Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei. ➤ www.mathematrick.de/shop :) _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Hallo Susanne, Mahlzeit. zunächst Dir und allen anderen ein schönes Wochenende. Hier mein Vorschlag: zunächst ist lt. Aufgabenstellung D=R. Weil jedoch x auch im Nenner vorkommt, muss man sicherstellen, dass der Nenner nicht 0 wird, da Division durch 0 nicht erlaubt ist. 2x - 4 = 0 |:2 x - 2 =0 |+2 x = 2 für x = 2 wird der Nenner 0, also ist x = 2 nicht erlaubt. Der Definitionsbereich muss also verfeinert werden zu D = R\{2} Term vereinfachen für x2 zunächst im Zähler -x und im Nenner 2 ausklammern: 2x - x^2 / 2x - 4 | -x(-2 + x) / 2(x - 2) | -x(x -2 ) / 2(x - 2) |:(x-2) zulässig, da x 2 vorausgesetzt wurde -x / 2 | -1/2 * x Dir und Thomas morgen einen wunderschönen Tag. LG aus dem Schwabenland
Interessanterweise ist der gekuerzte Bruch fuer alle reellen Zahlen gueltig, da der Nenner nun nicht mehr Null werden kann. Es scheint also, als ob beim Kuerzen Information verloren gegangen ist. Die Frage stellt sich dann, auch wenn sie vielleicht eher philosophischer Art ist, ob das Kuerzen dann zulaessig ist.
Aus meiner Sicht gibt die Aufgabenstellung mit Teil a) schon den richtigen Denkanstoß, die Nullstellen zu suchen. Der wesentlich elegantere Lösungsweg für Teil b) wäre dann gewesen, zu erkennen, dass x = 2 auch eine Nullstelle des Zählers ist, und man daher sowohl im Zähler als auch im Nenner (x - 2) ausklammern können muss, um es dann rauskürzen zu können. Allgemein ist es nämlich so, dass man x-Terme aus Brüchen nur dann herauskürzen kann, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Nullstellen haben. Hätte man also festgestellt, dass x = 2 keine Zähler-Nullstelle ist, hätte man - ohne jede Umformung - sofort gewusst, dass man den Bruchterm nicht weiter kürzen kann. Bsp.: i) (x² - 1) / (x² + 4x - 5): Zähler-Nullstellen sind 1 und -1; Nenner-Nullstellen sind 1 und -5. ⇒ (x - 1) kann ausgeklammert und rausgekürzt werden. ii) (x³ - x) / (x³ + 4x² - 5x): Zähler-Nullstellen sind 0, 1 und -1; Nenner-Nullstellen sind 0, 1 und -5. ⇒ x (x - 1) kann ausgeklammert und rausgekürzt werden. iii) (x² - 1) / (x² + 3x - 10): Zähler-Nullstellen sind 1 und -1; Nenner-Nullstellen sind 2 und -5. ⇒ Dieser Bruch kann nicht weiter gekürzt werden.
Seit ich mir deine Videos ansehen, Stelle ich fest, Mathematik würde mir gefallen. Aber....mit meinen 76 Lenzen bleibt mir nur .... es gefällt mir... Das meiste Grundwissen hab ich intus, die mittlere und höhere Mathematik müsste ich regelrecht lernen Ganz herzlichen Dank für deine wunderbaren Erklärungen
Du bist die Beste! Du erklärst Mathe so wundervoll einfach dass es fast Jeder versteht! Du solltest Lehrerin werden! Dann würden wir besser bei der PISA Studie abschneiden!
a) Fuer x=2 wird der Nener 0, so dass der Bruchh in diese Fall undefiniert ist. b) Polynommdivision fuehrt zu der Errkenntnis, dass fuer alle x fuer die der Bruch definiert ist, der Wert -x/2 ist. Alternativ kann man im Zaehler -x und im Nenner 2 auskkllammern und mit x-2 kuerzen.
Super Erklärung! Hilfreich wäre vielleicht ganz am Schluss noch der Hinweis gewesen, dass man den Ausgangsbruch und die gekürzte Lösung mit einer einfachen Stichprobe verifizieren kann. In dem man zum Beispiel 1 als x einsetzt und sieht: Aha, in beiden Brüchen kommt -1/2 raus! Ist zwar jetzt kein echter Beweis aber durchaus ein Indiz, dass man in der Arbeit zur nächsten Aufgabe gehen kann. 😊
Die Definitionsmenge ist die selbe. Das Ergebnis ist -x/2 für x element R\{2}.Für x=2 ist es nicht definiert, da man in der ursprünglichen Funktion durch 0 teilen würde. Oder kurz gesagt: Erst bestimmt man die Definitionsmenge und dann kürzt man (so wie in der Aufgabe). Das Ergebnis ist dann -x/2 für x ≠2. In das gekürzte lassen sich zwar alle reelen Zahlen einsetzen, aber 2 gehört nicht zur Definitionsmenge. Grafisch gesehen ist bei x=2 eine hebbare Lücke.
Hmm. War sehr einfach. Hat mir bestätigt, dass ich es noch kann. Aber eines verwirrt mich. Wenn der Bruch identisch ist, weil lediglich vereinfacht, müsste da nicht auch die Definitionslücke gleich bleiben? Aber da hier an Ende der Vereinfachung das x im Zähler steht...
Die Definitionslücke bleibt, da das Kürzen nur unter der Bedingung von x ungleich 2 zulässig ist. Korrekterweise müsste man das also dazu schreiben, zumindest bei dem vereinfachten Bruch.
Was Susanne hier vielleicht nicht gut genug hervorgehoben hat ist, dass wir hier sehr wohl X-2 rauskürzen dürfen, denn wir hatten vorher die Definitionsmenge so festgelegt, dass x nicht gleich zwei sein darf. "Aber was ist denn nun an der Stelle x=2? Da käme doch minus 1 raus! Ja, kommt auch, wenn man den Grenzwert berechnet oder meinetwegen d L'Hospital bemüht und so den Wert -1 als Ergänzung im Original hinzufübt. Und schon ist man wieder in der Spur. 🙂 Ich finde Susannes Erklärungsstil super!
1. x ausgeklammert, nichts kürzbar -> Sackgasse 2. quadratische Ergänzung des Zählers gebildet, hier +3-3, Linearfaktorzerlegung, auch nichts kürzbar -> wieder Sackgasse 3. Polynomdivision: (-x^2+2x)/(2x-4), erster Term ist -(1/2)x -> Rückmultiplikation mit Nenner ergibt genau den Zähler -> gelöst 😊
Lösung: im Zähler klammert man -x aus und im Nenner 2. Dann erhält man: (-x * (x - 2))/(2 * (x - 2)) Da x = 2 den Term x - 2 zu 0 machen würde, ist x ≠ 2 und wir dürfen kürzen: -x/2 Fertig. Als Zusatzinfo kann man noch angeben, dass der neue Term alle Werte außer -1 als Ergebnis haben kann.
der bleibt wie er vorher war. Durch (x-2) kürzen darf man ja ohnehin nur, wenn x=2 ausgeschlossen ist (sonst würde man mit 0 kürzen). Edit: x=2 ist aber eine "behebbare Definitionslücke"
@@nichtvonbedeutung Der ändert sich, weil -x/2 im Gegensatz zum Ausgangsterm eben offensichtlich keine Definitionslücke mehr aufweist. Deshalb ja auch die Bezeichnung (be)hebbare Definitionslücke. Wenn sie hinterher (nach der Umformung) noch da wäre, wäre sie ja nicht behoben 😉. 🙂👻
Ich habe mir das X² im Zähler zunutze gemacht, indem ich im Zähler = 2X - X²/ 2(X - 2) ein -X ausklammerte. Also -X(-2 -(-X)) / 2(X - 2.). Und schon stimmten die beiden Vorzeichen vor der 2 und vor dem X mit denen im Nenner wieder überein und die geklammerten Faktoren ließen sich wegkürzen.
@@msanio1 Der Unterschied zur vorgestellten Lösung besteht darin, dass der Weg von Birol731 genau genommen zwischendurch falsch ist, weil bei -x(x-2)/2(x-2) noch eine Klammer fehlt, damit man am Ende tatsächlich durch (x-2) dividiert anstatt damit zu multiplizieren. Korrekterweise müsste es also -x(x-2)/(2(x-2)) heißen. So, wie Birol731 den Rechenweg dargestellt hat, ergäbe sich jedoch -x(x-2)²/2. 😉
Interessant. Etwas fürs Hirn. Danke! Nur, es wird mir ganz kribbelig dabei. Mit langen Sätzen werden trivialste Mathe-Regeln hergeleitet, die man sofort sieht. Ist das nötig?
Wir hatten das in der Hauptschule, Klasse 10 Typ B, Realschulniveau, im Jahr 1991. Wir hatten aber schwierigere Bruchterme. Meistens wurden die Klassenarbeiten so zusammengestellt, dass man Glück hatte, gerade eine 2 zu schreiben.
Wunderbar erklärt, wie immer - und es bleibt dennoch rätselhaft, wieso man Kinder und Jugendliche über 9 Schuljahre mit so etwas quält, was sie niemals mehr in ihrem Leben brauchen werden. Vielen Kindern und Jugendlichen fällt es extrem schwer, diese völlig abstrakte Denke einzunehmen (allein die Aufgabenstellung ist schon ein Graus in der Formulierung) - Frustration und schlechte Noten sind die Folge. Und dann können sie nicht mal vergleichen, welche Investition später sinnvoll ist. Das sollte man lehren, es passiert aber nicht. Ich wäre übrigens gnadenlos an dieser Aufgabe gescheitert.
Zu a) Bei diesem Bruchterm handelt es sich nicht um eine (oder sogar zwei) graphische Funktionen, die einer genauen Darstellung, oder Diskussion bedürfen. Außerdem muss berücksichtigt werde, dass 2(i) -(i)^2/2(i)-4≠ 2•(-1) - (-1)^2/2(-1) - 4=> 1/6≠1/2 b) 2x-x^2/2x-4 | ÷(2x)/÷(2x) 1-(x^2/2x)/1-(4/2x) 1-(x/2)/1-(2/x)
Wenn der gegebene Term -x/2 ist, dann passt das mit der Definitionsmenge nicht mehr. Setze ich für x dann 2 ein, dann kommt -1 heraus. Der Nenner ist jetzt auch nicht mehr Null. Wo ist bitte mein Denkfehler?
Wenn man Definitionslücken rauskürzen kann, sind diese hinterher natürlich nicht mehr da. Das ändert aber nichts daran, dass der ursprüngliche Bruch für x = 2 nicht definiert war.
Wenn ich den Anfangsterm als gebrochen rationale Funktion betrachte mit der gegebenen Definitionsmenge R\{2}, so hat der Term nach dem Kürzen immer noch dieselbe Definitionsmenge! Der Grund ist, dass das Kürzen nur unter dieser Definitionsmenge möglich war. f(x)=-x/2 hat also immer noch die Definitionsmenge R\{2}, obwohl ich ja jetzt 2 einsetzen könnte. x=2 ist aber eine hebbare Definitionslücke, ich kann f(x) stetig erweitern zu f*(x), in dem ich der 2 jetzt den Funktionswert -1 zuweise.
@@berndkru Interessante Aussage! Das würde ja in der Konsequenz bedeuten, der Term -x/2 hat unendlich viele Definitionslücken, je nachdem wie ich ihn umforme...🤔. Susanne hat -x/2 mit (x-2)/(x-2) erweitert, um (2x-x²)/(2x-4) zu konstruieren. Genauso gut könnte man -x/2 mit (x-a)/(x-a) multiplizieren, um jede beliebige Definitionslücke bei x=a zu konstruieren, oder? Ne, also -x/2 hat keine Definitionslücke, der Ausgangsterm dagegen sehr wohl. 🙂👻
Wenn f(x)=(2x-x^2)/2x-4) mit dem Definitionsbereich D=R\{-2} definiert ist, so ist f(x)=-x/2 nur dann richtig, wenn nach wir vor D=R\{-2} ist, sonst hätte ich ja nicht kürzen können. Wenn der Term -x/2 aus einer anderen Funktion mit einem anderen Definitionsbereich entstanden wäre, so wäre der Definitionsbereich ein anderer. Das ist mathematisch korrekt und wird sowohl an den Gymnasien, die ich kenne, so gelehrt als auch hier in Videos von bekannten TH-camrn dargestellt. Man kann es ebenfalls im Wikipedia im Artikel "Definitionslücken" so nachlesen. Die Definitionslücke bleibt beim Vereinfachen der Funktion immer erhalten, selbst wenn sie dort als solche aus dem Term nicht mehr erkennbar ist.
Prof. Google sagt: >> Der Plural von „X“ oder jedem anderen Buchstaben des Alphabets wäre: s. „Xs“ oder „X's“ . Die Regel für das Schreiben von Pluralen für einzelne Buchstaben ist unklar. Manche schreiben sie einfach als: „Bs“, aber andere schreiben sie lieber als: „B's“.> X, Plural 1: X, ausschließlich umgangssprachlich: Plural 2: Xe. Aussprache: IPA: [ɪks], Plural 1: [ɪks], Plural 2: [ˈɪksə]
Jenes mit dem -1 herausziehen habe ich wohl nicht in meiner damaligen Schulzeit gehabt. Kann mich jedenfalls nicht daran erinnern. Auch während meines Abiturs nicht. Ansonsten wieder eine sehr gute "Lehrstunde" :-)
Für Teil a reicht doch eigentlich "da eine Variable in Potenz 1 im Nenner steht kann dieser Null werden." - *wo* das der Fall ist ist ja nicht gefragt...
Wie kann man jetzt erklären, dass der Ausgangsterm für x = 2 nicht definiert ist, der gekürzte Term aber sehr wohl. Es besteht doch Gleichheit zwischen beiden Termen.
Die Erklärung ist einfach: Setzt man in den Ausgangsterm x=2 ein, erhält man den Ausdruck 0/0, den man nicht "berechnen" kann und der deshalb undefinierbar ist. Für den vereinfachten Ausdruck -x/2 gilt das offensichtlich nicht, da für x=2 dann einfach -1 rauskommt. Beide Ausdrücke repräsentieren aber dieselbe Funktion, nur kann man mit dem ersten Ausdruck den Funktionswert an der Stelle x=2 aus o. g. Grund nicht ausrechnen. Mehr steckt da nicht dahinter, auch wenn dafür dann gern so komplizierte Begriffe wie "hebbare Definitionslücke" gebraucht werden. 🙂👻
@@roland3et Ja, verstanden und im Ausgangsterm würde man zumindest für die Grenzwerte von oben und von unten gegen 2 den gleichen Wert erhalten gleich dem im umgeformten, gekürzten Term Wert an der entsprechenden Stele.
Wenn x=2 in der Definitionsmenge wäre, dann würdest Du beim Kürzen mit (x-2) an dieser Stelle mit Null kürzen (bzw: Zähler wie Nenner durch Null teilen)...
@@msanio1 Genau so ist es. Deshalb war meine Aussage "Beide Ausdrücke repräsentieren _dieselbe_ Funktion" etwas oberflächlich und streng genommen mathematisch nicht ganz korrekt. Sorry für's "handwaving", war der Anschaulichkeit geschuldet. 🙂👻
Das habe ich mich auch gefragt. Wenn man beim ursprünglichen Bruch eine Grenzwertrechnung für x gegen 2 macht, erhält man -1 (auch der Zähler wird zu null). Daselbe erhält man, wenn man in der gekürzten Version x = 2 einsetzt. Oder anders gefragt: Es wurden ja nur äquivalente Umformungen gemacht. Also müsste der gekürzte Bruch mathematisch äquivalent zum ursprünglichen Bruch sein. Warum haben sie also eine unterschiedliche Definitionsmenge? Aus der Systemtheorie glaube ich mich zu erinnern, dass es bei einem solchen Fall in der komplexen Zahlenebene an derselben Stelle sowohl eine Pol- als auch eine Nullstelle gibt, die sich gegenseitig kompensieren. Aber das ist 20 Jahre her, meine Erinnerung kann deshalb lückenhaft sein.
Wenn ich den Anfangsterm als gebrochen rationale Funktion betrachte mit der gegebenen Definitionsmenge R\{2}, so hat der Term nach dem Kürzen immer noch dieselbe Definitionsmenge! Der Grund ist, dass das Kürzen nur unter dieser Definitionsmenge möglich war. f(x)=-x/2 hat also immer noch die Definitionsmenge R\{2}, obwohl ich ja jetzt 2 einsetzen könnte. x=2 ist aber eine hebbare Definitionslücke, ich kann f(x) stetig erweitern zu f*(x), in dem ich der 2 jetzt den Funktionswert -1 zuweise.
@@relefg Komplex braucht man dafür gar nicht zu werden - es genügt, sich den Funktionsgraphen vorzustellen. Seien z. B. f(x) = 1 und g(x) = x/x. Dann ist D(f) = ℝ und D(g) = ℝ\{0} ... und offensichtlich f(x) = g(x) für alle x ∈ D(f) ∩ D(g) = D(g). Deshalb sind auch die Graphen der beiden Funktionen weitestgehend identisch, nämlich eine horizontale Gerade mit dem Achsenabschnitt 1. Der einzige Unterschied liegt bei x = 0: Während der Graph von f hier durchgehend ist, hat der von g an dieser Stelle eine Lücke. Da sie ansonsten identisch sind, ist klar, dass lim g(x) für x gegen 0 = f(0) ist. Durch Erweiterung mit weiteren x-Termen kann man beliebig viele weitere Definitionslücken einbauen. Nicht zuletzt ist die Definition einer äquivalenten Umformung, dass sie die Lösungsmenge nicht verändert; niemand hat jemals behauptet, dass dies auch für die Definitionsmenge gelte. Deshalb bestimmt man die Definitionsmenge auch immer ganz am Anfang, bevor man mit irgendwelchen Umformungen beginnt.
Die Multiplikation mit 1 ist ja immer möglich, da es den Wert nicht verändert. Bei der Multiplikation mit -1 ändern sich nur die Vorzeichen. Also eine 1 kann man auch als: - (-1) schreiben. Sie hat letztlich einfach alle Glieder in der Klammer negiert. Muss dann dafür aber auch die Klammer ansich negieren. Ist halt ein mathematischer Trick für solche Fälle.
Für den Ausgangsterm galt: definiert für alle x in R ohne 2, für den gekürzten Term gilt offensichtlich: definiert für alle x in R. Da die beiden Terme gleichwertig sind, müsste dann doch auch für die Ausgangsfassung die Einschränkung "ist nicht definiert für x = 2" wegfallen.
Nein, das kann nicht wegfallen. Denn wenn x=2 ist wird (x-2)=0 - und dann dürfen wir damit nicht kürzen (wäre ja im Zähler wie Nenner letztlich Division durch Null), zumal dann weitere Ergebnisse hinzukommen können. Da aber der Limes von "links" und "rechts" denselben Wert ergibt handelt es sich hier um eine "behebbare Definitionslücke"
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Susanne, Du bist einfach eine grossartige Lehrerin. Für mich, mit 76 Jahren, eine erfrischende Mathe-Repetition!
Schließe ich mich voll an: Bin selber 76 und gebe noch ein bisschen Mathe-Beistand;-))
Das war heute mal der richtige Schwierigkeitsgrad für mich :) dankeschön für das Video :)
Hallo Susanne, Mahlzeit.
zunächst Dir und allen anderen ein schönes Wochenende.
Hier mein Vorschlag:
zunächst ist lt. Aufgabenstellung D=R.
Weil jedoch x auch im Nenner vorkommt, muss man sicherstellen, dass der Nenner nicht 0 wird, da Division durch 0 nicht erlaubt ist.
2x - 4 = 0 |:2
x - 2 =0 |+2
x = 2
für x = 2 wird der Nenner 0, also ist x = 2 nicht erlaubt.
Der Definitionsbereich muss also verfeinert werden zu D = R\{2}
Term vereinfachen für x2
zunächst im Zähler -x und im Nenner 2 ausklammern:
2x - x^2 / 2x - 4 |
-x(-2 + x) / 2(x - 2) |
-x(x -2 ) / 2(x - 2) |:(x-2) zulässig, da x 2 vorausgesetzt wurde
-x / 2 |
-1/2 * x
Dir und Thomas morgen einen wunderschönen Tag.
LG aus dem Schwabenland
Mein TM Prof pflegte immer zu sagen: „das geschulte Auge erkennt sofort…“ meines ist aus der Übung. Danke für das regelmäßige Training ❤
Interessanterweise ist der gekuerzte Bruch fuer alle reellen Zahlen gueltig, da der Nenner nun nicht mehr Null werden kann. Es scheint also, als ob beim Kuerzen Information verloren gegangen ist. Die Frage stellt sich dann, auch wenn sie vielleicht eher philosophischer Art ist, ob das Kuerzen dann zulaessig ist.
@@mookprukum6472 Das ist wirklich eine fantastische Frage. Ich wüsste nicht wie ich beginnen sollte sie zu beantworten.
Aus meiner Sicht gibt die Aufgabenstellung mit Teil a) schon den richtigen Denkanstoß, die Nullstellen zu suchen. Der wesentlich elegantere Lösungsweg für Teil b) wäre dann gewesen, zu erkennen, dass x = 2 auch eine Nullstelle des Zählers ist, und man daher sowohl im Zähler als auch im Nenner (x - 2) ausklammern können muss, um es dann rauskürzen zu können.
Allgemein ist es nämlich so, dass man x-Terme aus Brüchen nur dann herauskürzen kann, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Nullstellen haben. Hätte man also festgestellt, dass x = 2 keine Zähler-Nullstelle ist, hätte man - ohne jede Umformung - sofort gewusst, dass man den Bruchterm nicht weiter kürzen kann.
Bsp.:
i) (x² - 1) / (x² + 4x - 5): Zähler-Nullstellen sind 1 und -1; Nenner-Nullstellen sind 1 und -5. ⇒ (x - 1) kann ausgeklammert und rausgekürzt werden.
ii) (x³ - x) / (x³ + 4x² - 5x): Zähler-Nullstellen sind 0, 1 und -1; Nenner-Nullstellen sind 0, 1 und -5. ⇒ x (x - 1) kann ausgeklammert und rausgekürzt werden.
iii) (x² - 1) / (x² + 3x - 10): Zähler-Nullstellen sind 1 und -1; Nenner-Nullstellen sind 2 und -5. ⇒ Dieser Bruch kann nicht weiter gekürzt werden.
Seit ich mir deine Videos ansehen, Stelle ich fest, Mathematik würde mir gefallen.
Aber....mit meinen 76 Lenzen bleibt mir nur .... es gefällt mir...
Das meiste Grundwissen hab ich intus, die mittlere und höhere Mathematik müsste ich regelrecht lernen
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Ist doch gar nicht schlimm und doch ein toller Zeitvertreib um auch geistig fit zu bleiben. Neue Sachen lernen kann nie Schaden
Du bist die Beste! Du erklärst Mathe so wundervoll einfach dass es fast Jeder versteht! Du solltest Lehrerin werden! Dann würden wir besser bei der PISA Studie abschneiden!
Ich lieb Deine Videos....
Vielen Dank nochmals! Mathe kann verständlich sein, wenn es jemand nachvollziehbar erklären kann… 👍 😊
a) Fuer x=2 wird der Nener 0, so dass der Bruchh in diese Fall undefiniert ist.
b) Polynommdivision fuehrt zu der Errkenntnis, dass fuer alle x fuer die der Bruch definiert ist, der Wert -x/2 ist. Alternativ kann man im Zaehler -x und im Nenner 2 auskkllammern und mit x-2 kuerzen.
Immer wieder wächst mein Interesse an Mathematik .
Perfekt 👍!
Kleiner Tipp: wenn man am Anfang direkt (-x) statt zunächst nur x ausklammert, kann man sofort kürzen:
-x(x-2) / 2(x-2) = -x/2
🙂👻
Wenn man das sieht, dann sähe man auch dass man sofort kürzen kann.
@@hans7831 ja, kann sein (ich hab's nicht gleich gesehen).
🙂👻
Super Erklärung! Hilfreich wäre vielleicht ganz am Schluss noch der Hinweis gewesen, dass man den Ausgangsbruch und die gekürzte Lösung mit einer einfachen Stichprobe verifizieren kann. In dem man zum Beispiel 1 als x einsetzt und sieht: Aha, in beiden Brüchen kommt -1/2 raus! Ist zwar jetzt kein echter Beweis aber durchaus ein Indiz, dass man in der Arbeit zur nächsten Aufgabe gehen kann. 😊
Kurzversion: 1. polarität der vorzeichen in der ausgesuchten gesamten klammer invertieren 2. gesamten term invertieren *zack die bohne*
Wieder suuuper gut erklärt 👍👍😺
Dankeschön 😊
Für welche Klasse war die Aufgabe?
@@Wollenschrank Krippengruppe, Kindergarten.
In der 8. lernt man alles was man dafür braucht. Ob man drauf kommt ist natürlich was anderes
Vielleicht auch 7: Terme vereinfachen@@hansegon1617
@@tomkay85 In China vielleicht. In Deutschland eher 13. Klasse. 😂
Hat sich jetzt mit dem gekürztem Bruchterm auch die Definitionsmenge verändert Oo?
-x/2 da lassen sich doch jetzt wieder alle reelle Zahlen einsetzen?
Die Definitionsmenge ist die selbe. Das Ergebnis ist -x/2 für x element R\{2}.Für x=2 ist es nicht definiert, da man in der ursprünglichen Funktion durch 0 teilen würde. Oder kurz gesagt: Erst bestimmt man die Definitionsmenge und dann kürzt man (so wie in der Aufgabe). Das Ergebnis ist dann -x/2 für x ≠2. In das gekürzte lassen sich zwar alle reelen Zahlen einsetzen, aber 2 gehört nicht zur Definitionsmenge. Grafisch gesehen ist bei x=2 eine hebbare Lücke.
Ich liebe Bruchterme
Hmm. War sehr einfach.
Hat mir bestätigt, dass ich es noch kann.
Aber eines verwirrt mich.
Wenn der Bruch identisch ist, weil lediglich vereinfacht, müsste da nicht auch die Definitionslücke gleich bleiben?
Aber da hier an Ende der Vereinfachung das x im Zähler steht...
Die Definitionslücke bleibt, da das Kürzen nur unter der Bedingung von x ungleich 2 zulässig ist. Korrekterweise müsste man das also dazu schreiben, zumindest bei dem vereinfachten Bruch.
durch ausprobieren/knobeln oder wie man es auch immer nennen will im Kopf: -1/2x
Boah, das war schwierig!!
Was Susanne hier vielleicht nicht gut genug hervorgehoben hat ist, dass wir hier sehr wohl X-2 rauskürzen dürfen, denn wir hatten vorher die Definitionsmenge so festgelegt, dass x nicht gleich zwei sein darf. "Aber was ist denn nun an der Stelle x=2? Da käme doch minus 1 raus! Ja, kommt auch, wenn man den Grenzwert berechnet oder meinetwegen d L'Hospital bemüht und so den Wert -1 als Ergänzung im Original hinzufübt. Und schon ist man wieder in der Spur. 🙂
Ich finde Susannes Erklärungsstil super!
Ich liebe deine Videos:>
Lieblingsschnecke... 🤩
Ich teile oft durch Null. Nur wer Regeln ignoriert kann sich zu vollem Potential entfalten!
Och ich erinnere mich, lange her, Grüße, Robert
Sie sieht von Video zu Video immer besser aus.
1. x ausgeklammert, nichts kürzbar -> Sackgasse
2. quadratische Ergänzung des Zählers gebildet, hier +3-3, Linearfaktorzerlegung, auch nichts kürzbar -> wieder Sackgasse
3. Polynomdivision: (-x^2+2x)/(2x-4), erster Term ist -(1/2)x -> Rückmultiplikation mit Nenner ergibt genau den Zähler -> gelöst 😊
Mit Ausklammern geht es recht gut: Im Zähler -x und im Nenner 2 ausklammern. Dann kann man den Faktor x-2 kürzen.
7:49 Ich bevorzuge -1/2 x. ^^ also keine der genannten ^^
Danke. Genau meine Wahl 😊
Ich auch!
Lösung:
im Zähler klammert man -x aus und im Nenner 2. Dann erhält man:
(-x * (x - 2))/(2 * (x - 2))
Da x = 2 den Term x - 2 zu 0 machen würde, ist x ≠ 2 und wir dürfen kürzen:
-x/2
Fertig. Als Zusatzinfo kann man noch angeben, dass der neue Term alle Werte außer -1 als Ergebnis haben kann.
Du siehst heute extrem schön aus! Hat spaß gemacht dir zuzusehen💪🏼
das war mir auch aufgefallen ... irgendwie deutlich positiv verändert
a) Für x = 2 wäre der Nenner 0.
b) [x (2 − x)] / [2 (x − 2)]
= [−x (x − 2)] / [2 (x − 2)]
= −x/2.
Was wird denn nach dem Kürzen aus dem Definitionsbereich, wenn kein X mehr im Nenner steht?
der bleibt wie er vorher war. Durch (x-2) kürzen darf man ja ohnehin nur, wenn x=2 ausgeschlossen ist (sonst würde man mit 0 kürzen). Edit: x=2 ist aber eine "behebbare Definitionslücke"
@@Engy_Wuck Ja, klar... jetzt, wo du es schreibst.
@@nichtvonbedeutung
Der ändert sich, weil -x/2 im Gegensatz zum Ausgangsterm eben offensichtlich keine Definitionslücke mehr aufweist.
Deshalb ja auch die Bezeichnung (be)hebbare Definitionslücke. Wenn sie hinterher (nach der Umformung) noch da wäre, wäre sie ja nicht behoben 😉.
🙂👻
Ich habe mir das X² im Zähler zunutze gemacht, indem ich im Zähler = 2X - X²/ 2(X - 2) ein -X ausklammerte. Also -X(-2 -(-X)) / 2(X - 2.).
Und schon stimmten die beiden Vorzeichen vor der 2 und vor dem X mit denen im Nenner wieder überein und die geklammerten Faktoren ließen sich wegkürzen.
My Lösungsvorschlag ▶
(2x-x²)/(2x-4)
der Nenner darf nicht Null sein, demnach
2x-4=0
2x= 4
x= 2
⇒
𝔻= { x ∈ ℝ \ { 2 } }
b) (2x-x²)/(2x-4)
= x(2-x)/2(x-2)
= -x(x-2)/2(x-2)
= -x/2
Wo ist denn hier der Unterschied zur vorgestellten Lösung? Es wurden nur ein paar Schreibweisen, die der Erklärung dienen, weggelassen.
@@msanio1 Der Unterschied zur vorgestellten Lösung besteht darin, dass der Weg von Birol731 genau genommen zwischendurch falsch ist, weil bei -x(x-2)/2(x-2) noch eine Klammer fehlt, damit man am Ende tatsächlich durch (x-2) dividiert anstatt damit zu multiplizieren. Korrekterweise müsste es also -x(x-2)/(2(x-2)) heißen. So, wie Birol731 den Rechenweg dargestellt hat, ergäbe sich jedoch -x(x-2)²/2. 😉
Interessant. Etwas fürs Hirn. Danke!
Nur, es wird mir ganz kribbelig dabei. Mit langen Sätzen werden trivialste Mathe-Regeln hergeleitet, die man sofort sieht. Ist das nötig?
in welcher Schulstufe wird diese Aufgabe verwendet?
Die Aufgabe ist aus dem bayerischen Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien Gruppe A und aus dem Jahr 2023.
Wir hatten das in der Hauptschule, Klasse 10 Typ B, Realschulniveau, im Jahr 1991. Wir hatten aber schwierigere Bruchterme. Meistens wurden die Klassenarbeiten so zusammengestellt, dass man Glück hatte, gerade eine 2 zu schreiben.
Polynomdivision geht auch. Wer hat es gemacht😊
Susanne, wieder ein spannendes Erklär-Video, und ein schönes Outfit
❤
Wunderbar erklärt, wie immer - und es bleibt dennoch rätselhaft, wieso man Kinder und Jugendliche über 9 Schuljahre mit so etwas quält, was sie niemals mehr in ihrem Leben brauchen werden. Vielen Kindern und Jugendlichen fällt es extrem schwer, diese völlig abstrakte Denke einzunehmen (allein die Aufgabenstellung ist schon ein Graus in der Formulierung) - Frustration und schlechte Noten sind die Folge. Und dann können sie nicht mal vergleichen, welche Investition später sinnvoll ist. Das sollte man lehren, es passiert aber nicht. Ich wäre übrigens gnadenlos an dieser Aufgabe gescheitert.
Krass wie drauf gekommen bist
Zu a)
Bei diesem Bruchterm handelt es sich nicht um eine (oder sogar zwei) graphische Funktionen, die einer genauen Darstellung, oder Diskussion bedürfen. Außerdem muss berücksichtigt werde, dass
2(i) -(i)^2/2(i)-4≠ 2•(-1) - (-1)^2/2(-1) - 4=>
1/6≠1/2
b)
2x-x^2/2x-4 | ÷(2x)/÷(2x)
1-(x^2/2x)/1-(4/2x)
1-(x/2)/1-(2/x)
🤩 Steht Dir gut!🤩 Naja, könnt´auch ´n Sack sein🥰😃
Wenn der gegebene Term -x/2 ist, dann passt das mit der Definitionsmenge nicht mehr. Setze ich für x dann 2 ein, dann kommt -1 heraus. Der Nenner ist jetzt auch nicht mehr Null. Wo ist bitte mein Denkfehler?
Wenn man Definitionslücken rauskürzen kann, sind diese hinterher natürlich nicht mehr da. Das ändert aber nichts daran, dass der ursprüngliche Bruch für x = 2 nicht definiert war.
Wenn ich den Anfangsterm als gebrochen rationale Funktion betrachte mit der gegebenen Definitionsmenge R\{2}, so hat der Term nach dem Kürzen immer noch dieselbe Definitionsmenge! Der Grund ist, dass das Kürzen nur unter dieser Definitionsmenge möglich war. f(x)=-x/2 hat also immer noch die Definitionsmenge R\{2}, obwohl ich ja jetzt 2 einsetzen könnte. x=2 ist aber eine hebbare Definitionslücke, ich kann f(x) stetig erweitern zu f*(x), in dem ich der 2 jetzt den Funktionswert -1 zuweise.
@davidkarasek...
Kein Denkfehler. Alles korrekt.
Der Ausgangsterm hat eine Definitionslücke bei x=2, der Ausdruck -x/2 hat keine.
🙂👻
@@berndkru
Interessante Aussage!
Das würde ja in der Konsequenz bedeuten, der Term -x/2 hat unendlich viele Definitionslücken, je nachdem wie ich ihn umforme...🤔.
Susanne hat
-x/2 mit (x-2)/(x-2) erweitert, um
(2x-x²)/(2x-4)
zu konstruieren. Genauso gut könnte man
-x/2 mit (x-a)/(x-a)
multiplizieren, um jede beliebige Definitionslücke bei x=a zu konstruieren, oder?
Ne, also -x/2 hat keine Definitionslücke, der Ausgangsterm dagegen sehr wohl.
🙂👻
Wenn f(x)=(2x-x^2)/2x-4) mit dem Definitionsbereich D=R\{-2} definiert ist, so ist f(x)=-x/2 nur dann richtig, wenn nach wir vor D=R\{-2} ist, sonst hätte ich ja nicht kürzen können. Wenn der Term -x/2 aus einer anderen Funktion mit einem anderen Definitionsbereich entstanden wäre, so wäre der Definitionsbereich ein anderer. Das ist mathematisch korrekt und wird sowohl an den Gymnasien, die ich kenne, so gelehrt als auch hier in Videos von bekannten TH-camrn dargestellt. Man kann es ebenfalls im Wikipedia im Artikel "Definitionslücken" so nachlesen. Die Definitionslücke bleibt beim Vereinfachen der Funktion immer erhalten, selbst wenn sie dort als solche aus dem Term nicht mehr erkennbar ist.
Nach dem Kürzen darf auch die {2} wieder mitspielen
-1/2 als Koeffizienten multipliziert mit x finde ich am hübschesten.
Das kann man aber doch ausklammern, weil Nenner und Zähler jeweils 2 als Nullstelle haben. -x(x-2)/2(x-2)=-x/2
03:25 Nennt man den Plural von x x`n oder nennt man ihn eher x`s ?
Prof. Google sagt: >> Der Plural von „X“ oder jedem anderen Buchstaben des Alphabets wäre: s. „Xs“ oder „X's“ . Die Regel für das Schreiben von Pluralen für einzelne Buchstaben ist unklar. Manche schreiben sie einfach als: „Bs“, aber andere schreiben sie lieber als: „B's“.> X, Plural 1: X, ausschließlich umgangssprachlich: Plural 2: Xe. Aussprache: IPA: [ɪks], Plural 1: [ɪks], Plural 2: [ˈɪksə]
Hätte automatisch x'e gemeint😅
Jenes mit dem -1 herausziehen habe ich wohl nicht in meiner damaligen Schulzeit gehabt. Kann mich jedenfalls nicht daran erinnern. Auch während meines Abiturs nicht.
Ansonsten wieder eine sehr gute "Lehrstunde" :-)
Für Teil a reicht doch eigentlich "da eine Variable in Potenz 1 im Nenner steht kann dieser Null werden." - *wo* das der Fall ist ist ja nicht gefragt...
Wie kann man jetzt erklären, dass der Ausgangsterm für x = 2 nicht definiert ist, der gekürzte Term aber sehr wohl. Es besteht doch Gleichheit zwischen beiden Termen.
Die Erklärung ist einfach:
Setzt man in den Ausgangsterm x=2 ein, erhält man den Ausdruck 0/0, den man nicht "berechnen" kann und der deshalb undefinierbar ist.
Für den vereinfachten Ausdruck -x/2 gilt das offensichtlich nicht, da für x=2 dann einfach -1 rauskommt. Beide Ausdrücke repräsentieren aber dieselbe Funktion, nur kann man mit dem ersten Ausdruck den Funktionswert an der Stelle x=2 aus o. g. Grund nicht ausrechnen. Mehr steckt da nicht dahinter, auch wenn dafür dann gern so komplizierte Begriffe wie "hebbare Definitionslücke" gebraucht werden.
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@@roland3et Ja, verstanden und im Ausgangsterm würde man zumindest für die Grenzwerte von oben und von unten gegen 2 den gleichen Wert erhalten gleich dem im umgeformten, gekürzten Term Wert an der entsprechenden Stele.
Wenn x=2 in der Definitionsmenge wäre, dann würdest Du beim Kürzen mit (x-2) an dieser Stelle mit Null kürzen (bzw: Zähler wie Nenner durch Null teilen)...
@@msanio1
Genau so ist es.
Deshalb war meine Aussage "Beide Ausdrücke repräsentieren _dieselbe_ Funktion" etwas oberflächlich und streng genommen mathematisch nicht ganz korrekt. Sorry für's "handwaving", war der Anschaulichkeit geschuldet.
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(2x-x^2)/(2x-4)=
(x(2-x))/(2(x-2))=
(x(-(x-2))/(2(x-2))=
-x/2.
Ist für 2 wirklich hier nicht definiert? Denn wenn man x=2 setzt, ist oben und unten null also 0/0.
Richtig, und 0/0 ist nicht definiert.
Es wäre nicht 0, sondern - 1
@@heikeumlauf9970 2x wäre 4 und x hoch 2 wäre 4 wie sollte da -1 rauskommen???
Ich meinte bei der gekürzten Form: - 2/2 = - 1😊
@@heikeumlauf9970 Asso, ne ich meine die ursprüngliche Formel.
Nettes Problem, aber das Video ist dann doch arg in die Länge gezogen...
@@AronSquander Sie haben recht
Das Video ist aber auch für Leute mit langer Leitung gedacht.
😀
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Der Anfangsterm ist doch das gleiche wie die Umformung, nur komplizierter. Bei -x/2 ist die "2" dann doch erlaubt?
Ja, die 2 ist hier erlaubt, für x jedoch immer noch nicht.
Das habe ich mich auch gefragt. Wenn man beim ursprünglichen Bruch eine Grenzwertrechnung für x gegen 2 macht, erhält man -1 (auch der Zähler wird zu null). Daselbe erhält man, wenn man in der gekürzten Version x = 2 einsetzt.
Oder anders gefragt: Es wurden ja nur äquivalente Umformungen gemacht. Also müsste der gekürzte Bruch mathematisch äquivalent zum ursprünglichen Bruch sein. Warum haben sie also eine unterschiedliche Definitionsmenge?
Aus der Systemtheorie glaube ich mich zu erinnern, dass es bei einem solchen Fall in der komplexen Zahlenebene an derselben Stelle sowohl eine Pol- als auch eine Nullstelle gibt, die sich gegenseitig kompensieren. Aber das ist 20 Jahre her, meine Erinnerung kann deshalb lückenhaft sein.
Wenn ich den Anfangsterm als gebrochen rationale Funktion betrachte mit der gegebenen Definitionsmenge R\{2}, so hat der Term nach dem Kürzen immer noch dieselbe Definitionsmenge! Der Grund ist, dass das Kürzen nur unter dieser Definitionsmenge möglich war. f(x)=-x/2 hat also immer noch die Definitionsmenge R\{2}, obwohl ich ja jetzt 2 einsetzen könnte. x=2 ist aber eine hebbare Definitionslücke, ich kann f(x) stetig erweitern zu f*(x), in dem ich der 2 jetzt den Funktionswert -1 zuweise.
@@relefg Bei reellen Funktionen ist das eine hebbare Definitionslücke.
@@relefg Komplex braucht man dafür gar nicht zu werden - es genügt, sich den Funktionsgraphen vorzustellen. Seien z. B. f(x) = 1 und g(x) = x/x. Dann ist D(f) = ℝ und D(g) = ℝ\{0} ... und offensichtlich f(x) = g(x) für alle x ∈ D(f) ∩ D(g) = D(g). Deshalb sind auch die Graphen der beiden Funktionen weitestgehend identisch, nämlich eine horizontale Gerade mit dem Achsenabschnitt 1. Der einzige Unterschied liegt bei x = 0: Während der Graph von f hier durchgehend ist, hat der von g an dieser Stelle eine Lücke. Da sie ansonsten identisch sind, ist klar, dass lim g(x) für x gegen 0 = f(0) ist. Durch Erweiterung mit weiteren x-Termen kann man beliebig viele weitere Definitionslücken einbauen. Nicht zuletzt ist die Definition einer äquivalenten Umformung, dass sie die Lösungsmenge nicht verändert; niemand hat jemals behauptet, dass dies auch für die Definitionsmenge gelte. Deshalb bestimmt man die Definitionsmenge auch immer ganz am Anfang, bevor man mit irgendwelchen Umformungen beginnt.
Eine nette kleine Gleichung - ich werde gleich meinen Sohn prüfen!
Chuck Norris teilt durch 0.
Wieso kann man einfach minus 1 nehmen? Hab ich noch nie verstanden.
Die Multiplikation mit 1 ist ja immer möglich, da es den Wert nicht verändert. Bei der Multiplikation mit -1 ändern sich nur die Vorzeichen. Also eine 1 kann man auch als: - (-1) schreiben. Sie hat letztlich einfach alle Glieder in der Klammer negiert. Muss dann dafür aber auch die Klammer ansich negieren. Ist halt ein mathematischer Trick für solche Fälle.
Im Nu im Kopf berechnet bzw. umgeformt.
Heisssssssssss
Noch schöner:-(1/2)x oder -0,5x
Für den Ausgangsterm galt: definiert für alle x in R ohne 2, für den gekürzten Term gilt offensichtlich: definiert für alle x in R. Da die beiden Terme gleichwertig sind, müsste dann doch auch für die Ausgangsfassung die Einschränkung "ist nicht definiert für x = 2" wegfallen.
Nein, das kann nicht wegfallen. Denn wenn x=2 ist wird (x-2)=0 - und dann dürfen wir damit nicht kürzen (wäre ja im Zähler wie Nenner letztlich Division durch Null), zumal dann weitere Ergebnisse hinzukommen können.
Da aber der Limes von "links" und "rechts" denselben Wert ergibt handelt es sich hier um eine "behebbare Definitionslücke"
(2x-x²) / (2x-4) = x(2-x) / -2(2-x) = -x/2 Und x darf nicht 2 sein, da bei Nenner = 0 der Bruch undefiniert.
Deswegen wurde ja auch am Anfang die Definitionsmenge bestimmt und da gehört x=2 nicht dazu.
Mir gefällt -0,5x am besten
Ich hasse Mathe
Glaube ich nicht. Wenn dem so wäre, wären Sie nicht hier gelandet😉. Oder gehen Sie noch zu Schule? Manchmal endeckt man die Liebe halt später.