L'explication avec la fonction zeta me parait un peu confuse. Ce que j'ai compris dans ce que tu as dit (mais c'est peut être pas ce que tu voulais dire) c'est que la somme des 1/n^s est bien définie pour s=-1+it... Non ça diverge grossièrement, donc il faut d'abord prolonger analytiquement zeta sur un voisinage de -1 et ensuite on peut calculer zeta(-1)
Yes bien définie pour s = -1 + it avec t non nul Et du coup tu peux prolonger et quand tu prolonges ça vaut -1/12 Donc on peut dire zeta(-1) = -1/12 par prolongement Pour autant, on n'a pas somme des n = -1/12 car la somme diverge. Si ça diverge, l'expression sommes des 1/n^s n'est pas valable.
Petit challenge pour toi : M. et Mme X invitent quatre couples à une fête. En arrivant, chaque invité serre ou non la main des personnes déjà présentes, mais on ne se serre pas la main entre membres d’un même couple. M. X demande alors à chaque personne présente combien de mains elle a serré et obtient 9 réponses distinctes. Combien de mains a serré Mme X ?
C'est le genre de questions pour lesquelles je ne vois pas quelle approche adopter : -Dire simplement "c'est faux, c'est évident", en utilisant des termes savants niveau bac +2 comme "série divergente" peut laisser croire que la chose est totalement infondée, et provoquer les shitstorm qu'ont pu se manger David Louapre ou MicMaths en évoquant la question (je recommande d'ailleurs la vidéo du premier sur cette égalité et l'effet Casimir), et laisser croire à des petits faquins debutant leur cursus qu'ils en savent plus que des gens bien plus intelligents qu'eux car ils croient connaitre "la" seule manières de donner un sens à des sommes infinies -Dire "c'est vrai, mais compliqué", revient à faire passer les maths pour une matière élitiste encore plus que d'habitude Je sais évidement que tu sais quel sens donner à cette égalité et que tu as fait de ton mieux pour concilier les points de vue "la notation est abusive mais fondée" (et tu es l'un des rares à souligner qu'en modifiant un peu la preuve de Ramanujan avec 1 - 1 + 1 - ... on peut trouver totalemenr autre chose) et "c'est bel et bien faux", mais c'est toujours l'un des sujets agaçants qui peut tomber sur le tapis lorsqu'on est matheux et qu'une personne de notre entourage nous demande "alors c'est vrai que 1 + 2 + 3 + ... = -1/12" ?. Bonne vidéo pour sa durée tout de même. Je suis impatient de voir d'autres debunk, qu'ils soient autant sujet à discussion ou non !
Je comprends ton point de vue. Mais pour moi, c'est plutôt "c'est vrai mais compliqué". Malheureusement le monde mathématique, et le monde tout court aussi d'ailleurs n'est pas simple. Et il serait temps de l'accepter et d'oser le clamer. Cet élitisme perçu peut être contrebalancé par une meilleure pédagogie....je crois...
La manière la plus honnête de présenter cette chose est de dire : 1) Cette égalité entre la somme des entiers et la valeur -1/12 EST FAUSSE. Point barre. 2) Mais il existe un autre lien entre la somme des entiers et la valeur -1/12
@@algebrilleexceller3455 et en quoi je dis faux ... la somme n'est pas égale à, et il y a un autre lien. Après libre à vous d'aller plus loin en décrivant ce lien. Moi je m'adresse au grand public.
En fait ce truc là sort de la physique, il me semble en mécanique relativiste. Pour que la théorie colle les physiciens en sont venus à dire que cette somme vaut -1/12
Il semble y avoir un côté "on fait valoir -1/12 à cette somme parce que ça nous arrange". La réalité est plus subtile et moins malhonnête de la part de nos physiciens. Comme présenté dans la vidéo, il y a bien une justification mathématique, et c'est la (prolongation de) la fonction zeta de Riemann qui ne peut valoir QUE -1/12 si on devait lui donner absolument une valeur en -1. Pourquoi le faire ? Est-ce artificiel ? Eh bien non. Il existe une formule qui permet de prolonger la fonction zeta, définie normalement pour les nombres > 1 (pour simplifier et ne pas parler de complexes), d'une manière unique pour que la fonction conserve de "bonnes" propriétés. Ce prolongement n'a, vous pouvez me croire sur parole, rien de tarabiscoté, et est à l'origine de théorèmes très concrets comme celui des nombres premiers. Maintenant, il faut interpréter cette égalité non pas comme une vraie égalité, mais plutôt en disant "la somme 1 + 2 + 3 ... n'a pas de valeur finie, mais si elle devait en avoir une, ce ne pourrait être que -1/12". Ce que certains disent aussi "l'égalité est vraie à l'infini près". Loin d'être une folie faite juste pour le plaisir de l'abstraction, elle a tout d'abord des applications concrètes en maths (enfin, pour être plus correct, le prolongement de zeta sur "presque tous les nombres" qui donne en particulier ce -1/12), mais elle sert également en physique à deux choses, mais j'insiste : ce n'est pas la physique qui a décidé que cette somme devait valoir -1/12 pour échapper à des contradictions, mais une égalité qui a un sens mathématique propre et qui, encore une fois, ne POURRAIT PAS donner une autre valeur à la somme des entiers. Ces deux choses en physique sont : -Le calcul de l'énergie entre deux plaques non chargées séparées par du vide qui s'attirent par effet Casimir : comme les valeurs d'énergie possibles qui circulent entre les deux plaques sont toutes multiples d'une même longueur d'onde (voir vidéo de vulgarisation, un peu long à expliquer mais pas très difficile à comprendre), l'énergie entre les deux plaques est proportionnelle à 1 + 2 + 3 + ... Comme elles ne se repoussent pas violemment, la seule manière de ne pas avoir de contradiction est que cette somme soit finie : mais encore une fois, mathématiquement, elle ne peut valoir que -1/12 ! D'où son apparition naturelle en physique. En fait, c'est une manière accélérée de présenter un calcul qui peut être rendu bien plus rigoureux qu'en disant "puisqu'il faut bien que la somme soit finie, alors...", rassurez-vous ! Je renvoie encore au très bon article de blog de David Louapre -En théorie des cordes. Là, je n'y connais rien, mais ce n'est pas la somme qui est bidouillée pour valoir -1/12, c'est la dimension de l'espace (qui vaut 10 ou je ne sais plus quelle autre valeur), car sinon un calcul aboutirait tout simplement à...l'infini. En choisissant la bonne valeur de dimension dans ce calcul, on tombe bien sur une valeur finie, qui fait effectivement apparaître notre -1/12, mais encore une fois, cette valeur n'a pas été choisie pour coller juste : elle existait déjà en amont des calculs des physiciens comme "seule valeur possible de la somme des entiers...modulo l'infini" Voilà. Je suis matheux de formation et ne connais la physique que comme "corollaire" de mes études, mais espère avoir pu faire toucher la nuance entre "on prend -1/12 parce que sinon les calculs donnent des aberrations en physique" et "il s'avère que par hasard la physique tombe elle aussi sur ce -1/12" !
@@sulianperinet2947 grand merci pour ta réponse, effectivement j’avais complètement oublié l’histoire de prolongement holomorphe de zeta qui donne aussi le résultat !
Pas du tout 1+2+3+...=-1/9!!🤣🤣Et je le prouve!! Si on ignore les critères de convergence et que la somme cherchée est A on peut aussi séparer A entre les entiers pairs et les entier impairs: A=(1+3+5+...)+(2+4+6+...). La somme des entiers pair est 2x(1+2+3...)=2A. on peut écrire la somme des impairs: 1+(3+5)+(7+9)+(11+13)+...=1+8+16+24+...=1+8x(1+2+3+...)=1+8A. Donc A=2A+8A+1 =10A+1 donc A=-1/9 CQFD! Néanmoins, et bien que ces "demonstrations" soient fausses mathématiquement, on retrouve cette somme =-1/12 en mécanique quantique dans l'effet Casimir.
Vous avez très bien présenté cette question, car on voit trop souvent des vidéos ou des commentaires affirmer, ici sur youtube qui s'adresse surtout au grand public, que cette égalité est vraie, or elle est tout simplement fausse.
Explication malheureusement superficielle. J'aime beaucoup les exos que tu proposes. Mais sur ce thème, tes explications ne sont pas ouf. Les arguments n'aident pas du tout à saisir la profondeur du thème à ceux qui croient le connaître. Pour le moment, dans le game fr c'est scienceetonnante et S4A qui ont le mieux géré ce thème niveau explications (bien qu'imparfaitement). On croise des trucs sympas en anglais. Mais pas au niveau des 2 précédents (excepté une). Il aurait fallu mieux poncer le sujet.... Les arguments classiques avec zêta c'est vraiment la surface de la surface de la surface. Ça conforte les gens dans leur arrogance et leurs réflexions simplistes.
@@yannld9524 Il a formalisé la question de la sommation des séries divergentes (certaines du moins, vérifiant des conditions spécifiques). En cela, il a fait un excellent travail. De très loin meilleur que la quasi-totalité sur le thème (j'exclus Scienceetonnante et Micmaths). Les points qui manquent sont: 1) Il n'a pas prouvé sa conjecture (bon, ça été fait dans les coms. On peut lui pardonner). 2) Mais surtout, il n'est pas allé au bout de la question quand il a affirmé que le calcul de Micmaths/Numberphile est faux. Cette dernière affirmation en particulier est fausse. Le calcul est juste plus subtil que la cadre qu'il a présenté. En enrichissant son étude, il aurait pu assez aisément l'expliquer.
@@algebrilleexceller3455 il y a un cadre encore plus large que les 3 ou 4 axiomes que Lê s'est donné et qui permettrait de donner un sens aux démo de micmaths/numberphile ?
L'explication avec la fonction zeta me parait un peu confuse. Ce que j'ai compris dans ce que tu as dit (mais c'est peut être pas ce que tu voulais dire) c'est que la somme des 1/n^s est bien définie pour s=-1+it... Non ça diverge grossièrement, donc il faut d'abord prolonger analytiquement zeta sur un voisinage de -1 et ensuite on peut calculer zeta(-1)
Yes bien définie pour s = -1 + it avec t non nul
Et du coup tu peux prolonger et quand tu prolonges ça vaut -1/12
Donc on peut dire zeta(-1) = -1/12 par prolongement
Pour autant, on n'a pas somme des n = -1/12 car la somme diverge.
Si ça diverge, l'expression sommes des 1/n^s n'est pas valable.
@@Progresser-en-maths Ce que je dis c'est que ça diverge également pour s=-1+it
@@yannld9524 mais ça ne diverge pas sur ces valeurs
@@Progresser-en-maths Bah |n^s| = n^Re(s) pour tout complexe s, donc avec s=-1+it on a |1/n^s|= n qui ne tend pas vers 0...
pour que ce soit défini il faut que Re(s)>1
Parfait. Concept au top 👍🏻
Petit challenge pour toi : M. et Mme X invitent quatre couples à une fête. En arrivant, chaque invité serre
ou non la main des personnes déjà présentes, mais on ne se serre pas la main entre membres
d’un même couple. M. X demande alors à chaque personne présente combien de mains elle a
serré et obtient 9 réponses distinctes. Combien de mains a serré Mme X ?
4
Je me suis bien pris la tête ! Sympa, ça va compléter ma liste d'énigmes ça !
@@Progresser-en-maths YEEES
C'est le genre de questions pour lesquelles je ne vois pas quelle approche adopter :
-Dire simplement "c'est faux, c'est évident", en utilisant des termes savants niveau bac +2 comme "série divergente" peut laisser croire que la chose est totalement infondée, et provoquer les shitstorm qu'ont pu se manger David Louapre ou MicMaths en évoquant la question (je recommande d'ailleurs la vidéo du premier sur cette égalité et l'effet Casimir), et laisser croire à des petits faquins debutant leur cursus qu'ils en savent plus que des gens bien plus intelligents qu'eux car ils croient connaitre "la" seule manières de donner un sens à des sommes infinies
-Dire "c'est vrai, mais compliqué", revient à faire passer les maths pour une matière élitiste encore plus que d'habitude
Je sais évidement que tu sais quel sens donner à cette égalité et que tu as fait de ton mieux pour concilier les points de vue "la notation est abusive mais fondée" (et tu es l'un des rares à souligner qu'en modifiant un peu la preuve de Ramanujan avec 1 - 1 + 1 - ... on peut trouver totalemenr autre chose) et "c'est bel et bien faux", mais c'est toujours l'un des sujets agaçants qui peut tomber sur le tapis lorsqu'on est matheux et qu'une personne de notre entourage nous demande "alors c'est vrai que 1 + 2 + 3 + ... = -1/12" ?.
Bonne vidéo pour sa durée tout de même.
Je suis impatient de voir d'autres debunk, qu'ils soient autant sujet à discussion ou non !
Super commentaire, merci beaucoup !
Oui j'aurais pu aussi aborder l'aspect physique c'est vrai
Je comprends ton point de vue. Mais pour moi, c'est plutôt "c'est vrai mais compliqué".
Malheureusement le monde mathématique, et le monde tout court aussi d'ailleurs n'est pas simple. Et il serait temps de l'accepter et d'oser le clamer.
Cet élitisme perçu peut être contrebalancé par une meilleure pédagogie....je crois...
La manière la plus honnête de présenter cette chose est de dire :
1) Cette égalité entre la somme des entiers et la valeur -1/12 EST FAUSSE. Point barre.
2) Mais il existe un autre lien entre la somme des entiers et la valeur -1/12
@@tontonbeber4555 Simpliste et même carrément faux. Description qui montre qu'on a rien compris à la question...
@@algebrilleexceller3455 et en quoi je dis faux ... la somme n'est pas égale à, et il y a un autre lien. Après libre à vous d'aller plus loin en décrivant ce lien. Moi je m'adresse au grand public.
En fait ce truc là sort de la physique, il me semble en mécanique relativiste. Pour que la théorie colle les physiciens en sont venus à dire que cette somme vaut -1/12
Tout à fait !
Mais aussi de zeta de Riemann, c'est assez naturel
Il semble y avoir un côté "on fait valoir -1/12 à cette somme parce que ça nous arrange".
La réalité est plus subtile et moins malhonnête de la part de nos physiciens.
Comme présenté dans la vidéo, il y a bien une justification mathématique, et c'est la (prolongation de) la fonction zeta de Riemann qui ne peut valoir QUE -1/12 si on devait lui donner absolument une valeur en -1.
Pourquoi le faire ? Est-ce artificiel ? Eh bien non. Il existe une formule qui permet de prolonger la fonction zeta, définie normalement pour les nombres > 1 (pour simplifier et ne pas parler de complexes), d'une manière unique pour que la fonction conserve de "bonnes" propriétés. Ce prolongement n'a, vous pouvez me croire sur parole, rien de tarabiscoté, et est à l'origine de théorèmes très concrets comme celui des nombres premiers.
Maintenant, il faut interpréter cette égalité non pas comme une vraie égalité, mais plutôt en disant "la somme 1 + 2 + 3 ... n'a pas de valeur finie, mais si elle devait en avoir une, ce ne pourrait être que -1/12". Ce que certains disent aussi "l'égalité est vraie à l'infini près". Loin d'être une folie faite juste pour le plaisir de l'abstraction, elle a tout d'abord des applications concrètes en maths (enfin, pour être plus correct, le prolongement de zeta sur "presque tous les nombres" qui donne en particulier ce -1/12), mais elle sert également en physique à deux choses, mais j'insiste : ce n'est pas la physique qui a décidé que cette somme devait valoir -1/12 pour échapper à des contradictions, mais une égalité qui a un sens mathématique propre et qui, encore une fois, ne POURRAIT PAS donner une autre valeur à la somme des entiers.
Ces deux choses en physique sont :
-Le calcul de l'énergie entre deux plaques non chargées séparées par du vide qui s'attirent par effet Casimir : comme les valeurs d'énergie possibles qui circulent entre les deux plaques sont toutes multiples d'une même longueur d'onde (voir vidéo de vulgarisation, un peu long à expliquer mais pas très difficile à comprendre), l'énergie entre les deux plaques est proportionnelle à 1 + 2 + 3 + ...
Comme elles ne se repoussent pas violemment, la seule manière de ne pas avoir de contradiction est que cette somme soit finie : mais encore une fois, mathématiquement, elle ne peut valoir que -1/12 ! D'où son apparition naturelle en physique.
En fait, c'est une manière accélérée de présenter un calcul qui peut être rendu bien plus rigoureux qu'en disant "puisqu'il faut bien que la somme soit finie, alors...", rassurez-vous ! Je renvoie encore au très bon article de blog de David Louapre
-En théorie des cordes.
Là, je n'y connais rien, mais ce n'est pas la somme qui est bidouillée pour valoir -1/12, c'est la dimension de l'espace (qui vaut 10 ou je ne sais plus quelle autre valeur), car sinon un calcul aboutirait tout simplement à...l'infini.
En choisissant la bonne valeur de dimension dans ce calcul, on tombe bien sur une valeur finie, qui fait effectivement apparaître notre -1/12, mais encore une fois, cette valeur n'a pas été choisie pour coller juste : elle existait déjà en amont des calculs des physiciens comme "seule valeur possible de la somme des entiers...modulo l'infini"
Voilà.
Je suis matheux de formation et ne connais la physique que comme "corollaire" de mes études, mais espère avoir pu faire toucher la nuance entre "on prend -1/12 parce que sinon les calculs donnent des aberrations en physique" et "il s'avère que par hasard la physique tombe elle aussi sur ce -1/12" !
@@sulianperinet2947 grand merci pour ta réponse, effectivement j’avais complètement oublié l’histoire de prolongement holomorphe de zeta qui donne aussi le résultat !
Pas du tout 1+2+3+...=-1/9!!🤣🤣Et je le prouve!! Si on ignore les critères de convergence et que la somme cherchée est A on peut aussi séparer A entre les entiers pairs et les entier impairs: A=(1+3+5+...)+(2+4+6+...). La somme des entiers pair est 2x(1+2+3...)=2A. on peut écrire la somme des impairs: 1+(3+5)+(7+9)+(11+13)+...=1+8+16+24+...=1+8x(1+2+3+...)=1+8A. Donc A=2A+8A+1 =10A+1 donc A=-1/9 CQFD! Néanmoins, et bien que ces "demonstrations" soient fausses mathématiquement, on retrouve cette somme =-1/12 en mécanique quantique dans l'effet Casimir.
Vous avez très bien présenté cette question, car on voit trop souvent des vidéos ou des commentaires affirmer, ici sur youtube qui s'adresse surtout au grand public, que cette égalité est vraie, or elle est tout simplement fausse.
Merci éclairant après cette vidéo th-cam.com/video/vMnkmBCvGQc/w-d-xo.htmlsi=oVYnXAz-s4Wgik5f 😅
Ah oui effectivement trop bien !
Explication malheureusement superficielle. J'aime beaucoup les exos que tu proposes.
Mais sur ce thème, tes explications ne sont pas ouf.
Les arguments n'aident pas du tout à saisir la profondeur du thème à ceux qui croient le connaître.
Pour le moment, dans le game fr c'est scienceetonnante et S4A qui ont le mieux géré ce thème niveau explications (bien qu'imparfaitement). On croise des trucs sympas en anglais. Mais pas au niveau des 2 précédents (excepté une).
Il aurait fallu mieux poncer le sujet....
Les arguments classiques avec zêta c'est vraiment la surface de la surface de la surface. Ça conforte les gens dans leur arrogance et leurs réflexions simplistes.
Qu'est ce qu'il manque dans l'explication de S4all ?
@@yannld9524 Il a formalisé la question de la sommation des séries divergentes (certaines du moins, vérifiant des conditions spécifiques). En cela, il a fait un excellent travail. De très loin meilleur que la quasi-totalité sur le thème (j'exclus Scienceetonnante et Micmaths).
Les points qui manquent sont:
1) Il n'a pas prouvé sa conjecture (bon, ça été fait dans les coms. On peut lui pardonner).
2) Mais surtout, il n'est pas allé au bout de la question quand il a affirmé que le calcul de Micmaths/Numberphile est faux. Cette dernière affirmation en particulier est fausse. Le calcul est juste plus subtil que la cadre qu'il a présenté. En enrichissant son étude, il aurait pu assez aisément l'expliquer.
@@algebrilleexceller3455 il y a un cadre encore plus large que les 3 ou 4 axiomes que Lê s'est donné et qui permettrait de donner un sens aux démo de micmaths/numberphile ?
ça me parait pas vraiment possible vu que justement avec ces axiomes ça ne marchait plus
@@yannld9524 Oui il y en a un 😉. Regarde les coms du blog de scienceetonnante, il y a la preuve.