Очень долго пытался понять почему скалярное произведение вектора [x y z] с вектором р^ = объему параллелепипеда этого вектора с векторами v^ и w^ . А оказалось все просто Объем параллелепипеда = Площадь нижнего четырехугольника (то есть длина вектора p^) * на высоту (то есть проекцию вектора [x y z] на вектор p^) Другими словами это то же самое что найти скалярное произведение двух векторов p^ и [x y z] надеюсь это кому то поможет лучше понять в чем геометрический смысл векторного произведения. Если вам сложно осознать что происходит в этом уроке, просто пересмотрите пару раз прошлое видео, видео с детерминантом и видео с вычислением дот продукта(скалярного произведения векторов), мне хватило пересмотреть всего пару раз :)
Можно так же добавить, что вектор X мы в итого выбираем таким, что бы он был сонаправлен с P и имел единичную длину. Так что бы скалярное произведение P c X просто равнялось длине P. А в матрице на месте базисных векторов i, j, k можно поставить просто числа, равные координатам вектора X, такого что бы длинна его равнялась одному, а положение было перпендикулярно основанию параллелограмма на векторах V и W, тогда происходит переход из размерности площади в размерность объема, но не изменяется само значение.
Я никогда еще так не понимал и не ощущал, как понимаю и ощущаю сейчас. Не стоит вообще париться о скалярном и векторном произведениях. Думайте о дуальности и том, что у вас получится в конце, если вы тем или иным образом будете перемножать те или иные объекты. Весь вопрос, который здесь решался не требует ни корки тригонометрии и мыслей о проекциях, просто думайте о трансформациях, они отвечают на все вопросы.
Я понял как связаны х,у,z и вектор P, но я не понял почему мы вставляем в первый столбец i,j,k. Каким образом через введение x,y,z объясняется использование i,j,k? Это нужно просто чтобы задать вектор P через базисы и все?
Конкретно тут пришлось повозиться. Понятно, что существует некоторое число и ему соответствует некоторое скалярное произведение, которое наглядно из соображений дуальности и проекций. Но дальше потребовалось аккуратно доказать, что этот вектор, на видео красный, скалярно перемноженный на один из трёх векторов (на видео белый) действительно перепендекулярен и действительно равен площади основания параллелепипеда.
Данные видео - это лишь доказательство на пальцах, почему формулы векторного и скалярного произведения так выглядят. А комбинации, похожие на векторные и скалярные произведения, встречаются везде - например, при описании силы, действующей на движущийся заряд в магнитном поле: F=q*[VxB] - вот тебе и векторное произведение в жизни
@@ИванЕвдокимов-л6ь не понял смысла информации из видео и что она доказывает, он проецирует вектор (x,y,z) на перпендикуляр к плоскости v,w и получает вектор р(который можно найти только вычислительно, так как x,y,z нам не известны). Векторов(x,y,z) которые находятся на этой проекции с "высотой" равной площади параллелограмма бесконечное множество и может подойти любой из них. Раз 5 пересмотрел, но все равно не дошло. Или это объяснение почему объём параллелепипеда это площадь основания на высоту, а не на "диагональ"?
@@lupapupa1376 вот, смотри: Справа у нас стоит объем параллелепипеда (по геометрическому определению детерминанта). Объем любого параллелепипеда равен "основание на высоту". Слева же у нас стоит скалярное произведение. Скалярное произведение по определению это "взять проекцию первого вектора на второй, а затем перемножить её на длину второго". Стоит вопрос: "какой выбрать вектор p, чтобы получить численно объём параллелепипеда?". Всё просто! Берём вектор, перпендикулярный к плоскости на которой живут вектора v и w. Тогда проекция на него вектора xyz будет высотой параллелепипеда. И затем масштабируем этот перпендикулярный вектор так, чтобы он был по длине как площадь основания. Тогда скалярное произведение p на xyz будет равно. 1) берём проекцию xyz на p (получаем высоту). 2)умножаем её на длину вектора p (площадь основания). Получаем объем параллелепипеда. Вот так.
Добрый день, очень простыми словами объясняться сложные вещи! Здесь ошибка в скобках с J-шапкой, необходимо поменять местами слагаемые т.е J(v1w3-v3w1)
Здравствуйте, меня тоже ето смутило, но только что смог розобраться. Дело в том что знак J-шапки должен по идее быть минус, но автор захотел для красоты чтобы визде были плюсы. Тоесть он поменял знак перед J и поменял местами слогаемые. Надеюсь теперь вам и всем остальным станем ето ясно!
@@АртемТимощук-у1ф Правильно ! В данном случае производится вычисление дискриминанта "разложением по столбцу" - а там знак алгебраического дополнения должен периодически меняться.
Очень много ошибок в переводе, это правда. Dot product - скалярное произвеление, а не точечное! В видео про скалярное произведение это меня бесило. Хорошо, что в следующих все нормально в этом плане. Но все еще: какие ай с шапкой и джей с шапкой? Это же просто базисные вектора, орт i (читается: "и") и орт j (читается: "жи")! Это школьная математика.
@@pavelgrishin да, верно. With hat добавляется самим 3b1b, чтобы отличать орт i и орт j от обычных переменных. В русском варианте нет смысла в таких действиях - ведь у нас они называются не просто и и жи, а ОРТ и и ОРТ жи. Так что здесь добавлять каждый раз "с крышечкой", "с домиком", "с шапочкой" не нужно.
![[Calculus | глава 8] Интегрирование и основная теорема матанализа](/img/n.gif)
Да это жестко
Это лучшее объяснение линейной алгебры, спасибо вам за перевод
ничерта не понял, но ощущаю красоту :)
Очень долго пытался понять почему скалярное произведение вектора [x y z] с вектором р^ = объему параллелепипеда этого вектора с векторами v^ и w^ . А оказалось все просто
Объем параллелепипеда = Площадь нижнего четырехугольника (то есть длина вектора p^) * на высоту (то есть проекцию вектора [x y z] на вектор p^)
Другими словами это то же самое что найти скалярное произведение двух векторов p^ и [x y z]
надеюсь это кому то поможет лучше понять в чем геометрический смысл векторного произведения. Если вам сложно осознать что происходит в этом уроке, просто пересмотрите пару раз прошлое видео, видео с детерминантом и видео с вычислением дот продукта(скалярного произведения векторов), мне хватило пересмотреть всего пару раз :)
наконец то я перестал понимать эту серию уроков. а то уже начал верить в то что я умный
Тяжело, но вроде понятно. Ладно, иду смотреть дальше, но видимо скоро уже придется ставить на паузу и думать
Можно так же добавить, что вектор X мы в итого выбираем таким, что бы он был сонаправлен с P и имел единичную длину. Так что бы скалярное произведение P c X просто равнялось длине P. А в матрице на месте базисных векторов i, j, k можно поставить просто числа, равные координатам вектора X, такого что бы длинна его равнялась одному, а положение было перпендикулярно основанию параллелограмма на векторах V и W, тогда происходит переход из размерности площади в размерность объема, но не изменяется само значение.
лучше не добавлять
Концепция изменения базиса реально важна не только в линейной алгебре)
В политике тоже
Я никогда еще так не понимал и не ощущал, как понимаю и ощущаю сейчас. Не стоит вообще париться о скалярном
и векторном произведениях. Думайте о дуальности и том, что у вас получится в конце, если вы тем или иным образом будете перемножать те или иные объекты. Весь вопрос, который здесь решался не требует ни корки тригонометрии и мыслей о проекциях, просто думайте о трансформациях, они отвечают на все вопросы.
Я понял как связаны х,у,z и вектор P, но я не понял почему мы вставляем в первый столбец i,j,k. Каким образом через введение x,y,z объясняется использование i,j,k? Это нужно просто чтобы задать вектор P через базисы и все?
Вау, я наконец-то поняла
и что поняла?
@@vladoriginkos что вектор это направленный отрезок
@@404Negative
Так, вижу, что ты не тот пользователь, что оставлял комент. Это ты иронизируешь её слова или.. что?
Конкретно тут пришлось повозиться. Понятно, что существует некоторое число и ему соответствует некоторое скалярное произведение, которое наглядно из соображений дуальности и проекций.
Но дальше потребовалось аккуратно доказать, что этот вектор, на видео красный, скалярно перемноженный на один из трёх векторов (на видео белый) действительно перепендекулярен и действительно равен площади основания параллелепипеда.
тут уже поплыл
жОстко!
Одно непонятно по итогу этих двух видео. С какой целью вообще это все используется, для чего?
Данные видео - это лишь доказательство на пальцах, почему формулы векторного и скалярного произведения так выглядят. А комбинации, похожие на векторные и скалярные произведения, встречаются везде - например, при описании силы, действующей на движущийся заряд в магнитном поле: F=q*[VxB] - вот тебе и векторное произведение в жизни
@@ИванЕвдокимов-л6ь не понял смысла информации из видео и что она доказывает, он проецирует вектор (x,y,z) на перпендикуляр к плоскости v,w и получает вектор р(который можно найти только вычислительно, так как x,y,z нам не известны). Векторов(x,y,z) которые находятся на этой проекции с "высотой" равной площади параллелограмма бесконечное множество и может подойти любой из них. Раз 5 пересмотрел, но все равно не дошло. Или это объяснение почему объём параллелепипеда это площадь основания на высоту, а не на "диагональ"?
@@lupapupa1376 вот, смотри:
Справа у нас стоит объем параллелепипеда (по геометрическому определению детерминанта).
Объем любого параллелепипеда равен "основание на высоту". Слева же у нас стоит скалярное произведение. Скалярное произведение по определению это "взять проекцию первого вектора на второй, а затем перемножить её на длину второго". Стоит вопрос: "какой выбрать вектор p, чтобы получить численно объём параллелепипеда?". Всё просто! Берём вектор, перпендикулярный к плоскости на которой живут вектора v и w. Тогда проекция на него вектора xyz будет высотой параллелепипеда. И затем масштабируем этот перпендикулярный вектор так, чтобы он был по длине как площадь основания. Тогда скалярное произведение p на xyz будет равно. 1) берём проекцию xyz на p (получаем высоту). 2)умножаем её на длину вектора p (площадь основания). Получаем объем параллелепипеда. Вот так.
@@ИванЕвдокимов-л6ь и всё?
В компьютерной графике это все используется на полную катушку. Без линейной алгебры не было бы никаких игрушек и фильмов с cg.
Добрый день, очень простыми словами объясняться сложные вещи! Здесь ошибка в скобках с J-шапкой, необходимо поменять местами слагаемые т.е J(v1w3-v3w1)
Здравствуйте, меня тоже ето смутило, но только что смог розобраться. Дело в том что знак J-шапки должен по идее быть минус, но автор захотел для красоты чтобы визде были плюсы. Тоесть он поменял знак перед J и поменял местами слогаемые. Надеюсь теперь вам и всем остальным станем ето ясно!
@@АртемТимощук-у1ф Правильно !
В данном случае производится вычисление дискриминанта "разложением по столбцу" - а там знак алгебраического дополнения должен периодически меняться.
*детерминанта@@AndreyPorfirev1977
area = площадь!!! а не область!!! Ну сколько можно уже?
Очень много ошибок в переводе, это правда. Dot product - скалярное произвеление, а не точечное! В видео про скалярное произведение это меня бесило. Хорошо, что в следующих все нормально в этом плане. Но все еще: какие ай с шапкой и джей с шапкой? Это же просто базисные вектора, орт i (читается: "и") и орт j (читается: "жи")! Это школьная математика.
@@andreyfom-zv3gp ну по английски так и звучит I with hat. Американцы они как щеночки, бегающие на лугу или как чукчи, что видят - то и поют
@@pavelgrishin да, верно. With hat добавляется самим 3b1b, чтобы отличать орт i и орт j от обычных переменных. В русском варианте нет смысла в таких действиях - ведь у нас они называются не просто и и жи, а ОРТ и и ОРТ жи. Так что здесь добавлять каждый раз "с крышечкой", "с домиком", "с шапочкой" не нужно.
@@pavelgrishinчушь какую-то сказал непонятно ради чего
Про перевод я не спорю, ошибки есть
@@pavel_zenin учи матчасть
Все, я дальше не понимаю
Понял только когда 4й раз пересмотрел
Походу я тупой
Если ты понял, хоть с какого-то раза, то ты НЕ тупой. Я лично все еще плаваю, пойду на 6-ой круг)
@@normal3734 Удачи тебе, т.к. эта херня не легко понимается