인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 6:10 에서 "연속함수의 미분 불가능한 점의 개수는 유한개이다." 를 "연속함수의 미분 가능한 점의 개수는 적어도 한 개 이상이다." 로 정정합니다.
영상 썸네일 보자마자 소름돋았어요!!~~ 사실 며칠전에 공교롭게도 인터넷에서 '바이어슈트라스 함수'를 본적이 있는데, 연속함수이지만 모든 점에서 미분불가능이라는 특징이 참 신기하면서도, 한편으로는 직관적으로 잘 이해가 되지 않았거든요. 그런데 이상엽선생님께서 때마침 이렇게 제가 원하는 영상을 올려주시구 ㅋㅋㅋㅋㅋ 아무튼 유익한 영상 많이 업로드해주셔서 감사합니다~~ ㅋㅋ
연속함수는 생각보다 시궁창같은 조건입니다. 예를 들어서 f가 [0,1]에서 연속이고, f'이 거의 모든 점에서 0이지만 f'을 0~1까지 적분한(거의 모든 점에서 f'이 정의되므로 적분이 가능합니다.) 값과 f(1)-f(0)가 다른 함수도 있습니다.(cantor lebesgue function). 이것도 참고해보시면 좋습니다.
철학공부하면서 철학이 답이 없다고 느낀 지점이 바로 철학은 직관밖에 의존할 게 없단거(일부 형식논리학은 제외). 특히 도구적 이성이나 수량화에 거부감을 가진 인간주의적 특징을 가진 철학자들은 물질문명이나, 그 기초가 되는 자연과학이 자꾸 인간이 이해 가능한 직관을 벗어나고, 오히려 이것들이 직관을 교정한다는 사실에 대해 엄청 불편하게 생각함. 철학이 단지 경구나 인생의 교훈 정도를 다루는 거라면 이게 크게 문제가 되지 않겠지만 "엄밀학으로서 철학"을 추구한다는 사람도 이런 생각을 가진다는게 문제.
어떤 학문에서든 과거에는 동전의 양면처럼 완전히 상호배타적인 것이 당연스럽게 여겨졌던 개념들이 시간이 지남에 따라 점차 고도화 되면서 어느 순간에는 그것들이 한 공간안에 동시에 존재한다는 개념이 등장하면서 이를 한데 묶어 온전한 하나의 동전으로 전체를 바라볼 수 있게 만들어주는 이론으로 성장하는건 어쩌면 필연적인 과정일지도 모르겠다 싶습니다.
얼마 전 이 바이어슈트라스 함수에 대해서 PPT 발표를 했었는데 이 영상을 참고하여 발표하였고 출처를 밝혔으나 참고하여도 되는지 허락을 구하지 않은 것에 대해서 사죄를 드리기 위해 댓글을 남깁니다. 이러한 흥미로운 내용을 소개해 주셔서 감사하고 허락을 구하지 않아서 죄송합니다
저는 물론 강의를 듣고 난 후라는 전제가 있어도 정말 직관적으로 떠올리기 힘드네요!가우스가 왜 못 떠올렸는지 이해가 돼요 아무리 점으로 미시적으로 생각해도 연속인데 그곳에서 미분계수는 다르다.... 연속이 되기 위한 한없이 작은 건 점과 점의 비교이지만 미분계수는 한없이 작더라도 결국 미분계수가 되기 위해선 길이가 필요하니 점과 길이의 차이로 인해 연속은 되고 미분은 안되는 것 같습니다 ㅎㅎ!
수학을 좋아하는 사람으로써 공감이 많이 가는 내용입니다. 다만 직관을 버려야 한다는 표현이 조금 두루뭉술 한 것 같아 제 의견을 남겨 봅니다. 수학을 함에 있어서 직관은 사실 굉장히 중요하다고 생각합니다. 사실 직관이 없다면 수학을 할 수 없을지도 모른다고 생각하구요. 아마 수학의신님께서 직관을 버려야 한다고 언급한 것은 제가 생각하기엔 직관을 쉽게 믿지 말라 라는 의미라 생각합니다. 증명을 함에 있어서 trivial 이라는 것을 적기 전에 항상 증명이 정말 되는지 확인 하라는 의미라고도 생각되네요. 혹여 학생들이 "어느 레밸에 도달하면 결국 직관을 버려야 하니 수학을 아주 엄밀하고 딱딱하게 배워야지" 라는 마인드를 가질까 걱정이 되네요. 많은 수학의 이론과 작게는 소소한 증명들은 모두 직관에 의해 시작했습니다. 결코 수학의 증명을 직관으로 끝마치면 안되지만 (직관을 버려야 한다) 반대로 직관 없이 수학을 접해서도 안되겠죠. 어쩌면 직관을 버리고 높은 수준의 직관을 얻어야 한다가 맞는 표현일 수도 있겠습니다. 제 작은 해석이지만 많은 분들이 수학의신님이 진정으로 의미한 바를 이해하셨길 바라네요. (물론 제가 이해를 못했을 수도 있습니다.)
저는 수학을 전공하지는 않았지만 양자역학을 공부하면서 직관을 믿지 말라는 말을 많이 접했었어요. 양자역학은 직관적으로 접하는 순간 그 본질적인 의미를 놓칠 수 있다는 얘기를 들었는데, 직관을 믿지 않고 어디까지나 수학적인 서술만을 따라가는 것이 해가 될 수 있다는 것이 양자역학이 초기에 학계에서 받아들여지지 않았던 큰 이유였죠. 수학과 과학은 직관적인 해석을 통해 발전해왔지만, 직관이 통하지 않는 계가 있을 수도 있다는 점을 놓쳐서는 안된다고 생각합니다! 말씀해주신 내용처럼 높은 수준의 직관을 얻을 수 있다면 좋겠지만, 학계에서 일반적으로 받아들여지지 않는 내용에 대해서는 직관적이지 못한 내용이 진리가 될 수도 있다고 생각해요. 최근의 고체물리 또는 입자물리에서는 직관이 작용하지 않는 충분한 예시들이 많이 있다고 생각합니다! 물론 지금은 직관적인 서술이 불가능하더라도 언젠가는 직관적인 서술이 가능할거라고 믿고 있지만요...ㅎㅎ
직관에도 종류가 있을꺼 같은데 언어는 "직관"이란 한 단어로 밖에 표현할 수 없으므로 오해가 생기는것 같습니다. 그냥 머릿속에서 이럴꺼야~! 라고 생각하는 직관과 어느정도 논리를 갖췄지만 완벽한 논리가 부족하여 나머지 부분을 직관으로 채우는 직관! 또 매우 논리적이지만 미세하게 부족한 직관 등 직관에도 다양한 직관이 있을듯합니댜ㅏ.. 어떤경우는 증명을 하지 않았지만 직관으로 이건 완벽해~! 라고 생각했던 경우가 있었고. 그것이 과거의 증명되었다는 사실을 알게되었을때 별로 대단하지도 않았던 경험이 있었습니다. 오히려 완벽한 논리가 거치장 스러워 보이더군요. 물론 그런 일은 흔하지 않는 경우고 직관을 맹신하지도 않습니다. 수학적 증명이 끝이 아니고 그 이상의 완벽한 세계가 존재할 거란 실마리가 보였던 거죠~ 수학에서 증명의 위력은 매우강력하고 완벽하지만 그것이 다가 아니라는게 제 생각입니다. 어떠한 완벽한 서술이 있었고 그 완벽한 서술에서 정리가 나왔을거란 생각이 머릿속에 맴돕니다. 직관을 포기하기란 쉽지 않고 포기 할 수도 없으나 그렇다고 직관을 남용해서도 안될 것 같습니다.
근데 하나 질문이 있어서 남깁니다. 바이어슈트라스 함수는 일반적인 무한급수의 모양새랑 약간 다른거같은데 항이 어떻게 구성되어있는지 궁금하네요. A^n과 B^n 항의 연속으로 이루어져있는데, 공업수학에서 배우던 무한급수의 모양과는 다르게 보여 질문드립니다. cos(Cx)꼴의 무한합으로 이루어진건가요? 그리고 일반적인 미분법을 사용할 수 있는데, 이 경우 왜 오류가 생기는지도 궁금합니다. 영어가 부족해서 논문 보기가 많이 힘드네요. ㅠㅠ
직관을 버린다기보단, 직관을 사용하되 맹신하지 말고 논리적으로 참거짓을 확인하는 태도가 필요하겠네요. 사람이 튜링기계도 아닌데 뭔가를 증명할 때 모든 가능한 명제들의 조합을 하나하나 시험해볼 수 없으니 직관을 사용하긴 사용해야 하지만, 가우스같은 실수를 저지르지 않기 위해선 증명되지 전엔 직관을 맹신해서는 안되겠지요.
모든 점이 연속인데 미분 불가능한 함수가 뭘까라고 물었을때 직관적으로 두꺼운 선으로 이루어진 선이 그런것이라고 떠올랐음... 그다음으로 프렉탈을 떠올리면서 어느 반복되는 구간을 무한히 확대시켰을 때 같은 모양이 나오는 선이라는 점과 무한한 점의 개수라는 무한이라는 공통점에 놀랐다.
아...그런데 "직관"에 대해서 제가 감명깊게 읽었던 어느 수학자의 명언이 있는데 누군가인지 생각이 안나네요.. 그 분이 말하길.. "흔히들 사람들이 대충 그렇지 않을까? 추측해놓고 직관이라 쉽게 얘기하는데, 그건 추측일 뿐 절대 "직관"이 아니다. 진정한 직관이라함은 그 명제가 참임을 증명하는 그 과정들이 너무도 빠르게 머리속에 떠오르고 정리되어 결론에 도달하는 것. 그래서 다른 사람들이 보았을 때 마치 중간 과정을 건너뛴 것 처럼 보이는 것. 이것이 진정한 수학자의 직관이다." 이런 맥락의 말을 했는데 전 이 말을 듣고, 너무 "직관"이란 단어를 오용하고 있구나라고 느꼈거든요~혹시 이게 누가한말인지 아시는 분이 계실라나요? 너무 감명 깊었는데 누가 한말이였는지는 찾을 수가 없네요..ㅠㅠ
y=f(x) 꼴을 띄는 연속함수의 갯수는 무한하지만, 하나의 집합을 이룰 수 있겠죠. 그렇다면 그 중 연속하지만 미분 불가능한 함수 역시도 무한할 것인데, 그 갯수와 미분 가능한 함수의 갯수를 비교할 수 있나요? 아직까지는 비교할 수 없더라도, 먼 미래에 비교할 수 있게 될 수 있다고 보시나요?
리차드 파인만인가? 시인들이 과학자들을 보며 '과학자들은 이렇게 아름다운 꽃을 보면서 과학자들은 꽃술이 몇개니 세포조직이 어떻니 말하는것을 보면 안타깝다'고들 많이 이야기 하는데 과학자인 그도 꽃의 아름다움쯤은 감상할 수 있다고 말하며 오히려 아름다움도 볼수 있고 과학적인 관찰도 할수있는 것이 더 좋다고 말하는것을 책에서 본 기억이 나네요. 수학자나 과학자는 시인이 될수 있지만 반대는 될수 없죠.
시인의 기질을 갖추지 못한 수학자는 완벽한 수학자가 될 수 없다는 의미는 사실 좀 더 생각해보면 직관을 버릴 수 있어야만 제대로 수학을 할 수 있다는 의미인 것 같습니다. 직관에 얽매이면 상상력의 지평을 넓히는 게 불가능하거든요. 제가 그래서 잘 압니다. 직관에 얽매여서 상상력이 부족한 사람이 바로 접니다.
와 이런분이 나 고딩때만이라도 있었으면 내가 고딩때 했던 고민이 쓰잘데기 없는게 아니라는걸 알았을텐데.. a^x=N 일때 log_(a)N=x 라고 배우고 a>0일때만으로 한정한다고 해서 선생님한테 질문했죠 (-2)^3=(-8)이니까 log_(-2)-8=3 이라고 해도 되는거 아니냐고... 그때 너는 꼭 쓸데없는 질문만 한다고 쳐다보시던 선생님;; 대학에 오고나서야 알게 됐습니다 그런 질문은 절대로 쓸데없는 질문이 아니라는걸요...
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](http://i.ytimg.com/vi/K4rw5HqS7Kk/mqdefault.jpg)
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](/img/tr.png)
![[지식in] 감마함수](http://i.ytimg.com/vi/v0wOBDOuQX8/mqdefault.jpg)
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](/img/n.gif)
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
6:10 에서 "연속함수의 미분 불가능한 점의 개수는 유한개이다." 를 "연속함수의 미분 가능한 점의 개수는 적어도 한 개 이상이다." 로 정정합니다.
한때 수학도를 꿈꾸다가 피타고라스의정리에서 좌절하고 지금은 자영업을 하고 있지만 상엽쌤의 넓은 어깨에 매번 감탄하고 갑니다.
피타고라스면 a^2+b^2=c^2말하는거?
관전포인트
1. 수학도를 꿈꾸는데 피타고라스정리에서 좌절
2.바로 자영업
3. 강사의 수업내용에 감탄(×)
강사의 피지컬에 감탄(○)
피타고라스에서 손절한거면 산수하다가 수학 시작하자마자 손절하신 수준인데 ㅋㅋㅋ 빠른 익절ㅋㅋㅋ
이게뭐야 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@JOE-bh3bu 완벽 분석이다 ㅋㅋㅋㅋㅋ
제목을 보고 안볼수가 없는 영상
???: 삐슝빠슝
3BR??
ㅋㅋㅋㅋ 나도 제목보고 바로 와버림
@@goudenleeuw6920 leggodan?
'모든 점에서 미분 불가능한 함수'
뭐야 별로 안 신기한데.
(다시 읽음)
"연속함수"
오썅 이게 뭐야
김재욱 오썅 이게 뭐야 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ㄹㅇ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
저도 그래서 들어왔는데ㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋ
07:34 제일 중요한 대목
새로운 것을 빨리 받아들이는 사람이 똑똑한 사람
유튜브 돌아다니다가 낯익으신 분이 계셔서 들어왔는데 고등학교때 수업해주신 선생님이였군요..신기해라
바이어 슈트라스의 명언을 보니 떠오르는게 힐베르트가 제자였던가? 여튼 누군가 수학을 그만두고 시인을 하겠다는 소리를 듣고 했던 말이 기억나네요. "잘 됐군. 그 친구는 수학을 하기엔 상상력이 너무 부족했어!"
영상 썸네일 보자마자 소름돋았어요!!~~
사실 며칠전에 공교롭게도 인터넷에서 '바이어슈트라스 함수'를 본적이 있는데,
연속함수이지만 모든 점에서 미분불가능이라는 특징이 참 신기하면서도, 한편으로는 직관적으로 잘 이해가 되지 않았거든요.
그런데 이상엽선생님께서 때마침 이렇게 제가 원하는 영상을 올려주시구 ㅋㅋㅋㅋㅋ
아무튼 유익한 영상 많이 업로드해주셔서 감사합니다~~ ㅋㅋ
바이어슈트라스 함수라고 들어본적은 있으나 자세히는 몰랐는데
이렇게 자세하게 설명해주셔서 감사합니다.
과학과 마찬가지로 수학에서도 직관에 관한 논의가 있었네요. 이 영상을 보면서 직관에 대한 생각을 다시금 하게 됩니다.
과학이란 무엇인가에 대해서도 다시 생각해보는 좋은 주제였습니다. 좋은 내용 감사합니다!
잘 보고 갑니다!!😄😄
정말 흥미롭게 봤습니다~ 좋은 강의 감사합니다
이과라면 제목보고 안볼수 없는 영상
문과도 미적분 아는데..
@@bereanslee2922 그 맥락이 아니잖슴ㅋㅋ 수학좋아하면 볼만하다 라는 meaning
@@이민재-g9y 이재민 주제에
@@우울바이러스 이재민이라니 왜 저분한테 시비냐?
문과도 홀린 듯이 클릭하게 되는 영상
제가 좋아하는 명언!
"수학의 본질은 그 자유로움에 있다" - 칸토어.
무언가에 얽매이지 않고 자유롭게 상상하는 것! 수학의 위대함이란~
흥미로운 내용이네요 잘봤습니다. 동영상처음보는데 구성이 알차네요
연속함수는 생각보다 시궁창같은 조건입니다. 예를 들어서 f가 [0,1]에서 연속이고, f'이 거의 모든 점에서 0이지만 f'을 0~1까지 적분한(거의 모든 점에서 f'이 정의되므로 적분이 가능합니다.) 값과 f(1)-f(0)가 다른 함수도 있습니다.(cantor lebesgue function). 이것도 참고해보시면 좋습니다.
모든 점에서 미분불가능하다 하면, 매 순간순간에 그 다음을 예측하지 못한다는 건데... ㅎㄷㄷㄷㄷ 모냐 완전 현실세계 아니냥. 저는 제 미래 한치 앞도 예측 못하는지라 ㅠㅠㅠ 은근 굴곡이 많은 인생이랍니다 ㅠㅠ
참 표현력 좋네요
부러운 능력을 지니셨습니다.
주가 예측할때 실제로 저런함수를 사용하죠
@OT OT ㅋㅋㅋㅋ 첨점이 많은 인생 ㅋㅋㅋㅋㅋ
문과감성 무엇...
주가를 함수로 예측한다구요..? ㅋㅋㅋㅋ
해석학 들으면서 너무 행복함
감사합니다 체널 구독하였습니다. ㅎㅎ
2:03 삐빅! 정상입니다.
이것이 바로 네모난 원인가 ㄷㄷㄷㄷㄷ
비유 미쳤네ㄷㄷㄷ
@@FIzzlover 곡선들로만 이루워진 다각형
이것이 바로 까만 백인가ㄷㄷㄷㄷㄷ
마크마렵네
오늘도 좋은 영상 잘 보고 갑니다 ^^
저는 그래도 직관적 이해가 안되면 넘어가질 못하겠더라구요 ㅠㅎ 공돌이라 그런지도요 ... ㅎ 좋은 영상 감사드려요 !
와우 이분을 여기서..
바이어슈트라스 함수~~ 정보 찾고있었는데 감사합니다~~
흥미로운 주제 잘 봤습니다. 직관과 실제의 선후관계를 재확인시켜주는 좋은 영상입니다.
한때 프로 수학자의 길을 걷고자 했었던 사람중 한명으로서 후반부 말씀 넘나 공감됩니다ㅠ 매번 감동적인 영상을 선사해주시는 선생님께 넘넘 감사드려요... 혹시 후원할수 있는 방법이 있을까요? 연구하시든 데에 조금이라도 힘을 보태드려보고 싶네요;;;
진짜 멤버쉽구독 생기면 좋겠네요 ㅋㅋ
시인의 기질을 갖추지 못한 수학자는 완벽한 수학자가 될 수 없다
재밌게 설명해주신 영상 잘 봤습니다! 저도 PMA에서 해당내용을 처음 맞닥뜨리고 깊은 인상을 받았던 기억이 있네요 ㅋㅋ
오늘도 많이 배워갑니다.
선생님
함수를 '선'으로 그리는 순간 미분가능할 수 밖에 없네요😆
우리가 아는 도형인 '선'이라면요..!
우와 진짜 감사합니다 ㅎㅎㅎㅎ옷이 예쁘네욬ㅋㅋㅋ
그쵸? 오늘 완전 캐쥬얼하시고 편해보이시고 더 잘생겨보이심.
@@Snowflake_tv머리 누가 해줬는지 저 스탈 갖고싶다
예전에 자연상수 e에 대해서 강의해주신 영상에 질문 댓글을 달았었는데 정말 친절하고 자세하게 답글 남겨주셨어요. 정말 좋으신 선생님입니당
철학공부하면서 철학이 답이 없다고 느낀 지점이 바로 철학은 직관밖에 의존할 게 없단거(일부 형식논리학은 제외). 특히 도구적 이성이나 수량화에 거부감을 가진 인간주의적 특징을 가진 철학자들은 물질문명이나, 그 기초가 되는 자연과학이 자꾸 인간이 이해 가능한 직관을 벗어나고, 오히려 이것들이 직관을 교정한다는 사실에 대해 엄청 불편하게 생각함. 철학이 단지 경구나 인생의 교훈 정도를 다루는 거라면 이게 크게 문제가 되지 않겠지만 "엄밀학으로서 철학"을 추구한다는 사람도 이런 생각을 가진다는게 문제.
호히히헤헤호 상당부분 공감하는 통찰입니다.
그런 사고방식들과 함께 철학을 위시한 문과 시대 자체가 끝났는데 아직 못 놔주는 사람들이 많아요
강의늘 많은 공부가 됩니다. 수학의 직관의 한계를 말씀하엿지만, 직관이 않되어도 아주 문제에요. 특히 아마추어에겐요. 다음 기회에 면적 제로의 집합과 루베그 적분가능성을 다음에 소개하여 주시면 매우 감사하겟어요. 아래에 몇분 벌써 소개햇네요.
수학과 물리와 자연은 많이 닮은것 같아요 수학에서도 프랙탈이 나오는군요
불확정성 원리를 받아 들이지 못했던 아인슈타인이 떠오르는 일화네요
물리, 자연에서의 현상을 설명하기 위해 수학이 발전했기 때문에 일맥상통하는 부분들이 많을 수 밖에요
???신은 주사위를 던지지 않아
???'신이 주사위를 던지던 말던 당신 알 바가 아닐세
프랙탈과 양자역학이 무슨 부분에서 닮아있나요?? 양자역학에 관심이 많아 알고 싶습니다
차가운 두뇌와 뜨거운 가슴으로, 위대한 경제학자였던 알프레드 마셜이 했던 말이기도 합니다. 수학과 경제학이 통하는 부분입니다
쌤 그냥 존나 멋있어요. 물론 쌤이요.
프렉탈 함수인 건 예상하고 있었는데 그걸 직접 찾아낸 건 진짜 대단하네요 ㄷㄷ
2일 전에 수학 독학서에서 본 함수인데 역시 흥미롭네요
썸네일 너무 귀여운거 아니냐며..
해석개론 수업시간에 처음 봤을 때 신선한 충격을 받았던 것이 기억나요ㅋㅋ 아마 이 이후에 배운 리만 적분, 르벡 적분 같은 것은 다 까먹었는데 바이어슈트라스 함수하고 토매 함수는 잊을 수 없네요
어떤 학문에서든 과거에는 동전의 양면처럼 완전히 상호배타적인 것이 당연스럽게 여겨졌던 개념들이 시간이 지남에 따라 점차 고도화 되면서 어느 순간에는 그것들이 한 공간안에 동시에 존재한다는 개념이 등장하면서 이를 한데 묶어 온전한 하나의 동전으로 전체를 바라볼 수 있게 만들어주는 이론으로 성장하는건 어쩌면 필연적인 과정일지도 모르겠다 싶습니다.
프렉탈 생각난다 확대해도 계속 뾰족뾰족...
바이어슈트라스 함수는 실제로 프랙탈이라고 합니다... 나머지도 아마 프랙탈인 것 같은데 말이죠 ㅇㅅㅇ
(강의 중에도 프랙탈이라고 언급이 되었습니다!)
얼마 전 이 바이어슈트라스 함수에 대해서 PPT 발표를 했었는데 이 영상을 참고하여 발표하였고 출처를 밝혔으나 참고하여도 되는지 허락을 구하지 않은 것에 대해서 사죄를 드리기 위해 댓글을 남깁니다. 이러한 흥미로운 내용을 소개해 주셔서 감사하고 허락을 구하지 않아서 죄송합니다
진짜 쌤 너무 멋있어요 ㄷ
가우스의 일화에서 마치 양자역학의 불확정성을 부정한 아인슈타인의 일화가 떠오르네요. 직관력이 높아서 천재적인 업적을 이루었기에 오히려 비직관적인 부분에서 실수를 해버림..
삐쓩빠쓩뿌쓩) 연속함순데 모든 점이 미분이 않뒈 는 함수가 있다???
@@user-jq5te1gf9x 진지충 제발..
@@user-jq5te1gf9x Wls
@@user-jq5te1gf9x Wls...
@@user-jq5te1gf9x 컨셉이죠?
충격! 드립을 불편하게 받아들이는 사람이 있다? 삐슝빠슝
직관적 이해를 포기하기도 해야 한다...
뭔가 머리를 띵 하고 맞은 느낌.
4:20 저 팩토리얼이 어떻게 계산되는걸까.. 주기가 무한히 작네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ신기하다진짜
저는 물론 강의를 듣고 난 후라는 전제가 있어도 정말 직관적으로 떠올리기 힘드네요!가우스가 왜 못 떠올렸는지 이해가 돼요 아무리 점으로 미시적으로 생각해도 연속인데 그곳에서 미분계수는 다르다.... 연속이 되기 위한 한없이 작은 건 점과 점의 비교이지만 미분계수는 한없이 작더라도 결국 미분계수가 되기 위해선 길이가 필요하니 점과 길이의 차이로 인해 연속은 되고 미분은 안되는 것 같습니다 ㅎㅎ!
고2때 이거 궁금해서 바이어슈트라스 함수 알아봤었는데 다시보니까 더 재밌네요~
4:46 와 이게 더신기하다.... 함수 이해가 되네이건
선생님 이런거는 학부과정에서 배우나요? 공대의 경우는 어떤가요?
와 되게 흥미롭네요
수학을 좋아하는 사람으로써 공감이 많이 가는 내용입니다. 다만 직관을 버려야 한다는 표현이 조금 두루뭉술 한 것 같아 제 의견을 남겨 봅니다. 수학을 함에 있어서 직관은 사실 굉장히 중요하다고 생각합니다. 사실 직관이 없다면 수학을 할 수 없을지도 모른다고 생각하구요. 아마 수학의신님께서 직관을 버려야 한다고 언급한 것은 제가 생각하기엔 직관을 쉽게 믿지 말라 라는 의미라 생각합니다. 증명을 함에 있어서 trivial 이라는 것을 적기 전에 항상 증명이 정말 되는지 확인 하라는 의미라고도 생각되네요. 혹여 학생들이 "어느 레밸에 도달하면 결국 직관을 버려야 하니 수학을 아주 엄밀하고 딱딱하게 배워야지" 라는 마인드를 가질까 걱정이 되네요. 많은 수학의 이론과 작게는 소소한 증명들은 모두 직관에 의해 시작했습니다. 결코 수학의 증명을 직관으로 끝마치면 안되지만 (직관을 버려야 한다) 반대로 직관 없이 수학을 접해서도 안되겠죠. 어쩌면 직관을 버리고 높은 수준의 직관을 얻어야 한다가 맞는 표현일 수도 있겠습니다. 제 작은 해석이지만 많은 분들이 수학의신님이 진정으로 의미한 바를 이해하셨길 바라네요. (물론 제가 이해를 못했을 수도 있습니다.)
저는 수학을 전공하지는 않았지만 양자역학을 공부하면서 직관을 믿지 말라는 말을 많이 접했었어요. 양자역학은 직관적으로 접하는 순간 그 본질적인 의미를 놓칠 수 있다는 얘기를 들었는데, 직관을 믿지 않고 어디까지나 수학적인 서술만을 따라가는 것이 해가 될 수 있다는 것이 양자역학이 초기에 학계에서 받아들여지지 않았던 큰 이유였죠. 수학과 과학은 직관적인 해석을 통해 발전해왔지만, 직관이 통하지 않는 계가 있을 수도 있다는 점을 놓쳐서는 안된다고 생각합니다! 말씀해주신 내용처럼 높은 수준의 직관을 얻을 수 있다면 좋겠지만, 학계에서 일반적으로 받아들여지지 않는 내용에 대해서는 직관적이지 못한 내용이 진리가 될 수도 있다고 생각해요. 최근의 고체물리 또는 입자물리에서는 직관이 작용하지 않는 충분한 예시들이 많이 있다고 생각합니다! 물론 지금은 직관적인 서술이 불가능하더라도 언젠가는 직관적인 서술이 가능할거라고 믿고 있지만요...ㅎㅎ
버릴줄도 알아야한다는거지 버려야한다는건 아닌데요. 의도를 잘못 이해하신거같네요
직관에도 종류가 있을꺼 같은데
언어는 "직관"이란 한 단어로 밖에 표현할 수 없으므로 오해가 생기는것 같습니다.
그냥 머릿속에서 이럴꺼야~! 라고 생각하는 직관과
어느정도 논리를 갖췄지만 완벽한 논리가 부족하여 나머지 부분을 직관으로 채우는 직관!
또 매우 논리적이지만 미세하게 부족한 직관 등
직관에도 다양한 직관이 있을듯합니댜ㅏ..
어떤경우는 증명을 하지 않았지만 직관으로 이건 완벽해~!
라고 생각했던 경우가 있었고.
그것이 과거의 증명되었다는 사실을 알게되었을때
별로 대단하지도 않았던 경험이 있었습니다.
오히려 완벽한 논리가 거치장 스러워 보이더군요.
물론 그런 일은 흔하지 않는 경우고
직관을 맹신하지도 않습니다.
수학적 증명이 끝이 아니고 그 이상의 완벽한 세계가
존재할 거란 실마리가 보였던 거죠~
수학에서 증명의 위력은 매우강력하고 완벽하지만
그것이 다가 아니라는게 제 생각입니다.
어떠한 완벽한 서술이 있었고 그 완벽한 서술에서 정리가 나왔을거란 생각이
머릿속에 맴돕니다.
직관을 포기하기란 쉽지 않고 포기 할 수도 없으나
그렇다고 직관을 남용해서도 안될 것 같습니다.
@@soongum 대표적인예로 엡실론델타논법 처음보면 뭘 이렇게까지 하나 싶죠 최근에야 그것이 의미하고자하는바를 제대로 깨달은 1인입니다
근데 하나 질문이 있어서 남깁니다. 바이어슈트라스 함수는 일반적인 무한급수의 모양새랑 약간 다른거같은데 항이 어떻게 구성되어있는지 궁금하네요.
A^n과 B^n 항의 연속으로 이루어져있는데, 공업수학에서 배우던 무한급수의 모양과는 다르게 보여 질문드립니다. cos(Cx)꼴의 무한합으로 이루어진건가요? 그리고 일반적인 미분법을 사용할 수 있는데, 이 경우 왜 오류가 생기는지도 궁금합니다. 영어가 부족해서 논문 보기가 많이 힘드네요. ㅠㅠ
ㄹㅇ 저도 처음에 보고 엥? 푸리에급수 비슷하게 나온거 아닌가 했는데 아니더군요
@@신승호-q2f 답변 감사합니다. 공업수학에서는 무한급수 배울 때 그냥 미분했어서 무한급수에서의 미분에 대한 고찰이 부족했습니다. 친절한 설명 감사합니다.
3:00 의 함수 조건에서
a의 조건 : 급수 수렴성과 연관.
b의 조건 : b
근데 확대해도 무한히 똑같은 함수를 찾는다면
훨씬 간단한 오일러의 power tower function을 말하면 되는거 아닌가요?
프렉탈 구조이니까요.. 그래프 계형이
일단 power tower function은 미분이 가능하니까 여기서 제시하는 기준 자체에 들어맞지가 않네요 심지어 복소함수에 정의역도 실수전체가 아니라 해석적 확장을 해야하고요
상엽쌤 귀여워요
좋은 영상이네요
2:41 이게 어떻게...? 개신기하다 진짜
저 조건은 어디서 튀어나온걸까
5:36 함수를 표현할때 파이라는 기호는 무슨 의미인가요???
다 곱하는거요
직관을 버린다기보단, 직관을 사용하되 맹신하지 말고 논리적으로 참거짓을 확인하는 태도가 필요하겠네요.
사람이 튜링기계도 아닌데 뭔가를 증명할 때 모든 가능한 명제들의 조합을 하나하나 시험해볼 수 없으니 직관을 사용하긴 사용해야 하지만, 가우스같은 실수를 저지르지 않기 위해선 증명되지 전엔 직관을 맹신해서는 안되겠지요.
???: 사실 이 연속함수라는게 일본에서 유래된거거든요..
저건 어떻게 찾은걸까요
제가 생각한건 a와b지점이 미분불가능하고 연속일때 그 가운데 지점도 미분불가인 지점이라고 하고 그 함수를 찾아야될거같은데...ㅠ
잘모르겟네요
바이어슈트라스 이후의 수학자들이 제시한 프랙탈 함수에도 바이어슈트라스 함수의 조건에서 크게 벗어나지 않네요. 되게 신기합니다
모든 점이 연속인데 미분 불가능한 함수가 뭘까라고 물었을때 직관적으로 두꺼운 선으로 이루어진 선이 그런것이라고 떠올랐음...
그다음으로 프렉탈을 떠올리면서 어느 반복되는 구간을 무한히 확대시켰을 때 같은 모양이 나오는 선이라는 점과 무한한 점의 개수라는 무한이라는 공통점에 놀랐다.
중간에 g(2^k x)/2^k함수에서 g(x)가 |sin(x)| 일때도 직관적으론 성립해보이는데 맞나요?
고딩때 선생님께서 알려주신 바이어슈트라우스함수 미분 불가능한거 증명해서 교내 수학소논문 대회 나가서 상탔던기억이 새록새록 나네요. 그거말고도 타이키곡선? 다타키곡선이랑 플랑망제함수도 있었던것같은데 ㅎㅎ 무슨 바이어슈트라우스 m 판정법이였나? 그거 써서 증명 했던것 같은데 벌써 2년전이라 기억이 가물가물..ㅠㅠ 은상탔는데 금상은 중심극한정리 증명한애한테 밀려서..가우스적분 뭔소린지ㅡㅡ
저정도면 영재고 아닐까요 ㄷㄷ
타카기 곡선 = 플랑망제 함수
@@park3617 막 한과영이나 설곽, 경곽같은 영재고 중에서도 top클래스 일듯요
아...그런데 "직관"에 대해서 제가 감명깊게 읽었던 어느 수학자의 명언이 있는데 누군가인지 생각이 안나네요..
그 분이 말하길..
"흔히들 사람들이 대충 그렇지 않을까? 추측해놓고 직관이라 쉽게 얘기하는데, 그건 추측일 뿐 절대 "직관"이 아니다. 진정한 직관이라함은 그 명제가 참임을 증명하는 그 과정들이 너무도 빠르게 머리속에 떠오르고 정리되어 결론에 도달하는 것. 그래서 다른 사람들이 보았을 때 마치 중간 과정을 건너뛴 것 처럼 보이는 것. 이것이 진정한 수학자의 직관이다."
이런 맥락의 말을 했는데 전 이 말을 듣고, 너무 "직관"이란 단어를 오용하고 있구나라고 느꼈거든요~혹시 이게 누가한말인지 아시는 분이 계실라나요? 너무 감명 깊었는데 누가 한말이였는지는 찾을 수가 없네요..ㅠㅠ
Ergodic theory도 다뤄주실 수 있나요? 간곡히 부탁드립니다 ㅠㅠ
모든 유리수에서는 0이고 모둔 무리수에는 1인 함수를 적분시키면 그냥 y=x나올라나?
그러면 저 함수의 그래프는 어떤 구간을 잡아도 그 구간 안의 그래프가 그리는 길이가 항상 무한인가요??
무슨 말인지 이해하기 힘들지만 마지막에 차가운 머리와 뜨거운 가슴을 가진 사람만이 진정한 수학자가 될 수 있다 라는 맥락의 말은 참 와닿네요. 수학 뿐만 아니라 다른 수많은 분야에서 성공하려면 갖춰야할 자세 아닌가 싶습니다.
y=f(x) 꼴을 띄는 연속함수의 갯수는 무한하지만, 하나의 집합을 이룰 수 있겠죠. 그렇다면 그 중 연속하지만 미분 불가능한 함수 역시도 무한할 것인데, 그 갯수와 미분 가능한 함수의 갯수를 비교할 수 있나요? 아직까지는 비교할 수 없더라도, 먼 미래에 비교할 수 있게 될 수 있다고 보시나요?
그 농도가 무엇인지는 정확히 모르지만 형식 상 일치하기 때문에 농도가 같으므로 두 집합의 농도는 같을 것 같습니다.
1. y=x (x는 유리수)
2. y=0*x (x는 무리수)
이 함수는 어떤가요?
첫번째는 연속이 아니자나요
너무 신기하네요 어떻게 수학자들은 저런 함수를 발견할수잇는지 잘 이해하기어렵네요 직관적인게 상식같지만 항상 예외가 존재한다는걸 느꼇습니다
실제로 무리수, 허수만 해도 직관에는 벗어나 있죠
ㄹㅇ 자기 귀찮을때만 직관 찾음
자유로워야 된다면서 동시에 기존 틀을 벗어나면 싫어함(크로네커 등)
함수보고 소리의 파형을 함수로 나타낸거 같다는 생각이 드네요.
소리의 진동수가 실수(?)로 표현 될 수 있고 진동의 고저 사이가 일정한 곡선이 아니고 무한히 진동하는 형태라고도 생각할 수 있을 거 같아요....
어쩌면 직관적 이해는 머리로 이해할려고 시도한게 아니라 눈으로 이해할려고 한게 아닐까요
사실은 머리로 이해해야 하는데
그게 안되니 미친척하고 막 머리가 거부하는거죠
오늘 영상 잘 보았습니다
허억 스읍... 대박... 저게 최초의 프랙탈이구나!!!!
저 처음 퀴즈에서 그래프 상상했을때 그냥 수직선 생각했어요...ㅋㅋㅋㅋㅋ;;;; 변화율만 없으면 되는줄알았어요...ㅋㅋ
그거는 미분계수가 0아님?
@@fortracyhyde_ ㄴㄴ 미분계수 무한대인대다가 하나의 x값에 무한한y값 대응되서 함수도 아님
@@푸켸 x축과 평행한 직선을 말하는거같아요
@@김영래-g3n x축과 평행한 직선 생각했던 거 맞아요 ㅋㅋ 제가 미적분 잘 모르거든요 ㅋㅋ 근데 미분계수가 그게 0이었던 것 같긴 해요 ㅋㅋ 기억 잘안남ㅋㅋ
각이 무한개인 원을 생각했는데 생각해보니 함수가 아님ㅠㅠㅠㅠㅠ
그걸 정사영 시키면 사인이나 코사인이 나오겠죠!!
곡률이 있는 원은 미분이 가능합니당
y=√(1-x^2) 반원 함수
리차드 파인만인가? 시인들이 과학자들을 보며 '과학자들은 이렇게 아름다운 꽃을 보면서 과학자들은 꽃술이 몇개니 세포조직이 어떻니 말하는것을 보면 안타깝다'고들 많이 이야기 하는데 과학자인 그도 꽃의 아름다움쯤은 감상할 수 있다고 말하며 오히려 아름다움도 볼수 있고 과학적인 관찰도 할수있는 것이 더 좋다고 말하는것을 책에서 본 기억이 나네요. 수학자나 과학자는 시인이 될수 있지만 반대는 될수 없죠.
혹시 4:10 이후에 나온 수학자들 이름 정확히 알 수 있을까요ㅠㅠ
Gauss
Jean gaston darboux
Takagi Teiji
Liu wen
재미지다
시그마가 들어가는 식이라 끊어지는 느낌이 들어서 미분 불가할 거라는 느낌은 드는데 이게 연속이라는 것이 상상이 안 되네요.
분필이랑 분필홀더 뭐 쓰시는지 알려주세요 ㅎㅎ
시인의 기질을 갖추지 못한 수학자는 완벽한 수학자가 될 수 없다는 의미는 사실 좀 더 생각해보면 직관을 버릴 수 있어야만 제대로 수학을 할 수 있다는 의미인 것 같습니다. 직관에 얽매이면 상상력의 지평을 넓히는 게 불가능하거든요. 제가 그래서 잘 압니다. 직관에 얽매여서 상상력이 부족한 사람이 바로 접니다.
이 얘기를 쌤의 언어로 다시 풀이해 보면 이렇게 되겠네요. 냉철한 펜이 만들어내는 결과를 직관의 틀로 가두지 않을 수 있는 상상력이 있어야 훌륭한 수학자가 될 수 있다는 뜻이 되겠죠. 뭐.. 저의 이 표현 자체가 사실은 인문학적 직관에 의한 표현이긴 합니다만....
해석학 내용 더 올려주세요! ㅎㅎ
씨. 당신이 아름답고 당신은 가장 아름다운 😆😘
7:22 그게전데요 이해가안가면 야마가돌더라구요 ?
5:17 에 파이가 무슨뜻인가요??
중복순열입니다.
시그마 같은 기호인데 곱하라는 뜻이에요 파이(i=0~n)ai = a1×a2×a3×a4×...×an
그래프 그려보고싶은데
어느 사이트에서 그리셨나요 지오지브라 desmos 다 찾아봤는데 ∞가 없거나 시그마가없어요
Continuity does not imply derivativable but derivativable implies continuity.
와 이런분이 나 고딩때만이라도 있었으면 내가 고딩때 했던 고민이 쓰잘데기 없는게 아니라는걸 알았을텐데..
a^x=N 일때 log_(a)N=x 라고 배우고 a>0일때만으로 한정한다고 해서 선생님한테 질문했죠 (-2)^3=(-8)이니까 log_(-2)-8=3 이라고 해도 되는거 아니냐고... 그때 너는 꼭 쓸데없는 질문만 한다고 쳐다보시던 선생님;; 대학에 오고나서야 알게 됐습니다 그런 질문은 절대로 쓸데없는 질문이 아니라는걸요...
멍리마 저도 중학교때부터 그런 질문들에 비슷한 답변을 받다보니 나중에는 포기하게되더군요
한 점에서 연속의 정의가 극한값과 함수값이 같은 것일텐데, 극한값을 어떻게 계산하는지 감조차 안 오는군요.
일단은 연속함수의 성질에의해 연속임이 자명해서 그냥 대입하면됩니다
간단하게 만든 형태는 구하지 말기로 합시다! ㅋㅋ
몇몇 선생님, 조교님들이 무심코 던졌던 말에 틈틈이 궁금해했던 내용인데 이렇게 소개 받으니 좋네요 좋은 영상 감사합니다!
오.. 제시된 함수들이 표시하는 선들이.. 뭔가.. 주식시장 시세변동 그래프 같네요..
과거에 연속함수의 미분 가능한 점의 개수는 적어도 한 개 이상이다를 정리로 받아들였다고 하셨는데.... 그럼 엄밀한 증명도 없이 정리로 받아들였단 뜻인가요??
저 함수보면 생각 못했을 법도 할거 같습니다
와 너무 신기하다.
신기하당