Lust auf mehr Rätsel in dem Style? Check this out: th-cam.com/play/PLW6pxDxlBvBlZz_IFUOSYbJ4k0Y-qRLdX.html Je öfter ihr solche kleinen Aufgaben löst, desto geschickter werdet ihr - versprochen! 🦊 PS: Wenn ihr was über Amazon bestellen wollt die Tage und mir so kostenlos etwas spenden möchtet, dann geht über diesen Link zu Amazon: amzn.to/3Do3IM5 Es muss nichts mit dem Mikrofon zu tun haben, zu dem ihr über den Link kommt, ihr könnt alles bestellen was ihr sowieso bestellt hättet. Für euch ist alles wie immer, aber Amazon gibt dann einen prozentualen Anteil an mich ab und ich bin euch wahnsinnig dankbar!! ❤
Das Zentrum Z der Raute liegt im Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Diese schneiden sich senkrecht. Folgt man von Z aus der langen Diagonalen nach links bis zur Spitze der Raute, so geht man 4 Einheiten nach links und 2 nach oben. Folgt man der kurzen Diagonalen nach rechts bis zur dortigen Ecke der Raute, so geht man 2 Einheiten nach oben und 1 nach rechts. (Formal kann man sich ein Koordinatensystem mit dem Ursprung Z vorstellen und die Diagonalen durch Geradengleichungen beschreiben. Dann bekommt man den Zusammenhang für zwei Geraden, die sich senkrecht schneiden.) Die Entfernung zwischen den beiden Eckpunkten beträgt als 4+1=5. Das ist die Kantenlänge. Der Flächeninhalt der Raute ergibt sich mit der Kantenlänge 5 und der Höhe 4 zu 4*5=20.
Ich habe es ganz anders gemacht. Dass die gelbe Fläche ein Rhombus ist, war mir zuerst garnicht aufgefallen. Die grüne Diagonale des horizontalen Rechtecks teilt dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen 4, 8, und D. Nach Pythagoras ist Länge D=4×sqrt(5), . Dann hab ich die gelbe Fläche entlang ihrer beiden Diagonalen (grün und rot) in vier kleine rechtwinklige Dreiecke geteilt, die zueinander kongruent sind (bis auf Spiegelung). Diese Dreiecke sind den oben genannten größeren ähnlich, weil sie (mindestens) einen Winkel gemeinsam haben (neben dem rechten). Die Länge ihrer längeren Schenkel ist D/2. Auf Grund der Ähnlichkeit, sind ihre kürzeren Schenkel halb so lang, also D/4. Die Fläche von jedem der kleinen Dreiecke ist (1/2)×(D/2)×(D/4) = D²/16. Weil D = 4×sqrt(5) ist, ist D² = 16×5. Somit ist die Fläche gleich 5. Die gelbe Fläche besteht aus vier dieser Dreiecksflächen. 4×5 = 20.
Hey Rainer! Ein sehr schöner Ansatz!! Danke dafür! Finde es immer wieder faszinierend, was wir hier für tolle, smarte, kreative Alternativlösungen in den Kommentaren diskutieren können. Das erweitert echt den Horizont!! 😍
In einem Rhombus stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht, das ist o.k., aber woher weißt du, dass die kurze Diagonale halb so lang ist wie die lange?
@@gelbkehlchen Das weiss ich nur indirekt. In erster Linie weiss ich, wie gesagt, dass das kleine Dreieck dem großen ähnlich ist. Das grosse hat den kurzen Schenkel von 4 und den langen von 8. Das Verhältnis 4:8 oder 1:2 ist bei jedem ihm ähnlichen Dreieck dasselbe.
@@rainerinedinburgh5807 Jawoll, jetzt habe ich verstanden, welches du mit dem großen Dreieck meinst. Die Begründung ist richtig. Alles o.k.. Schöner anderer Rechenweg.
hab jetzt über 2,5 h krampfhaft nach einem noch chiceren weg gesucht - nix zu machen. was sich evtl noch zu erwähnen lohnte, wäre, dass c auch deswegen gleich 8-x ist, weil die vier äußeren dreiecke in den winkeln gleich sind, also die gleichen seitenverhältnisse aufweisen müssen. legt man die vier entsprechend zusammen, erhält man zwei rechtecke mit diagonale 8-x und den seiten x und 4. womit wir wieder bei magda wären. rechnet man dann die fläche über die höhen aus (A=0,5ef), ist der einzige lichtblick, dass sich für f=√20 ergibt und es sich lohnt, √80 in √4*√20 zu trennen, weil man dann für A direkt 1*20 erhält. langer rede, kurzer sinn: wer heller leuchten will, als magdas licht, sollte schon deutlich heller sein, als ich.
Herzlichen Dank für diese interessante Aufgabe 🙏Ich habe die Ähnlichkeitssätze geschrieben für die Dreiecke, oben das über dem Rechteck schaut und für das Dreieck, auf der rechten Seite, das sich im Rechteck befindet. Daraus lässt sich der Satz von Phytagoras schreiben als 4²+x²=(8-x)² wenn man diese Gleichungen auflöst kommt: 16x=48 und x=3. Wenn man die beiden Dreiecke aus dem Rechteck herauszieht, findet man das gelbe Parallelogramm: 4*8-2*(4*3)/2 = 20 FE 🤗
Anderer Lösungsansatz, der zwar etwas schwieriger zu erkennen ist, allerdings jede Menge Rechenaufwand wegnimmt: wenn man von den Schnittpunkten gerade Linien nach unten zieht, entstehen 2 weitere rechtwinklige Dreiecke im gelben Bereich. Diese sind aber gar nicht so interessant, sondern eher, dass zwischen den Dreiecken ein kleines Rechteck entsteht. Und jetzt zur wichtigen Erkenntnis: dieses kleine Rechteck ist IMMER - unabhängig vom Seitenverhältnis der großen Rechtecke - kongruent zu den großen Rechtecken. Heißt: das Seitenverhältnis ist gleich. Wenn also vom großen Rechteck die lange Seite 8 und die kurze Seite 4 ist, ist das Seitenverhältnis 2:1. Also muss dies auch für das kleine Rechteck gelten. Hier ist die lange Seite 4, also muss die kurze Seite 2 sein. Damit ergibt sich ebenfalls für das x in Magdas Zeichnung 3: 8-2x=2 -> 6=2x -> x=3. Jetzt kann man das Parallelogramm berechnen oder auch vom großen Rechteck die Dreiecke abziehen. Die Formel für alle solche Parallelogramme ist damit schon etwas komplexer herzuleiten, aber für alle Seitenverhältnisse von langer Seite L und kurzer Seite K gültig: (L²+K²)*K/2L
Ganz entspannt bei einem Glas Bier, erkenne ich die Diagonale aus den Katheten 8 und 4 ... 🤪 Das Parallelogramm ist zugleich ein Rhombus und für den gilt: Ar = 1/2 * dl * dk (0.5 mal lange Diagonale mal kurze Diagonale) dl = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = √(16*5) = 4√5 Die kurze Diagonale steht im Rhombus (Raute) senkrecht auf der langen und da sehe ich die Katheten 4 und 2. Sie ist also genau halb so lang wie die lange Diagonale: dk = 2√5 Ar = 1/2 * 4√5 * 2√5 = 4√5√5 = 4*5 = 20
√80 ist schön zu sehn, damit kann's gehn. Und das phänomenale: es geht um die Diago.... nale. Wie meistens: fast auf gleicher Wellenlänge schwimmen wir! Auch ohne Bier. Lambda oder λ, "quasi auf schlau" (0:27). Ganz entspannt ... wird Vieles erkannt.
Diese Aufgabe zeigt auch sehr schön, wie man die Formel fürs Parallelogramm herleiten (oder bestätigen) kann: Die von dir berechnete Formel: 8*4 - 1/2*2*3*4 oder verallgemeinert (g+x)*h - 1/2*2*x*h wobei g die Grundseite des Parallelogramms ist und x die Grundseite des Dreiecks. Jetzt kann man umstellen: (g+x)*h - 1/2*2*x*h = (g+x)*h - x*h = (g+x-x)*h = g*h Flächeninhalt fürs Parallelogramm ist also Grundseite mal Höhe, egal wie groß die Grundseite des Dreiecks ist!
Danke. Hast du extra für mich ein Geometrie-Beispiel gewählt? 😍 Sehr nett von dir 🙏 Ich habe es genau so gemacht wie du. Also mit dem Pythagoras. (8-x)^2=4^2 + x^2 64-16x+x^2 = 16+x^2 /-x^2 64-16x=16 /:16 4-x=1 /-1+x 3=x x=3 Dann habe ich das Parallelogramm, aber Raute genannt. Ist ja ein spezielles Parallelogramm, weil ja alle vier Seiten gleich lang sind und zwar a=8-x=8-3=5 LE Die Höhe ist 4 LE. Also A=a*h=5*4=20 FE LG Gerald
@@magdaliebtmathe Es wird besser. Langes Sitzen tut noch weh, aber ich merke auch beim Sitzen und beim Aufstehen eine Verbesserung. Jetzt muss ich nur noch alleine die Schuhe zubinden können und ab geht's. LG Gerald
Son bisschen drum rum gemogelt habe ich mich hier ja schon .... Die Vier Dreiecke haben eine Seitenlänge 4 und die anderen beiden mussten zusammen 8 ergeben. Es gibt ja dieses genau so schöne, wie beliebte 3, 4, 5 Dreieck mit dem Rechten Winkel. Da 3 und 5 so schön in die 8 passen, hat man die fehlenden Längen und kann in einer Seite die beiden Dreiecke zu 3 x 4 zusammenfassen und kommt auch auf 20.
wenn ich darf, möchte ich ne frage drauf setzen: welches seitenverhältnis muss ein rechteck aufweisen, bei dem nach der drehung in die oben abgebildete lage, der winkel zw der kurzen seite und der früheren lage der langen seite 45° beträgt? lösung: sin 45° ≈ 0,7 das bedeutet, dass die beiden gleichlangen katheten zur hypotenuse im verhältnis 7 zu 10 stehen. magda hat gezeigt, dass die hypotenuse 5/8 der seitenlänge der langen seite ausmacht, bedeutet: die lange seite ist 16 einheiten lang, die kurze (= ankathete) ist 7 lang.
@@magdaliebtmathe Nee. Vielleicht ist das aber auch eine Gemengelage aus vielem? 1). Ist das offensichtlich eine Aufgabe, die man nur lösen kann, wenn man mathematisches Verständnis hat!? - Hab ich nicht. Vieles, was nicht nach Schema F zu lösen ist, kapier ich nicht, es sei denn, es ist wirklich offensichtlich. 2). Wenn mit Variablen gearbeitet wird, verstehe ich es schon Mal gleich gar nicht. 3). Seit meinem Abitur vor 11 Jahren gehen bei mathematischen Aufgaben bei mir sofort die Rolladen runter. 4). Ich habe Germanistik studiert. Ich brauche Grautöne. Mit Fächern, in denen es nur schwarz oder weiß gibt, konnte ich noch nie etwas anfangen (es sei denn, wie gesagt, es läuft nach Schema F ab). Irgendwo in der Mitte liegt da die Wahrheit 🤷
Ich hätte hier mit Pythagoras die Diagonale ausgerechnet, die ja auch die Diagonale des Parallelogramms ist. Dann hätte ich - wieder mit Pythagoras - die Seitenlängen des gelben Parallelogramms ausgerechnet. Da ich aus der Grafik weiß, dass es aus zwei kongruenten gleichschenkligen Dreiecken besteht, kann ich dann die Fläche eines Dreiecks ausrechnen und anschließend mal 2 nehmen.
Im Kopf gelöst, nur hab ich recht schnell erkannt, dass "3²+4²=5²" ist. (Ist ein recht bekanntes Dreieck.) Lustiger wäre die Aufgabe, wenn man die länge der obere Seite nicht mit angibt. Dafür muss man dann aber sagen, dass die Lösung eine Ganze Zahl ist.
Wenn die längere Kathete eines rechtwinkeligen Dreieckes 4 beträgt und die kürzere Kathete plus die Hypotenuse 8, dann ist klar dass die kürzere Kathete 3 und die Hypotenuse 5 sein muss, sagt der Zimmermann, der täglich so den Rechten Winkel sucht.
Lösung: Das obere herausragende blaue Dreieck und das rechte herausragende rote Dreieck sind kongruent. Denn sie haben den Scheitelwinkel gemeinsam, außerdem den rechten Winkel und außerdem die Seite mit der Länge 4. Das ist der Kongruenzsatz SWW. Die obere rechte waagerechte Kathete des rechten herausragenden roten Dreiecks nenne ich x. Dann gilt wegen der Kongruenz nach dem Satz des Pythagoras: x²+4² = (8-x)² ⟹ x²+16 = 64-16x+x² |-x²-16+16x ⟹ 16x = 48 |/16 ⟹ x = 3 ⟹ Dann hat das gelbe Parallelogramm eine Grundlinie von 8-x = 8-3 = 5 und die Höhe ist 4, damit ist die Fläche: 5*4 = 20 Flächeneinheiten
Hey Hans-Dieter! Sehr schön, dass du nochmal an die Kongruenzsätze erinnerst! Ich find‘s immer wieder faszinierend, wie horizontserweiternd und kreativ eure Alternativlösungen hier in den Kommentaren sind! Total toll!! Danke dafür! 🙏🤩💙
@@magdaliebtmathe Danke Magda, mir fällt aber gerade auf, dass ich die Winkelbegriffe nicht mehr richtig im Kopf habe, es hätte natürlich Scheitelwinkel statt Wechselwinkel heißen müssen, ich korrigiere das.
Hi. Sehr schöne Aufgabe... Irgendwie hab' ich wiedermal das Gefühl, dass es auch eleganter gehen könnte. Aber leider weiss ich (noch ?) nicht wie. LG Apus Nunn
Da es eine Raute ist, stehen die Diagonalen im rechten Winkel aufeinander. Es gilt somit auch die Formel A=e*f/2 Die eine Diagonale berechnet man mit: f=Wurzel(8²+4²) f=Wurzel(64+16) f=Wurzel(80) Die andere Diagonale berechnet man mit: (da muss man schon wissen, dass x=3 ist) e=Wurzel(2²+4²) e=Wurzel(4+16) e=Wurzel(20) Die Fläche ist dann: A=e*f/2 A=Wurzel(80)*Wurzel(20) / 2 A=Wurzel(1600) / 2 A=40/2 A=20 FE Eleganter ist das aber nicht. LG Gerald
Wenn man weiss, dass die Diagonale des Rechtecks aus dessen Seiten (Katheten der Diagonale) 8 und 4 berechnet werden kann, dann weiss man aufgrund der im rechten Winkel aufeinander stehenden Diagonalen der Raute (Rhombus) und aufgrund der Ähnlichkeit der Winkel auch, dass die kurze Diagonale sich aus den Katheten 4 und 2 berechnet und damit genau halb so lang sein muss. (siehe meine Lösung im separaten Kommentar)
@@GetMatheFit Sehr schön! Man kann es sich auch einfacher machen: tan(α) = 1/2 → tan(2α) = 4/3 → x = 3 Aufgrund der Symmetrie muss die obere linke Kathete genauso lang sein wie die Höhe des Rechtsecks (= 4). Diese beiden spannen ein Deltoid auf mit der Symmetrieachse = 4√5. Mit x = 3 sieht man sofort, dass wir es - wieder einmal - mit einem Pythagoräischen Triple (3-4-5) zu tun haben, wenn wir das oben aus dem Rechteck herausragende Dreieck betrachten (das sich natürlich bei dem „rechten“ Dreieck (x, 4) noch einmal abbildet) 🙂 Man kann auch ein x-y-Koordinatensystem durch den Schnittpunkt der beiden Rechteck-Diagonalen legen. Die Orthogonale der Diagonalen mit Steigung -1/2 hat entsprechend die Steigung 2 → f(x) = 2x Da der Mittelpunkt des Rechtecks auch dessen Höhe halbiert, kann die zweite Gleichung aufgestellt werden: g(x) = 2 → f(x) = g(x) → x = 1 → (8 - x) = 4 + 1 = 5 → x = 3. 🙂
Ich habe das ganze mit Winkel gemacht und mit Variabel und dann ist mir aufgefallen, wenn die eine Seite n lang ist und die andere 2n dann ist der Flächeninhalt des Parallelogramms 1,25n²
@@magdaliebtmathe Nein ich würde aber gerne ich gehe in die 10 Klasse kann aber schon alle Oberstufen Themen. Ich habe schon Vorkurs Unterlagen zur Mengenlehre vom meinen Mathelehrer bekommen und arbeite gerade an einen verbesserten Sieb des Eratosthenes. Ich gucke fast alle deine Videos.
@@magdaliebtmathe Ich komme aus NRW und ich glaube nicht das ich die ZP10 mit schreibe. Ich möchte dir aber danken, wegen deinem Fußballvideo, habe ich mich mit sphärische geometrie beschäftigt. Spannend! Mein Ziel ist es Professor in Mathematik und Physik zu werden. Kannst du mir vielleicht einen Tipp dafür geben?
kannst du mir das nach "x" auflösen? x^4-2x^3+5x^2-10x+5=0 numerisch kriege ich eine Dezimalzahl raus... Aber ich hätte gerne den genauen Zahlenwert. Eine Wurzel oder einen Bruch.
@@magdaliebtmathe neee da kommen ganz krumme Zahlen raus. 2 NST sind imaginär. Ferrari & Kardano, haben eine Formel entwickelt, wir man das löst. aber ich werde aus den Ergebnissen nicht schlau, die ich da bekomme.
Hey, kann mir irgendjemand sagen wie man (schnitpunktberechnung) aus 3*2hoch x-5 = 2 hoch x +1 berechnet irgendwie verwiert mich das es da auf beiden Seiten die 2 ist die das hoch x hat🤔
@@magdaliebtmathe also ich bin jetzt soweit: 3*2^x -5=2^x +1 Man soll ja die Zahlen auf eine Seite bringen und die x: 3*2^x -2^x =6|zusammenfas. (3-1)*2^x=6 2*2^x=6 Kann ich dann jetzt einfach durch zwei machen, oder müsste ich es zusammenfassen also 2^x+1=6...
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Je öfter ihr solche kleinen Aufgaben löst, desto geschickter werdet ihr - versprochen! 🦊
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Magda ist die schönste Mathe Lehrerin dieser Erde
Ohhhh, Stefan, wie süß du bist - das hast du sehr schön gesagt. Ich werd gerade ganz rot!! 😃😅🤭
Das Zentrum Z der Raute liegt im Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Diese schneiden sich senkrecht.
Folgt man von Z aus der langen Diagonalen nach links bis zur Spitze der Raute, so geht man 4 Einheiten nach links und 2 nach oben.
Folgt man der kurzen Diagonalen nach rechts bis zur dortigen Ecke der Raute, so geht man 2 Einheiten nach oben und 1 nach rechts.
(Formal kann man sich ein Koordinatensystem mit dem Ursprung Z vorstellen und die Diagonalen durch Geradengleichungen beschreiben. Dann bekommt man den Zusammenhang für zwei Geraden, die sich senkrecht schneiden.)
Die Entfernung zwischen den beiden Eckpunkten beträgt als 4+1=5. Das ist die Kantenlänge.
Der Flächeninhalt der Raute ergibt sich mit der Kantenlänge 5 und der Höhe 4 zu 4*5=20.
Oha! Eleganter Lösungsweg! 🤩🤩
Ich habe es ganz anders gemacht. Dass die gelbe Fläche ein Rhombus ist, war mir zuerst garnicht aufgefallen.
Die grüne Diagonale des horizontalen Rechtecks teilt dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen 4, 8, und D. Nach Pythagoras ist Länge D=4×sqrt(5), .
Dann hab ich die gelbe Fläche entlang ihrer beiden Diagonalen (grün und rot) in vier kleine rechtwinklige Dreiecke geteilt, die zueinander kongruent sind (bis auf Spiegelung). Diese Dreiecke sind den oben genannten größeren ähnlich, weil sie (mindestens) einen Winkel gemeinsam haben (neben dem rechten). Die Länge ihrer längeren Schenkel ist D/2. Auf Grund der Ähnlichkeit, sind ihre kürzeren Schenkel halb so lang, also D/4.
Die Fläche von jedem der kleinen Dreiecke ist (1/2)×(D/2)×(D/4) = D²/16. Weil D = 4×sqrt(5) ist, ist D² = 16×5. Somit ist die Fläche gleich 5.
Die gelbe Fläche besteht aus vier dieser Dreiecksflächen. 4×5 = 20.
Hey Rainer! Ein sehr schöner Ansatz!! Danke dafür! Finde es immer wieder faszinierend, was wir hier für tolle, smarte, kreative Alternativlösungen in den Kommentaren diskutieren können. Das erweitert echt den Horizont!! 😍
In einem Rhombus stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht, das ist o.k., aber woher weißt du, dass die kurze Diagonale halb so lang ist wie die lange?
@@gelbkehlchen Das weiss ich nur indirekt. In erster Linie weiss ich, wie gesagt, dass das kleine Dreieck dem großen ähnlich ist. Das grosse hat den kurzen Schenkel von 4 und den langen von 8. Das Verhältnis 4:8 oder 1:2 ist bei jedem ihm ähnlichen Dreieck dasselbe.
@@rainerinedinburgh5807 Jawoll, jetzt habe ich verstanden, welches du mit dem großen Dreieck meinst. Die Begründung ist richtig. Alles o.k.. Schöner anderer Rechenweg.
Das Wort Rhombus wird ja echt genutzt :D. Die meisten sagen einfach Raute :P
Feier deine Videos! 👌
Wie schön! 😍
Das freut mich sehr! ❤️
hab jetzt über 2,5 h krampfhaft nach einem noch chiceren weg gesucht - nix zu machen. was sich evtl noch zu erwähnen lohnte, wäre, dass c auch deswegen gleich 8-x ist, weil die vier äußeren dreiecke in den winkeln gleich sind, also die gleichen seitenverhältnisse aufweisen müssen. legt man die vier entsprechend zusammen, erhält man zwei rechtecke mit diagonale 8-x und den seiten x und 4. womit wir wieder bei magda wären. rechnet man dann die fläche über die höhen aus (A=0,5ef), ist der einzige lichtblick, dass sich für f=√20 ergibt und es sich lohnt, √80 in √4*√20 zu trennen, weil man dann für A direkt 1*20 erhält.
langer rede, kurzer sinn:
wer heller leuchten will, als magdas licht,
sollte schon deutlich heller sein, als ich.
Haha, ein sehr schmeichelhaftes Fazit! Thxxxx! 😘😘😘
5:12: Das ist nicht nur ein Parallelogramm, sondern sogar ein Rhombus. Deshalb funktioniert das Ganze mit Pythagoras ja auch.
Bingo! Sehr gut gesehen! 🦊🦊🦊
...ein kleiner Geometrie-Snack für Zwischendurch,...☺☺
Jaaaa, das trifft es, oder? 🙂
Herzlichen Dank für diese interessante Aufgabe 🙏Ich habe die Ähnlichkeitssätze geschrieben für die Dreiecke, oben das über dem Rechteck schaut und für das Dreieck, auf der rechten Seite, das sich im Rechteck befindet. Daraus lässt sich der Satz von Phytagoras schreiben als 4²+x²=(8-x)² wenn man diese Gleichungen auflöst kommt: 16x=48 und x=3. Wenn man die beiden Dreiecke aus dem Rechteck herauszieht, findet man das gelbe Parallelogramm: 4*8-2*(4*3)/2 = 20 FE 🤗
Anderer Lösungsansatz, der zwar etwas schwieriger zu erkennen ist, allerdings jede Menge Rechenaufwand wegnimmt: wenn man von den Schnittpunkten gerade Linien nach unten zieht, entstehen 2 weitere rechtwinklige Dreiecke im gelben Bereich. Diese sind aber gar nicht so interessant, sondern eher, dass zwischen den Dreiecken ein kleines Rechteck entsteht. Und jetzt zur wichtigen Erkenntnis: dieses kleine Rechteck ist IMMER - unabhängig vom Seitenverhältnis der großen Rechtecke - kongruent zu den großen Rechtecken. Heißt: das Seitenverhältnis ist gleich. Wenn also vom großen Rechteck die lange Seite 8 und die kurze Seite 4 ist, ist das Seitenverhältnis 2:1. Also muss dies auch für das kleine Rechteck gelten. Hier ist die lange Seite 4, also muss die kurze Seite 2 sein. Damit ergibt sich ebenfalls für das x in Magdas Zeichnung 3: 8-2x=2 -> 6=2x -> x=3. Jetzt kann man das Parallelogramm berechnen oder auch vom großen Rechteck die Dreiecke abziehen. Die Formel für alle solche Parallelogramme ist damit schon etwas komplexer herzuleiten, aber für alle Seitenverhältnisse von langer Seite L und kurzer Seite K gültig: (L²+K²)*K/2L
Ganz entspannt bei einem Glas Bier,
erkenne ich die Diagonale aus den Katheten 8 und 4 ... 🤪
Das Parallelogramm ist zugleich ein Rhombus und für den gilt:
Ar = 1/2 * dl * dk (0.5 mal lange Diagonale mal kurze Diagonale)
dl = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = √(16*5) = 4√5
Die kurze Diagonale steht im Rhombus (Raute) senkrecht auf der langen und da sehe ich die Katheten 4 und 2. Sie ist also genau halb so lang wie die lange Diagonale:
dk = 2√5
Ar = 1/2 * 4√5 * 2√5 = 4√5√5 = 4*5 = 20
Sehr schön erklärt! Und den Rhombus erkannt! Und dann sogar auch noch von Eck inspiriert! Lieb’s! ❤️🦊
√80 ist schön zu sehn,
damit kann's gehn.
Und das phänomenale:
es geht um die Diago....
nale.
Wie meistens: fast auf gleicher Wellenlänge schwimmen wir! Auch ohne Bier.
Lambda oder λ, "quasi auf schlau" (0:27).
Ganz entspannt ... wird Vieles erkannt.
😃😍🚀😘
Diese Aufgabe zeigt auch sehr schön, wie man die Formel fürs Parallelogramm herleiten (oder bestätigen) kann:
Die von dir berechnete Formel: 8*4 - 1/2*2*3*4 oder verallgemeinert (g+x)*h - 1/2*2*x*h wobei g die Grundseite des Parallelogramms ist und x die Grundseite des Dreiecks.
Jetzt kann man umstellen: (g+x)*h - 1/2*2*x*h = (g+x)*h - x*h = (g+x-x)*h = g*h
Flächeninhalt fürs Parallelogramm ist also Grundseite mal Höhe, egal wie groß die Grundseite des Dreiecks ist!
Oh wow!!!! Kleiner Braifuck gerade für mich. Das ist ja mal smart!!! Kannte die Herleitung nicht. Dannkeeee für die Horizontserweiterung! 🦊🦊
Danke.
Hast du extra für mich ein Geometrie-Beispiel gewählt? 😍
Sehr nett von dir 🙏
Ich habe es genau so gemacht wie du. Also mit dem Pythagoras.
(8-x)^2=4^2 + x^2
64-16x+x^2 = 16+x^2 /-x^2
64-16x=16 /:16
4-x=1 /-1+x
3=x
x=3
Dann habe ich das Parallelogramm, aber Raute genannt. Ist ja ein spezielles Parallelogramm, weil ja alle vier Seiten gleich lang sind und zwar a=8-x=8-3=5 LE
Die Höhe ist 4 LE.
Also A=a*h=5*4=20 FE
LG Gerald
Habe tatsächlich an dich gedacht - ich war für heute zwischen TMS und Geo hin- und hergerissen 😬.
Was macht der Rücken? 🙈
@@magdaliebtmathe Danke. Echt total lieb von dir. Susi hat heute nur Kindergartenarbeit gemacht. Dein Beispiel echt nice 😎
@@magdaliebtmathe Es wird besser. Langes Sitzen tut noch weh, aber ich merke auch beim Sitzen und beim Aufstehen eine Verbesserung. Jetzt muss ich nur noch alleine die Schuhe zubinden können und ab geht's.
LG Gerald
Auch wichtig, die Grundlagen... aber mir fällt es tatsächlich manchmal sehr schwer, einfache Sachen zu erklären. Mag darum am liebsten Abimathe +! 😃😃
Son bisschen drum rum gemogelt habe ich mich hier ja schon ....
Die Vier Dreiecke haben eine Seitenlänge 4 und die anderen beiden mussten zusammen 8 ergeben. Es gibt ja dieses genau so schöne, wie beliebte 3, 4, 5 Dreieck mit dem Rechten Winkel. Da 3 und 5 so schön in die 8 passen, hat man die fehlenden Längen und kann in einer Seite die beiden Dreiecke zu 3 x 4 zusammenfassen und kommt auch auf 20.
Habe schon wieder locker im Kopf gelöst. Diesmal war aber mein Rechenweg zufälligerweise genauso, wie im Video.
Puhhh, da bin ich aber froh! 😬😬
Cool!!!
Ja, oder? Es gibt ne ganze Playlist zu solchen Geometrie- und Matherätseln… hier: th-cam.com/play/PLW6pxDxlBvBlZz_IFUOSYbJ4k0Y-qRLdX.html
wenn ich darf, möchte ich ne frage drauf setzen:
welches seitenverhältnis muss ein rechteck aufweisen, bei dem nach der drehung in die oben abgebildete lage, der winkel zw der kurzen seite und der früheren lage der langen seite 45° beträgt?
lösung: sin 45° ≈ 0,7 das bedeutet, dass die beiden gleichlangen katheten zur hypotenuse im verhältnis 7 zu 10 stehen. magda hat gezeigt, dass die hypotenuse 5/8 der seitenlänge der langen seite ausmacht, bedeutet: die lange seite ist 16 einheiten lang, die kurze (= ankathete) ist 7 lang.
Sehr gute Idee!! Trigonometrie hatte wir jetzt ja schon länger nicht mehr. Kommt aber bald wieder! 😬😬😬
Sehr schöne Aufgabe - und wunderbar Schritt für Schritt erläutert, danke! 🙂
oder:
tan(α) = 1/2 → 4/x = tan(2α) = 2tan(α)/(1 - tan^2(α) = 4/3 →
x = 3 → FE Trapez = (8 - 3)4 = 20 = FE Trapez
oder:
f(k) = -k/2 + 4
g(k) = 2k + c → g(4) = 2 → 2 = 8 + c → c = -6 → g(k) = 2k - 6 →
4 = 2k - 6 → 2k = 10 → k = 5 → FE Trapez = 4∙5 = 20
oder:
a = 4 → 2a = 8 → √(16+64) = 4√5 → (a√5/2)(a√5/4) = 10 → 20 = FE Trapez 🙂
Aso, na dann. Hihihi 😐👍
Hat’s geklappt? 🦊
@@magdaliebtmathe Nee. Vielleicht ist das aber auch eine Gemengelage aus vielem? 1). Ist das offensichtlich eine Aufgabe, die man nur lösen kann, wenn man mathematisches Verständnis hat!? - Hab ich nicht. Vieles, was nicht nach Schema F zu lösen ist, kapier ich nicht, es sei denn, es ist wirklich offensichtlich. 2). Wenn mit Variablen gearbeitet wird, verstehe ich es schon Mal gleich gar nicht. 3). Seit meinem Abitur vor 11 Jahren gehen bei mathematischen Aufgaben bei mir sofort die Rolladen runter. 4). Ich habe Germanistik studiert. Ich brauche Grautöne. Mit Fächern, in denen es nur schwarz oder weiß gibt, konnte ich noch nie etwas anfangen (es sei denn, wie gesagt, es läuft nach Schema F ab). Irgendwo in der Mitte liegt da die Wahrheit 🤷
Ich hätte hier mit Pythagoras die Diagonale ausgerechnet, die ja auch die Diagonale des Parallelogramms ist. Dann hätte ich - wieder mit Pythagoras - die Seitenlängen des gelben Parallelogramms ausgerechnet. Da ich aus der Grafik weiß, dass es aus zwei kongruenten gleichschenkligen Dreiecken besteht, kann ich dann die Fläche eines Dreiecks ausrechnen und anschließend mal 2 nehmen.
Wunderbar! Das ist auch ein sehr eleganter Ansatz! 😇🤩
Im Kopf gelöst, nur hab ich recht schnell erkannt, dass "3²+4²=5²" ist. (Ist ein recht bekanntes Dreieck.)
Lustiger wäre die Aufgabe, wenn man die länge der obere Seite nicht mit angibt. Dafür muss man dann aber sagen, dass die Lösung eine Ganze Zahl ist.
Haha, sehr smart kombiniert! 🦊🦊
Ich habe das ganze mit den tangens gelöst
Auch clever!! Hier gibt's übrigens noch viel mehr Trigonometrie, wenn du magst:
th-cam.com/play/PLW6pxDxlBvBmvk6qmEhY-lVjql60VJYl3.html 😉
Wenn die längere Kathete eines rechtwinkeligen Dreieckes 4 beträgt und die kürzere Kathete plus die Hypotenuse 8, dann ist klar dass die kürzere Kathete 3 und die Hypotenuse 5 sein muss, sagt der Zimmermann, der täglich so den Rechten Winkel sucht.
Lösung:
Das obere herausragende blaue Dreieck und das rechte herausragende rote Dreieck sind kongruent. Denn sie haben den Scheitelwinkel gemeinsam, außerdem den rechten Winkel und außerdem die Seite mit der Länge 4. Das ist der Kongruenzsatz SWW. Die obere rechte waagerechte Kathete des rechten herausragenden roten Dreiecks nenne ich x. Dann gilt wegen der Kongruenz nach dem Satz des Pythagoras:
x²+4² = (8-x)² ⟹
x²+16 = 64-16x+x² |-x²-16+16x ⟹
16x = 48 |/16 ⟹
x = 3 ⟹
Dann hat das gelbe Parallelogramm eine Grundlinie von 8-x = 8-3 = 5 und die Höhe ist 4, damit ist die Fläche: 5*4 = 20 Flächeneinheiten
Hey Hans-Dieter! Sehr schön, dass du nochmal an die Kongruenzsätze erinnerst! Ich find‘s immer wieder faszinierend, wie horizontserweiternd und kreativ eure Alternativlösungen hier in den Kommentaren sind! Total toll!! Danke dafür! 🙏🤩💙
@@magdaliebtmathe Danke Magda, mir fällt aber gerade auf, dass ich die Winkelbegriffe nicht mehr richtig im Kopf habe, es hätte natürlich Scheitelwinkel statt Wechselwinkel heißen müssen, ich korrigiere das.
@@gelbkehlchen Oh! Das war mir gar nicht aufgefallen!
Hi. Sehr schöne Aufgabe...
Irgendwie hab' ich wiedermal das Gefühl, dass es auch eleganter gehen könnte. Aber leider weiss ich (noch ?) nicht wie.
LG
Apus Nunn
Gut möglich! 😬
Warten wir mal ab was das Schwarmwissen an Alternativlösungen hervorzaubert! 🦊
Da es eine Raute ist, stehen die Diagonalen im rechten Winkel aufeinander.
Es gilt somit auch die Formel A=e*f/2
Die eine Diagonale berechnet man mit:
f=Wurzel(8²+4²)
f=Wurzel(64+16)
f=Wurzel(80)
Die andere Diagonale berechnet man mit: (da muss man schon wissen, dass x=3 ist)
e=Wurzel(2²+4²)
e=Wurzel(4+16)
e=Wurzel(20)
Die Fläche ist dann:
A=e*f/2
A=Wurzel(80)*Wurzel(20) / 2
A=Wurzel(1600) / 2
A=40/2
A=20 FE
Eleganter ist das aber nicht.
LG Gerald
Da hast du recht, Gerald. Bisher hab' ich auch noch nichts Griffigeres im Angebot !!!
Wenn man weiss, dass die Diagonale des Rechtecks aus dessen Seiten (Katheten der Diagonale) 8 und 4 berechnet werden kann, dann weiss man aufgrund der im rechten Winkel aufeinander stehenden Diagonalen der Raute (Rhombus) und aufgrund der Ähnlichkeit der Winkel auch, dass die kurze Diagonale sich aus den Katheten 4 und 2 berechnet und damit genau halb so lang sein muss. (siehe meine Lösung im separaten Kommentar)
@@GetMatheFit Sehr schön! Man kann es sich auch einfacher machen:
tan(α) = 1/2 → tan(2α) = 4/3 → x = 3
Aufgrund der Symmetrie muss die obere linke Kathete genauso lang sein wie die Höhe des Rechtsecks (= 4). Diese beiden spannen ein Deltoid auf mit der Symmetrieachse = 4√5.
Mit x = 3 sieht man sofort, dass wir es - wieder einmal - mit einem Pythagoräischen Triple (3-4-5) zu tun haben, wenn wir das oben aus dem Rechteck herausragende Dreieck betrachten (das sich natürlich bei dem „rechten“ Dreieck (x, 4) noch einmal abbildet) 🙂
Man kann auch ein x-y-Koordinatensystem durch den Schnittpunkt der beiden Rechteck-Diagonalen legen. Die Orthogonale der Diagonalen mit Steigung -1/2 hat entsprechend die Steigung 2 →
f(x) = 2x
Da der Mittelpunkt des Rechtecks auch dessen Höhe halbiert, kann die zweite Gleichung aufgestellt werden:
g(x) = 2 → f(x) = g(x) → x = 1 → (8 - x) = 4 + 1 = 5 → x = 3. 🙂
Ich habe das ganze mit Winkel gemacht und mit Variabel und dann ist mir aufgefallen, wenn die eine Seite n lang ist und die andere 2n dann ist der Flächeninhalt des Parallelogramms 1,25n²
Elegant, Silvan! Damit hast du dir quasi selbst die allgemeine Version des Rätsel gegeben. 😃🦊
Studierst du (was mit) Mathe? 🙃
@@magdaliebtmathe Nein ich würde aber gerne ich gehe in die 10 Klasse kann aber schon alle Oberstufen Themen. Ich habe schon Vorkurs Unterlagen zur Mengenlehre vom meinen Mathelehrer bekommen und arbeite gerade an einen verbesserten Sieb des Eratosthenes. Ich gucke fast alle deine Videos.
@@Dany161-w1i Holy Guacamole! Du bist ja krass! Megacool! 😍😍😍 In welchem Bundesland gehst du zur Schule? Und schreibst du dieses Jahr dann die ZP10? 🚀
@@magdaliebtmathe Ich komme aus NRW und ich glaube nicht das ich die ZP10 mit schreibe. Ich möchte dir aber danken, wegen deinem Fußballvideo, habe ich mich mit sphärische geometrie beschäftigt. Spannend! Mein Ziel ist es Professor in Mathematik und Physik zu werden. Kannst du mir vielleicht einen Tipp dafür geben?
kannst du mir das nach "x" auflösen? x^4-2x^3+5x^2-10x+5=0 numerisch kriege ich eine Dezimalzahl raus... Aber ich hätte gerne den genauen Zahlenwert. Eine Wurzel oder einen Bruch.
Mmmhhhh. Sieht nach Polynomdivision aus. Aber damit das klappt, muss zumindest eine Nullstelle easy zu erraten sein… 😅
@@magdaliebtmathe neee da kommen ganz krumme Zahlen raus. 2 NST sind imaginär. Ferrari & Kardano, haben eine Formel entwickelt, wir man das löst. aber ich werde aus den Ergebnissen nicht schlau, die ich da bekomme.
@@viktorbuy5461 Puhhhh, da weiß ich gerade auch nicht weiter 😃😅. Brauchst du das für die Uni?
@@magdaliebtmathe nein, für mein Buch. Uni ist schon paar Jahre her
@@viktorbuy5461
x1= 1,57613
x2=0,700898
x3=-0,13851+2,12295i
x3=-0,13851-2,12295i
Hey,
kann mir irgendjemand sagen wie man (schnitpunktberechnung) aus 3*2hoch x-5 = 2 hoch x +1 berechnet irgendwie verwiert mich das es da auf beiden Seiten die 2 ist die das hoch x hat🤔
Ist es so gemeint: 3*2^(x-5) = 2^(x+1)?
@@magdaliebtmathe nein sorry😅,ich meinte 3*2^x -5=2^x +1
@@magdaliebtmathe also ich bin jetzt soweit: 3*2^x -5=2^x +1
Man soll ja die Zahlen auf eine Seite bringen und die x:
3*2^x -2^x =6|zusammenfas.
(3-1)*2^x=6
2*2^x=6
Kann ich dann jetzt einfach durch zwei machen, oder müsste ich es zusammenfassen also
2^x+1=6...
@@eisbar2polar246
3*2^x - 5 = 2^x + 1 / +5
3*2^x = 2^x + 6 / -2^x
2*2^x = 6 / :2
2^x = 3 / ln
x*ln(2) = ln(3) / :ln(2)
x = ln(3) / ln(2)
x = 1,58496
LG Gerald
@@magdaliebtmathe ich habe es log2(3)
Nerdy aber was soll's...
Nerdy heißt ja nicht unbedingt schlecht. Oder? 💕
@@magdaliebtmathe nö, es baut sich etwas Spannung auf. Prinzipiell was Gutes. Außerdem pusht es den Kanal, wenn es Kommentare gibt 😎
Superlieb von dir! Der A wird's uns danken, dass wir hier hin- und herschreiben! ❤️😘😘😘