🚀🚀🚀 Wie groß ist die gelbe Fläche? | Geometrie Rätsel mit Rechteck und Halbkreis

[@ralfurban8165]

Dankeschön, das ist ja ein Butterkeks zum 4. Advent. 🤩

[@anestismoutafidis4575]

Schön übersichtlich die Aufgabe. Vielen Dank Magda.

[@basti110983]

Ja, es muss ½pi×r² für den Halbkreis sein.

[@olafgronefeld9493]

Hallo, kleiner Fehler. Es ist nur ein Halbkreis.

[@timurkodzov718]

Du hast recht.

[@Birol731]

Hallo Magda, hier mein Lösungsvorschlag ▶
Die Hälfte der Hypotenuse ist mit 10 [LE] gegeben. Die gesamte Länge beträgt daher 20 cm, da die beiden Dreiecke (die Kopf an Kopf stehen) ähnlich und kongruent sind.
Nach dem Satz von Pythagoras:
D² + 16²= 20²
D²= 144
D= 12 [LE]
D= 2r
2r= 12
r= 6 [LE]
Ahalbkreis= πr²/2
Ahalbkreis= π*6²/2
Ahalbkreis= 18 π [FE]
Das gelbe Dreieck, A(Δgelb)
A(Δgelb)= D*h/2
h= 16/2
h= 8
⇒
A(Δgelb)= 12*8/2
A(Δgelb)= 48 [FE]
Agesamt = Ahalbkreis + A(Δgelb)
Agesamt = 18 π + 48
Agesamt = 6(3π + 8)
Agesamt ≈ 104,55 [FE]

[@unknownidentity2846]

Das Wichtigste zuerst: Ich wünsche Magda samt Anhang und natürlich auch der gesamten Community eine schöne Weihnachtszeit. Nun aber zur Fläche:
.
..
...
....
.....
Da der Schnittpunkt der beiden Diagonalen eines Rechtecks die Diagonalen genau halbiert, muss das gelbe Dreieck gleichschenklig sein. Wenn wir nun die Höhe zur horizontalen Basis einzeichnen, dann zerfällt das gelbe Dreieck somit in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke; die Länge der Hypotenusen ist jeweils 10 und die gemeinsame senkrecht liegende Kathete (und damit die senkrecht verlaufende Höhe des gelben Dreiecks) ist halb so lang wie die senkrechte Seite des Rechtecks. Damit haben die beiden horizontalen Katheten der beiden kongruenten Teildreiecke die Länge:
√(10² - (16/2)²) = √(10² − 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6
Dieser Wert entspricht auch dem Radius des Halbkreises, da der obere Endpunkt der vertikalen Höhe des gelben Dreiecks die horizontale Seite dieses Dreiecks genau halbiert. Damit können wir die Fläche ausrechnen:
A(gelb) = A(Dreieck) + A(Halbkreis) = Basis*Höhe/2 + pi*Radius²/2 = (2*Radius)*Höhe/2 + pi*Radius²/2 = Radius*Höhe + pi*Radius²/2 = 6*8 + pi*6²/2 = 48 + 18*pi

[@markusnoller275]

Hallo Unknown Identity.
Danke Dir.
Dir und ggf. Anhang ebenfalls Fröhliche Weihnachten vom Bodensee an die Ostsee.

[@timurkodzov718]

Schön gerechnet.👍

[@unknownidentity2846]

@@markusnoller275 Herzlichen Dank für die weihnachtlichen Grüße. Ich hoffe, der Weihnachtsmann war gestern fleißig, und wünsche dir noch ein paar geruhsame Tage, bevor es dann im neuen Jahr wieder mit der Arbeit losgeht.
Hier an den im Sommer beliebten Urlaubsregionen an der Ostsee geht es auch über Weihnachten und vor allem über den Jahreswechsel immer ziemlich hoch her. Ein Event beispielsweise, bei dem ich auch schon des Öfteren dabei war, ist das"Warnemünder Turmleuchten" rund um einen der Leuchttürme in Rostock-Warnemünde. Wenn da die Show losgeht, sind da mehrere 10000 Leute unterwegs. Ich könnte mir gut vorstellen, dass rund um den Bodensee um diese Zeit auch viel los ist, oder?
Beste Grüße in den Süden der Republik

[@unknownidentity2846]

@@timurkodzov718 Vielen Dank für die Blumen. Ich hoffe, der Weihnachtsmann war gestern fleißig, und wünsche dir noch ein paar geruhsame Tage, bevor es dann im neuen Jahr wieder mit der Arbeit losgeht.

[@theojo69]

Ist die Kreisfläche nicht ein Halbkreis? Also nicht r²*Pi, sondern r²*Pi geteilt durch 2?

[@gelbkehlchen]

Lösung:
Die vollständige Diagonale des Rechtecks ist natürlich 20 lang. Damit ist die Breite des Rechtecks √(20²-16²) = 12. Und der Radius des Kreises ist r = 12/2 = 6. Die gelbe Fläche ist dann die Fläche des Dreiecks + die Fläche des Halbkreises
= 6*8+π*6²/2 = 48+18π ≈ 104,5487

[@m.h.6470]

Lösung:
Die Höhe des gelben Dreiecks ist die halbe Höhe des Rechtecks, also 16/2 = 8.
Da das gelbe Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck ist, können wir die Höhe und die angegebene Seitenlänge mit Pythagoras verwenden, um die halbe Grundseite bzw. den Radius des Kreises zu finden:
8² + r² = 10² |-64
r² = 36 |√
r = 6 (die negative Lösung macht bei Längen keinen Sinn!)
g = 2r = 12
Für die gelbe Fläche haben wir also
A = πr²/2 + gh/2
A = 18π + 12 * 8/2
A = 18π + 48
A ≅ 104,549 [FE]

[@roland3et]

Magda und allen hier ein frohes, besinnliches und friedliches Weihnachtsfest!
🎅🙂👻

[@Kwalliteht]

Länge der Diagonale 2*10
Grundseite = √(Diagonale^2 - Höhe^2)
Wir kürzen ab: Verhältnis von Diagonale gleich 5:4, also Grundseite=12.
Dreiecksfläche=Rechtecksfläche/4=16*12:4=48
Halbkreisfläche=π*(12/2)^2/2=56,55
Gelbe Fläche=104,55

[@detlev_]

Ich habe ein anderes Ergebnis. r=6 somit 6²*pi/2 für den Halbkreis und 12*16/4 für das Dreieck. Macht ca. 104,5 FE.

[@Nikioko]

Liebe Magda, da hast du bei der Fläche des Halbkreises aber leider vergessen, durch 2 zu teilen. Die richtige Fläche ist 18π + 48 ≈ 104,55.

[@Nikioko]

Ja....
Gut, wer seine pythagoreischen Tripel kann. Dann bekommt man r = 6.
Und
A = πr²/2 + (2r ⋅ 16/2) / 2
= 18π + 48
≈ 104,55

[@philipkudrna5643]

Ohne das Video anzusehen: die andere Seite des Rechtecks (=Durchmesser des Halbkreises) ist 12. (Pythagoras aus dem Dreieck 20-16-x, das das 4fache des 5-4-3 Dreiecks ist. 4 mal 3=12. Der Halbkreis ist R^2*pi/2 bzw 36/2pi oder 18pi. Das Dreieck ist Basis mal Höhe halbe oder 12*8/2 oder 12*4=48. Zusammen also 48+18pi (oder ca 104,55).
Nach dem Video: Hallo!? Es ist nur ein Halbkreis!!!

[@opytmx]

Hmm... Da 3, 4, 5 und 6, 8, 10 pyth. Trippel sind, kann die Breite schnell mit 2 * 6 = 12 bestimmt werden. Die Fläche A1 des Dreiecks ist somit 12 * 8 / 2 = 6 * 8 = 48, und A2 des Halbkreises 1/2 pi() 6^2 = 18pi(). Zusammen 48 + 18pi() = 6 * (8 + 3pi()) = 6 * 17,42. Also ca. 104,52 FE 🙂... mit pi() = 3,14

[@markusnoller275]

Hallo Magda, guten Abend,
hier mein Vorschlag,
weil keine Einheiten angegeben sind, gilt Längeneinheit (LE) bzw. Flächeneinheit (FE)
Beides lasse ich zunächst weg
Das Rechteck besteht jeweils aus gleichschenkligen Dreiecken, wobei aus Symmetriegründen jeweils die einander gegenüberliegenden identisch sind.
Das Lot von der Dreieckspitze auf die Basis halbiert diese jeweils
Für das rechte (oder linke) Dreieck mit der Basis 16 teilt das Lot das Dreieck in zwei identische Teildreiecke auf mit der Hypotenuse 10 und einer Kathete 8 (=Hälfte der Basis) auf.
Wenn man jetzt noch "pythagoräische Trippel" parat hat, erkennt man: 2 * 5, 2 * 4, also fehlt noch 2 * 3 = 6 'in der Sammlung'
(Zur Not hilft aber auch Herr Pythagoras gerne weiter... 🙂 10^2 - 8^2 = fehlende Kathete^2 = 100 - 64 = 36 = 6^2... fehlende Kathete also 6)
Somit ist die kürzere Rechteckseite 12.
Für das gelb gefärbte Dreieck ergibt sich dann die Fläche
Ad = 1/2 * 12 * 8 = 6 * 8 = 48 FE
der Radius des aufgesetzten gelben Halbkreis ist genau die Hälfte der kürzeren Rechteckseite, also die vorher berechneten 6
FÜr die Fläche des Halbkreieses gilt dann:
Ahk = 1/2 * pi * 6^2 = 1/2 * pi * 36 = 18 * pi FE
Die Gesamtfläche Ag ist dann:
Ad + Ahk = 48 + 18 * pi = 6 * (8 + 3 * pi) FE
Gerundet sind das 104,55 FE
Ich wünsche Dir und deinen Lieben fröhliche Weihnachten.
LG aus dem Schwabenland.

[@theojo69]

Na, gerade die Kurve noch bekommen.

[@petermorhart1212]

Habe es anders gerechnet... Ich glaube, das war kürzer. Aber vielleicht liegt es nur daran, dass du deinen Weg ja erklären musst. Ich bin ein Schelm. Okay. Ich wünsche allen schöne Weihnachten...

[@roland3et]

Lösung ohne "Hilfslinien"
Diagonale Rechteck:
d = 20
Damit Breite b des Rechtecks:
b² = 20²-16² = 400-256 = 144
b = sqrt(144) = 12
Fläche Ao des Halbkreises:
r = ½b = 12/2 = 6
Ao = ½ × 6² × π = 18π
Fläche gelbes Dreieck (h=8):
AΔ = ½ × 12 × 8 = 48
Gelbe Fläche gesamt:
A = Ao + AΔ = 18π + 48
A ≈ 104.55
🙂👻

[@jartest2673]

man hätte sich aber das SQR(36) sparen können weil später ja wieder 6² benötigt wurde 😇

[@timurkodzov718]

Dachte ich zwar zuerst auch, aber woher weiß man dann später, wie lang die Grundseite des Dreiecks ist?

[@jartest2673]

@@timurkodzov718 braucht man doch für die Fläche nicht 100-64 ist 36

[@timurkodzov718]

@@jartest2673 Für Kreisfläche nicht. Aber für die Grundseite des Dreiecks schon.

[@timurkodzov718]

@@jartest2673 Ah, verstehe was du meinst. Sie hat schon von Anfang an pythagoräisxhes Trippel benutzt. Solche Videos scrolle ich nur ab und zu, um zu sehen, ob mein Endergebnis stimmt. Sorry.

[@jartest2673]

@@timurkodzov718 kein Problem, ich versuche mich halt mit fast 70 im Kopf fit zu halten.