Gilles! Merci pour cette et vidéos! Tu nous fais comprendre et apprécier les maths à un autre niveau . Ton style patient et précis est rare et tellement efficace !! Bravo ! Encore ! 👏🏻👏🏻👏🏻
Excellent cours (cela me change des livres bien qu'indispensables) pour un enseignant de mathématiques comme moi en lycée qui veut reprendre ses études pour le plaisir surtout et peut être tenter l'agrégation en interne dans les années à venir ...
Merci Gilles, cela me sera grandement utile pour mes préparations au CAPES 2023 :D J'adore ta chaîne et ta façon de présenter. Salutations de Bordeaux.
🎯 Key Takeaways for quick navigation: 00:00 *📝 Introduction à la série sur les séries numériques* - Introduction à la série de vidéos sur les séries numériques, avec l'objectif de fournir un rappel complet sur le sujet. 01:03 *🧮 Définition et notation des séries numériques* - Définition d'une série numérique comme une somme infinie de termes d'une suite numérique. - Notation standard des séries et clarification sur les bornes de la somme. 03:07 *🎯 Relation entre séries et suites, critère de convergence* - Les séries sont un cas particulier de suite, où chaque terme est la somme des termes précédents. - Introduction au critère de convergence des séries et son importance dans l'analyse mathématique. 04:19 *🧠 Compréhension de la convergence des séries numériques* - Explication de la convergence d'une série numérique et de la notation de la limite de la série. - Illustration du paradoxe de la flèche pour souligner la subtilité de la convergence des séries infinies. 06:09 *🔍 Critère de divergence trivial et exemples de séries numériques* - Introduction au critère de divergence trivial pour déterminer la divergence d'une série. - Exemples de séries numériques, notamment la série géométrique et la série harmonique, pour illustrer les concepts de convergence et de divergence. 11:43 *📊 Séries numériques à terme positif* - Convergence absolue des séries à terme positif : Si la somme des valeurs absolues des termes converge, alors la série converge. - Critère de comparaison : Si les termes d'une série sont majorés par ceux d'une autre série convergente, alors la première série converge également. - Comparaison avec une intégrale : Une série converge si son terme général est dominé asymptotiquement par celui d'une intégrale convergente. 13:22 *📚 Théorèmes de convergence pour les séries numériques* - Convergence absolue implique convergence : Si une série converge absolument, alors elle converge. - Critère de comparaison des séries : Si les termes d'une série sont majorés par ceux d'une autre série convergente, alors la première série converge également. - Comparaison avec une intégrale : La convergence d'une série peut être déterminée en comparant son terme général à celui d'une intégrale convergente. 16:11 *🛡️ Critères de convergence pour les séries numériques* - Critère de d'Alembert : Utilisé pour montrer la convergence des séries à terme positif en évaluant le comportement de la limite du quotient de deux termes consécutifs. - Critère de Cauchy : La convergence d'une série peut être déterminée en évaluant la limite de la racine énième du terme général. - Critère de Riemann : La convergence d'une série dépend de la limite du terme général élevé à une puissance alpha, avec des conditions spécifiques sur cette limite. 20:00 *🔄 Séries alternées et séries semi-convergentes* - Théorème sur les séries alternées : Si une série alterne ses signes et que ses termes tendent vers zéro, alors la série converge. - Séries semi-convergentes : Certaines séries convergent mais pas de manière absolue, nécessitant des critères de convergence plus spécifiques. - Critère d'Abel : Un critère de convergence pour les séries alternées basé sur la convergence des séries de termes généraux correspondants. 22:35 *🔍 Aperçu des prochaines vidéos* - Propriétés de linéarité, comparaisons et équivalents : Exploration des propriétés fondamentales des séries, y compris la linéarité, les comparaisons et les équivalents. - Comparaisons avec une intégrale : Démonstration des séries de Riemann et de Bertrand en comparant avec une intégrale. - Critères de convergence pour les séries à terme positif : Approfondissement des critères de convergence, notamment ceux de d'Alembert, de Cauchy et de Riemann. - Séries alternées et semi-convergentes : Discussion sur les séries alternées et semi-convergentes, ainsi que sur les critères de convergence associés. - Extensions avancées : Exploration d'autres sujets comme la multiplication de séries, la sommation par paquets, etc., pour les étudiants désireux d'approfondir leurs connaissances.
Question : dans votre premier exemple de la série sigma z^n est ce qu'on peut dire que la dérivée de cette série est égale à la série sigma n.z^(n-1) ? En école d'ingénieur , j'ai vu ça mais quels sont les termes du théorème qui nous dit ça ? En l'occurrence, c'est de la convergence du second sigma que je veux établir celle du premier. Plus exactement, peut-on dire que sigma (z^n)' = (sigma (z^n))' ?
@@MathsAdultes Oui, j'ai retrouvé le théorème qui le dit, on a effectivement l'égalité sur le même rayon de convergence, merci pour votre vidéo, souvenirs de Capes d'un retraité
@@MathsAdultes À cela près que ma variable est z dans mes sigma, c'est-à-dire dire complexe, il faut donc étendre le théorème sur la dérivation d'une série entière aux séries de variable complexe qui dit la même chose mais qui sauf erreur n'est pas au programme de prépa, je me trompe ?
Petite question connexe: Concernant le paradoxe de la flèche: la flèche parcourt la moitié de la distance, puis la moitié de ce qui reste et ainsi de suite. Zénon a raison de dire que jamais la flèche ne touche sa cible, étant donné que la série géométrique converge vers un nombre fini certes (ce que lui ne sait pas encore), mais ne l'atteint jamais au final ! Il semble que la façon d'envisager le mouvement, de le décomposer, qu'a Zénon soit viciée, mais où? Je ne saurais dire.
Il envisage le mouvement comme suite d'états statiques, bref, il ne l'envisage pas vraiment. Si on l'envisage comme une fonction continue du temps dans l'espace, le paradoxe saute.
Bonjour professeur Je me permets une question un peu bête. J'ai un doute quant à la notion de "terme général d'une série". L'exemple de la série géométrique trivial donne que Somme(z^n) = Somme [(1-z^(n-1))/(1-z)] converge bien vers 1/(1-z) dans le cas |x|
Le terme général d'une série Somme(u_n) est juste la suite (u_n). Donc si (u_n) ne tend pas vers 0 alors le série diverge mais on ne peut pas conclure que la série converge si (u_n) tend vers 0, la série converge si le reste tend vers 0 c'est-à-dire la somme des termes à partir d'un rang n doit tendre vers 0 quand n tend vers +oo.
@@MathsAdultes Je vous remercie pour votre réponse! Je n'ai plus de doute concernant le terme général et l'exemple de la série géométrique. Bien à vous Adam Sarrasin
D ailleurs on peut montrer assez facilement que l existence de la limite dans le cas de d alembert implique l existence de la limite dans le critère de Cauchy mais ce n est pas réciproque. Donc le critère de Cauchy est strictement plus puissant que le critère de D'Alembert
Je ne sais pas comment j'ai pu faire ça sans m'en rendre compte... Merci beaucoup pour l'information, j'aime bien blitzstream mais ça n'a rien à faire là ;-)
Pour le paradoxe de Zénon on prend en fait des intervalles de temps de plus en plus petits. Si on prend t=2unités de temps Achille dépasse la tortue. Est ce bien cela ? :-)
![[UT#71] Les séries entières (Introduction)](http://i.ytimg.com/vi/8UEtDg3nhAw/mqdefault.jpg)
Gilles! Merci pour cette et vidéos! Tu nous fais comprendre et apprécier les maths à un autre niveau . Ton style patient et précis est rare et tellement efficace !! Bravo ! Encore ! 👏🏻👏🏻👏🏻
Juste avant les oraux de l'interne ça se met bien !
Comme d'ordinaire, merci beaucoup !
Merciiiii❤❤❤ j suivrai tt les vidéos
Merci beaucoup professeur pour ce cours.
Excellent cours (cela me change des livres bien qu'indispensables) pour un enseignant de mathématiques comme moi en lycée qui veut reprendre ses études pour le plaisir surtout et peut être tenter l'agrégation en interne dans les années à venir ...
Merci beaucoup, ça permet de maintenir un bon niveau qd mm..
Merci Gilles, cela me sera grandement utile pour mes préparations au CAPES 2023 :D J'adore ta chaîne et ta façon de présenter. Salutations de Bordeaux.
alors tu as eu le capes ?
@@hmaryam Oui oui, j'entame ma deuxième année d'enseignement.
@@AZERTYUIO4030ahh félicitations j’espère que tout se passe pour le mieux avec vos élèves
Bonjour, peut-être une petit erreur dans l'indice de sommation à 4:06 sur la somme des ak.
Merci pour ces rappels :)
🎯 Key Takeaways for quick navigation:
00:00 *📝 Introduction à la série sur les séries numériques*
- Introduction à la série de vidéos sur les séries numériques, avec l'objectif de fournir un rappel complet sur le sujet.
01:03 *🧮 Définition et notation des séries numériques*
- Définition d'une série numérique comme une somme infinie de termes d'une suite numérique.
- Notation standard des séries et clarification sur les bornes de la somme.
03:07 *🎯 Relation entre séries et suites, critère de convergence*
- Les séries sont un cas particulier de suite, où chaque terme est la somme des termes précédents.
- Introduction au critère de convergence des séries et son importance dans l'analyse mathématique.
04:19 *🧠 Compréhension de la convergence des séries numériques*
- Explication de la convergence d'une série numérique et de la notation de la limite de la série.
- Illustration du paradoxe de la flèche pour souligner la subtilité de la convergence des séries infinies.
06:09 *🔍 Critère de divergence trivial et exemples de séries numériques*
- Introduction au critère de divergence trivial pour déterminer la divergence d'une série.
- Exemples de séries numériques, notamment la série géométrique et la série harmonique, pour illustrer les concepts de convergence et de divergence.
11:43 *📊 Séries numériques à terme positif*
- Convergence absolue des séries à terme positif : Si la somme des valeurs absolues des termes converge, alors la série converge.
- Critère de comparaison : Si les termes d'une série sont majorés par ceux d'une autre série convergente, alors la première série converge également.
- Comparaison avec une intégrale : Une série converge si son terme général est dominé asymptotiquement par celui d'une intégrale convergente.
13:22 *📚 Théorèmes de convergence pour les séries numériques*
- Convergence absolue implique convergence : Si une série converge absolument, alors elle converge.
- Critère de comparaison des séries : Si les termes d'une série sont majorés par ceux d'une autre série convergente, alors la première série converge également.
- Comparaison avec une intégrale : La convergence d'une série peut être déterminée en comparant son terme général à celui d'une intégrale convergente.
16:11 *🛡️ Critères de convergence pour les séries numériques*
- Critère de d'Alembert : Utilisé pour montrer la convergence des séries à terme positif en évaluant le comportement de la limite du quotient de deux termes consécutifs.
- Critère de Cauchy : La convergence d'une série peut être déterminée en évaluant la limite de la racine énième du terme général.
- Critère de Riemann : La convergence d'une série dépend de la limite du terme général élevé à une puissance alpha, avec des conditions spécifiques sur cette limite.
20:00 *🔄 Séries alternées et séries semi-convergentes*
- Théorème sur les séries alternées : Si une série alterne ses signes et que ses termes tendent vers zéro, alors la série converge.
- Séries semi-convergentes : Certaines séries convergent mais pas de manière absolue, nécessitant des critères de convergence plus spécifiques.
- Critère d'Abel : Un critère de convergence pour les séries alternées basé sur la convergence des séries de termes généraux correspondants.
22:35 *🔍 Aperçu des prochaines vidéos*
- Propriétés de linéarité, comparaisons et équivalents : Exploration des propriétés fondamentales des séries, y compris la linéarité, les comparaisons et les équivalents.
- Comparaisons avec une intégrale : Démonstration des séries de Riemann et de Bertrand en comparant avec une intégrale.
- Critères de convergence pour les séries à terme positif : Approfondissement des critères de convergence, notamment ceux de d'Alembert, de Cauchy et de Riemann.
- Séries alternées et semi-convergentes : Discussion sur les séries alternées et semi-convergentes, ainsi que sur les critères de convergence associés.
- Extensions avancées : Exploration d'autres sujets comme la multiplication de séries, la sommation par paquets, etc., pour les étudiants désireux d'approfondir leurs connaissances.
Chapeau bas!
Merci beaucoup pour cette super vidéo !
gros boulot merci
Excellente video !
j'ai pas encore terminé la vidéo mais j'aime déjà🙂
brillant... keep going
Excellent video! Mais svp avec quel logiciel on peut faire un montage vidéo comme ça
merci pour videos,
Merci !
Bonjour ! Ça fait longtemps que j'attendais ce chapitre... Trop cool!! Merci beaucoup 👍🏾👍🏾👍🏾
on se connait je crois
@@TheBelzebut666 et pourquoi tu dis ça ????
Question : dans votre premier exemple de la série sigma z^n est ce qu'on peut dire que la dérivée de cette série est égale à la série sigma n.z^(n-1) ? En école d'ingénieur , j'ai vu ça mais quels sont les termes du théorème qui nous dit ça ? En l'occurrence, c'est de la convergence du second sigma que je veux établir celle du premier. Plus exactement, peut-on dire que sigma (z^n)' = (sigma (z^n))' ?
Sur le disque ouvert de convergence oui, je le démontre dans les vidéos suivantes :-)
@@MathsAdultes Oui, j'ai retrouvé le théorème qui le dit, on a effectivement l'égalité sur le même rayon de convergence, merci pour votre vidéo, souvenirs de Capes d'un retraité
@@MathsAdultes À cela près que ma variable est z dans mes sigma, c'est-à-dire dire complexe, il faut donc étendre le théorème sur la dérivation d'une série entière aux séries de variable complexe qui dit la même chose mais qui sauf erreur n'est pas au programme de prépa, je me trompe ?
Merci infiniment. ..
Est ce que tu peux me dire ce que est le logiciel du montage utiliser 😊😀😀
En fait on a pas trop les moyens de faire du montage donc c'est un long plan séquence !
Vous avez fait une erreur sur la série de Bertrand à 13:00 car si a=1 elle peut aussi converger je suppose que vous savez sous quelles conditions
Je ne vois pas du tout de quoi vous parlez, avec la notation choisie ici, si alpha = 1 alors la série ne converge pas.
Merci Prof.
Petite question connexe:
Concernant le paradoxe de la flèche: la flèche parcourt la moitié de la distance, puis la moitié de ce qui reste et ainsi de suite. Zénon a raison de dire que jamais la flèche ne touche sa cible, étant donné que la série géométrique converge vers un nombre fini certes (ce que lui ne sait pas encore), mais ne l'atteint jamais au final !
Il semble que la façon d'envisager le mouvement, de le décomposer, qu'a Zénon soit viciée, mais où? Je ne saurais dire.
Il envisage le mouvement comme suite d'états statiques, bref, il ne l'envisage pas vraiment.
Si on l'envisage comme une fonction continue du temps dans l'espace, le paradoxe saute.
exceptionnel
Bonjour professeur
Je me permets une question un peu bête. J'ai un doute quant à la notion de "terme général d'une série".
L'exemple de la série géométrique trivial donne que Somme(z^n) = Somme [(1-z^(n-1))/(1-z)] converge bien vers 1/(1-z) dans le cas |x|
Le terme général d'une série Somme(u_n) est juste la suite (u_n). Donc si (u_n) ne tend pas vers 0 alors le série diverge mais on ne peut pas conclure que la série converge si (u_n) tend vers 0, la série converge si le reste tend vers 0 c'est-à-dire la somme des termes à partir d'un rang n doit tendre vers 0 quand n tend vers +oo.
@@MathsAdultes Je vous remercie pour votre réponse!
Je n'ai plus de doute concernant le terme général et l'exemple de la série géométrique.
Bien à vous
Adam Sarrasin
La notation R puisance N signifie t-il que les nombres sont positifs ? ( définition des suites alternées)
non non pas du tout
D ailleurs on peut montrer assez facilement que l existence de la limite dans le cas de d alembert implique l existence de la limite dans le critère de Cauchy mais ce n est pas réciproque.
Donc le critère de Cauchy est strictement plus puissant que le critère de D'Alembert
Merci tu as aidé mon ami Gagik le goat du38
merci
est ce que cette série de vidéos converge vers quelque chose ?😁
Une vidéo d'échec de Blitzstream s'est glissé dans cette playlist. Moi je dis "Et pourquoi pas?!" mais bon je le signale quand-même au cas où :p
Je ne sais pas comment j'ai pu faire ça sans m'en rendre compte...
Merci beaucoup pour l'information, j'aime bien blitzstream mais ça n'a rien à faire là ;-)
Superprof 💪
Svp un problème sur le produit de cauchy pour les s.n et les series entières
Je vais en parler dans la vidéo 6
Pour le paradoxe de Zénon on prend en fait des intervalles de temps de plus en plus petits. Si on prend t=2unités de temps Achille dépasse la tortue. Est ce bien cela ? :-)
oui tout-à-fait
depeche toi j'ai interro samedi envoie les videos
Cette et ces
N’importe quoi ces explications
merci pour ce commentaire très constructif ;-)
Merci