découvert la fonction Gamma d'Euler, définie par x -> intégrale de 0 à + infini de (t^(x-1))*exp(t)*dt, et on a remarqué que Gamma(n+1) = n! (pour n>0 ; la fonction Gamma tient lieu de prolongement de la factorielle sur R+*), et le calcul de Gamma(1) donnait 0. Là, on a pu affirmer officiellement que 0! = 1 Je peux comprendre qu'évidemment, c'est pas à la portée de tout le monde, et que si tu montres ça en vidéo, au bout de 2 minutes, 90% des gens sont largués (ceci n'est pas un reproche, je ne crache pas sur l'ensemble de la population ; c'est pas un défaut de ne pas s'intéresser aux maths et de ne pas avoir ces connaissances ; mais j'en parle parce que la démonstration rigoureuse les utilise). Mais se contenter de faire la constatation, ça ne peut pas compter pour une démonstration. Enfin : je ne suis pas d'accord sur l'emploi que tu fais des mots "rien du tout". Tu dis que "le rien du tout du point de vue de la multiplication, c'est 1, et le rien du tout du point de vue de l'addition, c'est 0". Ça s'appelle un élément neutre (et même si,certes, on ne voit pas ça au lycée, je pense que le nom est assez explicite, alors il aurait pu être cité), et puisqu'il s'agit d'un nombre, ce n'est pas rien. Tu voulais montrer ce qu'il se passait quand on multipliait 0 nombres, mais dans tous les calculs que tu montrais, tu n'en multipliais jamais 0. Toujours au moins 1. Parce que de toute façon, la multiplication, comme l'addition, est un opérateur binaire, et que ça n'a pas de sens de multiplier ou d'additionner un nombre, ou 0 (ça en a seulement pour 2, de bases ; et comme ces opérations sont associatives, ça en a aussi pour 3, 4, etc...). Mais pas pour 0 ou 1. C'est le principe d'une loi de composition interne : à deux éléments d'un ensemble, j'en associe un troisième. Et si tu as 2 et que tu le divises par 2, tu ne multiplies pas 0 nombre. Tu en multiplies 1, parce que 2 = 1*2 ; ou 2, parce que 2 = 2*1*1. Etc... Bon, je me rends compte que j'ai l'air un peu condescendant, mais ce commentaire n'a pas pour but de se moquer des gens qui ne sont pas allé en maths spé, ni de toi. Je n'ai pas l'intention d'être désagréable. Et je trouve bien l'idée de passer par des méthodes intuitives comme la factorielle ou les puissances de 2 pour montrer à quel résultat on peut s'attendre. Mais c'est l'emploi du mot "rien du tout" qui me chiffonne, dans le sens où justement, il ne s'agit pas de rien...
Au contraire je trouve que l'emploi de "rien du tout" pour qualifier le 1 du point de vue de la multiplication est plutôt astucieux d'un point de vue didactique, compte tenu du public auquel s'adresse la vidéo, même si bien entendu, le terme exact est l'élément neutre. A mon avis c'est un choix délibéré et réfléchi de la part de l'auteur. Pourquoi ? Le bonhomme qui ne connaît pas grand chose aux maths et à qui on explique que 0!=2^0=1, il est perturbé car chacun signifie à première vue qu'on applique "zéro fois" la multiplication d'un nombre par lui-même/son suivant, or dans "zéro fois", y a le mot "zéro", qui plus est associé à l'idée de multiplication, soit tout ce qu'il faut pour que monsieur tout le monde ait très envie que ça fasse zéro, parce que zéro pour lui, c'est "rien du tout" (et a fortiori quand on lui parle de multiplication). Or le "rien du tout" ici, c'est bien l'élément neutre (un) et non zéro, qui est au contraire un grand chambouleur de la multiplication. En plus ça permet de faire une analogie du coup avec le "rien du tout" de l'addition, c'est tout bénef pour remettre les choses à leur place. Après, si quelqu'un prend goût aux maths grâce à ces vidéos, bien évidemment en cherchant par lui-même il comprendra les limites des expressions et autres analogies employées pour faire sentir certaines choses au profane, pour autant personne n'en voudra à l'auteur d'avoir mis à la portée de tous des notions qui paraissent bizarres quand on n'y prête pas assez d'attention. Dans l'art de d'expliquer à des profanes/petites classes des choses un poil profondes, il faut parfois savoir sacrifier un peu de rigueur pour toucher l'intuition. Je suis prof de maths et je trouve très intéressantes ces vidéos, ce sont de bonnes sources d'inspiration pour créer des activités mathématiques sympa pour amuser les élèves ou leur donner envie d'aller plus loin que ce qu'on leur offre via les programmes officiels.
Le 'rien du tout' est une chose à creuser. D'après sa définition, on ne peut être 'rien du tout' que de quelque chose. Le 'rien du tout' de l'addition {0} ou de la multiplication {1}. Mais le 'rien du tout' en soi, cela existe t il ? Existe t il un 'rien du tout' pour la soustraction ? Pour la division ?
J'aime bien comment tu explique des problèmes simples. Ça se sent vraiment passionné des math. J'aurais aimé avoir les mêmes prof j'aurais plus aimé les maths. Lced
Et 0^0 dans cette histoire, qu'est-ce qu'il devient? :P Ca a toujours été ma grande frustration des maths... Un coup on me dit que c'est pas défini et une autre jour on me dit "Ouais mais là on dit que ca vaut 1 parce que ca marche bien" .. Même ma calculatrice m'insulte quand je fais ce calcul :'( Moi aussi, je vais arriver et j'vais dire "1/0 ca fait 42" et tout le monde m'acclamera en héro :3 ! (Bon d'accord, je sais qu'il y a des démontrations qui prouvent que diviser par 0 est impossible :'( ... Mais dans le domaine que j'étudie, si je dis que ca fait 42 ca marche trop bien :3 ) Même en faisant 0^0=exp(0*ln(0)) ca marche pas à cause du ln(0) :'( Après quelques recherches, on me dit que c'est parce-que lim(en0+) exp(x (ln x)) = lim(en0+) x^x = 1 mais dans ce cas là moi je suis un casse ovaires et je dis (sin 0)/0 = 1 et c'est la fête parce que lim(en0) (sin x)/x = 1
c'est égal à 0, car tu n'as qu'à prendre la formule aˆb = exp(b*ln(a)) pour a=b=0. comme ln(0)=-inf, alors exp(0*ln(0)) = exp(0)*exp(ln(0)) = exp(0)*0 = 0
@@vinspenot5915 J'aime bien le "tu n'as qu'à" pour une formule avec des trucs dont je n'ai jamais entendu parler (exp, In). :D Mais j'ai envie de me mettre aux maths sérieusement (à 30 ans, je ne suis pas trop vieille pour m'intéresser aux maths. Na !) Tu aurais des livres pour débutants à conseiller ? (mais : vrais débutants, hein. J'ai bien fait quelques intégrales et dérivées quand j'étais à l'école, ainsi que de la trigonométrie, mais je ne me souviens de rien).
@@vinspenot5915 Désolé, je crains que ton raisonnement soit faux ce qui te conduit à un résultat erroné. En effet, 0^0 donne 1. Dans ton raisonnement tu utilises des propriétés qui n'existent pas : exp(a*b) n'est pas égal à exp(a)*exp(b) et la notation ln(0) n'existe pas à proprement parler donc écrire exp(ln(0)) est assez étrange. Voila un lien où tu pourras mieux comprendre le 0^0 :-) : fr.wikipedia.org/wiki/Zéro_puissance_zéro
@@madelainehalot1139 0/0 n'est pas impossible. A/B=C, ça veut dire que A = BxC. Par exemple, 12/4=3 donc 12=4x3. Mais 12/0, ça fait combien? Disons que ça fait N et on cherche N: 12/0 = X, donc 12=0xN, or 0xN=0 quel que soit N, donc diviser un nombre non nul par 0 c'est impossible. Maintenant, essayons de diviser 0: 0/0=N, donc 0=0xN. Combien vaut N? Ce qu'on veut! Donc 0/0 n'est pas "impossible", c'est "tous les nombres", c'est "indéterminé". En tout cas, diviser par 0 est problématique, vaut mieux éviter ;-)
Ah oui ! Nous on l'avait appris avec les puissances de 10 ! En tout cas bravo ! Tu expliques super bien dans toutes tes vidéos ! Je m'abonne tout de suite !
J'ai rajouté dans ma tête la musique d'inception (braaaaouumm) lors de la conclusion. Parce que quand même, c'est épique, ce genre de vérités mathématiques, en effet ^^ Merci pour cette belle vidéo !
06:25 "On rencontre parfois des livres ou des cours de maths dans lesquels il est dit que ces deux égalités (0!=1 et 2⁰=1) sont des conventions, ce que sous-entendrais que ce sont des choix, des choses qui sont convenus entre mathématiciens, mais en réalité ce n'est pas le cas du tout. Ces deux égalités sont des vrais vérités mathématiques au même titre que 1+1=2 ou 2×2=4." Je ne suis pas d'accord. Pour moi, les égalités 0!=1 et 2⁰=1 sont bien des conventions. Voici mes arguments : Les égalités 1+1=2 et 2×2=4 ne sont-elles pas elles mêmes des conventions ? Une convention c'est quoi ? Pour moi, c'est un principe, un accord voulu. Une sorte de contrat. Quelque chose qui a été décidé par l'Homme. On pourrait faire une expérience très simple. On demande à un enfant ou même un adulte, peu importe, si oui ou non il est d'accord avec l'égalité "1+1=2 ou 2×2=4". Naturellement, la personne va nous répondre "Oui bien sûr je suis d'accord". Et maintenant, si on demandait à cette même personne, POURQUOI ? POURQUOI 1+1=2 et 2×2=4 ?? Pourquoi ? Si on pose cette question, la personne risque de nous répondre tout simplement "Bah, c'est comme ça, c'est comme ça et pas autrement". Donc, on peut en déduire que les égalités 1+1=2 et 2×2=4 sont des postulats, c'est aussi des choses qui sont convenus entre mathématiciens, et par conséquent, ce sont aussi des conventions. Peut-être que certains d'entre vous ne seront pas d'accord avec moi, et à ce moment là, j'attend vos commentaires, je serais ravis que quelqu'un me prouve que je me trompe. Si non, très bonne vidéo, merci Micmaths.
Pierre L Je ne suis pas du tout d'accord. La seule convention qui est présente dans 1+1=2, c'est le sens qu'on donne aux différents symboles. Nous avons simplement convenu d'utiliser le symbole + pour l'addition mais l'addition est une opération élémentaire parfaitement logique et connue, consistant en la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature (cf Wiki). La convention liée au symbole est nécessaire, tout comme les lettres qui définissent des sons, définissant des mots, définissant des concepts, etc... Au vu de la réponse que tu proposes, quand tu demandes pourquoi 1+1=2, c'est comme si tu demandais pourquoi un "A" ressemble à un "A". La réponse est "parce qu'il faillait bien faire un choix" mais on aurait très bien pu choisir "B" ! La convention liée à l'écriture n'a aucun intérêt mathématique. Cela permet simplement d'aborder la notion de façon pratique sans faire de phrases à rallonge (entre autres). Ce que tu oublies, c'est que la notion décrite par le symbole n'a rien d'une convention, elle. Pourquoi 1+1=2 ? Parce que la réunion de 2 quantités égales à 1 vaut 2. Aucun rapport avec un quelconque postulat. Es-tu convaincu ?
UntunedPianist Je ne suis pas convaincu Pour moi, "1+1=2", c'est bien un postulat. C'est un raisonnement qui est admit, décidé, et qui ne peut pas être mit en doute. C'est quelque chose qui a été inventé selon moi, (tout comme le reste des mathématiques). "Quand tu demandes pourquoi 1+1=2, c'est comme si tu demandais pourquoi un "A" ressemble à un "A". La réponse est "parce qu'il faillait bien faire un choix" mais on aurait très bien pu choisir "B" !" --> Oui en effet, je suis d'accord avec toi sur ce point. Le symbole de la première lettre de l'alphabet de la langue française est " A ". Ceci ne peut pas être mit en doute. (Tout comme un postulat). En mathématique c'est la même chose. La langue française a été inventé par l'Homme, l'alphabet a été défini : A, B, C, D, etc. C'est comme ça, et pas autrement. C'est un choix. Et c'est le cas aussi pour toutes les égalités mathématiques. 1+1=2 ; 2+2=4 ; etc. "Pourquoi 1+1=2 ? Parce que la réunion de 2 quantités égales à 1 vaut 2". --> Et pourquoi cette réunion vaudrait-elle "2" ? La réponse est la suivante : C'est un choix, (tout comme pour la lettre "A"). (Ici, je ne parle pas du symbole "2", mais du résultat lui même qui est "deux"). La notion de l'addition a elle aussi été choisit.
punaise je comprend rien au maths j'ai toujours eu des profs qui m'ont dégoûté des maths à tel point que je déteste les maths mais il fallait que je tombe sur cette chaîne pour COMPRENDRE ! merci c'est génial
tout nombre à la puissance 0 vaux 0 .... SAUF 0 ! car 0^0 revient à une division par 0 je m'explique 0^0 = 0^1 x 0^-1 et qu'est ce que c'est 0^-1 sinon 1/0 ? donc 0^0 voudrai dire 0/0 ce qui est impossible.
Ah ah, ça c'est la question polémique ! D'un point de vue purement algébrique, 0^0 est aussi un produit de 0 nombres et donc égal à 1. Mais dans certains cas en analyse, il arrive que pour des raisons pratiques on choisisse de poser 0^0=0 par convention (pour avoir la continuité de la fonction f(x)=0^x). Ce dernier choix reste quand même contestable et la réponse la plus naturelle est 1.
dans certains cas seulement... A noter : l'US Air Force, quand les ordinateurs ont vu le jour, a demandé aux fabricants qu'une division par zéro ne donne pas de résultat mais une erreur, pour se prémunir contre d'éventuelles attaques informatiques. Texas Instruments, qui n'aimait pas trop qu'on leur force la main, a décidé en signe de protestation qu'une division par zéro n'afficherait pas d'erreur, mais éteindrait immédiatement la machine.
Je trouve ça sympa mais par contre une erreur a été commise quand est il dit que 2puiss2 c'est 2 multiplié 2 fois par lui même et que 2puiss1 c'est 2 non multiplié. La 1ère proposition est fausse car 2 puis2 c'est 2 multip 1 fois par lui même. Donc atention se bien vérifier une vidéo avant de l'envoyer. Un parapluie en quelque sorte.
Une convention est un choix arbitraire, qui ne change pas la théorie. Or je te mets au défi de trouver un nombre a non égal à 1 tel que 2⁰ = a. Il n y a qu'un a possible, il n y a pas de convention. Ce qui est dramatique, c'est que l'on trouve ce genre d’imbécillité dans les manuels scolaires.
Je n'aime pas la démonstration proposée dans la vidéo car elle n'est pas une démonstration. Ainsi rien n'est démontré de la part de l'auteur. Il y a des tonnes de manière de démontrer que 2^0 = 1 et c'est dommage de ne pas l'avoir fait. Soit a et b dans R 2^a x 2^b = 2^(a+b) ainsi si b=0 on a 2^a x 2^b = 2^(a+0) = 2^a et cela pour tout a € R Ainsi on peut supposer que 2^0 est différent de 1 et aboutir à une absurdité assez évidente. Par l'absurde 2^0 vaut bien 1. Et on pour généraliser la chose à n'importe quelle chiffe puissance zéro SAUF le zéro justement. Et justement ce qui aurait été intéressant, plutôt que de faire une vidéo sans démonstration..........ça aurait été de parler JUSTEMENT du cas "zéro à la puissance zéro" qui lui aussi vaut 1 mais là ça devient réellement subtile alors qu'il n'y a rien de subtile dans 2^0 = 1.
Ilestun On peut se demander ce qui est le plus intéressant entre - faire une démonstration technique, qui plus est par l'absurde et sans introduire au préalable la construction des ensembles de nombres utilisés ni la définition de la loi de composition interne, démonstration qui ne donne pas beaucoup d'indication sur le sens profond de ce qui se passe quand on élève à la puissance zéro. - ou plutôt s'abstenir d'étaler des manipulations techniques pour se contenter de faire passer un message bien plus riche de sens à savoir : 1 est l'élément neutre de la multiplication et zéro celui de l'addition. Et que tout le monde peut comprendre.
Bien pratique dans le calcul des masques sous réseau d'une IPv4 ! En calcul binaire 2^0= 1 seule possibilité, j'avais toujours trouvé ça étrange (ce qui m'a planté pas mal au début mon apprentissage des plages d'adresses), mais maintenant je suis passé d'une "convention de calcul" de mes masques à une raison logique ! Merci ! ;)
DARKSAM68190 Tu n'as pas vu la raison logique en convertissant du binaire en décimal ? Pour un nombre à 4 bits, les bits valent respectivement 2^3, 2^2, 2^1 et 2^0 (pas simplement un 1 qui tombe du ciel ^^)
+Veton Gashi Mmmm... Tout d'abord une égalité mathématique peut avoir plusieurs preuves différentes. Ce n'est pas parce que tu as une autre preuve que la mienne est mauvaise ;) Ensuite, je trouve que tu prends les choses à l'envers : comment démontres-tu que a^b/a^(-b) = a^0 ? ;) Cette égalité n'est pas sortie du chapeau, il faut bien comprendre pourquoi elle est vraie avant de l'utiliser. Or ce sont les propriétés des puissances qui permettent comprendre pourquoi cette formule et vraie. Autrement dit, il faut d'abord avoir accepté l'égalité a^0=1 pour pouvoir démontrer et utiliser cette formule.
Tout d'abord c'est un réel plaisir de vous parler, j'avoue avoir pris les choses d'une mauvaise manière .Mais quand vous écrivez a^b/a^(-b)= a^2b et non à a^0,mais cette propriété est logique ,je comprends pas pourquoi vous en aviez pas parler lors de la vidéo ? cordialement .
+Adrien C'est normal que ça donne erreur puisque dans la démonstration avec les puissances tu dois diviser par la base et quand celle-ci vaut 0, ça n'est pas possible... On ne peut pas diviser par 0. Donc 0^0 est donc une indétermination..... me semble-t'il.... c'est la seule imperfection dans cette vidéo... Micmaths dit: n'importe quel nombre exposant 0 vaut 1 il aurait dû ajouter sauf pour le zéro... Mais c'est pardonnable tellement ses vidéos sont franchement bien faites
+Mickaël Launay (Micmaths) Trop de notions sont enseignées sans être expliquées. Ta présentation est, jusqu'alors, la meilleure que j'ai trouvée pour aborder le sujet d'un point de vue intégratif. Je fais l'école à la maison et mes enfants explorent ces vérités, avant de les appliquer bêtement. Merci pour cet outil. Pour appréhender ce sujet, soustraire deux exposants est plus qu'abstrait et il est préférable de commencer par la base. Merci
Super merci pour cette vidéo! En la regardant j'ai l'impression de mieux comprendre pourquoi on dit qu'il y a eu un big bang, Dans l'astronomie les spécialistes disent que tout s'éloigne s'éloigne alors que la gravité devrait faire tous se rassembler dans l'espace mets les galaxies s'éloignent . En regardant le déplacement des Galaxy et en calculant leur chemin inverse on devrait arriver à zéro mais comme dans ta démonstration avec "4!" on doit forcément arriver à 1 et non pas à zéro :)
Ta chaîne est super bien ! J'avais appris que 1 puissance 0 = 1 par convention. Sous-entendu, bon c'est comme ça, on ferme sa bouche. Eh bien grâce à toi, j'ai compris pourquoi c'était vrai. Merci
Du point de vu de la multiplication, "1 " ne représente rien du tout que si on possède déjà quelque chose à multiplier. Sinon, le rien véritable en multiplication comme en addition est le zéro. Car, si tu as par exemple rien comme chiffre à multiplier par 100000000... Tu obtient le véritable rien qui est zéro. De plus 0! Semble bien être forcé, contrairement aux autres nombres qui figurent dans les multiplications de ces "factoriels". J' ai plutôt l'impression qu'il ne doit pas exister là si ce n'est par "convention" ! Merci pour tes vidéo, je les apprécie.
ce qui prouve que ceux qui font les bouquins (scolaires), ne sont pas mathématiciens ! ils veulent qu'on apprenne par cœur, mais surtout sans comprendre ! heureusement qu'il y a des gens (et quelques profs) comme toi ! merci
Théoriquement le bouquin scolaire (au moins jusqu'au lycée) n'est qu'un outil et c'est le prof qui fait la pédagogie et fait comprendre les choses. Enfin, théoriquement... Mais j'avoue que c'est pas une raison pour écrire "convention" pour quelque chose de logique et explicable... perso je me souviens plus de ce qui était écrit dans le bouquin, en fait je l'utilisais quasiment jamais à part pour les exos. J'ai eu la chance d'avoir globalement des profs de maths qui faisaient correctement leur boulot (même si j'aurais aimé avoir quelques explications en plus que je trouve ici 😊)
De même, quand on simplifie un réel : x/(x+x^3), si je simplifie par x j'obtient en numérateur un 1, non un zéro, comment en dénominateur j'ai 1+x^2. Très bonne vidéo, c'est un plaisir de voir des chaînes comme la tienne !
Elle est vraiment bien votre chaîne, bon je comprends pas tout, j'ai pas fait de parcours scientifique, et j'ai jamais été franchement bonne en maths, mais c'est tellement bien expliqué que j'arrive à comprendre quand même :)
Depuis la quatrième, ce qui remonte quand même beaucoup pour moi, je me demande ce que c'est que cette histoire de conventions, ça me paraissait étrange aussi, de baser autant de calculs sur des "conventions" . Merci pour cet éclairement !
Ah super, bon je vois que les commentaires sont mitigés mais pour ma part je suis très heureux d'avoir enfin un élément de réponse autre que "c'est arrangeant pour les calculs de proba d'avoir 0! = 1" Y'a une logique sous jacente, je n'en demandais pas mieux :-) Merci
excellent, le prof nous avait expliqué ça vite fait au collège, jme rappel que ça m'avait laissé perplexe, il avait pas très bien expliqué. La j'ai tout compris, t'es super pédagogue, ça me donne envie de voir tes autres vidéos.
@@cds8018 sage je ne sais pas... c'etait un prof standard comme les ecoles en sont remplies qui étaient loin d'avoir le genie pedagogique de michael. J'espere que les gamins d'aujourd'hui font usage de ces ressources precieuses sur TH-cam
vulkanosaure « le génie pédagogique ».... le moins qu’on puisse dire c’est que vous êtes dans l’excès. Et puis comment pouvez-vous dire que votre prof était un prof « standard »... »comme les autres » ! Cela n’existe pas... et si votre « prof » de l’époque ne vous a pas fait ce qu’il y a de montré dans la vidéo... c’est peut-être qu’il était respectueux finalement d’un contrat didactique implicite...
vulkanosaure et pour terminer... j’espère que va arriver le temps assez rapidement où les « gamins » feront moins usage de ces vidéos souvent très approximatives et jouant sur l’effet « actuel » et nouveauté... si les Mooc étaient pertinents, depuis que cela existe, cela se saurait ! Rien ne remplace un bon prof bien formé et une salle de classe cohérente dans un système qui fonctionne : mais effectivement c’est plus compliqué ... « Michael » ne risque pas grand chose ... ni la foudre d’élèves qui parce qu’ils ne comprennent pas vont lui rejeter la faute, ni celles de parents consommateurs et partiaux de plus en plus démissionnaires, ni celle d’une administration apeurée gérant en permanence le « pas de vagues » 😂
@@cds8018 le système scolaire en france échoue complètement dans sa mission de transmettre le gout pour les maths, je suis actuellement passionné de math, mais cela ne m'est venu que par la suite, je suis devenu programmeur et j'ai pu expérimenter et me rendre compte des implications. Les maths sont probablement la discipline la plus détestée statistiquement et je ne pense pas que ça soit uniquement la faute de la discipline en elle même.
j avais expliqué un calcul proche du tien à un instituteur concernant la multiplication et la division ( il ne peut avoir 0) il m'a retorqué que je n'ai pas compris le sens du calcul, merci de donner cette explication ah ouais un grand MERCI même j'ai été la risé sans avoir été raillé mais je suis passé pour incompris.
Lorsque jeune étudiant je donnais des cours de soutien en mathématiques à des élèves de collège ou de lycée, je commençais toujours avec le même exercice : un produit de fractions à réduire qui semblait bien costaud mais qui au final faisait un. Quasiment tous les élèves étaient capables de faire la décomposition en produits de nombres premiers du numérateur et du dénominateur - ce qui n'est pourtant pas trivial - ensuite ils barraient comme ils avaient appris en haut en bas, et une fois sur deux, c'était le drame, quand il ne restait plus rien, ils me mettaient un beau =0. Il faut être particulièrement réfractaire ou avoir de sérieux soucis pour ne pas comprendre l'addition, mais la non compréhension de la multiplication dans ses plus intimes rouages est une maladie très répandue et qui fragilise tout l'édifice de la compréhension mathématique.
Une fois rien, c'est rien ; deux fois rien, ce n'est pas beaucoup, mais pour trois fois rien, on peut déjà s’acheter quelque chose, et pour pas cher.” - Raymond Devos
Merci
Jérôme Nirvalo. Raymond Devos a arrêté au CEP. Un grand nombre de polytechniciens complètement oubliés dorment dans des cimetières. N'est pas immortel qui veut . . .
... magnifique ! merci pour le partage.
Et oui on en bien en train de parler de rien fessiers dames😂👌🏻
Ahah jolie citation, et fort bien placée!
Intéressant, on m'avait toujours dit que c'était des conventions, c'est effectivement logique une fois expliqué comme ça, bien joué ! :)
Comme d’habitude avec ces vidéos... ce sont des conventions au niveau auquel on présente addition et multiplication...
Ce sont des conventions, mais on a choisi ces conventions pour une bonne raison (ie pour que les calculs continuent à bien marcher)
Énorme merci, tu as su m'expliquer ce qu'aucun prof à su m'expliquer.
Ils m'ont tous parlé de convention.
Il s'agit en fait bien d'une convention ... Mais cette convention est basée sur les observations explicitées dans cette vidéo. En effet, il ne s'agit pas réellement du résultat d'un calcul que les théories existantes peuvent mettre à jour, il s'agit simplement d'une interprétation logique a une question abstraite.
Comme indiqué par Mathieu Montin, on peut présenter ce résultat comme une convention (j'entends par là que le résultat du calcul n'est pas a priori bien défini, que la définition d'un produit de nombres n'est usuellement donnée que pour, disons, au moins deux nombres), mais ça ne se résume pas à une convention arbitraire : c'est la seule convention qui permette de continuer de rendre valable les règles de calcul usuelles (par là, j'entends une certaine liste précise de propriétés que je n'ai pas envie de reporter ici). Cela peut être démontré. En l'occurrence, Mickaël Launay propose de découvrir cette valeur en utilisant les règles de calcul usuelles hors de leur cadre usuel, ce qui propose une initiation à l'approche que je viens de mentionner.
Il faut toutefois noter qu'il est possible de considérer le produit d'aucun nombre comme un nombre bien défini, sans référence à une convention. En effet, on peut définir le produit de k nombres n(1), ..., n(k) comme le nombre de fonctions f qu'il y a de l'ensemble des entiers compris entre 1 et k au sens large vers les entiers naturels telles que pour tout i dans le domaine de définition de f, f(i) soit compris entre 1 et n(i) au sens large. Cette définition s'applique telle quelle pour k = 0 ou 1. (L'étude des fonctions partant de l'ensemble vide se fait sans problème à partir de la définition mathématique de fonction, sans appel à des "conventions".) Ce sont deux approches complémentaires.
Prunelle Pourceau désolé j'ai rien compris.
J'ai un niveau 4 ème en math.
Mais merci de t'être donné ce mal pour tenter de m'expliquer.
il est prof de math...
@Mathieu Montin: je ne pense pas non: une convention est une décision arbitraire, un choix extrinsèque à la notion de logique. Il n'y a pas de logique à convenir que + désigne une addition et - désigne une soustraction. C'est une convention. Ici le fait que 2^0 vaille 1 n'est pas le fruit d'une décision qui aurait pu être tout autre, c'est une nécessité imposée par la logique du calcul.
Et à quoi est égal la moitié d'un tout ?
C'est égal à trois mètres parce que le tout est de s'y mettre !
Pas mal, pas mal xD
devianunja pas compris...
Oublie un peu les maths et essaie de comprendre les jeux de mots ! L'expression connue "le tout est de s'y mettre" peut s'écrire en respectant seulement la phonétique : " le tout est de 6 mètres". Dans ce cas, revenons aux mathématiques : la moitié de 6 mètres, c'est 3 mètres. Donc la moitié d'un tout est bien 3 mètres, non ? Et mieux encore : A quoi est égal le double d'un tout ?... Le double d'un tout est un chien car c'est un "toutou" ! Pour comprendre, il te faudra passer dans la classe supérieure !
devianunja haha merci pour ce long message mais tu m'as fait tilté dès la première phrase! Merci
devianunja, un toutou c'est plutôt un tout au carré non ? Comme pi^2 = pipi... Ne me remerciez pas, j'ai la médaille fields.
Pour ceux que sa intéresse, on appelle le 0 pour l'addition et le 1 pour la multiplication: des éléments neutres pour leurs ensembles respectifs. C'est à dire qu'ils ne modifient pas les éléments avec lesquels ils sont composés.
Salut, Mickaël. Ta vidéo est super cool; j'ai vraiment beaucoup aimé. Merci de préciser que 0!=1 et 2°=1 ne sont pas des conventions comme on le voit écrit dans plusieurs manuels, mais surtout de profondes vérités mathématiques, nécessaires pour la cohérence de nombreuses structures algébriques.
Merci également pour tes vidéos en général; ta façon de présenter ces curiosités peut vraiment amener beaucoup de gens à s'intéresser aux mathématiques, l'une des plus belles sciences au monde.
O est l'élément neutre dans le groupe addition et 1 l'élément neutre dans le groupe multiplication.
Le terme rien est donc la vulgarisation de l'élément neutre c'est ça ?
Cedd Ninou C’est plutôt « ne fait rien » qui est la vulgarisation de « multiplie par l’élément neutre de la multiplication ».
Moi j'ai un chat, 🐈. Et bien c'est l'élément neutre de la boîte de shrodingen..machintruc. il ne fait absolument rien et ce en constante progression, ça note c'est 10.
Exactement
Passionnant, merci, je saurai expliquer ces dites "conventions" à mes élèves! bravo!
Combien obtient-on si on multiplie rien du tout ?
Réponse en vidéo :
th-cam.com/video/WC-FaGALgtA/w-d-xo.html
Bonjours, très bonne vidéo et très bien expliquer.
Et grâce à toi j'ai même appris les factorielles en avance. (car je ne suis qu'en 4ème)
Mickaël Launay aurait ce un rapport avec le binaire ?
Mickaël Launay donc si on suit ton raisonnement :
2 * 0 =/= 2^0 ?
Mickaël Launay bonsoirs , c prob que tu va me trouver Bete , mais dans les maths tu calcul des chose , carotte , personne , masse ........................ donc un truc , donc le rien est deja un truc donc un 1 , le rien c quoi , au moment ou tu le dit cela devien le 1, ou le zero
breff tu pense que zero c rien ou juste un nombre important comme autre??????
c comme le moment ou tu dit '' c le present'' il est deja passer!!!!!! enfin je croit ^^
si je me tromp dit^^
ak5000 ak5000 ha et le zero c cool , c un cercle donc en plus tu peut faire de la geom avec et sa c bien cool , je suis du batiment et je peut faire plien de chose avec un cercle et calculer ce que je veut avec ce O qui est 1^^
Je pensais à un truc, vers la minute 5:50.
Dans l'addition, le chiffre qui ne change rien, le "rien du tout" c'est 0 étant donné que 2+3+4 vaut la même chose que 0+2+3+4.
Dans la multiplication, le chiffre qui ne change rien, le "rien du tout" c'est 1 étant donné 2X3X4 vaut la même chose que 1X2X3X4.
Maintenant, si dans la multiplication, on utilise le "rien du tout" de l'addition, que se passe-t-il pour la suite 2X3X4 --> 0X2X3X4 = 0. On annule tout, on remet le compteur à zéro, quelque soit la suite de nombres qu'on avait au départ.
Et bien je trouve qu'il faudrait ajouter un élément qui remette les compteurs à zéro aussi pour l'addition, un élément "Destructeur", que je vais appeler D, ainsi 2+3+4+D=0, mais aussi 2+3+4+5+6+7+D=0. De manière imagée, on a additionné des petits cubes, on les a empilés, et dès que cet élément Destructeur est rajouté, il réduit à néant tout l'empilement... le rustre.
Et puis, on pourrait jouer avec cet élément: vu que quand on divise par zéro, ça donne l'infini ; si on soustrait le Destructeur, ça donnerait l'infini aussi.
Ca me semble COHERENT. Peut-être cette découverte a des implications INCROYABLES !! Si on me cherche pour la médaille Fields, je nettoie ma baignoire. En vous remerciant.
Léonard Masolain Ce que tu dit est vraiment intéressant :3
*2 + 3 + 4 + D = 0*. Ok.
Alors, ça voudrais dire que *D* est l'inverse de l'opération. Donc, ici, *D* serait égal à l'inverse de ce qui précède *D*. Donc :
*2 + 3 + 4 + D = 0*
*2 + 3 + 4 + (2 + 3 + 4) x (-1) = 0*
On peux en déduire comme théorie :
Si *A* est égal à une suite d'addition et / ou de soustraction, et *D* l'inverse de *A*, alors *A + D = 0*
Après, je casse peut-être un peu ma théorie (^.^'), mais qu'adviendrait-il si on avait ce genre d'opération :
*5 - 3 + D - 9 = ?*
Et je viens de relever un autre problème. La, je n'en fait qu'une hypothèse en utilisant ma théorie :
*1 + 2 + 3 - D =*
*1 + 2 + 3 - (1 + 2 + 3) x (-1) =*
*1 + 2 + 3 - ((-1) + (-2) + (-3)) =*
*1 + 2 + 3 - (-1 - 2 - 3) =*
*1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 =*
*2 + 4 + 6 = 12*
Donc :
*1 + 2 + 3 - D = (1 + 2 + 3) x 2*
***** Salut, merci d'être indulgent. Je voyais D comme "quelque chose qui lorsqu'il est additionné fait que la réponse de l'équation est zéro". Donc la réponse de ton équation: 5 - 3 + D - 9 = - 7 + D = je dirais 0, vu que quelque soit le nombre auquel tu additionnes D, ça donnera 0. Je fais ça par analogie à la multiplication : quelque soit X, X multiplié par zéro donnera toujours zéro.
Quant à ton 2ème problème: 1+2+3-D, tu en arrives à la conclusion que faire -D revient à doubler (1+2+3). De mon côté, j'aurais tendance à dire que 1+2+3-D= l'infini.
En fait, je ne suis pas d'accord avec ta définition du D, qui est de dire "Alors, ça voudrais dire que D est l'inverse de l'opération. Donc, ici, D serait égal à l'inverse de ce qui précède D."
Je reviens à l'analogie avec le zéro dans la multiplication: c'est comme si tu me donnais comme définition de la multiplication par zéro: multiplier une suite A par zéro revient à diviser cette suite A par elle-même puis à soustraire 1 du résultat obtenu. Exemple: 2 X 3 X 4 est une suite A ; 2 X 3 X 4 X 0 = ( (2 X 3 X 4) ÷ (2 X 3 X 4) ) - 1 = 0. OK, cette définition de multiplier par zéro serait correcte pour toutes les suites A je pense.
Mais maintenant si tu divises par zéro, selon cette définition: (2 X 3 X 4) ÷ 0 = (( 2 X 3 X 4) ÷ (1/ 2 X 3 X 4)) - 1 = ( (2 X 3 X 4) X (2 X 3 X 4) ) - 1. Alors que c'est faut, on sait bien que quelque chose divisé par zéro, donne l'infini (enfin, si je me rappelle bien de mes cours de secondaires ! ) Donc par analogie avec la multiplication, je ne suis pas d'accord avec ta définition de D. Soustraire D donnerai l'infini. Faire l'inverse du Destructeur fait que tu aurais une construction infinie.
Maintenant, que fait 2 X D ou 0 X D, j'en sais foutre rien.
Léonard Masolain Mais après tout, il faut bien trouver quelque chose pour que ça se vérifie. On ne va pas dire *x - D = Infini* et point barre, ça serait complètement dénué de sens. Après, si ma théorie peux aider à trouver la solution... on ne sais jamais ^.^ :p :3
+GuitarHero59310 Je pense que ta théorie du D est intéressante. Mais il existe deux "failles" :
1. D est une variable, et non une constante, du coup, c'est plutôt une formule que tu as inventée, qu'une réelle constante.
2. Les éléments d'une addition ne sont pas absorbants (j'ignore si le terme est bien choisi) donc ils ne s'influencent pas entre eux comme la multiplication, ce qui pose un problème pour obtenir une addition nulle en règle générale.
Du coup, il faudrait plutôt partir du principe que 1 + 2 + 3 = (1x1) + (1x2) + (1x3) et je pense qu'on aura beaucoup plus de matériel pour avancer :D
Sincèrement, LB.
Leon Blank C'est une théorie que j'ai lancé, et je ne suis pas expert en mathématique. Donc normal qu'elle contienne des erreurs ^.^ :3
Encore une fois toute ma gratitude pour m'avoir montré de manière si simple une chose qui n'aurait pas du être obscure et aussi ce que sont vraiment les mathématiques en quelques instants, je crois que je devrais faire un monument en ton honneur si c'était possible. Merci, merci, merci!
Je trouve toutes ces vidéos absolument fascinantes, merci, merci, c,est un véritable régal!!
Trop fort, ce Mickaël....
:-)
From Brussels with Love....
6:51 " il faut un peu de creuser la tête pour comprendre ces galettes " 😂😂
Mais vidéo géniale vraiment je m'en lasse pas !
J'ai toujours détesté les maths parceque j'ai jamais rien compris. Mais j'adore regarder tes vidéos tes encore plus clair et intéressant que tous les profs de france réunis.
Grace a toi je commence a apprécier les calculs !
Tes vidéos sont très intéressantes, d'autant qu'il y a peu de chaines scientifiques/mathématiques françaises.
Bravo, continu :).
Merci pour ces explications. Dommage que je n'avais pas ça quand j'allais à l'école, je serais mathématicien maintenant !
Grâce à toi, je sais à quoi sert le ! sur ma calculette. Merci.
X)
Cette émission est absolument géniale, merci beaucoup. C'est comme ça qu'on devrait enseigner les mathématiques au collège et au lycée !
Après quelques vidéos regardées, je commence vraiment à aimer les maths ! Incroyable. Comme quoi quand c'est bien expliqué et avec le talent...
Mon prof de maths de l'an dernier disait :
- Diviser par un nombre très proche de 0 c'est comme si vous multiplier par un nombre gigantesque donc est ce que 0 est un clef vers l'infini ?
A vrai dire, si on divise par 0, ça nous donne tous les nombres qui existe dans les mathématique.
Une INFINITÉ de nombre ;)
Super vidéo mais je pense que pour expliquer tu aurais dû utiliser les puissances de 10 pour que ce soit plus simple :
10^3=1 000 (3 zéro après le 1)
10^2=100 (2 zéro après le 1)
10^1=10 (1 zéro après le 1)
10^0=1 (0 zéro après le 1)
encore plus simple avec les puissances de 1
Je choisis cette vidéo pour écrire mon admiration mais il y en a tant d'autres qui sont géniales ! Merci surtout pour la mise au point à propos des "conventions" à la fin de ta vidéo.
Super ! Je connais depuis longtemps les résultats montrés, mais c'est la 1ère fois que j'en comprends le sens.
Pour un peu plus de vocabulaire, on appelle 0 pour l'addition et 1 pour la multiplication des éléments neutres. Car ajouté 0 ou multiplié par 1 ne fait RIEN au calcul, cela ne change RIEN
2^0=2^(1-1)=(2^1)x(2^-1)=(2^1)/(2^1)=1 c'est évident quand on utilise les propriétés des puissances.
J’ai pensé au mm raisonnement
Enfin, je sais ! Je dormirai moins bête ce soir. Merci beaucoup pour ces explications claires et précises !!
Chapeau!!!!vraiment raisonnable et démontrablefélicitations 😤
En fait il ne peuvent valoire que un mais ne valent pas que un... en fait on appele ça un convention car:
n^2/n^2 = n^(2-2) = n^O
Mais n^2/n^2 = 1 (division d'un nombre par lui meme.) Donc: n^0 = n/n = 1
dommage de pas avoir parler du cas 0^0 ^^
Je me posais la même réflexion.
Waouh, merci pour cette vidéo. ça m'a permis de comprendre d'où venait le 1 de 2 à la puissance 0. Et un abo de plus
merci beaucoup, tous les jours tu m'apprends des choses
Vidéo rigolote, mais je suis assez circonspect par la conclusion: il me semble que noter que x^0 = 1 reste malgré tout une convention, non pas parce qu'il est possible d'y affecter d'autres valeurs, mais tout simplement parce que il n'est absolument pas dit que la notion même de produit vide ait un sens. La convention n'est donc pas le résultat lui-même, mais de dire "cela a un sens, et le résultat vaut". La question ne porte pas sur la valeur du produit, mais sur sa définition elle-même.
Afin de démontrer véritablement que ceci est un résultat et non un axiome, il faudrait revenir à la définition de la multiplication. Je n'en connais personnellement que 2: l'addition itérée, et le calcul d'aire.
L'addition itérée consiste à dire que "n x k c'est additionner k à lui-même, n fois", en quel cas le résultat de 1 n'est absolument pas évident, vu qu'on relie finalement la notion de multiplication vide à celle d'addition vide...
D'ailleurs, qu'obtient-on lorsque l'on multiplie deux additions vide ? Ma structure d'anneau m'assure que je peux distribuer le vide sur le vide, j'ai donc que la somme de mon produit vide est égale au produit des mes sommes vides, et donc que 0 = 1 ?
Et si on se réfère à la définition par les aires (nous venant, il me semble, des grecs, qui voyait a*b comme étant l'aire d'un rectangle de côtés de longueur a et b), il parait d'autant plus étrange que l'aire de ce rectangle n'existant pas vaille 1.
Cette convention/axiome est tout à fait respectable, et tout à fait pertinent dans bien des cas, y compris dans le cas de la factorielle (qui, selon sa définition, peut effectivement être proprement définie comme valant 1 en 0), mais je pense qu'à vouloir en faire une "démonstration" on risque de se heurter à bien trop de cas pathologique pour un résultat qui, au final, est très à l'aise dans son statut d'axiome.
Une petite explication sur le x^0 = 1 Je vais prendre a^0 plutot pour pas confondre avec le x que j'utiliserai pr signe multiplier
a^0 = a^(p - p) où p est un nombre entier positif
a^(p - p) = [a^p] x [a^(-p)]
or a^(-p) = 1 / (a^p)
donc a^p x a^(-p) = (a^p) x (1/ (a^p)) = (a^p) / (a^p) = 1
Voilà :)
Oui tu as raison, il faut revenir à la définition, celle de l'addition itérée, Donc définir l'addition. Qui est définie par "je prends un ensemble à p éléments, un autre ensemble à k éléments disjoints et je regarde combien d'éléments a la réunion de ces deux ensembles". De là tu définis la multiplication de là tu définis la puissance. Bon bref avec un peu de travail technique on se rend compte que n ^m, c'est le nombre d'applications d'un ensemble à m éléments vers un ensemble à n éléments.
Prends m=0 tu as les applications définies sur l'ensemble vide et tu peux vérifier (en utilisant la définition d'une application) qu'il y en a exactement une (qui a pour image le vide) et ce pour n'importe quel n. Ce n'est ni une convention ni un axiome, c'est un théorème, qui découle des axiomes de Zermelo (axiomes de la théorie des ensembles) (puisque la notion d' application est construite avec la théorie des ensembles). Et plus précisément des axiomes qui sont :
- Il existe un ensemble
- il existe la notion d'appartenance à un ensemble et elle régit l'égalité entre ensembles (extensionnalité)
- Pour tout prédicat portant sur les éléments d'un ensemble A il existe un ensemble B contenant les éléments, parmi ceux de A qui vérifient ce prédicat (sélection)
- Si A et B sont deux ensembles il existe un ensemble qui contient les éléments qui sont ou dans A ou dans B.
- Si A est un ensemble l'ensemble des partties de A existe.
Donc en gros à partir de ses 5 axiomes tu construis la notion d'application et tu montres que la puissance correspond au nombre d'applications d'un ensemble à m éléments dans un ensemble à n éléments et tu en déduis que pour tout n (y compris zéro) n^0 = 1. Donc c'est vraiment un théorème quoi on est très très loin du postulat, de la convention, de l'axiome... etc.
Tous les objets mathématiques reposent sur les axiomes de la théorie des ensembles en gros (ZFC), donc tu es tranquille hein, tu risques pas de tomber sur une "convention", comme le dit Mickael le mot "convention" c'est une sorte de drapeau blanc brandit par les profs qui ont la flemme (ou qui ont pas compris le truc). D'autres exemples : R l'ensemble des réels n'est pas une "convention" c'est une construction (assez élaborée certes) en se servant juste de ZFC ; Une variété différentielle C infini de dimension 4 et de métrique blablabla ( le monde dans lequel on vit selon la relativité générale) c'est une construction mathématique qui repose au fond uniquement sur ZFC etc. etc.
Victor LM Je ne suis pas mathématicien donc désolé mais tu viens de parler chinois pour moi ^^ Mais tu écris n^0 = 0 C'est une erreur de frappe ?
Clément Polge Je pense qu'il ne faut pas vouloir donner un sens à tout prix.
Tu prends l'exemple de la définition première des grecs avec le rectangle. Mais c'est pour calculer l'aire d'un rectangle qu'ils utilisaient la multiplication. Aucun intérêt pour eux d’imaginer un rectangle avec un coté de 0
Je suis physicien, je résous donc des problèmes ancrés dans la réalité. Pourtant pour résoudre certaines équations différentielles j'utilise les nombres imaginaires Imaginaires ! Un comble pour des problèmes liés au réel non? Pourtant forcé de constater que ca marche à merveille Les mathématiques, pour moi, ne sont qu'un outil. Cet outil nous dit que x^0 = 1 ? Très bien alors c'est comme ca même si ca semble contre-intuitif
RedFox1 Lol oui ^^ je corrige. Désolé si ça paraît compliqué, mais mine de rien tu m'as corrigé donc tu as pris la peine de lire. Ce qu'il faut retenir c'est que c'est tout sauf un axiome. On se donne des axiomes qui n'ont a priori rien à voir (style "il existe un ensemble", "l'union de deux ensembles existe" etc.) et on construit toutes les maths, il n'y a aucune convention en maths, juste les axiomes ZFC. Les gens qui disent que 0^0 = 1 est une convention ils ont tort ou ils ont la flemme d'expliquer pourquoi
2^3=1*2*2*2=8
2^2=1*2*2=4
2^1=1*2=2
2^0=1=1
Ca me parait logique comme ca :)
Du coup, 0^0=1 ou 0 ?
Encore super video! :) je suis tombée par hasard sur ta chaine et c'est vraiment très instructif. C'est cool une chaine comme ça! Tes explications sont plutot claires même s'il faut de toute façon se creuser la tête ! (Se serait trop facile sinon!) je suis en 3eme et on avait travaillé les puissances en début d'année et je suis contente de savoir enfin POURQUOI un nombre puissance 0 est égal à 1!
Ta vidéo sur la somme de tous les entiers positifs était pour moi beaucoup plus subtile et c'était assez brumeux (mais je n'ai peut être pas encore toutes les clees pour comprendre la démonstration !)
Qu'est ce qui t'a donné envie de faire ces video alors que les maths ne sont pas souvent ce qui passionne le plus de monde?
En tout cas continué de faire des vidéos comme ça c'est super! :D
c'est super logique mais je n'y avait jamais pensé. j'adore tes vidéo!!
D'accord c'est super l'expérience nous permet de conjecturer ceci, mais maintenant la démonstration elle est où chef ?
+Bor Alex Il n'y en a pas. C'est ça la problème. C'est ce qui détruit ce qu'il dit. Le "2^0=1" parce que, dans nos formules, ça nous arrange. Mais en soi, à partir de la définition de l'addition et de la multiplication, on est incapable de le démontrer.
+Ainex 2^0=2^(1-1)=2^1/2^1=1
mo salhi
Tu utilises des propriétés qui sont issus de la convention. Notamment la puissance négative vu comme une division inverse de sa puissance.
@@AinexLeNoir Ce n'est pas une convention, ça découle de la définition de la puissance. Ecris A^n/A^m, en simplifiant m fois par A, il reste A^(n-m) (les "n" A du haut de la fraction moins les "n" A du dénominateur qu'on a simplifiés), et si n
J'apprécie tes vidéos mais ne vulgarise pas trop. J'aurais bien aimé quand même entendre ici le terme d'élément "neutre" d'une opération, plutôt que ce terme, assez moche, de "rien du tout". 0 est le neutre de l'addition, et 1 le neutre de la multiplication.
fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre
je suis d'accord, tes vidéos sont très bien mais il serait bien d'approfondir un tout petit peu pour que les gens aient un aperçu des maths du supérieur :p
le terme "élément neutre" s'utilise depuis le primaire. J'imagine que s'il ne l'a pas utilisé, c'est pour mieux faire passer la notion d' opération avec aucun nombre.
lennoyl
Non, jamais entendu ce terme quand j'étais à l'école primaire.
Il fait ses vidéos comme il veut. C'est son choix.. sa création.
Je suis tout à fait d'accord avec l'élément neutre. Car, pour moi, "rien du tout" égale ou plutôt correspond à "n'existe pas" ou "néant". Ceci donne en mathématiques plutôt un sigle "ensemble vide" et non un nombre ou même un chiffre comme l'infini car dès que l'on transforme ce sigle par autre chose , il est donc défini et si on utilise un nombre composé par un ou plusieurs, ce sera un nombre fini et donc il ne sera plus infini.
Je trouve ces vidéos toujours aussi intéressante ^^ ! En fait c'est normal 1 est l'élément neutre de la loi de composition interne "multiplier" sur les entiers naturel ! L'élément neutre 1 c'est en quelque sorte le "rien du tout" de la multiplication et le 0 celui de l'addition
C'est la première fois que je suis impressioné par les maths mais c'est vraiment incroyable ce que tu viens de m'apprendre PS: tu viens de rentrer dans mes youtubeurs favoris
Je ne suis pas totalement d'accord avec la conclusion.
Si 2^0=1 et 0!=1 sont des résultats tout à fait logiques, ils ne le sont que parce qu'on a souhaité qu'ils le furent (+20 pts à mon score Pivot si cette phrase est correctement écrite).
On aurait pu décidé que ces écritures n'aient pas de sens, solution de facilité.
On a voulu leur en donné un car, après tout, pourquoi pas. Et on a donc regardé quel sens cela pourrait avoir. En faisant ce que tu as présenté dans la vidéo, on a remarqué que, pour respecter les règles/propriétés, on devait avoir 2^0=1 et 0!=1. Et que cela faisait parfaitement sens, 1 étant le "rien" de la multiplication (le neutre de la multiplication pour les initiés ;-) ).
Dés lors, cela faisant parfaitement sens, il n'y avait aucune raison de ne pas accepté ces "normes" qui sont plus que des choix imposés par des mathématiciens, elles ont été imposé par les mathématiques.
Un autre exemple est le cas des "puissances" rationnelles (fractions). Je ne détail pas, mais en prolongeant les résultats que l'on a sur les puissances entières, on "invente" ce que doit être une puissance rationnelle pour que cela colle.
Je suis assez d'accord avec ce que tu dis. Mais dans ce cas là, toutes les mathématiques sont faites de convention. On peut dire la même chose de 1+1=2 ou de 2*3=6. Ces égalités font sens, elles sont des conséquences d'un modèle que l'on créé pour coller le mieux possible à notre expérience quotidienne des nombres.
Du coup, ce que je voulais dire c'est qu'il ne me semble pas légitime de dire que 2^0=1 ou 0!=1 sont plus des conventions que toutes les autres égalités mathématiques.
Mickaël Launay Quelle différence faites-vous entre une définition et une convention ? Là semble être la clef du débat. Dire que 1+1=2 ou que I + I = II relève pour moi d'une définition (deux est le nombre entier naturel suivant de un). De même, dire que 2*3 = 6 relève d'une définition : 2*3 = 2 + 2 + 2 qui vaut bien six, 6 ou VI...
En revanche, les expressions a*0 ; a*1 ; a^0 ou a^1 relèvent (toujours pour moi) de conventions parce qu'elles s'écartent des définitions de base (additions ou multiplications répétées), mais permettent d'appliquer des formules de distributivité "sans soucis".
le double C'est vraiment intéressant comme question. Quelle est la différence entre une définition et une convention ?
Si par exemple on définit une multiplication comme une addition répétée, alors dans ce cas, additionner 0 nombre n'a pas de sens et a*0=0 est une convention. Dans ce cas les multiplications de nombres non entiers comme 0,5*0,5=0,25 sont aussi des conventions. En fait, dans ce cas, j'ai l'impression qu'on appelle convention toutes les "rustines" qu'on est obligé de rajouter à la définition pour tenir compte de tous les cas de figures qui ont été oubliés.
La distinction définition/convention dépend donc du choix de départ : si dès le départ on avait pris en compte dans la définition tous les cas de figures possibles, alors il n'y aurait pas eu besoin de conventions pour rafistoler la définition. Je crois donc qu'il n'y a pas de différence objective entre convention et définition, mais que ça dépend essentiellement de la façon dont on présente les choses.
Pour revenir à la multiplication, quand on définit de façon rigoureuse les nombres réels et les opérations dans des cours de maths post-bac, la définition donnée prend en compte toutes les multiplications dès le départ. Dans ce cas il n'y a plus besoin de convention. A moins de considérer que la définition elle-même est est une convention, mais dans ce cas tout est convention.
Bref, à mon avis la notion de "convention" est totalement subjective, elle dépend du point de vue qu'on adopte, et est indépendante des objets mathématiques qu'on étudie.
Mickaël Launay Je ne suis pas d'accord avec votre exemple de la multiplication de deux décimaux positifs. Dans mon esprit, on définit la multiplication de deux nombres entiers naturels comme une addition répétée et on considère que a*0 = 1 et que a*1 = a (effectivement par convention dans ce cadre).
-Puis on peut définir la multiplication de deux fractions comme le fait de prendre une fraction d'une fraction de l'unité.
-Puis, on peut constater que la multiplication des naturels coïncide avec la multiplication des fractions dans le cas où ces fractions sont en fait des entiers (ce qui n'est pas rien, sympa la 6ème, et s'il n'y avait que ça!...).
Ce qui fait que 0,5*0,5 signifie prendre les 5/10 des 5/10 de l'unité par définition et non par convention même si ce n'est plus une addition répétée.
-De même, on définit l'addition avec des nombres entiers relatifs mais cela relève plus pour moi de la convention (et encore, voir plus bas).
-Puis on constate qu'elle coïncide avec l 'addition de base dans les cas positifs (ça, c'est pas trop dur).
-Puis on peut définir la multiplication des nombres entiers relatifs comme une addition ou l'opposée d'une addition répétée qui coïncide à nouveau avec la multiplication de base dans le cas positif (toujours tranquille).
-Pour ce qui est de la multiplication avec des rationnels quelconques, alors c'est le retour de la convention (et encore...), car il est commode de ne pas trop s'attarder par exemple sur le sens de -5/3*(-8/7) (pas le temps! et sûrement superflu au vu des nombreuses imprécisions des programmes, et on pourrait s'interroger de l'intérêt de faire ce genre de calcul sinon de fabriquer des "automaths"...)
Néanmoins, on pourrait en donner un sens en revenant à la droite graduée, et en parlant du symétrique du symétrique du point d'abscisse 5/3*8/7 par rapport à l'origine de la droite tout comme il est possible de donner du sens à l'addition de nombres relatifs en parlant de l'opposée ou de l'opposée de l'opposée d'une addition répétée.
-Pour ce qui est de la multiplication de deux réels positifs, si l'on veut rendre l'opération intelligible, alors on peut parler de l'aire d'un rectangle qui coïncide à nouveau avec la multiplication des fractions (et des entiers donc) ce qui n'est encore moins rien ! Décidément, pauvres petits 6èmes, encore une fois, faisons comme si c'était évident...
-Enfin, on peut définir la multiplication de deux réels quelconques en "mixant" la multiplication des relatifs et l'aire d'un rectangle.
Bref, dans mon esprit, ce n'est pas qu'on ajoute, à juste titre, des « rustines » comme dans le cas de a*0, a*1, a^0 ou 0^a mais bien qu'on change d'approche, (de paradigme pour faire plus classe!) : addition répétée, opposée d'addition répétée, fraction d'une quantité, aire d'un rectangle, symétrie par rapport à l'origine d'une droite graduée ou encore opposée d'une addition répétée; pour constater que la nouvelle approche recouvre à chaque fois l'approche précédente.
Pour parler de l'enseignement post-bac, tout le problème est que les notions abordées y sont totalement déconnectées de la "réalité" fusse-t-elle mathématique, c'est le règne du formalisme. Pour prendre un exemple simple, les fractions sont définies par leur mode opératoire et la notion même de partage de l'unité en est totalement absente.
Aussi, je suis d'accord que dans le cadre de l'enseignement post-bac, la distinction entre définition et convention n'a effectivement plus grand sens.
On pourrait en dire autant des puissances qui sont directement définies pour les exposants réels à partir des fonctions ln et exp ou encore de l'équation fonctionnelle f(a+b)=f(a)*f(b) si je me souviens bien (c'est bien vieux tout ça pour moi...). Mais dans votre vidéo, vous prenez comme définition une multiplication répétée, aussi dans ce cadre, il me semble que la distinction définition/convention reprend sens et l'on peut dire que a^0 = 1 est une convention.
PS. Merci de m'avoir répondu et désolé d'être toujours aussi long dans mes interventions mais je ne peux pas me résoudre à faire autrement...
MrPapouf Pas de points pour ton score Pivot, désolé ;)
*qu'ils le fussent
L'idée de passer par des schémas logiques et intuitifs comme diviser par 4, puis par 3, puis par 2, etc... C'est bien pour se donner une idée de la réponse. Mais en soi, c'est pas vraiment une démonstration.
D'une part, pour le calcul des puissances, il suffit de passer par l'écriture exponentielle : pour a > 0, a^b = exp(b*ln(a)) ; alors si b = 0, a^b = 0.
D'autre part, pour la factorielle : elle n'est pas définie en 0, n! = 1*2*3*...*n, si n > 0 ; après, il y a des gens qui ont dit "on va poser 0! = 1, parce que ça nous arrange", et après, on a découvert la fonction Gamma d'Euler, définie par x -> intégrale de 0 à + infini de (t^(x-1))*exp(t)*dt, et on a remarqué que Gamma(n+1) = n! (pour n>0 ; la fonction Gamma tient lieu de prolongement de la factorielle sur R+*), et le calcul de Gamma(1) donnait 0. Là, on a pu affirmer officiellement que 0! = 1
Je peux comprendre qu'évidemment, c'est pas à la portée de tout le monde, et que si tu montres ça en vidéo, au bout de 2 minutes, 90% des gens sont largués (ceci n'est pas un reproche, je ne crache pas sur l'ensemble de la population ; c'est pas un défaut de ne pas s'intéresser aux maths et de ne pas avoir ces connaissances ; mais j'en parle parce que la démonstration rigoureuse les utilise).
Mais se contenter de faire la constatation, ça ne peut pas compter pour une démonstration.
Enfin : je ne suis pas d'accord sur l'emploi que tu fais des mots "rien du tout". Tu dis que "le rien du tout du point de vue de la multiplication, c'est 1, et le rien du tout du point de vue de l'addition, c'est 0". Ça s'appelle un élément neutre (et même si,certes, on ne voit pas ça au lycée, je pense que le nom est assez explicite, alors il aurait pu être cité), et puisqu'il s'agit d'un nombre, ce n'est pas rien.
Tu voulais montrer ce qu'il se passait quand on multipliait 0 nombres, mais dans tous les calculs que tu montrais, tu n'en multipliais jamais 0. Toujours au moins 1. Parce que de toute façon, la multiplication, comme l'addition, est un opérateur binaire, et que ça n'a pas de sens de multiplier ou d'additionner un nombre, ou 0 (ça en a seulement pour 2, de bases ; et comme ces opérations sont associatives, ça en a aussi pour 3, 4, etc...). Mais pas pour 0 ou 1. C'est le principe d'une loi de composition interne : à deux éléments d'un ensemble, j'en associe un troisième.
Et si tu as 2 et que tu le divises par 2, tu ne multiplies pas 0 nombre. Tu en multiplies 1, parce que 2 = 1*2 ; ou 2, parce que 2 = 2*1*1. Etc...
Bon, je me rends compte que j'ai l'air un peu condescendant, mais ce commentaire n'a pas pour but de se moquer des gens qui ne sont pas allé en maths spé, ni de toi. Je n'ai pas l'intention d'être désagréable. Et je trouve bien l'idée de passer par des méthodes intuitives comme la factorielle ou les puissances de 2 pour montrer à quel résultat on peut s'attendre.
Mais c'est l'emploi du mot "rien du tout" qui me chiffonne, dans le sens où justement, il ne s'agit pas de rien...
Intuitif peut être mais si tu pose une suite, tu la demontres par récurrence et tu l'appliques en 0, incontestable
Au contraire je trouve que l'emploi de "rien du tout" pour qualifier le 1 du point de vue de la multiplication est plutôt astucieux d'un point de vue didactique, compte tenu du public auquel s'adresse la vidéo, même si bien entendu, le terme exact est l'élément neutre. A mon avis c'est un choix délibéré et réfléchi de la part de l'auteur. Pourquoi ?
Le bonhomme qui ne connaît pas grand chose aux maths et à qui on explique que 0!=2^0=1, il est perturbé car chacun signifie à première vue qu'on applique "zéro fois" la multiplication d'un nombre par lui-même/son suivant, or dans "zéro fois", y a le mot "zéro", qui plus est associé à l'idée de multiplication, soit tout ce qu'il faut pour que monsieur tout le monde ait très envie que ça fasse zéro, parce que zéro pour lui, c'est "rien du tout" (et a fortiori quand on lui parle de multiplication). Or le "rien du tout" ici, c'est bien l'élément neutre (un) et non zéro, qui est au contraire un grand chambouleur de la multiplication.
En plus ça permet de faire une analogie du coup avec le "rien du tout" de l'addition, c'est tout bénef pour remettre les choses à leur place.
Après, si quelqu'un prend goût aux maths grâce à ces vidéos, bien évidemment en cherchant par lui-même il comprendra les limites des expressions et autres analogies employées pour faire sentir certaines choses au profane, pour autant personne n'en voudra à l'auteur d'avoir mis à la portée de tous des notions qui paraissent bizarres quand on n'y prête pas assez d'attention.
Dans l'art de d'expliquer à des profanes/petites classes des choses un poil profondes, il faut parfois savoir sacrifier un peu de rigueur pour toucher l'intuition.
Je suis prof de maths et je trouve très intéressantes ces vidéos, ce sont de bonnes sources d'inspiration pour créer des activités mathématiques sympa pour amuser les élèves ou leur donner envie d'aller plus loin que ce qu'on leur offre via les programmes officiels.
pour 2^0 il y a plus simple que les exponentielles et les logarithmes, tu peux simplement dure que 2^1*2^0=2^(0+1)=2^1 et donc que 2^0=2^1/2^1=1
Le 'rien du tout' est une chose à creuser. D'après sa définition, on ne peut être 'rien du tout' que de quelque chose. Le 'rien du tout' de l'addition {0} ou de la multiplication {1}. Mais le 'rien du tout' en soi, cela existe t il ? Existe t il un 'rien du tout' pour la soustraction ? Pour la division ?
J'aime bien comment tu explique des problèmes simples. Ça se sent vraiment passionné des math. J'aurais aimé avoir les mêmes prof j'aurais plus aimé les maths. Lced
MERCI MICMATHS !💚 20 ans de frustrations résolues en 6 minutes 👍
Et 0^0 dans cette histoire, qu'est-ce qu'il devient? :P
Ca a toujours été ma grande frustration des maths... Un coup on me dit que c'est pas défini et une autre jour on me dit "Ouais mais là on dit que ca vaut 1 parce que ca marche bien" .. Même ma calculatrice m'insulte quand je fais ce calcul :'(
Moi aussi, je vais arriver et j'vais dire "1/0 ca fait 42" et tout le monde m'acclamera en héro :3 ! (Bon d'accord, je sais qu'il y a des démontrations qui prouvent que diviser par 0 est impossible :'( ... Mais dans le domaine que j'étudie, si je dis que ca fait 42 ca marche trop bien :3 )
Même en faisant 0^0=exp(0*ln(0)) ca marche pas à cause du ln(0) :'(
Après quelques recherches, on me dit que c'est parce-que lim(en0+) exp(x (ln x)) = lim(en0+) x^x = 1
mais dans ce cas là moi je suis un casse ovaires et je dis (sin 0)/0 = 1 et c'est la fête parce que lim(en0) (sin x)/x = 1
0^0 = 0.
Passe une bonne vie.
Quand on le fait à la calculatrice, ça donne 1 je crois :/ ^^
let me troll biatch
ShoukaRikos 0^0=1
0^0 inconnu
Si on fait 0^0
Du coup, ça fait 0 ou 1
Ou les deux à la fois ?
C’est égale à 0/0, ce qui est impossible
c'est égal à 0, car tu n'as qu'à prendre la formule aˆb = exp(b*ln(a)) pour a=b=0. comme ln(0)=-inf, alors exp(0*ln(0)) = exp(0)*exp(ln(0)) = exp(0)*0 = 0
@@vinspenot5915 J'aime bien le "tu n'as qu'à" pour une formule avec des trucs dont je n'ai jamais entendu parler (exp, In). :D
Mais j'ai envie de me mettre aux maths sérieusement (à 30 ans, je ne suis pas trop vieille pour m'intéresser aux maths. Na !) Tu aurais des livres pour débutants à conseiller ? (mais : vrais débutants, hein. J'ai bien fait quelques intégrales et dérivées quand j'étais à l'école, ainsi que de la trigonométrie, mais je ne me souviens de rien).
@@vinspenot5915 Désolé, je crains que ton raisonnement soit faux ce qui te conduit à un résultat erroné. En effet, 0^0 donne 1. Dans ton raisonnement tu utilises des propriétés qui n'existent pas : exp(a*b) n'est pas égal à exp(a)*exp(b) et la notation ln(0) n'existe pas à proprement parler donc écrire exp(ln(0)) est assez étrange. Voila un lien où tu pourras mieux comprendre le 0^0 :-) : fr.wikipedia.org/wiki/Zéro_puissance_zéro
@@madelainehalot1139 0/0 n'est pas impossible. A/B=C, ça veut dire que A = BxC. Par exemple, 12/4=3 donc 12=4x3. Mais 12/0, ça fait combien? Disons que ça fait N et on cherche N: 12/0 = X, donc 12=0xN, or 0xN=0 quel que soit N, donc diviser un nombre non nul par 0 c'est impossible. Maintenant, essayons de diviser 0: 0/0=N, donc 0=0xN. Combien vaut N? Ce qu'on veut! Donc 0/0 n'est pas "impossible", c'est "tous les nombres", c'est "indéterminé". En tout cas, diviser par 0 est problématique, vaut mieux éviter ;-)
Ah oui ! Nous on l'avait appris avec les puissances de 10 ! En tout cas bravo ! Tu expliques super bien dans toutes tes vidéos ! Je m'abonne tout de suite !
J'ai rajouté dans ma tête la musique d'inception (braaaaouumm) lors de la conclusion.
Parce que quand même, c'est épique, ce genre de vérités mathématiques, en effet ^^
Merci pour cette belle vidéo !
Mais du coups 0 + X^0 = 1 ?
Oui
06:25
"On rencontre parfois des livres ou des cours de maths dans lesquels il est dit que ces deux égalités (0!=1 et 2⁰=1) sont des conventions, ce que sous-entendrais que ce sont des choix, des choses qui sont convenus entre mathématiciens, mais en réalité ce n'est pas le cas du tout. Ces deux égalités sont des vrais vérités mathématiques au même titre que 1+1=2 ou 2×2=4."
Je ne suis pas d'accord. Pour moi, les égalités 0!=1 et 2⁰=1 sont bien des conventions.
Voici mes arguments :
Les égalités 1+1=2 et 2×2=4 ne sont-elles pas elles mêmes des conventions ?
Une convention c'est quoi ? Pour moi, c'est un principe, un accord voulu. Une sorte de contrat. Quelque chose qui a été décidé par l'Homme.
On pourrait faire une expérience très simple.
On demande à un enfant ou même un adulte, peu importe, si oui ou non il est d'accord avec l'égalité "1+1=2 ou 2×2=4". Naturellement, la personne va nous répondre "Oui bien sûr je suis d'accord".
Et maintenant, si on demandait à cette même personne, POURQUOI ?
POURQUOI 1+1=2 et 2×2=4 ?? Pourquoi ?
Si on pose cette question, la personne risque de nous répondre tout simplement "Bah, c'est comme ça, c'est comme ça et pas autrement".
Donc, on peut en déduire que les égalités 1+1=2 et 2×2=4 sont des postulats, c'est aussi des choses qui sont convenus entre mathématiciens, et par conséquent, ce sont aussi des conventions.
Peut-être que certains d'entre vous ne seront pas d'accord avec moi, et à ce moment là, j'attend vos commentaires, je serais ravis que quelqu'un me prouve que je me trompe.
Si non, très bonne vidéo, merci Micmaths.
J'aurai pas dis mieux
Pierre L Je ne suis pas du tout d'accord. La seule convention qui est présente dans 1+1=2, c'est le sens qu'on donne aux différents symboles. Nous avons simplement convenu d'utiliser le symbole + pour l'addition mais l'addition est une opération élémentaire parfaitement logique et connue, consistant en la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature (cf Wiki).
La convention liée au symbole est nécessaire, tout comme les lettres qui définissent des sons, définissant des mots, définissant des concepts, etc... Au vu de la réponse que tu proposes, quand tu demandes pourquoi 1+1=2, c'est comme si tu demandais pourquoi un "A" ressemble à un "A". La réponse est "parce qu'il faillait bien faire un choix" mais on aurait très bien pu choisir "B" !
La convention liée à l'écriture n'a aucun intérêt mathématique. Cela permet simplement d'aborder la notion de façon pratique sans faire de phrases à rallonge (entre autres).
Ce que tu oublies, c'est que la notion décrite par le symbole n'a rien d'une convention, elle.
Pourquoi 1+1=2 ?
Parce que la réunion de 2 quantités égales à 1 vaut 2. Aucun rapport avec un quelconque postulat.
Es-tu convaincu ?
UntunedPianist j'aurai encore pas dit mieux
UntunedPianist Je ne suis pas convaincu
Pour moi, "1+1=2", c'est bien un postulat.
C'est un raisonnement qui est admit, décidé, et qui ne peut pas être mit en doute.
C'est quelque chose qui a été inventé selon moi, (tout comme le reste des mathématiques).
"Quand tu demandes pourquoi 1+1=2, c'est comme si tu demandais pourquoi un "A" ressemble à un "A". La réponse est "parce qu'il faillait bien faire un choix" mais on aurait très bien pu choisir "B" !"
-->
Oui en effet, je suis d'accord avec toi sur ce point.
Le symbole de la première lettre de l'alphabet de la langue française est " A ".
Ceci ne peut pas être mit en doute. (Tout comme un postulat).
En mathématique c'est la même chose. La langue française a été inventé par l'Homme, l'alphabet a été défini : A, B, C, D, etc. C'est comme ça, et pas autrement. C'est un choix. Et c'est le cas aussi pour toutes les égalités mathématiques. 1+1=2 ; 2+2=4 ; etc.
"Pourquoi 1+1=2 ?
Parce que la réunion de 2 quantités égales à 1 vaut 2".
-->
Et pourquoi cette réunion vaudrait-elle "2" ?
La réponse est la suivante :
C'est un choix, (tout comme pour la lettre "A").
(Ici, je ne parle pas du symbole "2", mais du résultat lui même qui est "deux").
La notion de l'addition a elle aussi été choisit.
Pierre L j'aurai pas dit mieux
Fascinant ! Très bien expliqué.
punaise je comprend rien au maths j'ai toujours eu des profs qui m'ont dégoûté des maths à tel point que je déteste les maths mais il fallait que je tombe sur cette chaîne pour COMPRENDRE ! merci c'est génial
tout nombre à la puissance 0 vaux 0 .... SAUF 0 ! car 0^0 revient à une division par 0
je m'explique 0^0 = 0^1 x 0^-1
et qu'est ce que c'est 0^-1 sinon 1/0 ?
donc 0^0 voudrai dire 0/0 ce qui est impossible.
Clément tu est le premier commentaire
Clément 😁
Clément
Clément 😁 😔 😌 😒 😞 😣 😢 😂 😭 😪 😥 😰 😅 😓 😩
Mais alors 0^0, qu'est ce que ça donne ?
a- 0
b- 1
c- une indétermination
d- 0B1 Kenobi
0,00000000...001^0,000000000...001 tend vers 1 donc je dirais B
0^0 n'est pas défini : x^y peut toujours se mettre sous la forme exp(y*ln(x)) Or ln(0) n'est pas défini.
Après rien n'empêche de prolonger par continuité la fonction x^0
Et si on prolonge par continuité à fonction 0^x, ça donne quoi ?
@@tristanfillon9425 la tête à Toto
Vous êtes fou Mickaël. Dans le bon sens du terme, professeur fou, très intelligent.
Génial ! Merci pour cette démonstration !
Et. 0^0. ?
Ah ah, ça c'est la question polémique ! D'un point de vue purement algébrique, 0^0 est aussi un produit de 0 nombres et donc égal à 1.
Mais dans certains cas en analyse, il arrive que pour des raisons pratiques on choisisse de poser 0^0=0 par convention (pour avoir la continuité de la fonction f(x)=0^x). Ce dernier choix reste quand même contestable et la réponse la plus naturelle est 1.
Mickaël Launay Tous les nomber puissance 0 sont 1 sauf zero. 0^0 n'est pas deffinié si on suit les regles de mathématiques.
Mickaël Launay C'est pas ça la question polémique :)
La question polémique, c'est : 0/0
e-penser 0/0 n'est pas définié ainsi. On peut autrement utiliser des limites pour avoir une solution
dans certains cas seulement...
A noter : l'US Air Force, quand les ordinateurs ont vu le jour, a demandé aux fabricants qu'une division par zéro ne donne pas de résultat mais une erreur, pour se prémunir contre d'éventuelles attaques informatiques. Texas Instruments, qui n'aimait pas trop qu'on leur force la main, a décidé en signe de protestation qu'une division par zéro n'afficherait pas d'erreur, mais éteindrait immédiatement la machine.
Tu dis que 0!=1 et 2°=1 ne sont pas des conventions mais des vérités mathématiques. Or, les mathématiques eux-mêmes sont des conventions.
Non ?
Je trouve ça sympa mais par contre une erreur a été commise quand est il dit que 2puiss2 c'est 2 multiplié 2 fois par lui même et que 2puiss1 c'est 2 non multiplié. La 1ère proposition est fausse car 2 puis2 c'est 2 multip 1 fois par lui même. Donc atention se bien vérifier une vidéo avant de l'envoyer. Un parapluie en quelque sorte.
Une convention est un choix arbitraire, qui ne change pas la théorie.
Or je te mets au défi de trouver un nombre a non égal à 1 tel que 2⁰ = a.
Il n y a qu'un a possible, il n y a pas de convention.
Ce qui est dramatique, c'est que l'on trouve ce genre d’imbécillité dans les manuels scolaires.
Je n'aime pas la démonstration proposée dans la vidéo car elle n'est pas une démonstration. Ainsi rien n'est démontré de la part de l'auteur. Il y a des tonnes de manière de démontrer que 2^0 = 1 et c'est dommage de ne pas l'avoir fait.
Soit a et b dans R
2^a x 2^b = 2^(a+b) ainsi si b=0 on a 2^a x 2^b = 2^(a+0) = 2^a et cela pour tout a € R
Ainsi on peut supposer que 2^0 est différent de 1 et aboutir à une absurdité assez évidente. Par l'absurde 2^0 vaut bien 1. Et on pour généraliser la chose à n'importe quelle chiffe puissance zéro SAUF le zéro justement.
Et justement ce qui aurait été intéressant, plutôt que de faire une vidéo sans démonstration..........ça aurait été de parler JUSTEMENT du cas "zéro à la puissance zéro" qui lui aussi vaut 1 mais là ça devient réellement subtile alors qu'il n'y a rien de subtile dans 2^0 = 1.
+Jean fonteneau C'est mignon de faire la leçon à un normalien..
Ilestun
On peut se demander ce qui est le plus intéressant entre
- faire une démonstration technique, qui plus est par l'absurde et sans introduire au préalable la construction des ensembles de nombres utilisés ni la définition de la loi de composition interne, démonstration qui ne donne pas beaucoup d'indication sur le sens profond de ce qui se passe quand on élève à la puissance zéro.
- ou plutôt s'abstenir d'étaler des manipulations techniques pour se contenter de faire passer un message bien plus riche de sens à savoir : 1 est l'élément neutre de la multiplication et zéro celui de l'addition. Et que tout le monde peut comprendre.
Merci pour ces vidéos j'adore!
Bien pratique dans le calcul des masques sous réseau d'une IPv4 ! En calcul binaire 2^0= 1 seule possibilité, j'avais toujours trouvé ça étrange (ce qui m'a planté pas mal au début mon apprentissage des plages d'adresses), mais maintenant je suis passé d'une "convention de calcul" de mes masques à une raison logique ! Merci ! ;)
DARKSAM68190 Tu n'as pas vu la raison logique en convertissant du binaire en décimal ? Pour un nombre à 4 bits, les bits valent respectivement 2^3, 2^2, 2^1 et 2^0 (pas simplement un 1 qui tombe du ciel ^^)
/!\ alerte chieur de parlation /!\
On dit "x exposant n"
Et pas "x puissance n"
/!\ fin de l'alerte /!\
J'adore tes vidéo !
J'ai failli crié a chaque fois qu'il dit ça...
Mon prof de maths t'aurait repris... X! se lit "factorielle X", et non "X factorielle".
+louyseiz Lol, le pinailleurs :p
Moi dans ma tête je le lis "X!" en appuyant le ton parce qu'il y a un point d'exclamation. Me jugez pas :c .
+o0Cheator0o Trois devient TROOOIS!! Dans ta tete?
Exactement! Enfin je veux dire EXACTEMENT!!!
A dauphine ou ENSAE on disait n factorielle
vachement clair comme ça. bien joué.
Super bien expliqué je suis fan !
mauvaise explication malheureusement ,
voilà la bonne
(10^3)÷(10^3)=1
mais c'est aussi égale à cela 10^3-3=10^0
voilà voilà
+Veton Gashi Mmmm... Tout d'abord une égalité mathématique peut avoir plusieurs preuves différentes. Ce n'est pas parce que tu as une autre preuve que la mienne est mauvaise ;) Ensuite, je trouve que tu prends les choses à l'envers : comment démontres-tu que a^b/a^(-b) = a^0 ? ;) Cette égalité n'est pas sortie du chapeau, il faut bien comprendre pourquoi elle est vraie avant de l'utiliser. Or ce sont les propriétés des puissances qui permettent comprendre pourquoi cette formule et vraie. Autrement dit, il faut d'abord avoir accepté l'égalité a^0=1 pour pouvoir démontrer et utiliser cette formule.
Tout d'abord c'est un réel plaisir de vous parler, j'avoue avoir pris les choses d'une mauvaise manière .Mais quand vous écrivez a^b/a^(-b)= a^2b et non à a^0,mais cette propriété est logique ,je comprends pas pourquoi vous en aviez pas parler lors de la vidéo ? cordialement .
+Mickaël Launay (Micmaths) Du coup je me demandais : Que vaut 0^0? (ma calculatrice m'affiche "erreur", j'avoue que ça m'intrigue beaucoup )
+Adrien C'est normal que ça donne erreur puisque dans la démonstration avec les puissances tu dois diviser par la base et quand celle-ci vaut 0, ça n'est pas possible... On ne peut pas diviser par 0. Donc 0^0 est donc une indétermination..... me semble-t'il.... c'est la seule imperfection dans cette vidéo... Micmaths dit: n'importe quel nombre exposant 0 vaut 1 il aurait dû ajouter sauf pour le zéro... Mais c'est pardonnable tellement ses vidéos sont franchement bien faites
+Mickaël Launay (Micmaths) Trop de notions sont enseignées sans être expliquées. Ta présentation est, jusqu'alors, la meilleure que j'ai trouvée pour aborder le sujet d'un point de vue intégratif. Je fais l'école à la maison et mes enfants explorent ces vérités, avant de les appliquer bêtement. Merci pour cet outil. Pour appréhender ce sujet, soustraire deux exposants est plus qu'abstrait et il est préférable de commencer par la base. Merci
Wow... j’ai tout compris alors qu’en math j’ai pas encore vu les factoriels..! Bien expliqué!
Super merci pour cette vidéo!
En la regardant j'ai l'impression de mieux comprendre pourquoi on dit qu'il y a eu un big bang,
Dans l'astronomie les spécialistes disent que tout s'éloigne s'éloigne alors que la gravité devrait faire tous se rassembler dans l'espace mets les galaxies s'éloignent .
En regardant le déplacement des Galaxy et en calculant leur chemin inverse on devrait arriver à zéro mais comme dans ta démonstration avec "4!" on doit forcément arriver à 1 et non pas à zéro :)
Carrément intéressant. Merci.
Ta chaîne est super bien ! J'avais appris que 1 puissance 0 = 1 par convention. Sous-entendu, bon c'est comme ça, on ferme sa bouche. Eh bien grâce à toi, j'ai compris pourquoi c'était vrai. Merci
En terminale on explique pourquoi 1 puissance 0 ne peut faire que 1 avec notamment les fonctions logarithme et exponentielle
Du point de vu de la multiplication, "1 " ne représente rien du tout que si on possède déjà quelque chose à multiplier. Sinon, le rien véritable en multiplication comme en addition est le zéro. Car, si tu as par exemple rien comme chiffre à multiplier par 100000000... Tu obtient le véritable rien qui est zéro.
De plus 0! Semble bien être forcé, contrairement aux autres nombres qui figurent dans les multiplications de ces "factoriels". J' ai plutôt l'impression qu'il ne doit pas exister là si ce n'est par "convention" !
Merci pour tes vidéo, je les apprécie.
ce qui prouve que ceux qui font les bouquins (scolaires), ne sont pas mathématiciens ! ils veulent qu'on apprenne par cœur, mais surtout sans comprendre ! heureusement qu'il y a des gens (et quelques profs) comme toi ! merci
Théoriquement le bouquin scolaire (au moins jusqu'au lycée) n'est qu'un outil et c'est le prof qui fait la pédagogie et fait comprendre les choses. Enfin, théoriquement...
Mais j'avoue que c'est pas une raison pour écrire "convention" pour quelque chose de logique et explicable... perso je me souviens plus de ce qui était écrit dans le bouquin, en fait je l'utilisais quasiment jamais à part pour les exos. J'ai eu la chance d'avoir globalement des profs de maths qui faisaient correctement leur boulot (même si j'aurais aimé avoir quelques explications en plus que je trouve ici 😊)
Excellente vidéo ! Merci !
Woaw merci tu m'as beaucoup aidé !
whoaaa... tu explique vraiment bien :)
Merci, je me demandais pourquoi un nombre à la puissance 0 donnais 1, maintenant j'ai la réponse.
Très bonne vidéo comme les autres. :)
C'est tres interessant monsieur merci
Excellente vidéo !
Super vidéo. Je suis pas mathematien mais les chiffres sont des vrai indice identitaire.
De même, quand on simplifie un réel :
x/(x+x^3), si je simplifie par x j'obtient en numérateur un 1, non un zéro, comment en dénominateur j'ai 1+x^2.
Très bonne vidéo, c'est un plaisir de voir des chaînes comme la tienne !
Merci de répondre encore une fois à une question considéré comme convention car on ne la comprends même pas.
Elle est vraiment bien votre chaîne, bon je comprends pas tout, j'ai pas fait de parcours scientifique, et j'ai jamais été franchement bonne en maths, mais c'est tellement bien expliqué que j'arrive à comprendre quand même :)
très bien expliquer et logique mrc !!
Super bien expliqué.
Depuis la quatrième, ce qui remonte quand même beaucoup pour moi, je me demande ce que c'est que cette histoire de conventions, ça me paraissait étrange aussi, de baser autant de calculs sur des "conventions" . Merci pour cet éclairement !
Merci ! Je ne comprenais pas pourquoi ces égalités étaient présentées comme des conventions alors merci pour votre explication !
Je suis prof de math et tu m'apprends beaucoup ;)
Bravo à toi
Tu es prof de maths en quoi ? :)
Personnellement y'a certaines de ses vidéos que j'ai un peu de mal à comprendre car je ne suis qu'en seconde.
+DaviDvdvdvdvdvd Sachant qu'il faut au moins un M1 (disons un niveau L3) pour passer le CAPES, j'y crois pas du tout.
Vidéo très intéressante ! ^^
Merci pour c'est explications
Ah super, bon je vois que les commentaires sont mitigés mais pour ma part je suis très heureux d'avoir enfin un élément de réponse autre que "c'est arrangeant pour les calculs de proba d'avoir 0! = 1"
Y'a une logique sous jacente, je n'en demandais pas mieux :-) Merci
Très bien expliqué
excellent, le prof nous avait expliqué ça vite fait au collège, jme rappel que ça m'avait laissé perplexe, il avait pas très bien expliqué. La j'ai tout compris, t'es super pédagogue, ça me donne envie de voir tes autres vidéos.
Votre prof était sage et respectueux. La vidéo vous permet de comprendre un processus mais ne démontre rien hélas !
@@cds8018 sage je ne sais pas... c'etait un prof standard comme les ecoles en sont remplies qui étaient loin d'avoir le genie pedagogique de michael. J'espere que les gamins d'aujourd'hui font usage de ces ressources precieuses sur TH-cam
vulkanosaure « le génie pédagogique ».... le moins qu’on puisse dire c’est que vous êtes dans l’excès. Et puis comment pouvez-vous dire que votre prof était un prof « standard »... »comme les autres » ! Cela n’existe pas... et si votre « prof » de l’époque ne vous a pas fait ce qu’il y a de montré dans la vidéo... c’est peut-être qu’il était respectueux finalement d’un contrat didactique implicite...
vulkanosaure et pour terminer... j’espère que va arriver le temps assez rapidement où les « gamins » feront moins usage de ces vidéos souvent très approximatives et jouant sur l’effet « actuel » et nouveauté... si les Mooc étaient pertinents, depuis que cela existe, cela se saurait ! Rien ne remplace un bon prof bien formé et une salle de classe cohérente dans un système qui fonctionne : mais effectivement c’est plus compliqué ... « Michael » ne risque pas grand chose ... ni la foudre d’élèves qui parce qu’ils ne comprennent pas vont lui rejeter la faute, ni celles de parents consommateurs et partiaux de plus en plus démissionnaires, ni celle d’une administration apeurée gérant en permanence le « pas de vagues » 😂
@@cds8018 le système scolaire en france échoue complètement dans sa mission de transmettre le gout pour les maths, je suis actuellement passionné de math, mais cela ne m'est venu que par la suite, je suis devenu programmeur et j'ai pu expérimenter et me rendre compte des implications. Les maths sont probablement la discipline la plus détestée statistiquement et je ne pense pas que ça soit uniquement la faute de la discipline en elle même.
j avais expliqué un calcul proche du tien à un instituteur concernant la multiplication et la division ( il ne peut avoir 0) il m'a retorqué que je n'ai pas compris le sens du calcul, merci de donner cette explication ah ouais un grand MERCI même j'ai été la risé sans avoir été raillé mais je suis passé pour incompris.
Superbe vidéo
Lorsque jeune étudiant je donnais des cours de soutien en mathématiques à des élèves de collège ou de lycée, je commençais toujours avec le même exercice : un produit de fractions à réduire qui semblait bien costaud mais qui au final faisait un. Quasiment tous les élèves étaient capables de faire la décomposition en produits de nombres premiers du numérateur et du dénominateur - ce qui n'est pourtant pas trivial - ensuite ils barraient comme ils avaient appris en haut en bas, et une fois sur deux, c'était le drame, quand il ne restait plus rien, ils me mettaient un beau =0. Il faut être particulièrement réfractaire ou avoir de sérieux soucis pour ne pas comprendre l'addition, mais la non compréhension de la multiplication dans ses plus intimes rouages est une maladie très répandue et qui fragilise tout l'édifice de la compréhension mathématique.
Trop fort! Passionnant !
Excellente vidéo
Ce mec est un génie!
Super pédagogue !👍🏻👌🏻
Plus difficile que mes cours de math... mais je comprend tout!!! Merci je vais grace a toi améliorer mes notes :D :)))))
Très astucieux merci