Majorantenkriterium und Minorantenkriterium für die Konvergenz von Reihen

In diesem Video schauen wir uns das Majoranten- und Minorantenkriterium anhand von Aufgaben an.
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[@estangiertmichperipher62]

Erst mal tolles Video. Aber muss man immer hinschreiben dass x>3 ist usw. oder muss man das nicht. Also ist es falsch wenn man nicht hinschreibt dass es zum Beispiel für x>3 gilt

[@Rafau85]

Danke!
Zu deiner Frage: Auf welche Stelle beziehst du dich genau? Wenn man den Summanden a_n betragsmäßig abschätzt, aber die Abschätzung nur ab einem gewissen n klappt, sollte man schon hinschreiben, ab welchem n es klappt, oder die Floskel "für n hinreichend groß" verwenden. Wie gravierend das Nichthinschreiben ist, hängt davon ab, wie streng man Aufgaben lösen muss. Vollumfänglich formal richtig ist es nur, wenn man dies noch beifügt.

[@estangiertmichperipher62]

⁠​⁠@@Rafau85ok danke. Ja so habe ich das gemeint. Wenn man jetzt aber eine Reihe hat wie zum Beispiel (Wurzel n+1 - Wurzel n)/ Wurzel n. Dann divergiert sie ja wenn man sich die größten Terme anschaut gegen 1 nach dem NFK. Wie würde man so einen Bruch aber dann kleiner machen hast du da einen Tipp für mich, weil ich kann ja nicht einfach den positiven Teil im Nenner entfernen oder? Weil dann hätte ich (- Wurzel n) / Wurzel n und ich habe den Bruch so kleiner gemacht oder doch? Sorry für den langen Text

[@Rafau85]

Okay, sei a_n = (√(n+1)-√n)/√n. Hier ist es aber so, dass a_n NICHT gegen 1 konvergiert, sondern gegen 0. Beachte, dass du Zähler und Nenner im Sinne von "Potenzen von n" nur dann vergleichen kannst, wenn sich nichts irgendwie "weghebt". Hier kann man nämlich auf den Zähler die dritte binomische Formel anwenden, genauer gesagt, a_n mit √(n+1)+√n erweitern. Dann bekommt man nämlich
a_n = 1/((√(n+1)+√n)√n)).
Hieran kann man dann ablesen, dass a_n ungefähr 1/(2n) ist für sehr große n, so dass Divergenz vorliegt.
Versuch mal a_n mit der neu gewonnenen Darstellung nach unten hin abzuschätzen zu einem Ausdruck C/n>0 mit einer Konstanten C>0. Dann hast du eine divergente Minorante für das Minorantenkriterium gefunden!

[@estangiertmichperipher62]

@@Rafau85 ok vielen Dank. Eine Frage hätte ich aber noch. Wenn man zum Beispiel einen Wurzel Ausdruck hat mit Wurzel n im Zähler sage ich mal und den Zähler kleiner machen will, kann man den Zähler dann einfach auf 1 abschätzen, weil für n gegen unendlich ist Wurzel n ja definitiv größer als 1. Wäre es aber erlaubt das einfach so auf 1 abzuschätzen. Weil ich habe irgendwie Probleme damit Wurzel Ausdrücke kleiner zu machen, hättest du da vielleicht einen Tipp für mich.