Bemerkung zu f): Man kann für die Funktion phi auch auch wie folgt (und zwar kürzer) argumentieren, dass bei x=n das globale Maximum ist: phi ist auf [0,n] streng monoton wachsend und auf [n, unendlich) streng monoton fallend. Dies geht aus der Ableitung von phi hervor.
@@benjaminfranklin6079 nein, das stimmt so nicht und weiterhin ist der Grund, dass (1-x/n) positiv ist für x>n und negativ ist für x>n sowie exp(-x/n)>0 für alle x ist. Daher ist die Ableitung vor n positiv und nach n negativ, d.h., phi ist vor n streng monoton wachsend und nach n streng monoton fallend.
Danke für die Frage! Gegenfrage: Wie berechnen wir denn das betragsmäßige Maximum einer Funktion? Man benötigt die Ableitung, um die lokalen Extremstellen herauszufinden in (0,1). Nach Betrachtung der Randpunkte kann man dann durch Vergleich herausbekommen, was das betragsmäßige Maximum ist, also was ||f_n-f|| ist. Hier ganz konkret haben wir nicht einmal ||f_n-f|| berechnet, sondern einfach einen Wert für x eingesetzt und ausgenutzt, dass ||f_n-f|| ≥ |f_n(x)-f(x)| für alle x ist. Wir hätten dabei herumprobieren können. Aber durch Berechnung der Nullstelle der Ableitung haben wir einen Kandidaten rechnerisch herausbekommen.
Hi Rafael, sehr gutes Video ich habe eine Frage zu 28:37 deine Begründung das keine gleichmäßige Konvergenz vorhanden ist, du argumentierst damit, dass die Suprenumsnorm größer gleich dem Betrag der Differenz von fn und f ist. Das ist mir nicht ganz klar weshalb das gilt. Für einen Hinweis wäre ich dankbar.
Das gilt aufgrund der Definition der Supremumsnorm, was wiederum auf der Definition des Supremums fußt. Ist M eine nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen, dann ist das Supremum von M eine obere Schranke. Das bedeutet: a kleiner/gleich sup(M) für alle a aus M. Die Supremumsnorm ist das Supremum der Beträge der Funktionswerte. Somit ist die Supremumsnorm eine obere Schranke von der Menge der Betrräge der Funktionswerte. Also ist jeder Funktionswert im Betrag kleiner/gleich der Supremumsnorm. Insbesondere ist |f_n(a)-f(a)| kleiner/gleich ||f_n-f||_\infty für alle a auf M. Hilft dir das weiter?
Ich habe eine Frage zu Aufgabe a) und d) und zwar in Aufgabe a) wird nicht weiter auf gleichmäßige Konvergenz untersucht, da verschiedene Grenzwerte bei punktweise Konvergenz, dies ist auch bei Aufgabe d) der Fall, aber da untersuchst du weiter, da verstehe ich nicht wieso kann man bei d) nicht aufgrund der unterschiedlichen Grenzwerten auf eine nicht gleichmäßige Konvergenz schließen?
@@pfuzzes Ich wollte gerade eine Antwort schreiben. Ja, ist korrekt. Ich hätte bei d) vielleicht deutlicher erwähnen sollen, dass die punktweise Grenzfunktion stetig ist.
Hey, Ich bin gerade auf deine Videos gestoßen und will mich kurz bedanken, bevor ich noch eine Frage habe. Die Videos sind sehr ruhig erklärt und gut zu folgen. Allerdings verstehe ich nicht, warum man bei der f unbedingt für die Phi Fkt das 1/n^2 weglassen KANN und sollte. Zumindest im Kopf überschlagen müsste es doch völlig ohne Probleme mit diesem Faktor ebenso funktionieren. Ich glaube, durch das "Faktor" kann man es aber auch weglassen? Liebe Grüße
Hallo, vielen Dank für deinen Kommentar. Zu deiner Frage: Es ist richtig, man KANN 1/n² weglassen, wenn man MÖCHTE. Hierdurch vereinfacht sich die Nebenrechnung zumindest bei der Ableitung von phi, weil man nicht immer wieder den Faktor 1/n² mitschleppen muss. Und man DARF es machen, weil sich die Extremstellen (d.h. die x-Koordinaten der Extrempunkte!) einer Funktion nicht ändern, wenn man die Funktion mit einem Faktor ungleich 0 multipliziert. Das Weglassen von 1/n² entspricht ja gerade der Multiplikation mit n². Es wäre natürlich überhaupt nicht verkehrt, wenn man den Faktor 1/n² mitnehmen würde in die Nebenrechnung.
Das zweite Intervall bei d) versteh ich überhaupt nicht. Müsste es nicht, wenn man nach unten abschätzt genauso sein wie beim ersten Intervall, nur dass man einfach x=0 einsetzt? Also dass man n-teWurzel(2) wieder hat? Die abschätzung nach oben ergibt noch weniger sinn für mich. Was passiert da?
Hallo, zunächst einmal haben wir beide Intervalle aus den Überlegungen zur punktweisen Konvergenz bekommen. Für die gleichmäßige Konvergenz müssen wir nun |f(x)-f_n(x)| nach oben (!) und unabhängig von x abschätzen. Beim ersten Intervall haben wir ausgenutzt, dass e^(nx)
kann man für e) argumentieren, dass es nicht gl. konv. , weil wir nicht auf 0 kommen für die nte wurzel von (1/2) ? weil die andere begründung habe ich nicht ganz verstanden nach dem wir 1/4 bestimmt haben
Ja, so kann man es auch formulieren. Wenn f_n gleichmäßig gegen f konvergiert, so konvergiert ||f_n-f|| gegen 0. Damit muss für jede Folge (x_n) gelten, dass |f_n(x_n)-f(x_n)| gegen 0 konvergiert, da |f_n(x_n)-f(x_n)|≤||f_n-f||. Für x_n = n-te Wurzel aus 1/2 bekommen wir den Grenzwert 1/4, also nicht 0. Wir haben es im Video nur anders formuliert.
@@Rafau85 danke für die schnelle antwort, das video war btw zwar sehr hilfreich aber hättest du eventuell weitere tipps für gleichmässige/pktweise konvergenz? noch sitzt es nicht zu 100%
Weitere Tipps finde ich momentan nicht. Ich habe durch das Video versucht, alle Varianten einmal durchzuspielen. Eventuell kann ich zwei Bemerkungen machen: 1) Wenn man sofort auch die gleichmäßige Konvergenz gegen eine Funktion "sieht", dann kann man diese auch direkt beweisen. Dadurch hat man en passant die punktweise Konvergenz auch bewiesen. 2) Eventuell hilft dir das Video über die punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen: th-cam.com/video/SC8mP57bork/w-d-xo.html
Hallo, danke für den Kommentar. Das ist jedoch korrekt im Video. Beachte, dass e^0=1 ist, so dass es egal ist, ob wir für x=0 den Term e^x oder den Term 1 nehmen.
Ich habe eine Frage zur Teilaufgabe d): Bei der punktweisen Konvergenz kommt für f(x) einmal 1 und einmal e^x raus, je nachdem, welche Werte für x angenommen werden. Kann ich also nicht automatisch, wenn zwei verschiedene Werte rauskommen, darauf schließen, dass die Funktion nicht stetig ist? In a) kamen für f(x) auch zwei verschiedene Werte raus und deshalb wurde direkt schlussgefolgert, dass f nicht stetig ist und deshalb nicht gleichmäßig konvergiert. Danke für das gute Video👌👌
Vielen Dank! Zur Frage: Nein, in d) ist die Grenzfunktion f sogar stetig! Wenn x von links gegen 0 strebt, dann konvergiert f(x)=1 gegen 1. Wenn x von rechts gegen 0 strebt, dann konvergiert f(x)=e^x gegen e^0=1. Weiter ist f(0)=e^0=1. Damit ist f in x=0 stetig. Als stückweise über stetige Funktionen definierte Funktion ist f somit überall stetig. Hier kommen genau genommen nicht zwei Werte heraus, sondern zwei Funktionsterme. Einmal 1 und einmal e^x. Aber das bedeutet nicht automatisch nicht, dass f dadurch unstetig ist, was ich vorhin begründet habe. Zudem haben wir auch ausgerechnet, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert. Also muss die Grenzfunktion stetig sein, da jedes f_n stetig ist. Wenn tatsächlich (wie in a)) zwei verschiedene Werte herauskommen (d.h., die Teilfunktionen sind konstant mit den entsprechenden Werten), und sich die einzelnen Bereiche "berühren", dann kann man aber sofort sagen, dass die Funktion nicht stetig ist. Dann kann man wie im Video bei a) direkt sagen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt, da jedes f_n stetig ist. Ich hoffe, dir hilft die Antwort. Bei Fragen gerne noch einmal fragen!
@@Rafau85 Eine Frage hätte ich doch noch: Bei a) hast du gesagt, dass wenn fn gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion wäre, die Grenzfunktion auch das f (von der punktweisen K.) sein müsste. Aber wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann kommt immer 0 als Grenzwert raus (oder?) und stimmt ja oft dann nicht mit dem von der punktweisen K. überein? Danke🙏🏽
@@Eva-qu1fv Wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann gegen eine Funktion, und diese muss nicht unbedingt die Nullfunktion sein. Vielleicht verwechselst du es damit, dass ||f_n-f||_\infty gegen 0 konvergieren muss. Aber das ist ja die Supremumsorm (!) von f_n-f, welche gegen 0 konvergiert und nicht f an sich.
Aber der cos/ sin sind stetige funktionen, sollte satz 2 nicht gelten???? Bzw könnte man nicht sagen für gerade n und für nicht gerade n ist es jeweils konvgergent? DANKE
Für gerade bzw. ungerade n alleine hat man jeweils eine konvergente Teilfolge. Das heißt aber nicht, dass die gesamte Folge an sich konvergent ist. Den Satz kann man nicht verwenden, da die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert.
Verzeihung, ich kann das leider nicht beeinflussen. Sollte ich irgendwann hierzu Einstellungen machen können, werde ich das natürlich berücksichtigen, dass die Werbung mittendrin minimiert wird.
Bemerkung zu f):
Man kann für die Funktion phi auch auch wie folgt (und zwar kürzer) argumentieren, dass bei x=n das globale Maximum ist:
phi ist auf [0,n] streng monoton wachsend und auf [n, unendlich) streng monoton fallend. Dies geht aus der Ableitung von phi hervor.
Weil sowohl (1 - x/n) als auch exp(-x/n) auf [0,n] streng monoton wachsen und auf [n,∞) streng monoton fallen. Richtig?
@@benjaminfranklin6079 nein, das stimmt so nicht und weiterhin ist der Grund, dass (1-x/n) positiv ist für x>n und negativ ist für x>n sowie exp(-x/n)>0 für alle x ist. Daher ist die Ableitung vor n positiv und nach n negativ, d.h., phi ist vor n streng monoton wachsend und nach n streng monoton fallend.
Sehr gutes Video, vielen Dank!!!
28:44 wieso macht man hier die ableitung, kann man nicht bei der glm konvergenz
||f_n-f|| für x in [0,1) und ||f_n-f|| für x=1 berechnen ?
Danke für die Frage!
Gegenfrage: Wie berechnen wir denn das betragsmäßige Maximum einer Funktion? Man benötigt die Ableitung, um die lokalen Extremstellen herauszufinden in (0,1). Nach Betrachtung der Randpunkte kann man dann durch Vergleich herausbekommen, was das betragsmäßige Maximum ist, also was ||f_n-f|| ist.
Hier ganz konkret haben wir nicht einmal ||f_n-f|| berechnet, sondern einfach einen Wert für x eingesetzt und ausgenutzt, dass ||f_n-f|| ≥ |f_n(x)-f(x)| für alle x ist. Wir hätten dabei herumprobieren können. Aber durch Berechnung der Nullstelle der Ableitung haben wir einen Kandidaten rechnerisch herausbekommen.
Hi Rafael, sehr gutes Video ich habe eine Frage zu 28:37 deine Begründung das keine gleichmäßige Konvergenz vorhanden ist, du argumentierst damit, dass die Suprenumsnorm größer gleich dem Betrag der Differenz von fn und f ist. Das ist mir nicht ganz klar weshalb das gilt. Für einen Hinweis wäre ich dankbar.
Das gilt aufgrund der Definition der Supremumsnorm, was wiederum auf der Definition des Supremums fußt.
Ist M eine nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen, dann ist das Supremum von M eine obere Schranke. Das bedeutet: a kleiner/gleich sup(M) für alle a aus M.
Die Supremumsnorm ist das Supremum der Beträge der Funktionswerte. Somit ist die Supremumsnorm eine obere Schranke von der Menge der Betrräge der Funktionswerte. Also ist jeder Funktionswert im Betrag kleiner/gleich der Supremumsnorm. Insbesondere ist
|f_n(a)-f(a)| kleiner/gleich ||f_n-f||_\infty für alle a auf M.
Hilft dir das weiter?
Ich habe eine Frage zu Aufgabe a) und d) und zwar in Aufgabe a) wird nicht weiter auf gleichmäßige Konvergenz untersucht, da verschiedene Grenzwerte bei punktweise Konvergenz, dies ist auch bei Aufgabe d) der Fall, aber da untersuchst du weiter, da verstehe ich nicht wieso kann man bei d) nicht aufgrund der unterschiedlichen Grenzwerten auf eine nicht gleichmäßige Konvergenz schließen?
OK habe ich geblickt da e hoch 0 =1 ist ist die Grenzfunktion stetig
@@pfuzzes Ich wollte gerade eine Antwort schreiben. Ja, ist korrekt. Ich hätte bei d) vielleicht deutlicher erwähnen sollen, dass die punktweise Grenzfunktion stetig ist.
Hey,
Ich bin gerade auf deine Videos gestoßen und will mich kurz bedanken, bevor ich noch eine Frage habe.
Die Videos sind sehr ruhig erklärt und gut zu folgen.
Allerdings verstehe ich nicht, warum man bei der f unbedingt für die Phi Fkt das 1/n^2 weglassen KANN und sollte. Zumindest im Kopf überschlagen müsste es doch völlig ohne Probleme mit diesem Faktor ebenso funktionieren.
Ich glaube, durch das "Faktor" kann man es aber auch weglassen?
Liebe Grüße
Hallo, vielen Dank für deinen Kommentar. Zu deiner Frage: Es ist richtig, man KANN 1/n² weglassen, wenn man MÖCHTE. Hierdurch vereinfacht sich die Nebenrechnung zumindest bei der Ableitung von phi, weil man nicht immer wieder den Faktor 1/n² mitschleppen muss. Und man DARF es machen, weil sich die Extremstellen (d.h. die x-Koordinaten der Extrempunkte!) einer Funktion nicht ändern, wenn man die Funktion mit einem Faktor ungleich 0 multipliziert. Das Weglassen von 1/n² entspricht ja gerade der Multiplikation mit n². Es wäre natürlich überhaupt nicht verkehrt, wenn man den Faktor 1/n² mitnehmen würde in die Nebenrechnung.
Das zweite Intervall bei d) versteh ich überhaupt nicht. Müsste es nicht, wenn man nach unten abschätzt genauso sein wie beim ersten Intervall, nur dass man einfach x=0 einsetzt? Also dass man n-teWurzel(2) wieder hat?
Die abschätzung nach oben ergibt noch weniger sinn für mich. Was passiert da?
Hallo, zunächst einmal haben wir beide Intervalle aus den Überlegungen zur punktweisen Konvergenz bekommen. Für die gleichmäßige Konvergenz müssen wir nun |f(x)-f_n(x)| nach oben (!) und unabhängig von x abschätzen. Beim ersten Intervall haben wir ausgenutzt, dass e^(nx)
kann man für e) argumentieren, dass es nicht gl. konv. , weil wir nicht auf 0 kommen für die nte wurzel von (1/2) ? weil die andere begründung habe ich nicht ganz verstanden nach dem wir 1/4 bestimmt haben
Ja, so kann man es auch formulieren. Wenn f_n gleichmäßig gegen f konvergiert, so konvergiert ||f_n-f|| gegen 0. Damit muss für jede Folge (x_n) gelten, dass |f_n(x_n)-f(x_n)| gegen 0 konvergiert, da |f_n(x_n)-f(x_n)|≤||f_n-f||. Für x_n = n-te Wurzel aus 1/2 bekommen wir den Grenzwert 1/4, also nicht 0.
Wir haben es im Video nur anders formuliert.
@@Rafau85 danke für die schnelle antwort, das video war btw zwar sehr hilfreich aber hättest du eventuell weitere tipps für gleichmässige/pktweise konvergenz? noch sitzt es nicht zu 100%
Weitere Tipps finde ich momentan nicht. Ich habe durch das Video versucht, alle Varianten einmal durchzuspielen.
Eventuell kann ich zwei Bemerkungen machen:
1) Wenn man sofort auch die gleichmäßige Konvergenz gegen eine Funktion "sieht", dann kann man diese auch direkt beweisen. Dadurch hat man en passant die punktweise Konvergenz auch bewiesen.
2) Eventuell hilft dir das Video über die punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen:
th-cam.com/video/SC8mP57bork/w-d-xo.html
@@Rafau85 danke schaue ich mir direkt an
Könntest du das zu Reihen auch noch mal machen?
Ich bereite gerade ein Video vor. Dahinter steckt aber immer viel Arbeit. Eventuell kommt in dieser Woche noch eines.
Hi Rafael,
bei d) müsste f(x) = 1 für x kleiner-gleich 0 und gleich e^x für x strikt größer 0.
Sonst sehr gutes Video!
Hallo, danke für den Kommentar. Das ist jedoch korrekt im Video. Beachte, dass e^0=1 ist, so dass es egal ist, ob wir für x=0 den Term e^x oder den Term 1 nehmen.
Ich habe eine Frage zur Teilaufgabe d):
Bei der punktweisen Konvergenz kommt für f(x) einmal 1 und einmal e^x raus, je nachdem, welche Werte für x angenommen werden.
Kann ich also nicht automatisch, wenn zwei verschiedene Werte rauskommen, darauf schließen, dass die Funktion nicht stetig ist?
In a) kamen für f(x) auch zwei verschiedene Werte raus und deshalb wurde direkt schlussgefolgert, dass f nicht stetig ist und deshalb nicht gleichmäßig konvergiert.
Danke für das gute Video👌👌
Vielen Dank!
Zur Frage: Nein, in d) ist die Grenzfunktion f sogar stetig! Wenn x von links gegen 0 strebt, dann konvergiert f(x)=1 gegen 1. Wenn x von rechts gegen 0 strebt, dann konvergiert f(x)=e^x gegen e^0=1. Weiter ist f(0)=e^0=1. Damit ist f in x=0 stetig. Als stückweise über stetige Funktionen definierte Funktion ist f somit überall stetig.
Hier kommen genau genommen nicht zwei Werte heraus, sondern zwei Funktionsterme. Einmal 1 und einmal e^x. Aber das bedeutet nicht automatisch nicht, dass f dadurch unstetig ist, was ich vorhin begründet habe. Zudem haben wir auch ausgerechnet, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert. Also muss die Grenzfunktion stetig sein, da jedes f_n stetig ist.
Wenn tatsächlich (wie in a)) zwei verschiedene Werte herauskommen (d.h., die Teilfunktionen sind konstant mit den entsprechenden Werten), und sich die einzelnen Bereiche "berühren", dann kann man aber sofort sagen, dass die Funktion nicht stetig ist. Dann kann man wie im Video bei a) direkt sagen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt, da jedes f_n stetig ist.
Ich hoffe, dir hilft die Antwort. Bei Fragen gerne noch einmal fragen!
@@Rafau85 Danke😊 Ich glaube, ich habs verstanden 🙏🏽
@@Rafau85 Eine Frage hätte ich doch noch:
Bei a) hast du gesagt, dass wenn fn gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion wäre, die Grenzfunktion auch das f (von der punktweisen K.) sein müsste.
Aber wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann kommt immer 0 als Grenzwert raus (oder?) und stimmt ja oft dann nicht mit dem von der punktweisen K. überein?
Danke🙏🏽
@@Eva-qu1fv Wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann gegen eine Funktion, und diese muss nicht unbedingt die Nullfunktion sein. Vielleicht verwechselst du es damit, dass ||f_n-f||_\infty gegen 0 konvergieren muss. Aber das ist ja die Supremumsorm (!) von f_n-f, welche gegen 0 konvergiert und nicht f an sich.
@@Rafau85 Top danke🙏🏽🙏🏽 hab es verwechselt…
Aber der cos/ sin sind stetige funktionen, sollte satz 2 nicht gelten???? Bzw könnte man nicht sagen für gerade n und für nicht gerade n ist es jeweils konvgergent? DANKE
Für gerade bzw. ungerade n alleine hat man jeweils eine konvergente Teilfolge. Das heißt aber nicht, dass die gesamte Folge an sich konvergent ist.
Den Satz kann man nicht verwenden, da die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert.
@@Rafau85 aso das war mein gedank, da man sowas auch bei betragfunktionen wie zb 1÷(1+nIxI) macht.
Zu viel werbung!!!!
Verzeihung, ich kann das leider nicht beeinflussen. Sollte ich irgendwann hierzu Einstellungen machen können, werde ich das natürlich berücksichtigen, dass die Werbung mittendrin minimiert wird.