Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei. ➤ www.mathematrick.de/shop _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Meine Lösung war einfacher Ich habe die Linke Seit einfach umgeschrieben: sqrt[{x.sqrt{x}}*sqrt{x}] = x^(7/8) = [x^(1/8)]^7 = 2^7 was dann direkt bedeutet x^(1/8) = 2 also x = 256 Die Probe ist damit automatisch denn 256x^(1/8) = 2 und hoch 7 is 2^7.
Ich hab das ganz anders gelöst. Ich hab zuerst die linke Seite vereinfacht. sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x))) = 2^7 sqrt(x * sqrt(x * x^(1/2))) = 2^7 sqrt(x * sqrt(x^(3/2))) = 2^7 sqrt(x * (x^(3/4))) = 2^7 sqrt(x^(7/4)) = 2^7 x^(7/8) = 2^7 und jetzt linke seite mit ^(8/7) x = 2^7^(8/7) x = 2^8 Die Probe wird trivial: 2^8^(7/8) = 2^7? Exponenten multipliziert (8*7/8) = 7
Ich habe vor 40Jahre in der Realschüler das letzte mal Mathe gehabt.Dank dir,beschäftige ich mich wieder damit.Und Dank deiner Videos mit viel Spass.Das Niveau ist sehr passend.Hoffentlich noch viele Jahre.Dankeschön
Hallo Hubert, ich bin ein 68 ziger und schließe mich Deiner Aussage an. Ein weiteren großen Vorteil habe ich dadurch auch noch. Ich stehe bei meinen Enkelkindern nicht mehr so dumm dar, wenn sie fragen haben.
Ich habe vor 46 Jahren ein wirklich schlechtes Mathe Abi abgeliefert. Dank dieser Videos verstehe ich es und mache viele Rechnungen „sogar“ von selbst richtig. Und das, was ich in der Schule wirklich gehasst habe, macht mir jetzt, mit 66 Jahren, richtig Spaß! Vielen Dank dafür!
Aufwendig, aber gut nachvollziehbar dargestellt. Macht mit Dir immer wieder Spaß sich mit Dingen zu beschäftigen die schon einige Jahrzehnte zurückliegen.😊
Susanne, Du bist so gut :-) Es macht immer wieder Spaß Dir bei Deinen Berechnungen zu folgen und es dann auch zu verstehen. Toll und bitte mach so weiter . Danke :-)
Liebe Susanne, deine Mathe-Videos sind die besten die man auf youtube finden kann. Ich bin leider nicht mehr der Jüngste und wünschte ich hätte in meiner Schulzeit schon die Möglichkeit gehabt diese Videos anzuschauen, denn so perfekt und verständlich wie du die Aufgaben erklärst habe ich bislang noch nirgendwo anders gesehen. Deshalb mein grosses Kompliment an dich. Als kleine Korrektur möchte ich anmerken, dass 2 hoch 7 nicht 256 sondern 128 sind und die Probe 16 mal 4 mal 2 auch 128 ergibt. Aber wie gesagt das sind Peanuts und so etwas kann schon einmal passieren. LG Arnulf
Aufgrund meiner Abneigung gegen die Schreibweise mit Wurzeln habe ich das etwas anders gemacht - anstatt die Wurzeln durch Quadrieren zu entfernen, habe ich sie einfach umgeschrieben: sqrt(x) = x^1/2 Dementsprechend war ich nach Auflösung aller Wurzeln auf diese Weise bei x^7/8. Davon auf beiden Seiten die 7. Wurzel gezogen und anschließend mit 8 exponiert => x = 2^8 = 256. Für mich persönlich ist das die bessere Herangehensweise.
Habe es fast identisch gemacht nur im letzten Schritt war für mich dann offensichtlich, dass ich für x=2^8 einsetzen muss damit links 2^(8*7/8)=2^7 steht
ich habe letztes Semester meine Mathe Klausur bestanden und seit dem habe ich offiziell keine Mathe mehr im Leben. aber bin hier nur die Videos zu liken und kommentieren, damit der Algorithmus die Videos mehr vorschlägt und hoch puscht
Wäre glaube ich noch einfacher gewesen, wenn man nicht gleich quadriert, sondern erst den linken Teil umformt zu x^(7/8) (also (x(x(x)^1/2)^1/2)^1/2 = x^1/2 * x^1/4 * x^1/8 = x^7/8), dann kann man x^7/8 = 2^7 x^1/8 = 2. Bis zu diesem Zeitpunkt hat man noch nicht quadriert, wodurch man noch keine Scheinlösung erhalten haben kann, heißt man darf die Lösung direkt hier einsetzen. Die Gleichung hoch 8 ergibt x = 2^8 und in der Probe kann man gleich einsetzen und erhält 2 = 2. Sind durch weniger Rechenschritte, weil man nicht für die Probe die gleichen Schritte nochmal macht.
Genauso hab ich's auch gemacht. Selbst wenn man eine Probe machen wollte, wäre das denkbar einfach: Die Lösung 256 ist ja 2⁸. Daher erhält man, wenn man den Wurzelterm in die Exponentenschreibweise umwandelt, folgenden Term: (2⁸)^½ * (2⁸)^¼ * (2⁸)^⅛ Die einzelnen Faktoren kann man dann einfach ausrechnen, weil man nur die Exponenten multiplizieren muss und 8*½, 8*¼ und 8*⅛ das sollte auch für den schlechtestes Matheschüler kein Problem sein. Damit ergibt sich das Produkt 2⁴ * 2² * 2¹, was sich zu 2⁷ zusammenziehen lässt. q.e.d. 😀
Eine schöne Darstellung eines sicheren Weges. Falls es jemanden interessiert, gäb es auch noch einen anderen Weg, bei dem man die verschiedenen Potenzgesetze ganz gut in Aktion sehen kann: Wir sehen, dass alle x in Wurzeln nur miteinander multipliziert werden. Im Endeffekt steht da also die Quadratwurzel von x mal die vierte Wurzel von x mal die achte Wurzel von x. Insgesamt können wir 1/2 + 1/4 + 1/8 im Exponent also addieren und kommen auf x^(7/8). Nun steht da x^(7/8) = 2^7. Die 7 im Exponenten gibt uns schon den Hinweis, worauf wir hinaus wollen. Wir potenzieren beide Seiten mit 8. Jetzt steht dort x^7 = (2^7)^8. Auf der rechten Seite können wir die 7 und 8 ganz einfach tauschen, also steht da x^7 = (2^8)^7. Ergo muss x = 2^8 = 256 gelten. Den Weg fand ich einfach schön, weil man fast alle Potenzgesetze in einer Rechnung anwendet.
So habe ich auch gerechnet. Der Weg, den Susanne zeigte ist für weniger geübte gut geeignet. Habe früher sehr viel Nachhilfe in Mathematik gegeben und wusste, für meine Klassenkameraden muss ich eben langsamer vorgehen 😊
Erst bei Minute 5 wird erzählt dass man die Wurzel auch als Bruch im Exponent darstellen kann. Das kann man alternativ auch direkt am Anfang machen. Alle Wurzeln mit 1/2 im Exponent darstellen und Exponenten addieren bzw. Multiplizieren. Und schwubb ist man in 3 .. 4 Schritten auch bei 2 hoch 8 als Ergebnis 😁
Geht auch schneller, finde ich. Den Weg zu x°(1/2+1/4+1/8)=x^(7/8)=2^7 habe ich schrittweise von der innersten Wurzel zur äußersten Wurzel gemacht. Dann multipliziert man, um auf x^(7/8). Konntest Du die Auflösung der verschachtelten Wurzeln x°(1/2+1/4+1/8) direkt erkennen?
@@popogast Ich denke auch, dass es schneller geht. Aufgaben mit verschachtelten Wurzeln habe ich schon viele gerechnet. Sie scheinen aus irgendeinem Grund bei Mathelehrern beliebt zu sein. Mit Exponenten lassen Sie sich meist schnell und einfach lösen.
@@MartinMeise "Aufgaben mit verschachtelten Wurzeln habe ich schon viele gerechnet. " Deswegen hast Du Deine additive Darstellung wohl auch so schnell formulieren könnnen. "x°(1/2+1/4+1/8) "
@@popogastGedanklich mache ich einen kurzen Zwischenschritt x^(1/2)*x(1/4)*x^(1/8). Da Multiplikationen gleicher Basen eine Addition der Exponenten bedeuten, ergibt sich x^(1/2+1/4+1/8)=x^(7/8) Somit ist das für mich primär eine Bruchrechenaufgabe. Vergleichbar mit (((x/2)+x)/2+x)/2=7/8x. In diesem Fall halt mal mit Exponenten.
Is -256 also a possible answer? I think so because we reduced the 2⁵⁶ from 7th square root, and sonce its odd, shouldn't we also consider the negative result?
Ich bin unter der Wurzel "losgegangen" und habe zuerst das ganz rechte x unter der Wurzel in x hoch 1/2 umgewandelt und habe das mit allen weiteren x(en?) von rechts nach links ähnlich gemacht. Zum Schluss hatte ich die Gleichung x hoch 1/8 = 2 da stehen. Das ist dann praktisch der umgekehrte Weg, den du vorschlägst.
Man kann auch zu Beginn direkt die linke Seite zu x^7/8 umformen und dann auf beiden Seiten hoch 8/7 rechnen. Dann erhält man x=2^8 und muss nicht quadrieren.
ich finde die Videos super, aber dass du bei 2:55 "die Hochzahlen" sagst, da denke ich immer die Mitschüler, die sich im Mathe gerade so durchgeschlagen haben. Sag doch besser "die Exponenten" oder verbinde beides (z.B. "die Exponenten, viele sagen auch gerne 'die Hochzahlen'), vielleicht kann sich ja der ein oder andere noch mit dem Fachwort anfreunden 😊 (siehe auch: 4:58)
1. Spätestens ab dem dritten Mal hättest du den Exponenten doch direkt verdoppeln können anstatt zuerst (...)² hinzuschreiben; auch die Ausführlichkeit kann man übertreiben. 2. Bei der Probe wäre es meines Erachtens wesentlich cleverer gewesen, 2⁸ statt 256 einzusetzen und beim Wurzelziehen die Exponenten zu halbieren, zumal auf der rechten Seite der Gleichung auch eine Zweierpotenz und kein Absolutwert steht. 3. War die Probe hier in der Ausführlichkeit überhaupt notwendig? Scheinlösungen, die durch das Quadrieren von Gleichungen entstehen, sind vor allem deswegen keine Lösungen, weil die ursprüngliche Gleichung für sie nicht definiert ist. Dass die 256 die ursprüngliche Gleichung löst, wenn sie dafür definiert ist, haben wir ja schon berechnet. Daher hätte es bei der Probe meiner Meinung nach genügt, festzustellen, dass die 256 eine echte Lösung ist, weil sie als positive Zahl zur Definitionsmenge der Wurzelgleichung gehört. Und sie sind meines Wissens immer derselbe Wert mit umgekehrtem Vorzeichen, z. B. L(x = 2) = {2} & L(x² = 4) = {-2; 2}. Nach dieser Logik wäre die einzig mögliche Scheinlösung hier -256 gewesen; diese ist nicht aufgetreten, weil wir am Ende eine ungerade Potenz hatten. Aber auch deshalb sollte klar sein, dass der ermittelte Wert die ursprüngliche Gleichung erfüllen wird, wenn wir sie dort einsetzen dürfen. Sollte ich mich hier irren, korrigiert mich gerne mit Nennung des Gegenbeispiels. 4. Alternativer Lösungsweg "Wurzeln auseinander ziehen": √(x √(x √x)) = √x √√x √√√x = x^(1/2) x^(1/4) x^(1/8) = x^(4/8 + 2/8 + 1/8) = x^(7/8) = (x^(1/8))⁷ = 2⁷ | 7. Wurzel ziehen ⇔ x^(1/8) = 2 | hoch 8 nehmen ⇒ x = 2⁸ = 256 (keine Scheinlösung, da positiv und somit als Wurzelargument definiert) ✅ EDIT 08.10.2023: Hinsichtlich der notwendigen Ausführlichkeit der Probe (Punkt 3.) muss ich meinen Kommentar korrigieren, nachdem ich in den anderen Kommentaren ein Gegenbeispiel zu meiner These, eine gefundene Lösung sei keine Scheinlösung, wenn sie Element der Definitionsmenge ist, gefunden habe: L(-√x = 2) = ∅ & L(x = 4) = {4}; 4 ist als positive Zahl in der Definitionsmenge der Wurzelgleichung enthalten und dennoch eine Scheinlösung. ⚡ Damit wurde meine These, eine Lösung sei genau dann keine Scheinlösung, wenn sie in der Definitionsmenge enthalten sei, klar widerlegt. Aber auch in diesem Beispiel scheitert es nur am Vorzeichen und nicht am Betrag, denn Einsetzen der 4 in die Wurzelgleichung liefert -2 = 2, was vom Betrag her passt. Daher bleibe ich bei meiner zweiten These, dass man in der Probe nicht nochmal alles komplett nachrechnen muss. Es sollte genügen, die Definiertheit der gefundenen Lösung und das Vorzeichen der beiden Gleichungsseiten nach Einsetzen zu überprüfen. In Punkt 4. lautet die korrekte Begründung demnach, dass 256 eine echte Lösung ist, weil in als positiver Wert der Definitionsmenge der Wurzelgleichung enthalten und Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe Vorzeichen liefert. In dieser konkreten Aufgabe ist das mit der Bedingung "ist Element der Definitionsmenge" identisch, weil links eine Wurzel und rechts eine positive Zahl stehen; da kann für kein erlaubtes x auf einer der beiden Seiten jemals etwas Negatives heraus kommen.
Du vergisst aber eine eklatante Sache: einige der Nutzer hier sind noch Schüler, die tatsächlich in dieser Ausführlichkeit alles hinschreiben und genau so eine Beweisführung aufstellen sollen. Es ist einfach, schlau daherzureden, was zuviel oder unnötig ist. Lässt man aber die Scheuklappen weg, merkt man vielleicht, dass man nicht einfach von sich auf andere schließen sollte. Und Wiederholung hilft beim Lernen, darin sehe ich nichts Verwerfliches, man kann die Videos auch in doppelter Geschwindigkeit abspielen (mache ich z.B.) und gerade wegen der guten Didaktik, ähnlich MathePeter, lässt sich alles gut nachvollziehen. Da sollten auch diejenigen, die es nötig haben, kaum Probleme haben.
Das mit der Ausführlichkeit ist so ein zweischneidiges Schwert. Diejenigen, denen es helfen würde (auch bei Schularbeiten … jepp, Österreicher 🙂), sind nicht schnell genug, um es zu machen (schnell: im Sinne von „die Regeln wissen, ohne groß nachdenken zu müssen“) . Diejenigen, die es nicht brauchen, machen es, weil es deren Lösungsweg transparent macht und Kontrollen vereinfacht (nicht brauchen: im Sinne von „das Problem löse ich im Kopf“). That said: immer wieder mal empfinde ich die Ausführlichkeit in den Videos als - nuja - „schmerzhaft“.
@@peterstucklschwaiger2830 Ich sehe das so, dass die Zeit in den Klassenarbeiten und Klausuren begrenzt ist und gerade die schwächeren Kandidaten sich selbst wertvolle Zeit nehmen, wenn sie die Lösungswege zu ausführlich hinschreiben ... was sie tun, wenn sie Susannes Lösungswege 1:1 übernehmen. Da Susanne quasi Nachhilfe-Videos produziert, finde ich's okay, wenn sie zum besseren Verständnis ein- oder zweimal alle Zwischenschritte macht; spätestens ab dem dritten Mal sollte sie die, die in einer Klassenarbeit oder Klausur weggelassen werden können, auch in den Videos weglassen und die Zusammenhänge als "jetzt klar" voraussetzen. Hier bedeutet das: Die 2¹⁴ beim ersten Quadrieren der Gleichung zuerst als (2⁷)² hinzuschreiben und dann die Potenzgesetze zu erwähnen finde ich völlig in Ordnung. Auch die 2²⁸ beim zweiten Quadrieren der Gleichung noch zuerst als (2¹⁴)² hinzuschreiben kann man machen. Aber wem beim dritten Quadrieren der Gleichung dann nicht auch so klar ist, warum aus dem x² nun ein x⁴ und aus der 2²⁸ eine 2⁵⁶ geworden ist, dem ist nicht mehr zu helfen; das dann auch nochmal zuerst als (x²)² bzw. (2²⁸)² hinzuschreiben kann und sollte man sich dann auch in so einem Video verkneifen. Aber hinsichtlich der notwendigen Ausführlichkeit der Probe muss ich meinen ersten Kommentar korrigieren, nachdem ich in den anderen Kommentaren ein Gegenbeispiel zu meiner These, eine gefundene Lösung sei keine Scheinlösung, wenn sie Element der Definitionsmenge ist: L(-√x = 2) = ∅ & L(x = 4) = {4}; 4 ist als positive Zahl in der Definitionsmenge der Wurzelgleichung enthalten und dennoch eine Scheinlösung. Damit wurde meine These, eine Lösung sei genau dann keine Scheinlösung, wenn sie in der Definitionsmenge enthalten sei, klar widerlegt. Aber auch in diesem Beispiel scheitert es nur am Vorzeichen und nicht am Betrag, denn Einsetzen der 4 in die Wurzelgleichung liefert -2 = 2, was vom Betrag her passt. Daher bleibe ich bei meiner zweiten These, dass man in der Probe nicht nochmal alles komplett nachrechnen muss. Es sollte genügen, die Definiertheit der gefundenen Lösung und das Vorzeichen der beiden Gleichungsseiten nach Einsetzen zu überprüfen.
Ja, diese Annahme stimmt hier. Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, mit denen man sich im Alltag und der Schulmathematik so beschäftigt. Also alle Zahlen wie auch Brüche, negative Zahlen etc. bis hin zu irrationalen Zahlen wie Pi (Kreiszahl). Diese Einschränkung wurde bei der Aufgabe vermutlich nur gemacht, weil man beim Ziehen von Wurzeln auch häufig mit imaginären Zahlen arbeiten muss. Diese sind nicht reell. Mit diesen Zahlen beschäftigt man sich aber meistens erst im Studium.
@@iceTime999 Danke für die Antwort. Ich kann es mir kaum vorstellen das unter den vielen Zuschauern die Leute diese komplizierten Differenzierungen unterscheiden können und alle kurz vor ihrem Studium stehen. Aber was sollen nun imaginäre Zahlen jetzt sein, etwa Zahlen die es nicht gibt und man damit trotzdem rechnet!?
@@profihandwerker4828 So kann man es sich tatsächlich gut vorstellen. Man beginnt mit der Frage, was die Wurzel aus -1 ist. Mit reellen Zahlen weiß man, dass man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann. Also macht man in der Mathematik etwas, das man häufig macht: Man definiert einfach. Man hat gesagt, die Wurzel aus -1 sei die imaginäre Zahl i. Von da aus muss man dann gucken, wie man mit i sinnvoll weiterrechnen kann. Und tatsächlich sind viele "normale" Rechenregeln auch auf i anwendbar. Ein paar neue Regeln muss man sich trotzdem überlegen. Und am Ende "erzeugt" man damit die Komplexen Zahlen. Das sind quasi Kombinationen jeweils aus einer reellen Zahl und einem Faktor von i. Also z.B. 1 + 3i oder -12 - 14i, aber auch 12/8 - pi * i sind komplexe Zahlen. Das ist rein mathematisch dann aber wirklich nur noch für die richtigen Theoretiker, die da Spaß dran haben. Aber obwohl sie nicht wirklich einfach in der realen Welt zu beobachten sind, haben sie trotzdem sehr viele Anwendungen in den Naturwissenschaften und der Technik. Zum Beispiel die Quantenmechanik oder jede Form höherer Physik kommt ohne die komplexen Zahlen nicht aus. Oder eine schöne technische Anwendung: Mithilfe von komplexen Zahlen kann man die Stromphasen der Hauszuleitungen sehr genau und simpel beschreiben. Je mehr man sich damit beschäftigt, desto mehr merkt man, dass doch auch die komplexen Zahlen überall in der Natur vorkommen.
Sieht auf den ersten Blick wüst aus, ist aber, wie du gezeigt hast, eigentlich eine reine Fleißarbeit. Sobald da nur noch 2er-Potenzen stehen, fühlt man sich als Computerfreak schon wieder richtig zu Hause.
Überlegung: da es eine gleichung ist, und die rechte seite eine zweierpotenz, dann muss die linke seite nach primfaktorzerlegung auch eine zweierpotenz sein. Die linke seite in bruchschreibweise ist auch x^(1/8). x^(1/8) soll ne zweierpotenz sein, also: 2^(a*(1/8)) = 2^7. Daraus folgt, a=56, daraus folgt x=2^56. Nicht sicher ob das allgemeingültig ist 😅
Hab die linke Seite komplett in der Form "x^y" umgeschrieben, in dem ich das, was einmal als Zwischenschritt hier im Video vorkam, angewendet habe und aus sqrt(x) dann x^1/2 gemacht habe und dann schließlich verrechnet habe. Lässt sich sicherlich darüber streiten, ob das Zwischenergebnis "x^0,875 = 2^7" so hübsch ist, aber fand ich etwas angenehmer :D
Ich habe mal versucht, die Wurzeln als ^0,5 hinzuschreiben und dann jeweils die beiden Potenzgesetze anzuwenden. Klappt auch. Ich kam dann auf x^0,875 = 2^7. Und damit auf x = 2^(7/0,875) = 2^8
Ich bin beim Lösen dieser Aufgabe anders vorgegangen. Habe nicht quadriert, sonder die Wurzeln in Potenze umgewandelt und kam dann auf x^(7/8) = 2^7 darauf den ln angewendet (7/8)*ln(x) = 7*ln(2) beidseitig mit (8/7) multipliziert und ln(x) = 8*ln(2) erhalten und daraus dann über e^(#) erhielt ich schließlich x = e^(8*ln(2)) was man auf x= (e^(ln(2))^8 umformen kann und daraus dann x= 2^8 = 256 erhält. Meine Frage wäre hier, ob ich mit dem Ergebnis auch zwingend eine Probe machen muss, da ich ehrlich gesagt, gerade nicht mehr weiß ob die Rechnung mit dem ln eine Äquivalenz-Umformung ist oder wie das Quadrieren eben nicht. Kann mir darauf jemand eine Antwort geben? Danke im Voraus
x² = x kannst Du als Funktionen f(x) = x² und g(x) = x betrachten. Beide Graphen schneiden nur sich im Punkt (1|1) Bei x=-1 ist f(-1) = 1 g(-1) = -1 Beide Werte haben den gleichen Betrag mit unterschiedlichem Vorzeichen. Beim Potenzieren mit einem geraden Exponenten werden beide Vorzeichen gleich, sprich positiv. Für x^4 = x² ist daher -1 eine Lösung. Wenn Du die Probe an der ursprünglichen Gleichung machst, kommt eine falsche Gleichung heraus. 1 = -1 Du hast eine Scheinlösung gefunden.
Wenn ich in er Probe die Zahlen 16x4x2 direkt multipliziere - was sicher auch legitim wäre - komme ich nicht auf die 2^7.also 256 sondern nur auf 128, was die Probe scheitern lassen würde. Der Weg über die Potenzen führt zur erfolgreichen Probe. Warum ist das so?
Allgemein sollte man besser von möglichen Scheinlösungen beim Potenzieren einer Gleichung mit geraden Exponenten sprechen. Diese treten immer dann auf, wenn an einer Stelle im Graphen betragsgleiche Werte unterschiedlichem Vorzeichens vorkommen.
Vielleicht mache ich mich hier komplett zum Primaten, aber für mich (und sämtliche Taschrechner, die ich zur Rate gezogen habe) kome ich bei 2^7 auf 128... Bitte um Aufklärung! Bin am verzweifeln! LG L. aus BO
Verzweifeln brauchst du nicht: die Lösung für x ist 2^8=256, und wenn du für x die gefundene Lösung 2^8 auf der rechten Seite einsetzt, dann kommt wie gewünscht 2^7=128 raus.
Eigentlich könnte man das schön in eine Gleichung schreiben, aber TH-cam hat keinen Formeleditor, und mit den vielen Klammern verzettelt man sich sehr leicht. Daher das ganze schrittweise: Erst mal die innere Wurzel mit x multipliziert: x*x^(1/2)=x^(3/2) Daraus die (mittlere) Wurzel: x^(3/4) Das ganze noch einmal mit x multipliziert: x*x^(3/4)=x^(7/4) Nochmal die (äußere) Wurzel daraus: x^(7/8) x^(7/8)=2^7 x^(1/8)=2 x=2^8 x=256
Anderer Lösungsweg: √(x√(x√x))=2^7 Wir quadrieren: x√(x√x)=2^14 Das ganze nochmal: (x^2)*x*√x=2^28 Und noch einmal: (x^4)*x^2*x=2^56 x^7=2^56 Die siebente Wurzel daraus: x=2^8 x=256 Nicht ganz so verklammert wie meine andere Lösung.
Halloo erstmal und Herr Mark Reicher hat gesagt, wir sollen hier Mathe lernen. Also ich weiss noch, das 1+1=3 wahr, wenn ich was anderes gesagt hätte, (1986), dann hätte ich am Ende des Jahres keine Bonusprämiere bekommen. Grüße 😂
Ein Beispiel wäre z.B. die Gleichung [ - Wurzel ( x ) = 2 ] Das ist eine Gleichung, die über den reellen Zahlen eigentlich keine Lösung hat (Die Wurzel ist ja immer positiv, durch das Minus wird die linke Seite also immer negativ, also nie 2). Wenn ich aber quadriere, erhalte ich: x = 4. Hier wird mir also suggeriert, die Gleichung hätte eine Lösung. Bei der Probe fällt aber auf: - Wurzel ( 4 ) = -2.
ich bin andersherum vorgegangen und habe die Wurzeln in Potenzen umgeschrieben nach n. Wurzel aus x = x^1/n ist. ((x^1/2 * x^1)^1/2 * x^1)^1/2 und dann innen beginnend: x^1/2 * x^1 = x^3/2 dann weiter x^3/2^1/2 = x^3/4 dann weiter x^3/4 * x^1 = x^7/4 dann weiter x^7/4^1/2 = x^7/8 x^7/8 = (x^1/8)^7 = 2^7 dann 7. Wurzel x^1/8 = 2 potenziert mit 8 x = 2^8 = 256
2^7 = √(x*√(x*√x)) = √(x*√(x*x^(1/2))) = √(x*√x^(3/2)) = √(x*x^(3/4)) = √(x^(7/4)) = x^(7/8) 2^7 = x^(7/8) 2^(7*8/7) = x 2^8 = x x = 256 Finde ich nochmal deutlich leichter. Daraus sieht man interessanterweise, dass die Formel für die Verschachtelungen von √(x * √(x * ... )) = x ^ ((2^a - 1) / 2^a) ist mit a = Anzahl der Verschachtelungen. x^1/2 = √x x^3/4 = √(x*√x) x^7/8 = √(x*√(x*√x)) x^15/16 = √(x*√(x*√(x*√x))) usw.
Was für eine Rechnerei! Das ist sehr fehleranfällig. Leichter ist es die 2 als Basis immer stehen zu lassen und die Potenzen als Produkte. Dann kann man ganz einfach "kürzen".
Alles verstanden bis zur Probe. 16x4x2 =128, damit ist X = 128 und 2 Hoch 7 ist auch 128. Was ist dann mit der 256? Irgendwo mach ich einen Denkfehler. Wer kann mir weiterhelfen?
Bei der Probe geht es darum, dass man die gefundene Lösung in die Gleichung einsetzt und dann so lange vereinfacht bis klar ist, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen wirklich dasselbe steht. Hier wurde also im ersten Schritt x durch 256 ersetzt und bei 2 hoch 7 = 2 hoch 7 war der Beweis der Korrektheit erbracht.
diese videos mag ich grundsätzlich gerne, aber eher die anspruchsvolleren vielleicht 20%. diese aufgabe hier habe ich in 1min im kopf gelöst (versuche ich immer zuerst). was ich wirklich bedauere, sind die viel zu oft ausführlichen und langwierigen darstellungen von banalen sachverhalten.
Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei.
➤ www.mathematrick.de/shop
_____________________________________
Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Meine Lösung war einfacher
Ich habe die Linke Seit einfach umgeschrieben:
sqrt[{x.sqrt{x}}*sqrt{x}] = x^(7/8) = [x^(1/8)]^7 = 2^7 was dann direkt bedeutet x^(1/8) = 2 also x = 256
Die Probe ist damit automatisch denn 256x^(1/8) = 2 und hoch 7 is 2^7.
Ich hab das ganz anders gelöst.
Ich hab zuerst die linke Seite vereinfacht.
sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x))) = 2^7
sqrt(x * sqrt(x * x^(1/2))) = 2^7
sqrt(x * sqrt(x^(3/2))) = 2^7
sqrt(x * (x^(3/4))) = 2^7
sqrt(x^(7/4)) = 2^7
x^(7/8) = 2^7
und jetzt
linke seite mit ^(8/7)
x = 2^7^(8/7)
x = 2^8
Die Probe wird trivial:
2^8^(7/8) = 2^7?
Exponenten multipliziert (8*7/8) = 7
@Mathematrick gibts da einen Fehler in der Überlegung?
Ich habe vor 40Jahre in der Realschüler das letzte mal Mathe gehabt.Dank dir,beschäftige ich mich wieder damit.Und Dank deiner Videos mit viel Spass.Das Niveau ist sehr passend.Hoffentlich noch viele Jahre.Dankeschön
Ich staune, dass es noch mehr ältere Zuschauer gibt. Einfach irre, bei mir ist es auch 40 Jahre her. Bin jetzt 67.
Hallo Hubert, ich bin ein 68 ziger und schließe mich Deiner Aussage an. Ein weiteren großen Vorteil habe ich dadurch auch noch.
Ich stehe bei meinen Enkelkindern nicht mehr so dumm dar, wenn sie fragen haben.
Mir, 66, geht es genauso
Dito, allerdings "erst" 64 Jahre alt
Also ich bin 17 und gehe noch zur Schule, schadet aber trotzdem nicht haha
Ich habe vor 46 Jahren ein wirklich schlechtes Mathe Abi abgeliefert. Dank dieser Videos verstehe ich es und mache viele Rechnungen „sogar“ von selbst richtig. Und das, was ich in der Schule wirklich gehasst habe, macht mir jetzt, mit 66 Jahren, richtig Spaß! Vielen Dank dafür!
Aufwendig, aber gut nachvollziehbar dargestellt. Macht mit Dir immer wieder Spaß sich mit Dingen zu beschäftigen die schon einige Jahrzehnte zurückliegen.😊
ich finde es so toll, wie sie die augenscheinlich kompliziertesten Dinge so einfach und verständlich erklärt! ❤👍
Auch bei aller Kritik die es immer gibt. Dank Susanne bleibe ich seit Jahren in Mathe IN FORM. 🤗💝👍
Du machst daraus die zauberhafte Mathematik. Danke dafür!
Sehr gut gemacht! Alles sehr klar (auch ohne Stimme). :)
Schönes Video. Als Softwareentwickler bin ich ein großer Fan von Zweierpotenzen
Susanne, Du bist so gut :-) Es macht immer wieder Spaß Dir bei Deinen Berechnungen zu folgen und es dann auch zu verstehen. Toll und bitte mach so weiter . Danke :-)
Liebe Susanne, deine Mathe-Videos sind die besten die man auf youtube finden kann. Ich bin leider nicht mehr der Jüngste und wünschte ich hätte in meiner Schulzeit schon die Möglichkeit gehabt diese Videos anzuschauen, denn so perfekt und verständlich wie du die Aufgaben erklärst habe ich bislang noch nirgendwo anders gesehen. Deshalb mein grosses Kompliment an dich. Als kleine Korrektur möchte ich anmerken, dass 2 hoch 7 nicht 256 sondern 128 sind und die Probe 16 mal 4 mal 2 auch 128 ergibt. Aber wie gesagt das sind Peanuts und so etwas kann schon einmal passieren. LG Arnulf
Wirklich gut erklärt
Hatte selbst heut keine probs aber deine Erklärung war einmal mehr Weltklasse
Danke für den Kanal
Tolles Video. 👍
Du hast uns super klar "an die Hand genommen".🤗🌷
Aufgrund meiner Abneigung gegen die Schreibweise mit Wurzeln habe ich das etwas anders gemacht - anstatt die Wurzeln durch Quadrieren zu entfernen, habe ich sie einfach umgeschrieben:
sqrt(x) = x^1/2
Dementsprechend war ich nach Auflösung aller Wurzeln auf diese Weise bei x^7/8. Davon auf beiden Seiten die 7. Wurzel gezogen und anschließend mit 8 exponiert => x = 2^8 = 256.
Für mich persönlich ist das die bessere Herangehensweise.
Habe es fast identisch gemacht nur im letzten Schritt war für mich dann offensichtlich, dass ich für x=2^8 einsetzen muss damit links 2^(8*7/8)=2^7 steht
Eine schöne Denksportaufgabe und nochmal die Potenzgesetze zurück auf den Schirm gebracht 😀Ach man vergisst einfach zuviel nach der Schulzeit 😒
Denksportaufgabe - das Wort habe ich schon ewig nicht mehr gehört ☺
Wow! Das konnte ich im Kopf mit Potenzgesetzen rechnen.
Sehr gut hergeleitet 👍
Toll erklärt ich habe es nicht rausbekommen, zu lange her. 😅 Weiter so
ich habe letztes Semester meine Mathe Klausur bestanden und seit dem habe ich offiziell keine Mathe mehr im Leben. aber bin hier nur die Videos zu liken und kommentieren, damit der Algorithmus die Videos mehr vorschlägt und hoch puscht
Wäre glaube ich noch einfacher gewesen, wenn man nicht gleich quadriert, sondern erst den linken Teil umformt zu x^(7/8) (also (x(x(x)^1/2)^1/2)^1/2 = x^1/2 * x^1/4 * x^1/8 = x^7/8), dann kann man x^7/8 = 2^7 x^1/8 = 2. Bis zu diesem Zeitpunkt hat man noch nicht quadriert, wodurch man noch keine Scheinlösung erhalten haben kann, heißt man darf die Lösung direkt hier einsetzen. Die Gleichung hoch 8 ergibt x = 2^8 und in der Probe kann man gleich einsetzen und erhält 2 = 2. Sind durch weniger Rechenschritte, weil man nicht für die Probe die gleichen Schritte nochmal macht.
Genauso hab ich's auch gemacht.
Selbst wenn man eine Probe machen wollte, wäre das denkbar einfach:
Die Lösung 256 ist ja 2⁸.
Daher erhält man, wenn man den Wurzelterm in die Exponentenschreibweise umwandelt, folgenden Term:
(2⁸)^½ * (2⁸)^¼ * (2⁸)^⅛
Die einzelnen Faktoren kann man dann einfach ausrechnen, weil man nur die Exponenten multiplizieren muss und 8*½, 8*¼ und 8*⅛ das sollte auch für den schlechtestes Matheschüler kein Problem sein.
Damit ergibt sich das Produkt 2⁴ * 2² * 2¹, was sich zu 2⁷ zusammenziehen lässt. q.e.d. 😀
Bei wurzeln hab ich abgeschaltet 😄
Eine schöne Darstellung eines sicheren Weges. Falls es jemanden interessiert, gäb es auch noch einen anderen Weg, bei dem man die verschiedenen Potenzgesetze ganz gut in Aktion sehen kann:
Wir sehen, dass alle x in Wurzeln nur miteinander multipliziert werden. Im Endeffekt steht da also die Quadratwurzel von x mal die vierte Wurzel von x mal die achte Wurzel von x. Insgesamt können wir 1/2 + 1/4 + 1/8 im Exponent also addieren und kommen auf x^(7/8).
Nun steht da x^(7/8) = 2^7. Die 7 im Exponenten gibt uns schon den Hinweis, worauf wir hinaus wollen. Wir potenzieren beide Seiten mit 8. Jetzt steht dort x^7 = (2^7)^8.
Auf der rechten Seite können wir die 7 und 8 ganz einfach tauschen, also steht da x^7 = (2^8)^7. Ergo muss x = 2^8 = 256 gelten.
Den Weg fand ich einfach schön, weil man fast alle Potenzgesetze in einer Rechnung anwendet.
ich habe auch auf Ihre Weise gelöst :)
So habe ich auch gerechnet. Der Weg, den Susanne zeigte ist für weniger geübte gut geeignet. Habe früher sehr viel Nachhilfe in Mathematik gegeben und wusste, für meine Klassenkameraden muss ich eben langsamer vorgehen 😊
Moin, du machst deine Sache sehr gut und verständlich. Währe sehr cool wenn du mal ein Video über Kubische splines machen könntest.
Danke
Du nimmst mir die Angst vor Schwierig aussehenden Gleichungen
Hätte ich nur ein Lehrer wie Sie gehabt......
Erst bei Minute 5 wird erzählt dass man die Wurzel auch als Bruch im Exponent darstellen kann. Das kann man alternativ auch direkt am Anfang machen. Alle Wurzeln mit 1/2 im Exponent darstellen und Exponenten addieren bzw. Multiplizieren. Und schwubb ist man in 3 .. 4 Schritten auch bei 2 hoch 8 als Ergebnis 😁
Interessant, daß so viele deiner Fans so alt sind wie ich!
Vielen Dank 🤍
Hi könnten sie Bitte Ein Erklär Video machen wie man Teiler berechnet ich hab da bisschen Schwierigkeiten😊
Vielen Dank
Wenn man die Formal mal mit Exponenten statt mit Wurzeln schreibt, wir die Gleichung relativ einfach:
x^(1/2+1/4+1/8)=x^(7/8)=2^7
x^(1/8)=2
x=2^8=256
Geht auch schneller, finde ich. Den Weg zu x°(1/2+1/4+1/8)=x^(7/8)=2^7 habe ich schrittweise von der innersten Wurzel zur äußersten Wurzel gemacht. Dann multipliziert man, um auf x^(7/8). Konntest Du die Auflösung der verschachtelten Wurzeln x°(1/2+1/4+1/8) direkt erkennen?
@@popogast Ich denke auch, dass es schneller geht. Aufgaben mit verschachtelten Wurzeln habe ich schon viele gerechnet. Sie scheinen aus irgendeinem Grund bei Mathelehrern beliebt zu sein. Mit Exponenten lassen Sie sich meist schnell und einfach lösen.
@@MartinMeise "Aufgaben mit verschachtelten Wurzeln habe ich schon viele gerechnet. " Deswegen hast Du Deine additive Darstellung wohl auch so schnell formulieren könnnen. "x°(1/2+1/4+1/8) "
@@popogastGedanklich mache ich einen kurzen Zwischenschritt x^(1/2)*x(1/4)*x^(1/8). Da Multiplikationen gleicher Basen eine Addition der Exponenten bedeuten, ergibt sich x^(1/2+1/4+1/8)=x^(7/8)
Somit ist das für mich primär eine Bruchrechenaufgabe. Vergleichbar mit (((x/2)+x)/2+x)/2=7/8x. In diesem Fall halt mal mit Exponenten.
0:00 "Hallo, ihr Lieben" Hallo zurück
verstanden...danke
Super, freut mich ☺️
Mit welchem Programm machst Du Deine Berechnungen im Hintergrund ?
Meine Lösung wäre es, das nächste offene Fenster aufzusuchen und die Bodenbeschaffenheit zu testen 😂
Is -256 also a possible answer? I think so because we reduced the 2⁵⁶ from 7th square root, and sonce its odd, shouldn't we also consider the negative result?
Heerzlichen Dank für diese Aufgabe.
Mein Lösungsvorschlag ist:
√x√x√x = 2⁷
(√x√x√x)²= (2⁷)²
x√x√x= 2¹⁴
√x²x√x= 2¹⁴
(√x³√x)²= (2¹⁴)²
x³√x= 2²⁸
√x⁶x= 2²⁸
(√x⁷)²= (2²⁸)²
x⁷ = 2⁵⁶
x= 2⁵⁶/⁷
x= 2⁸
x= 256 ist die Antwort
Ich bin unter der Wurzel "losgegangen" und habe zuerst das ganz rechte
x unter der Wurzel in x hoch 1/2 umgewandelt und habe das mit allen
weiteren x(en?) von rechts nach links ähnlich gemacht.
Zum Schluss hatte ich die Gleichung
x hoch 1/8 = 2 da stehen.
Das ist dann praktisch der umgekehrte Weg, den du
vorschlägst.
Du Retterin ❤
Wurzel 🥕 Love ❤ Forever! 😊
Man kann auch zu Beginn direkt die linke Seite zu x^7/8 umformen und dann auf beiden Seiten hoch 8/7 rechnen. Dann erhält man x=2^8 und muss nicht quadrieren.
2 hoch 8 ergibt 256
2 hoch 7 ergibt 128
@@wernergoldfuchs8249 und x= 2^8 ist die richtige Lösung wie im Video erklärt. Wo ist das Problem?
ich finde die Videos super, aber dass du bei 2:55 "die Hochzahlen" sagst, da denke ich immer die Mitschüler, die sich im Mathe gerade so durchgeschlagen haben. Sag doch besser "die Exponenten" oder verbinde beides (z.B. "die Exponenten, viele sagen auch gerne 'die Hochzahlen'), vielleicht kann sich ja der ein oder andere noch mit dem Fachwort anfreunden 😊
(siehe auch: 4:58)
1. Spätestens ab dem dritten Mal hättest du den Exponenten doch direkt verdoppeln können anstatt zuerst (...)² hinzuschreiben; auch die Ausführlichkeit kann man übertreiben.
2. Bei der Probe wäre es meines Erachtens wesentlich cleverer gewesen, 2⁸ statt 256 einzusetzen und beim Wurzelziehen die Exponenten zu halbieren, zumal auf der rechten Seite der Gleichung auch eine Zweierpotenz und kein Absolutwert steht.
3. War die Probe hier in der Ausführlichkeit überhaupt notwendig? Scheinlösungen, die durch das Quadrieren von Gleichungen entstehen, sind vor allem deswegen keine Lösungen, weil die ursprüngliche Gleichung für sie nicht definiert ist. Dass die 256 die ursprüngliche Gleichung löst, wenn sie dafür definiert ist, haben wir ja schon berechnet. Daher hätte es bei der Probe meiner Meinung nach genügt, festzustellen, dass die 256 eine echte Lösung ist, weil sie als positive Zahl zur Definitionsmenge der Wurzelgleichung gehört. Und sie sind meines Wissens immer derselbe Wert mit umgekehrtem Vorzeichen, z. B. L(x = 2) = {2} & L(x² = 4) = {-2; 2}. Nach dieser Logik wäre die einzig mögliche Scheinlösung hier -256 gewesen; diese ist nicht aufgetreten, weil wir am Ende eine ungerade Potenz hatten. Aber auch deshalb sollte klar sein, dass der ermittelte Wert die ursprüngliche Gleichung erfüllen wird, wenn wir sie dort einsetzen dürfen. Sollte ich mich hier irren, korrigiert mich gerne mit Nennung des Gegenbeispiels.
4. Alternativer Lösungsweg "Wurzeln auseinander ziehen":
√(x √(x √x)) = √x √√x √√√x = x^(1/2) x^(1/4) x^(1/8) = x^(4/8 + 2/8 + 1/8) = x^(7/8) = (x^(1/8))⁷ = 2⁷ | 7. Wurzel ziehen
⇔ x^(1/8) = 2 | hoch 8 nehmen
⇒ x = 2⁸ = 256 (keine Scheinlösung, da positiv und somit als Wurzelargument definiert) ✅
EDIT 08.10.2023:
Hinsichtlich der notwendigen Ausführlichkeit der Probe (Punkt 3.) muss ich meinen Kommentar korrigieren, nachdem ich in den anderen Kommentaren ein Gegenbeispiel zu meiner These, eine gefundene Lösung sei keine Scheinlösung, wenn sie Element der Definitionsmenge ist, gefunden habe:
L(-√x = 2) = ∅ & L(x = 4) = {4}; 4 ist als positive Zahl in der Definitionsmenge der Wurzelgleichung enthalten und dennoch eine Scheinlösung. ⚡
Damit wurde meine These, eine Lösung sei genau dann keine Scheinlösung, wenn sie in der Definitionsmenge enthalten sei, klar widerlegt.
Aber auch in diesem Beispiel scheitert es nur am Vorzeichen und nicht am Betrag, denn Einsetzen der 4 in die Wurzelgleichung liefert -2 = 2, was vom Betrag her passt. Daher bleibe ich bei meiner zweiten These, dass man in der Probe nicht nochmal alles komplett nachrechnen muss. Es sollte genügen, die Definiertheit der gefundenen Lösung und das Vorzeichen der beiden Gleichungsseiten nach Einsetzen zu überprüfen.
In Punkt 4. lautet die korrekte Begründung demnach, dass 256 eine echte Lösung ist, weil in als positiver Wert der Definitionsmenge der Wurzelgleichung enthalten und Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe Vorzeichen liefert. In dieser konkreten Aufgabe ist das mit der Bedingung "ist Element der Definitionsmenge" identisch, weil links eine Wurzel und rechts eine positive Zahl stehen; da kann für kein erlaubtes x auf einer der beiden Seiten jemals etwas Negatives heraus kommen.
Du vergisst aber eine eklatante Sache: einige der Nutzer hier sind noch Schüler, die tatsächlich in dieser Ausführlichkeit alles hinschreiben und genau so eine Beweisführung aufstellen sollen. Es ist einfach, schlau daherzureden, was zuviel oder unnötig ist. Lässt man aber die Scheuklappen weg, merkt man vielleicht, dass man nicht einfach von sich auf andere schließen sollte. Und Wiederholung hilft beim Lernen, darin sehe ich nichts Verwerfliches, man kann die Videos auch in doppelter Geschwindigkeit abspielen (mache ich z.B.) und gerade wegen der guten Didaktik, ähnlich MathePeter, lässt sich alles gut nachvollziehen. Da sollten auch diejenigen, die es nötig haben, kaum Probleme haben.
Alle Klarheiten beseitigt, aber elegant!
Das mit der Ausführlichkeit ist so ein zweischneidiges Schwert.
Diejenigen, denen es helfen würde (auch bei Schularbeiten … jepp, Österreicher 🙂), sind nicht schnell genug, um es zu machen (schnell: im Sinne von „die Regeln wissen, ohne groß nachdenken zu müssen“) .
Diejenigen, die es nicht brauchen, machen es, weil es deren Lösungsweg transparent macht und Kontrollen vereinfacht (nicht brauchen: im Sinne von „das Problem löse ich im Kopf“).
That said: immer wieder mal empfinde ich die Ausführlichkeit in den Videos als - nuja - „schmerzhaft“.
@@peterstucklschwaiger2830 Ich sehe das so, dass die Zeit in den Klassenarbeiten und Klausuren begrenzt ist und gerade die schwächeren Kandidaten sich selbst wertvolle Zeit nehmen, wenn sie die Lösungswege zu ausführlich hinschreiben ... was sie tun, wenn sie Susannes Lösungswege 1:1 übernehmen. Da Susanne quasi Nachhilfe-Videos produziert, finde ich's okay, wenn sie zum besseren Verständnis ein- oder zweimal alle Zwischenschritte macht; spätestens ab dem dritten Mal sollte sie die, die in einer Klassenarbeit oder Klausur weggelassen werden können, auch in den Videos weglassen und die Zusammenhänge als "jetzt klar" voraussetzen. Hier bedeutet das:
Die 2¹⁴ beim ersten Quadrieren der Gleichung zuerst als (2⁷)² hinzuschreiben und dann die Potenzgesetze zu erwähnen finde ich völlig in Ordnung.
Auch die 2²⁸ beim zweiten Quadrieren der Gleichung noch zuerst als (2¹⁴)² hinzuschreiben kann man machen.
Aber wem beim dritten Quadrieren der Gleichung dann nicht auch so klar ist, warum aus dem x² nun ein x⁴ und aus der 2²⁸ eine 2⁵⁶ geworden ist, dem ist nicht mehr zu helfen; das dann auch nochmal zuerst als (x²)² bzw. (2²⁸)² hinzuschreiben kann und sollte man sich dann auch in so einem Video verkneifen.
Aber hinsichtlich der notwendigen Ausführlichkeit der Probe muss ich meinen ersten Kommentar korrigieren, nachdem ich in den anderen Kommentaren ein Gegenbeispiel zu meiner These, eine gefundene Lösung sei keine Scheinlösung, wenn sie Element der Definitionsmenge ist:
L(-√x = 2) = ∅ & L(x = 4) = {4}; 4 ist als positive Zahl in der Definitionsmenge der Wurzelgleichung enthalten und dennoch eine Scheinlösung.
Damit wurde meine These, eine Lösung sei genau dann keine Scheinlösung, wenn sie in der Definitionsmenge enthalten sei, klar widerlegt.
Aber auch in diesem Beispiel scheitert es nur am Vorzeichen und nicht am Betrag, denn Einsetzen der 4 in die Wurzelgleichung liefert -2 = 2, was vom Betrag her passt. Daher bleibe ich bei meiner zweiten These, dass man in der Probe nicht nochmal alles komplett nachrechnen muss. Es sollte genügen, die Definiertheit der gefundenen Lösung und das Vorzeichen der beiden Gleichungsseiten nach Einsetzen zu überprüfen.
@@teejay7578"Nimmt einen die Zeit wegen einer ausführlichen Erklärung." Als ob das so tragisch ist
Hallo, ich kriege es nicht hin , aber könnte man auch alle Wurzeln als x hoch ½ schreiben und dann die Aufgabe ausrechnen?
Was sind reelle Zahlen!? Hier setzt Susanne schon voraus das wir es schon wissen, aber stimmt es denn, ist diese Annahme richtig!? 🤔
Ja, diese Annahme stimmt hier. Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, mit denen man sich im Alltag und der Schulmathematik so beschäftigt. Also alle Zahlen wie auch Brüche, negative Zahlen etc. bis hin zu irrationalen Zahlen wie Pi (Kreiszahl). Diese Einschränkung wurde bei der Aufgabe vermutlich nur gemacht, weil man beim Ziehen von Wurzeln auch häufig mit imaginären Zahlen arbeiten muss. Diese sind nicht reell. Mit diesen Zahlen beschäftigt man sich aber meistens erst im Studium.
@@iceTime999 Danke für die Antwort. Ich kann es mir kaum vorstellen das unter den vielen Zuschauern die Leute diese komplizierten Differenzierungen unterscheiden können und alle kurz vor ihrem Studium stehen.
Aber was sollen nun imaginäre Zahlen jetzt sein, etwa Zahlen die es nicht gibt und man damit trotzdem rechnet!?
@@profihandwerker4828 So kann man es sich tatsächlich gut vorstellen. Man beginnt mit der Frage, was die Wurzel aus -1 ist. Mit reellen Zahlen weiß man, dass man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann. Also macht man in der Mathematik etwas, das man häufig macht: Man definiert einfach. Man hat gesagt, die Wurzel aus -1 sei die imaginäre Zahl i. Von da aus muss man dann gucken, wie man mit i sinnvoll weiterrechnen kann. Und tatsächlich sind viele "normale" Rechenregeln auch auf i anwendbar. Ein paar neue Regeln muss man sich trotzdem überlegen. Und am Ende "erzeugt" man damit die Komplexen Zahlen. Das sind quasi Kombinationen jeweils aus einer reellen Zahl und einem Faktor von i. Also z.B. 1 + 3i oder -12 - 14i, aber auch 12/8 - pi * i sind komplexe Zahlen.
Das ist rein mathematisch dann aber wirklich nur noch für die richtigen Theoretiker, die da Spaß dran haben. Aber obwohl sie nicht wirklich einfach in der realen Welt zu beobachten sind, haben sie trotzdem sehr viele Anwendungen in den Naturwissenschaften und der Technik. Zum Beispiel die Quantenmechanik oder jede Form höherer Physik kommt ohne die komplexen Zahlen nicht aus. Oder eine schöne technische Anwendung: Mithilfe von komplexen Zahlen kann man die Stromphasen der Hauszuleitungen sehr genau und simpel beschreiben. Je mehr man sich damit beschäftigt, desto mehr merkt man, dass doch auch die komplexen Zahlen überall in der Natur vorkommen.
Sieht auf den ersten Blick wüst aus, ist aber, wie du gezeigt hast, eigentlich eine reine Fleißarbeit. Sobald da nur noch 2er-Potenzen stehen, fühlt man sich als Computerfreak schon wieder richtig zu Hause.
Ich bin auf die gleiche Lösung gekommen, nun ich habe die Quadratwurzeln von innen gezogen.
2:57 Kleine Anmerkung:
Die Hochzahlen werden miteinander addiert nicht multipliziert.
Oder meinst du was anderes mit "multipliziert"
Überlegung: da es eine gleichung ist, und die rechte seite eine zweierpotenz, dann muss die linke seite nach primfaktorzerlegung auch eine zweierpotenz sein.
Die linke seite in bruchschreibweise ist auch x^(1/8). x^(1/8) soll ne zweierpotenz sein, also: 2^(a*(1/8)) = 2^7. Daraus folgt, a=56, daraus folgt x=2^56.
Nicht sicher ob das allgemeingültig ist 😅
Hab die linke Seite komplett in der Form "x^y" umgeschrieben, in dem ich das, was einmal als Zwischenschritt hier im Video vorkam, angewendet habe und aus sqrt(x) dann x^1/2 gemacht habe und dann schließlich verrechnet habe. Lässt sich sicherlich darüber streiten, ob das Zwischenergebnis "x^0,875 = 2^7" so hübsch ist, aber fand ich etwas angenehmer :D
Kann mir vielleicht einer verraten wie dieses Programm heißt was die liebe Dame hier benutzt, ich bedanke mich im vorraus
du hast ganz oft wurzel gezogen, aber die negativen Ergebnisse immer weggelassen. wären daraus keine weiteren lösungen entstanden?
=> x^1/2• x^1/4• x^1/6=2^7 = 128; x^(5,5/6)=128; 128^(1/6)=2,244 2,244^5,5=85,424
Bruhhh ich habs einfach rausbekommen 8)
Ich habe mal versucht, die Wurzeln als ^0,5 hinzuschreiben und dann jeweils die beiden Potenzgesetze anzuwenden. Klappt auch. Ich kam dann auf x^0,875 = 2^7. Und damit auf x = 2^(7/0,875) = 2^8
jep, das habe ich auch so genauso gemacht.
Ich bin beim Lösen dieser Aufgabe anders vorgegangen. Habe nicht quadriert, sonder die Wurzeln in Potenze umgewandelt und kam dann auf x^(7/8) = 2^7 darauf den ln angewendet
(7/8)*ln(x) = 7*ln(2) beidseitig mit (8/7) multipliziert und
ln(x) = 8*ln(2) erhalten und daraus dann über e^(#) erhielt ich schließlich
x = e^(8*ln(2)) was man auf
x= (e^(ln(2))^8 umformen kann und daraus dann
x= 2^8 = 256 erhält.
Meine Frage wäre hier, ob ich mit dem Ergebnis auch zwingend eine Probe machen muss, da ich ehrlich gesagt, gerade nicht mehr weiß ob die Rechnung mit dem ln eine Äquivalenz-Umformung ist oder wie das Quadrieren eben nicht. Kann mir darauf jemand eine Antwort geben?
Danke im Voraus
Bedeutet 28² nicht 28*28?
hmmm, wie würde sich denn so eine Scheinlösung präsentieren ?
x² = x
kannst Du als Funktionen
f(x) = x² und
g(x) = x betrachten.
Beide Graphen schneiden nur sich im Punkt (1|1)
Bei x=-1 ist
f(-1) = 1
g(-1) = -1
Beide Werte haben den gleichen Betrag mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Beim Potenzieren mit einem geraden Exponenten werden beide Vorzeichen gleich, sprich positiv.
Für x^4 = x² ist daher -1 eine Lösung.
Wenn Du die Probe an der ursprünglichen Gleichung machst, kommt eine falsche Gleichung heraus.
1 = -1
Du hast eine Scheinlösung gefunden.
Für die Probe hätte ich mit 2 ^8 gearbeitet
ich bin bei x = (7/8)te Wurzel von 2^7 hängengeblieben - aber dank Dir ist das ja 2 hoch ( 7 * 8 / 7) also 2^8 **thx**
Interessant wäre jetzt eine ähnlich gestrickte Aufgabe, bei der die Probe zeigt, dass die Lösung keine echte Lösung ist.
Oha, diesmal hat Susanne das Ergebnis zweimal unterstrichen! Sie hat dazugelernt. 😂
Das ergebnis war nur einmal interstrichen 2^7 war ja nicht das ergebnis
@@tillmartens5770 Du nimmst es aber jetzt auch ganz genau. Aber du hast trotzdem recht. Es stimmt.
th-cam.com/video/pmxTzKVI-sg/w-d-xo.html&si=WGzBnx8vSSXmYI30
Wenn ich in er Probe die Zahlen 16x4x2 direkt multipliziere - was sicher auch legitim wäre - komme ich nicht auf die 2^7.also 256 sondern nur auf 128, was die Probe scheitern lassen würde. Der Weg über die Potenzen führt zur erfolgreichen Probe. Warum ist das so?
Hm...
2^7=128
2^8=256
@@thomasgrabowsky4607 Ja richtig, da habe ich mich vertan - dennoch erreiche ich nicht die 256 beim direkten Multiplizieren
Im Kopf geht es viel einfacher, wenn man die Schreibweise 'hoch 0,5' anstelle der Quadratwurzeln verwendet...
Allgemein sollte man besser von möglichen Scheinlösungen beim Potenzieren einer Gleichung mit geraden Exponenten sprechen.
Diese treten immer dann auf, wenn an einer Stelle im Graphen betragsgleiche Werte unterschiedlichem Vorzeichens vorkommen.
Vielleicht mache ich mich hier komplett zum Primaten, aber für mich (und sämtliche Taschrechner, die ich zur Rate gezogen habe) kome ich bei 2^7 auf 128... Bitte um Aufklärung! Bin am verzweifeln!
LG
L. aus BO
Verzweifeln brauchst du nicht: die Lösung für x ist 2^8=256, und wenn du für x die gefundene Lösung 2^8 auf der rechten Seite einsetzt, dann kommt wie gewünscht 2^7=128 raus.
@@Fredi202 Bedankt!
Eigentlich könnte man das schön in eine Gleichung schreiben, aber TH-cam hat keinen Formeleditor, und mit den vielen Klammern verzettelt man sich sehr leicht. Daher das ganze schrittweise:
Erst mal die innere Wurzel mit x multipliziert: x*x^(1/2)=x^(3/2)
Daraus die (mittlere) Wurzel: x^(3/4)
Das ganze noch einmal mit x multipliziert: x*x^(3/4)=x^(7/4)
Nochmal die (äußere) Wurzel daraus: x^(7/8)
x^(7/8)=2^7
x^(1/8)=2
x=2^8
x=256
Anderer Lösungsweg:
√(x√(x√x))=2^7
Wir quadrieren:
x√(x√x)=2^14
Das ganze nochmal:
(x^2)*x*√x=2^28
Und noch einmal:
(x^4)*x^2*x=2^56
x^7=2^56
Die siebente Wurzel daraus:
x=2^8
x=256
Nicht ganz so verklammert wie meine andere Lösung.
Jetzt habe ich zwar meine (im)Potenz verloren, dafür habe ich Angst vorm Zahnarzt….😅
16 x 4 x 2 ergibt auch 128
Halloo erstmal und Herr Mark Reicher hat gesagt, wir sollen hier Mathe lernen.
Also ich weiss noch, das 1+1=3 wahr, wenn ich was anderes gesagt hätte, (1986), dann hätte ich am Ende des Jahres keine Bonusprämiere bekommen.
Grüße 😂
Mit dem Gesetz wie man Wurzeln radiziert wäre es schneller gewesen.
Wurzel aus der Wurzel und nochmal aus der Wurzel von X
ergibt die 8' te Wurzel aus X
Witzig wie aus 2^56 256 wird.
Da kommt mir spontan die Gleichung
2^x = 200 + x
in den Sinn 😂
Ich kam mir vor wie beim Zahnarzt: vorher mächtig Knieflattern, wegen des Wurzelziehens, und hinterher war gar nicht schlimm...
2 hoch 7 ergibt 128
Hm aber wann kann das denn kaputt gehen mit dem Quadrieren?
Ein Beispiel wäre z.B. die Gleichung [ - Wurzel ( x ) = 2 ]
Das ist eine Gleichung, die über den reellen Zahlen eigentlich keine Lösung hat (Die Wurzel ist ja immer positiv, durch das Minus wird die linke Seite also immer negativ, also nie 2).
Wenn ich aber quadriere, erhalte ich: x = 4. Hier wird mir also suggeriert, die Gleichung hätte eine Lösung. Bei der Probe fällt aber auf: - Wurzel ( 4 ) = -2.
@@iceTime999 Super danke fuer das Beispiel!
ich bin andersherum vorgegangen und habe die Wurzeln in Potenzen umgeschrieben nach n. Wurzel aus x = x^1/n ist.
((x^1/2 * x^1)^1/2 * x^1)^1/2 und dann innen beginnend:
x^1/2 * x^1 = x^3/2 dann weiter x^3/2^1/2 = x^3/4 dann weiter x^3/4 * x^1 = x^7/4 dann weiter x^7/4^1/2 = x^7/8
x^7/8 = (x^1/8)^7 = 2^7 dann 7. Wurzel
x^1/8 = 2 potenziert mit 8
x = 2^8 = 256
2^7 = √(x*√(x*√x)) = √(x*√(x*x^(1/2))) = √(x*√x^(3/2)) = √(x*x^(3/4)) = √(x^(7/4)) = x^(7/8)
2^7 = x^(7/8) 2^(7*8/7) = x 2^8 = x x = 256
Finde ich nochmal deutlich leichter.
Daraus sieht man interessanterweise, dass die Formel für die Verschachtelungen von √(x * √(x * ... )) = x ^ ((2^a - 1) / 2^a) ist mit a = Anzahl der Verschachtelungen.
x^1/2 = √x
x^3/4 = √(x*√x)
x^7/8 = √(x*√(x*√x))
x^15/16 = √(x*√(x*√(x*√x)))
usw.
Was für eine Rechnerei!
Das ist sehr fehleranfällig.
Leichter ist es die 2 als Basis immer stehen zu lassen und die Potenzen als Produkte. Dann kann man ganz einfach "kürzen".
Wow let me have the controller
Alles verstanden bis zur Probe. 16x4x2 =128, damit ist X = 128 und 2 Hoch 7 ist auch 128. Was ist dann mit der 256? Irgendwo mach ich einen Denkfehler. Wer kann mir weiterhelfen?
Bei der Probe geht es darum, dass man die gefundene Lösung in die Gleichung einsetzt und dann so lange vereinfacht bis klar ist, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen wirklich dasselbe steht. Hier wurde also im ersten Schritt x durch 256 ersetzt und bei 2 hoch 7 = 2 hoch 7 war der Beweis der Korrektheit erbracht.
@@mw6092Danke, jetzt ist mir klar wo ich hängen geblieben bin. 👍👍👍
diese videos mag ich grundsätzlich gerne, aber eher die anspruchsvolleren vielleicht 20%. diese aufgabe hier habe ich in 1min im kopf gelöst (versuche ich immer zuerst). was ich wirklich bedauere, sind die viel zu oft ausführlichen und langwierigen darstellungen von banalen sachverhalten.
4×2×1 sind doch = 8
x = 2⁸
Braucht keine sau. 😂
(x)^7/8 = 2^7 - Potenzgesetze galore.