じっくり集合論解説06 - 帰納法を証明する(?)【ずんだもん解説】

[@カピロッシ]

5:40 の自然数の集合Aが整列していることについてですが，ZFCからは自然数が順序数であることからAが順序数の集合なので整列している，と分かります．
これに関しては無限公理は必要ありません．
無限公理は，自然数全体（つまりN）がプロパークラスではなく集合であることを主張しています．
超限帰納法はあくまで順序数（動画では整列集合）上で成立する メタ定理（定理スキーム）であり，何かのクラスが整列集合かの判定にはZFCでは使わない（はず）です．
（クラスXとクラス関係Rが整列集合であることを示したいのなら，クラスXが集合で，Rが全順序で，空でない任意の部分集合にR-極小元が存在することを示せばよい）

[@phd_zundamon]

有識者コメントありがとうございます！
> 超限帰納法はあくまで順序数（動画では整列集合）上で成立するメタ定理であり，何かのクラスが整列集合かの判定には使えない（はず）です．
> （クラスXとクラス関係Rが整列集合であることを示したいのなら，クラスXが集合で，Rが全順序で，空でない任意の部分集合にR-極小元が存在することを示せばよい）
これはそうかなと動画作りながら思ってました！
「自然数の集合が順序数の集合だから整列している」というのは目から鱗というか、僕の集合論の知識不足ががが…(´;ω;`)

[@カピロッシ]

@@phd_zundamon この問題は，公理がどうというより，「自然数とか自然数全体Nとか無批判に使ってるけど，そもそもこいつらなんなん？つか存在さえ怪しくない？」というのが根っこにあると思います．公理的集合論ではこの問題にちゃんと解答できているため，興味があるなら調べてみるといいと思います．