Discutir y resolver un sistema de ecuaciones 3x3 con parámetro mediante determinantes (Rouché)
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- เผยแพร่เมื่อ 21 ก.ย. 2024
- Correspondiente a 2º de Bachillerato, en este vídeo vamos a discutir y resolver (cuando sea posible) un sistema de ecuaciones lineales 3x3, es decir, 3 ecuaciones y 3 incógnitas, en función de un parámetro. El hecho de que en el sistema aparezca un parámetro implica que realmente existen infinitos sistemas, cada uno de los cuales puede tener una solución diferente (o no tener) según los valores que pueda tomar el parámetro.
La discusión se realiza mediante determinantes aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, que establece el tipo de sistema (según sus soluciones) en función de los rangos de la matriz de coeficientes (A) y matriz ampliada (A’).
• Si ran(A)=ran(A’) = número de incógnitas … Sistema compatible determinado
• Si ran(A)=ran(A’) MENOR QUE número de incógnitas … Sistema compatible indeterminado
• Si ran(A)=ran(A’)-1 … Sistema incompatible
La resolución, cuando el sistema es compatible determinado, se obtiene aplicando la regla de Cramer. Cuando el sistema es compatible indeterminado, resulta más conveniente aplicar el método de reducción. Cuando el sistema es incompatible, no tiene solución y el proceso termina ahí.
De forma alternativa, el sistema se puede discutir y resolver mediante el método de Gauss, escalonando la matriz del sistema.
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Horas y horas de trabajo, todo condensado en un vídeo relativamente corto y conciso.
¡Gracias!
Has hecho que entienda 3 meses de segundo de bachiller en 12 minutos
tal cual
enserio te lo agradezco, mi profesora tiene tanta prisa que no puede explicar con un ejercicio en condiciones (so de 2º bach, aqui los profes siempre tienen prisa)
No es cosa de tu profesora únicamente. El temario es amplio y el tiempo, escaso. Para eso están los vídeos 😉
@hola Andrés espero que estés bien, suelo resolver este tipo de ejercicios (discutir sistemas con parámetro) utilizando el método cramer y me sale la misma respuesta que si alguien utiliza rouche, te quiero preguntar por favor si a la hora de corregir aceptan el metodo cramer, o es obligatorio utilizar el teorema de rouché, muchas gracias
Felicidades Andrés. Yo soy profe también pero me encanta ver lo bien que lo explicas. Es curioso que hay otros profes en you tube que se empeñan en las discusiones en función de un parámetro , en calcular todos los determinantes posibles en la matriz ampliada para hallar su rango y no aplican el método de ORLAR que simplifica magistralmente el cálculo del rango de la matriz ampliada.
Maravilloso, menuda capacidad para resumirlo todo lo máximo posible
Con usted no "se aprueba", se saca sobresaliente y a mucha honra :)
Mire, me has ahorrado canas de estrés y confusión. Mil gracias por esto :)
Eres un genio tío, mañana se aprueba
Muchas gracias. Seguro que sí y con notaza 😉😉
Me encantan todos sus vídeos.....derivadas,optimización, límites ,integrales....matrices y determinantes....he visto casi todos👍👍👍👍.....su gallito en el 6:56 xddd...me mató de la risa.....excelente profesor!!!!....
Muchas gracias por seguir el canal. Me alegro mucho que te guste 😊😊. Lo del gallo pasa cuando llevamos mucho tiempo seguido hablando 🤣🤣
Acabo de salvar mi semestre con este video. De corazón muchísimas gracias
Grande profe, salvando la selectividad
Andrés, de lo mejor de TH-cam para explicar matemáticas, superas a únicos y sushi profe bro
Muchas gracias :)
llevaba 2 semanas intentando entender hasta que vi este video, maravillosa forma de explicar :)
Muchas gracias :)
a una hora de la evau viendo a este genio jajajjajjaa muchas gracias por esto tio gracias a ti no he tenido que pagar ninguna academia
No me importan los videos largos, mucho menos con videos tan completos como éste.
Es excelente.
Muchas gracias por apreciarlo 😊. Sinceramente no me suelo preocupar lo que dure el vídeo. Siempre digo que los vídeos duran lo que tengan que durar, y punto.
Maravilloso, me ha servido para recordar y aclarar conceptos, muchas gracias :)
Muchas gracias 😊
Siempre vienen bien métodos nuevos! Gracias!
+Aidika xp a ti por visitar el canal :)
¡Muchas gracias!
Muy bien vídeo, me ayudó mucho.
Muchas gracias y un saludo
un genio , gracias crack
Muchas gracias Andres :)
hacia mucho tiempo que no sacaba un 10 en matematicas
No te imaginas cuánto me alegro. A seguir así 😊😊😊
Muchas gracias por tus videos, nos ahorran muchas horas para entender las mates.... :)
Muchas gracias :)
muchisimas gracias adrian, con mi profesor no entiendo una mierda, es usted un referente para muchos!!! Ya le contare que tal me sale el examen.
Mucha suerte :)
He suspendido el examen pero esto se saca visca Cataluña aúpa aleti viva Juana la loca (beltraneja)
Un salido crak
¡Muy útil el video!
Me salvas la vida Andrés que jefe
Este ejercicio cayó en el examen de selectividad de Galicia de 2019:
2x - y + 3z = 0
my + (3 - m)z = -6
2x - y + mz = 6
Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m.
b) Resolver (si es posible) cuando m = 0 y m = 4.
muchas gracias por el pedazo de vídeo, a ver qué tal me va el examen. Un abrazo!
Muchas gracias 😊
buen video , muchas gracias!
Muchas gracias!
Excelente!!!
Si el determinante fuese 0 y el sistema compatible indeterminado , las soluciones serían infinitas para x y z?
Correcto. Por definición, un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones.
Buenas Andrés, en el minuto 12:36, dices que la matriz ampliada (A prima) hay que resolverla con un determinante formado por la matriz de 2x2 que nos ha dado distinto de 0 y la columna de los términos independientes. Pero al resolver la matriz ampliada para ver su rango, no hay que hacer todos los determinantes posibles que salgan 0?
Es decir, como cogiendo la columna 1,2 y 4 el determinante sale 0, no habría que probar también haciendo el determinante de la columna 2,3 y 4 (aunque en esta caso también sale 0, pero en caso de que no saliese 0 el de la fila 2,3 y 4 no se coge según has dicho no? Solo se cogen las columnas con las que has resuelto la matriz A no??).
No es necesario. El método óptimo que permite calcular el mínimo número posible de determinantes es orlar la matriz, es decir, partir del determinante de orden inferior y completar con un orden superior.
Hola Andrés! Primero que nada te quería agradecer por enseñar con tanta buena onda.
Te quería consultar si tenes algún vídeo en el que expliques lo que es la solución de un sistema, ya que no puedo comprender lo que es.
Muchas gracias. Creo que no pero la explicación es muy sencilla. La solución de un sistema es el conjunto de valores de x, y, z que hacen que todas las ecuaciones se cumplan. Es lo mismo para que para ecuación que conoces pero para más ecuaciones y más incógnitas.
Viendo estos vídeos el dia antes de la EVAU de mate
rt
A topeee. Suerte!
Holaa :) , no he terminado de entender. En el primer caso de SCD al final cuantos rangos tiene ? 3? Porque siempre estamos hablando de determinantes y no veo el rango por ningún lado . Ni calculado ni nada . Se ha hallado x, y, z . Serían esos los rangos ? agradezco vuestra ayuda .
No entiendes perfectamente el concepto de lo que es el rango de una matriz. Mira los vídeos de la lista de reproducción de matrices por una parte, y los de determinantes por otra. Ahí se explica qué es el rango y como calcularlo por Gauss o determinantes. Es el paso previo para entender la discusión de los sistemas de ecuaciones.
Gracias!!! =)
No logro entender lo de los signos negativos a la hora de factorizar el denominador en el 8:45
Si no pones ese signo negativo y multiplicas los dos binomios de la factorización no obtienes el polinomio de segundo grado, sino ese polinomio cambiado de signo. Por eso hay que poner el menos delante.
me has salvado de una buena
Me alegro mucho 😊
me gusta esta forma de realizar los ejercicios
A mi parecer, más rápido que Gauss.
Entre Únicos y tu me habeis salvado el examen de mañana
Una pregunta andres, puedo discutir el sistema por el teorema de rouché y luego resolver el SCD por gauss,no?
Si no te detalla el enunciado el método de discusión y resolución, sin problema.
@ perfecto, gracias!
@ como seria si el sistema tuviese dos parámetros?
buenísimo 😁
Este vídeo me hubiese ido de perlas hace 4 días 😂
+Rafael Campaña pufff cuanto lo siento. No me da tiempo a generar el contenido más rápido. Pero bueno, ya estoy grabando vídeos sobre vectores.
+Mates con Andrés No pasa nada, haces lo que puedes sin recibir nada a cambio, qué menos que ir sin exigencias... Lo que si te pediría, si es que puedes, es subir los vídeos de vectores conforme los vayas teniendo listos ya que el examen de esta temática es dentro de dos semanas. En caso de que no puedas o vayan primero algunos vídeos de matrices lo entiendo, aún así seguiré viéndolos y dando mi like aún después de haber hecho el examen. Dicho esto, buenas tardes y gracias.
+Rafael Campaña El miércoles subiré el primer vídeo de vectores. Mi idea es (a falta de confirmación) hacer este jueves un directo de sistemas y la semana que viene otro de vectores. En mi página de Facebook voy informando sobre estos eventos. Saludos!
Que pasa si te dan m=1 y tienes que resolverlo por Cramer? se sustituye directamente en la matriz A?
Depende. Si el ejercicio solo te pide eso, sustituyes m por 1, compruebas por Rouché que para ese valor de m el sistema es compatible determinado. Luego aplicas la regla de Cramer y listo. Otra cosa es que el ejercicio te pida previamente todo lo que hago en el vídeo, en el que he calculado por Cramer todas las soluciones para cualquier m distinto de 2 y -3. En ese caso, después de haber hecho Cramer, sustituyo m por 1 en el valor de la x, la y y la z.
Eres un crack
Muchas gracias :)
Y por qué cuando m no es ni 2 ni -3, es compatible determinado? Si en las soluciones te sale 1 partido m + 3, m es como un parámetro, ¿no?
Estás confundiendo conceptos. Cuando tienes un sistema en el que aparece un parámetro, en realidad, tienes infinitos sistemas (uno diferente para cada valor diferente del parámetro). En este caso, cuando m es distinto de 2 y de -3, hemos razonado por Rouché que el sistema es compatible determinado, eso quiere decir que tiene solución única. Y en realidad es así. Tiene una única solución cada uno de los sistemas para cada valor del parámetro (que no sea ni 2 ni -3). Cosa diferente a todo esto es cuando tienes un sistema sin parámetro (solo tienes un sistema) que razonas que acaba siendo compatible indeterminado. Eso quiere decir que tiene infinitas soluciones, que se expresan con un parámetro (habitualmente lambda).
En resumen, no hay que confundir el parámetro que te dan en un sistema que da lugar a infinitos sistemas, con el parámetro de la solución de un sistema compatible indeterminado.
No sé si me he explicado... Piénsalo detenidamente.
@ osea que m no contaría como "parámetro" por que excluye a 2 y -3...
No tiene nada que ver con eso.
Es necesario cambiar el simbolo de los determinantes al principio?
No sé a qué te refieres.
UFFFFFFFFFF, que buen vídeo
Hola!! Alguien me podría explicar por qué aplica Cramer al principio, para sacar "x, y, z"?? Es necesariamente obligatorio aplicarlo?
Aplico Cramer como podría haber aplicado Gauss.
Que crack
+Dupstafmusic Muchas gracias :)
El rango puede ser mayor que el nº de incógnitas?? Gracias!!
El de la matriz de coeficientes nunca. Si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, la matriz ampliada podría llegar a tener más rango que el número de incógnitas.
Seguro que ese es el método de rouche?
Segurísimo
Entendido no...lo siguiente, ¡Muchísimas gracias!
Yo estoy dando el de Gauss, tengo que ver el vídeo
+TheCobraWTF Normalmente se da primero Gauss y luego Rouché-Cramer.
Mates con Andrés este es un poco más complejo, he visto el de Gauss y lo entendí a la primera, es fácil
+TheCobraWTF Rouché-Cramer puede parecer más lioso al principio pero cuando tienes práctica en hacer determinantes creo que es más rapido que Gauss. Aunque para gustos, los colores.
Mates con Andrés claro está, cada uno tiene su método preferido :)
El 24 como lo has hecho?
Te quiero
Dejo aquí el sistema que cayó en el examen de selectividad de Navarra de este año:
(a - 1)x - y = 3
(a - 1)x + (a + 1)y - (2 - a)z = -2a
(-2a + 2)x - ay + (a^2 - a - 2)z = 3a - 1
El ejercicio pide discutirlo y resolverlo en todos los casos que sea posible. No me parece difícil, pero lo veo exageradamente largo y farragoso para ponerlo en un examen tan trascendental.
Lo vi. Es muy largo si no te das cuenta como hacer ceros rápidamente.
a mi en la ecuacion de segundo grado me da como soluciones -2 y 3.
Revisa bien tus cálculos porque las soluciones son 2 y -3. O sino, dime cómo la has resuelto y te corrijo.
a ver yo he cogido directamente la ecuación de segundo grado -m2 - m + 6 y la he puesto en la ecuación de segundo grado y me sale -1 + 5 partido -2 y -1 - 5 partido -2
Fíjate que en la ecuación b= -1, por lo que en la fórmula, cuando colocas -b al inicio, te queda -(-1)=1 y no -1 como has puesto tú. ¿Lo ves?
Mates con Andrés es verdad, vaya error tan tonto, me la aprenderé bn bn para que no me pase ese fallo, muchísimas gracias, de gran ayuda el vídeo y la corrección que me has hecho ha estado de 10. ;)
Cualquier cosa que necesites ya sabes donde encontrarme 😉😉
¿Como se el rango si no es cuadrada?
En estos dos vídeos lo explico:
th-cam.com/video/i9ADhp9Xo3A/w-d-xo.html
th-cam.com/video/2eUraccsOa8/w-d-xo.html
En el minuto 14:27, ¿no cabría aún la posibilidad de que el rango sí fuera 3? ¿Por qué no has probado a partir de otra matriz que no fuera la 2x2 de arriba a la izquierda? A lo mejor con la matriz orlada que excluye la primera columna te sale rango 3.
No va a tener rango 3. El método de orlar es el que te garantiza que el número de determinantes a calcular es el mínimo posible. Puedes probar a calcular cualquier otro determinante de orden 3 y verás que todos son nulos ;)
me ayudarias con el sistema
x + (a+2)y + az = -1
-ax + (2a + 3)y +z = 1
x + (a+2)y + z = -a
por favor.
Primero tienes que escribir el sistema en forma matricial. Después tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes, ya que esa matriz es cuadrada y de ahí te van a salir los casos de la discusión. Se puede hacer aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por adjuntos (en este caso es más fácil hacerlo así). El determinante es un polinomio de grado 3 cuyas raíces se obtienen por Ruffini. Dichas raíces son a=1, a=-1 y a=-3. Si 'a' es distinto de esos valores, el sistema es compatible determinado. Si a=1 o a=-1, el sistema es compatible indeterminado; y si a=-3, el sistema es incompatible.
Para obtener la solución general del sistema se puede aplicar la regla de Cramer o el método de Gauss (en este caso es más fácil hacerlo por Gauss). La solución es:
x = -2a-3 / a+3
y = -a / a+3
z = 1
La solución para a=1 es:
x = -1-1/4*lambda
y = -1/4*lambda
z = lambda
siendo 'lambda' un parámetro real.
Y la solución para a=-1 es:
x = lambda
y = -lambda
z = 1
siendo 'lambda', como en el caso anterior, un parámetro real.
Espero que todo esto te sirva de ayuda.
¿Como sabes que el rango de A es igual al de A ampliada en este caso para poder utilizar el teorema de Rouché?
No entiendo a que razonamiento has llegado para dar por hecho que es 3 y no 2 sin calcular nada, se que maximo puede ser 3 por la menor de sus dimensiones pero, puede que haya algo del rango que no entienda.
¿A qué caso te refieres? ¿m=2? ¿m=-3? ¿m distinto de 2, m distinto de -3?
Mates con Andrés Has sacado el rango de la matriz A que es 3 y has seguido como dando por hecho que el teorema de Rouché se cumple y ek rango de A es igual al de A' pero el rango de A' no puede ser 2?, el rango de A y A' podrian haber sido diferentes y haberse tratado de un sistema incompatible, pero en el video no dices por qué sabes que el rango es el mismo, es decir, el por qué es un sistema compatible determinado, no sé si me explico, puede que me esté haciendo la liada padre yo solo
Teniendo en cuenta que la matriz A' está formada por la matriz A y una columna más, el rango de A' es como mínimo el rango de la matriz A. Cuando el rango de A es máximo (3 en este caso) el rango de A' no puede ser más de 3. Recuerda que A' es una matriz de 3x4 y su rango está limitado por la menor de las dimensiones (vamos que nunca puede ser 4). ¿Me sigues?
Mates con Andrés Creo que el problema es mío y no tuyo jajajaja no te preocupes, no me entero del rango del todo bien
Gracias por salvarme el culo una vez más
6:56
podrias tener en cuenta a las personas que no tenemos esa agilidad matematica que tienes tu, y no ir tan rapido porfavor? explicas genial pero demasiado rapido para mi, que preparo la prueba de acceso a la universidad para +25 y hace 10 años que no sé lo que son las matematicas, sin animo de ofender, de todas formas, gracias, me ha servido mucho.
Muchas gracias. Cuando dices de explicar más lento, ¿te refieres a que detalle más la explicación o simplemente que diga lo mismo pero más despacio? Si es lo segundo, siempre puedes reproducir el vídeo un poco más lento, por ejemplo a x0.75.
Me refería a detallar un poco mas la explicación ya que venía de otro canal donde explican más pausado, pero tras ver el video del curso de probabilidad completo ya te he pillado el ritmo y retiro lo dicho en mi anterior comentario, me quedó todo clarísimo 😅 mil gracias por involucrarte tanto en el canal, no te haces una idea de lo mucho que me están ayudando tus videos!! 🙏
Porque m no se trata como una incognita?
O mejor dicho como sabemos que no lo es
aah entiendo, porque no es equacion + m, es m multiplicado por una de las incognitas
No entiendo cómo calculas lo de la raíz
Si los términos independientes fuesen 0, el rango de la Matriz ampliada seguiría siendo 3 (para cuando m es distinto de 2 y de -3)
Si los términos independientes son cero, el rango de la matriz ampliada coincide con el rango de la matriz de coeficientes.
@ Pero el rango sería 3 o 2? Muchas gracias!!
Si los términos independientes fuesen 0, el sistema sería homogéneo. Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes sería siempre igual al de la matriz ampliada; y eso significa que el sistema siempre tiene solución (los sistemas homogéneos nunca son incompatibles). Si m es distinto de 2 y de -3, el rango de las 2 matrices es 3, y al coincidir con el número de incógnitas, el sistema sería compatible determinado, siendo su única solución la trivial o implícita (x=0, y=0, z=0). Y si m es 2 o -3, el rango de las 2 matrices es 2, y al ser menor que el número de incógnitas, el sistema sería compatible indeterminado, con soluciones infinitas dependientes de un parámetro.
mi padre
parece tan fácil, y luego sarrus me caga el ejercicio entero😫