Discutir y resolver un sistema de ecuaciones 3x3 con parámetro mediante determinantes (Rouché)
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- เผยแพร่เมื่อ 21 ก.ย. 2024
- Correspondiente a 2º de Bachillerato, en este vídeo vamos a discutir y resolver (cuando sea posible) un sistema de ecuaciones lineales 3x3, es decir, 3 ecuaciones y 3 incógnitas, en función de un parámetro. El hecho de que en el sistema aparezca un parámetro implica que realmente existen infinitos sistemas, cada uno de los cuales puede tener una solución diferente (o no tener) según los valores que pueda tomar el parámetro.
La discusión se realiza mediante determinantes aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, que establece el tipo de sistema (según sus soluciones) en función de los rangos de la matriz de coeficientes (A) y matriz ampliada (A’).
• Si ran(A)=ran(A’) = número de incógnitas … Sistema compatible determinado
• Si ran(A)=ran(A’) MENOR QUE número de incógnitas … Sistema compatible indeterminado
• Si ran(A)=ran(A’)-1 … Sistema incompatible
La resolución, cuando el sistema es compatible determinado, se obtiene aplicando la regla de Cramer. Cuando el sistema es compatible indeterminado, resulta más conveniente aplicar el método de reducción. Cuando el sistema es incompatible, no tiene solución y el proceso termina ahí.
De forma alternativa, el sistema se puede discutir y resolver mediante el método de Gauss, escalonando la matriz del sistema.
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grande, explicas genial, no pares de hacer vídeos, gracias desde chile.
Muchas gracias desde España. Seguiré grabando a tope 😁
Gracias, explicas genial
¡Gran explicación!
La serie de videos es fantástica Andrés, tanto esta como las otras series que tienes sobre cada bloque de Matemáticas de la selectividad. Pero tengo una dudilla que me harías un gran favor si resolvieses.
Lo que no acabo de entender es por qué a la hora de evaluar el rango de la matriz ampliada tan solo se toma en cuenta el determinante de A´ de columnas (1,2,4), y no se evalúan todas las posibles combinaciones de las columnas. Por ejemplo, al hacer el determinante de A´ tomando en cuenta las columnas (1,3,4) en ese orden, obtienes que el rango es 0 para a = 3-2*(2)^1/2 y para a = 3+2*(2)^1/2. Evidentemente no es un resultado a evaluar de a tan cómodo como a=1, pero al resolver el SCI resultante y obtener X e Y en función de lambda, se verifican la ecuaciones, por lo que deberían ser correctos ambos valores de a, (a menos de que me haya colado en algún sitio). Entonces no estoy seguro de si, de cara al examen, debería evaluar también estos posibles resultados o no.
Se que es un rollazo lo que acabo de soltar, pero me ayudaría mucho si pudieses aclarármelo. De cualquier manera, gracias y un saludo!.
El método óptimo de calcular el rango consiste en orlar la matriz, esto es, cuando aseguras un cierto rango e intentar ver si tiene mayor rango debes introducir una fila y columna más. El método de orlar que minimiza el número de determinantes a calcular consiste en partir siempre del determinante que te ha asegurado cierto rango y añadir una fila o columna más a ese determinante. Por tanto, si el rango 2 lo has asegurado con f1 f2 c1 c2, para ver si tiene rango 3 parto de ese determinante al que completo con una fila y columna más. No sé si me explico...
@ Si, muchas gracias. En la matriz anterior tuve un error de signo y el resultado final era exactamente el mismo que el tuyo.
Mil gracias y sigue así, de verdad ayudas mucho. 😁🤙🏾
excelente, el que mejor lo explico
Muchas gracias 😊😊
En la EBAU podemos poner por ejemplo rg=2? O tenemos que poner rango para que lo entiendan?
Se expresa "rg" o "ran". Como más te guste ;)
Me podría decir en que libro o libros de textos viene este tema de rouche-frobenius. Lo busque el algunos libros de Algebra Lineal y no lo encontré, o quizás venga con otro nombre. Ojalá pueda ayudarme, gracias
Entiendo que al tratarse del tema de sistemas de ecuaciones, el alumno no tiene por qué saber (aunque deberia) que se trata de 3 planos y estamos buscando las zonas comunes (ya sean, un plano, una recta o un punto). De ahí que a mí me gustaría que se viera más tarde, una vez introducido geometría para darle un contexto y no operar por operar. De esa manera, por ejemplo, a ser rango 2 (hablo del caso cuando a = 1), lo que resulta es que los 3 planos se cortan en una recta y esos 3 planos NO están relacionados por lo tanto la ecuación a eliminar para dar la solución es CUALQUIERA y no la tercera como muchos profesores insisten. Repito, es darles un método y que lo sigan pero lo mejor sería que entendieran lo que están haciendo. En el caso de ser un SCI con rango 1, efectivamente ahí el contexto es que dos planos son el mismo y el tercero corta a ambos y es entonces cuando para eliminar una ecuación hay que fijarse y no vale cualquiera sino que habría que eliminar una de las dos que sean proporcionales (o que mediante Gauss me queden iguales). Herramientas como Geogebra y demás son de mucha ayuda para visualizarlo y que vean que da igual en el primer caso y no da igual en el segundo ;)
Cuando explico sistemas siempre voy dando pinceladas de geometría y les hablo de planos aunque no los hayamos formalizado como tal. Cuando llegamos a geometría y deducimos todo lo necesario es cuando les cuento que la geometría analítica es la "representación gráfica" del álgebra.
Buena explicación, mi problema es que tengo 2 parámetros. cómo lo resuelvo?
Exactamente igual. Si me pasas el sistema, creo que podría grabarlo en vídeo. No tengo ningún vídeo de sistema con dos parámetros y es interesante.
@
x+my-z=m
2x-y+nz=n
Muchas gracias
me hice un lío