Kurze Frage zu den Parametern: Muss im Zähler eine 1 stehen, sowie im Nenner ganz rechts? Ich habe jetzt den Fall, dass ich im Zähler 0,1 stehen habe und ich s^2 noch mit einer 4 multipliziere. 0,1/(4s^2+2s+1) Gerade irgendwie total verwirrt ...
Im Rahmen des zweitschwierigsten Kapitels der Mathematik, nämlich der Bruchrechnung, kannst du deine Übertragungsfunktion mit 4 kürzen und somit wieder auf die Normalform K*om_0^2/(s^2 + 2*D*om_0 + om_0^2) kommen.
Wie kommt man sinnvoll auf die Partialbruchzerlegung ? Woher weiß man, dass hier z.B. As + B / s^2 + s +1 und C/s lauten muss ? Man könnte doch auch auf die Idee kommen, irgendwelche anderen Brüche zu nehmen ? Ich mein klar, das funktioniert hier so schön, aber woher wussten Sie, dass genau die beiden Brüche die richtigen sind ? Z.B. hatte ich jetzt bei ner Übung 3/ s^2(s+3) gedacht, dass es A/s(s-3) + B/s sein müsste, aber da kommt A=0 und B=0 raus beim Koeffizientenvergleich (außer ich hab mich verrechnet, aber sieht man eigentlich direkt, dass im Zähler As steht und Bs^2 steht)
Ok hat sich erledigt. Man wählt anscheinend die Polstellen des Nenners als sinnvolle Zerlegung. Bei doppelten Polstellen, kommen als Ergänzungsterme die einfachen Polstellen hinzu also bei mir dann A/s^2 und B/s+3 und C/s
Im Nenner von H(s) steht ja: (s^2+s+1)*s. Und du setzt dann einfach jeden dieser beiden Faktoren als Nenner der beiden Partialbrüche an. s^2+s+1 bleibt als Faktor bestehen, da es keine reellen Nullstellen hat. Dafür musst du dann im Zähler einen linearen Term mit zwei Konstanten ansetzen. In deinem Beispiel setzt du als Partialbruchnenner s+3, s^2 und s an. Vielleicht hilft es dir, auf Wolfram Alpha ein paar Partialbruchzerlegungen zu testen. Dein Beispiel lautet: www.wolframalpha.com/input/?i=partfrac+%283%2F%28s%5E2*%28s%2B3%29%29%29
@@jjbuchholz Danke für die Antwort. :) Ich hatte Partialbruchzerlegung gegooglet und dann den Fall mit ner doppelten Nullstelle im Nenner gesehen. s^2 = (s+0)^2 Ich kann zwar nicht beweisen, dass das immer klappt, aber es wird da bestimmt irgendnen tollen Satz geben, der das zeigt :D
+Andreas Hosch Wenn du den Zähler der rechten Seite ausmultiplizierst, erhältst du As^2 + Bs + Cs^2 + Cs + C. Und dort ist dann nur C das absolutes Glied (ohne s). Und auf der linken Seite ist die eins das absolute Glied. Also gilt: absolutes Glied auf der linken Seite gleich absolutes Glied auf der rechten Seite: 1 = C.
@@edsds9243 sqrt(3)/3 ist sqrt(3)/(sqrt(3)*sqrt(3)) und damit auch 1/sqrt(3). Man kann hier lange darüber diskutieren, ob es sinnvoll und notwendig ist, den Nenner rational zu machen; richtig sind natürlich beide Ausdrücke.
Mein erster Gedanke war es, den einen Term in den Zeitbereich zu transformieren und dann den Intergrationssatz anzuwenden (da 1/s der Integration im Zeitbereich entspricht). Aber die Integration wäre wahrscheinlich zu komplex 😒
Ja, du kannst natürlich 1/(s^2+s+1) in den Zeitbereich zurück transformieren, erhältst dort $\frac{2\,\sqrt{3}\,{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}} \,\sin \left(\frac{\sqrt{3}\,t}{2} ight)}{3}$ und kannst dieses Produkt aus e-Funktion und Sinus dann in den Grenzen von null bis t integrieren, um auf das gleiche Ergebnis zu kommen: $1-\frac{\sqrt{3}\,{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}} \,{\left(\sin \left(\frac{\sqrt{3}\,t}{2} ight)+\sqrt{3}\,\cos \left(\frac{\sqrt{3}\,t}{2} ight) ight)}}{3}$. Aber wie du schon vermutet hast, muss du bei der Integration beträchtlichen Aufwand treiben (zweifache partielle Integration ...). Wie immer gilt auch hier leider der Satz von der Erhaltung des Ärgers ... ;-)
@@jjbuchholz Vielen Dank für ihre ausführliche Antwort. Ich hatte ihre erste Nachricht gestern schon gelesen und wollte dem ganzen heut ein wenig Zeit widmen. Dank ihnen, hat sich das schon erledigt. Viele Grüße
Ich habe hier selbst Partialbruchzerlegung nochmal vernünftig verstanden. Linearer Term, Konstante...🤦♀️😅 das ergibt so Sinn.
Kurze Frage zu den Parametern:
Muss im Zähler eine 1 stehen, sowie im Nenner ganz rechts?
Ich habe jetzt den Fall, dass ich im Zähler 0,1 stehen habe und ich s^2 noch mit einer 4 multipliziere.
0,1/(4s^2+2s+1)
Gerade irgendwie total verwirrt ...
Im Rahmen des zweitschwierigsten Kapitels der Mathematik, nämlich der Bruchrechnung, kannst du deine Übertragungsfunktion mit 4 kürzen und somit wieder auf die Normalform K*om_0^2/(s^2 + 2*D*om_0 + om_0^2) kommen.
Wie kommt man sinnvoll auf die Partialbruchzerlegung ?
Woher weiß man, dass hier z.B. As + B / s^2 + s +1 und C/s lauten muss ?
Man könnte doch auch auf die Idee kommen, irgendwelche anderen Brüche zu nehmen ?
Ich mein klar, das funktioniert hier so schön, aber woher wussten Sie, dass genau die beiden Brüche die richtigen sind ?
Z.B. hatte ich jetzt bei ner Übung 3/ s^2(s+3) gedacht, dass es A/s(s-3) + B/s sein müsste, aber da kommt A=0 und B=0 raus beim Koeffizientenvergleich (außer ich hab mich verrechnet, aber sieht man eigentlich direkt, dass im Zähler As steht und Bs^2 steht)
Ok hat sich erledigt. Man wählt anscheinend die Polstellen des Nenners als sinnvolle Zerlegung.
Bei doppelten Polstellen, kommen als Ergänzungsterme die einfachen Polstellen hinzu
also bei mir dann
A/s^2 und B/s+3 und C/s
Im Nenner von H(s) steht ja: (s^2+s+1)*s. Und du setzt dann einfach jeden dieser beiden Faktoren als Nenner der beiden Partialbrüche an. s^2+s+1 bleibt als Faktor bestehen, da es keine reellen Nullstellen hat. Dafür musst du dann im Zähler einen linearen Term mit zwei Konstanten ansetzen. In deinem Beispiel setzt du als Partialbruchnenner s+3, s^2 und s an. Vielleicht hilft es dir, auf Wolfram Alpha ein paar Partialbruchzerlegungen zu testen. Dein Beispiel lautet:
www.wolframalpha.com/input/?i=partfrac+%283%2F%28s%5E2*%28s%2B3%29%29%29
@@jjbuchholz Danke für die Antwort. :)
Ich hatte Partialbruchzerlegung gegooglet und dann den Fall mit ner doppelten Nullstelle im Nenner gesehen. s^2 = (s+0)^2
Ich kann zwar nicht beweisen, dass das immer klappt, aber es wird da bestimmt irgendnen tollen Satz geben, der das zeigt :D
Warum ist C=1? müsste doch 0=C+1 sein und dann wäre C=(-1) ?
+Andreas Hosch Wenn du den Zähler der rechten Seite ausmultiplizierst, erhältst du As^2 + Bs + Cs^2 + Cs + C. Und dort ist dann nur C das absolutes Glied (ohne s). Und auf der linken Seite ist die eins das absolute Glied. Also gilt: absolutes Glied auf der linken Seite gleich absolutes Glied auf der rechten Seite: 1 = C.
+Jörg J. Buchholz Danke, hab da wohl etwas durcheinander gebracht.
wieso ist a = 1/2 könnte doch auch das a im zähler ein also 1 = a
und 1/2 * sqrt(4/3) ist nach meinem TR = sqrt(3)/3, also bei 12:51
a ist der zweite Summand nach dem s in der quadratischen Klammer im Nenner (vgl. Tabelle 2.1).
@@edsds9243 sqrt(3)/3 ist sqrt(3)/(sqrt(3)*sqrt(3)) und damit auch 1/sqrt(3). Man kann hier lange darüber diskutieren, ob es sinnvoll und notwendig ist, den Nenner rational zu machen; richtig sind natürlich beide Ausdrücke.
@@jjbuchholz alles klar, verstanden! Das hießt ich nehme immer das a welches im Nenner vorkommt ?
@@edsds9243 Ja.
Ich meine das "Resultat der Partialbruchzerlegung" müsste lauten :
(1/s)-/((s *minus* 1)/(s²+s+1))
Bedenke bitte, dass das Minuszeichen vor dem Gesamtbruch steht und damit auch für die 1 im Zähler gilt.
Jörg J. Buchholz Ach gott ich Schwachkopf ok... vielen Dank!
Mein erster Gedanke war es, den einen Term in den Zeitbereich zu transformieren und dann den Intergrationssatz anzuwenden (da 1/s der Integration im Zeitbereich entspricht). Aber die Integration wäre wahrscheinlich zu komplex 😒
Ja, du kannst natürlich 1/(s^2+s+1) in den Zeitbereich zurück transformieren, erhältst dort $\frac{2\,\sqrt{3}\,{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}} \,\sin \left(\frac{\sqrt{3}\,t}{2}
ight)}{3}$ und kannst dieses Produkt aus e-Funktion und Sinus dann in den Grenzen von null bis t integrieren, um auf das gleiche Ergebnis zu kommen: $1-\frac{\sqrt{3}\,{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}} \,{\left(\sin \left(\frac{\sqrt{3}\,t}{2}
ight)+\sqrt{3}\,\cos \left(\frac{\sqrt{3}\,t}{2}
ight)
ight)}}{3}$. Aber wie du schon vermutet hast, muss du bei der Integration beträchtlichen Aufwand treiben (zweifache partielle Integration ...). Wie immer gilt auch hier leider der Satz von der Erhaltung des Ärgers ... ;-)
@@jjbuchholz Vielen Dank für ihre ausführliche Antwort. Ich hatte ihre erste Nachricht gestern schon gelesen und wollte dem ganzen heut ein wenig Zeit widmen. Dank ihnen, hat sich das schon erledigt.
Viele Grüße