1. Шрифт смотрится отлично. 2. Очередная классная задача развивающая геометрическое мышление, впрочем как и весь ваш материал на канале. Досторить паралельную сторону к АВ лучшее решение, и ответ сразу виден. 3. Спасибо за знания!
Вот еще идея. Трапеция равнобедренная, значит вписанная, угол АСД прямой, значит АД - диаметр, АВ = ВС = СД, значит равные хорды, значит центральные углы, равны, т.е., если провести радиусы к центру окружности, он же середина АД, то получим 3 равных равносторонних треугольника, площадь одного из них равна половине АСД и равна 4
А можно и вовсе заключить, что раз угол С прямой, а боковые стороны равны меньшему основанию, то это половина правильного шестиугольника, а дальше элементарно
Способ 1. Проводим СК параллельно АВ, обозначаем все углы и приходим к выводу, что внешний угол СКD=СDК=90-@=2@, откуда @=30° Тогда СК - медиана и площадь жёлтого равна половине зелёного, ответ 12 Способ 2. Продлить АВ и СД до пересечения в точке Р и заметить, что биссектриса является ещё и высотой. Тогда ВС - медиана в тр-ке АРС, а площади АРС и АСД равны.
Чуть иначе решал. Сместил сторону CD влево, до совмещения С и В. Очевидно (из равнобедренности АВС и перпендикулярности высоты основанию), что АС будет разделена смещённой CD ровно пополам. Но тогда и высота АВС будет вдвое меньше, чем CD. А поскольку высота АВС бполучается вдвое меньше, чем высота ACD (при равном основании), то и площадь будет вдвое меньше.
Провёл вторую диагональ. От точки пересечения опустил перпендикуляр на сторону АД, она же и медиана. Получил 4 равных треугольника, а значит основание нижнее в два раза больше основания верхнего. Тогда и площадь жёлтого в два раза меньше зелёного. Итоговая площадь 12. А ещё можно продлить стороны до трапеции и получим равносторонний треугольник. В него вписана окружность у которой куски диагоналей той частью что перпендикулярна сторонам являются радиусами.
@@GeometriaValeriyKazakov решил, что раз трапеция равносторонняя то пересечения диагоналей будет в середине и опуская с точки их пересечения перпендикуляр он будем для основания АД и медианой.
Для наглядности опишем окружность. Углы трапеции -- 60° и 120°. Достроим до равностороннего треугольника. Зеленая =1/2 от треугольника, а дополняшка =1/4. Желтая =1-1/2-1/4=1/4=4 ед. Ответ:12
Углы альфа равны потому что равнобедренный. И САД тоже альфа, потому что накрест лежащие. Проводим СМ (где М медиана на гипотенузе прямоугольного прямоугольника). А это сразу АМ=СМ=ДМ. АМ=СМ, значит треугольник равнобедренный, значит АСМ тоже альфа. Накрест лежащие углы равны, значит, АВ параллельна СМ. Значит АВСМ - ромб. Все стороны равны. И треугольники равны. Значит, и площади их равны. Медиана делит треугольник на два равновеликих, значит площади эти тоже равны. Получается три равные площади, две из которых равны 8, значит, втроём 12.
По моему все просто, острые уголочки в равнобедренном треугольнике 30 градусов. А в большом прямоугольном- 30 и 60. Поскольку АВС состоит из двух прямоугольных с площадью в 4 раза меньшей, чем у треугольника АСD, площадь равнобедренного в два раза меньше площади прямоугольного. Т.е площадь трапеции в 1.5 раза больше 8-и, 12- ответ.
Из всего выходит, что мы, в своих решениях не можем принимать на веру ни одной геометрической теоремы, их всегда нужно доказывать, причём в общем виде?
Провести AM||CD до пересечения с BC. Получившийся треугольник будет равен ACD, по катету и острому углу, т.к. AM=CD и равны накрест лежащие углы. В тр. AMC, AB это медиана (доказывается через равенство AM=AB=BC). Медиана делит площадь AMC пополам, значит S(ABC)=4 S(abcd)=8+4=12
не понял зачем проводить медиану, после того как нашли соотношения оснований? есть площади треугольников с общей высотой относятся друг к другу так же как их основания
я продлил стороны трапеции, получился равнобедренный треугольник AED, площадь ACD половина большого треугольника, оттуда и площадь AED 16. Площадь BEC будет 1/4 AED, то есть 4, оттуда и площадь трапеции 16-4=12
Решается проще, чем репу парить! Налицо равнобедренная трапеция, которая "сделана" путём "обрезания" равностороннего треугольника по средней линии, площадь которого равна 1/4 площади треугольника, то есть 4, а площадь всего треугольника, равна 16, значит площадь всей трапеции равна 16-4=12, а площадь её жёлтой части равна 12-8=4. Я, даже подобия не рассматривал, всё очень очевидно даже без дополнительных геометрических построений!
супер-задача)) я сначала усмотрел тригой - и решил даже не выкладывать, неинтересно... а потом усмотрел другое... сейчас напишу ВС=а АС=в... опустим перп из В на АС (тчк О).. треуги ОВС и АСD подобны, там углы накрест лежащие равны... коэфф подобия 2, так как АС/ОС=2... тогда площади 1:4... тогда площадь ОВС =2... ответ 12
Ну, началось! Как это больше ничего не дано? Основания есть, их нужно найти. Дан угол между верхним основанием и диагональю, равный 90°. Дерзайте, или как сказано в Библии, ищите, да обряшете! А угол АВС=90°+2а, а в треугольнике АСD, угол АDС=2а, значит треугольник имеет гипотенузу, она же нижнее основание, в два раза больше боковой стороны, а вернее основание равно боковой стороне и тоже половине нижнего основания. За это время рассуждений, можно было решить кучу подобных задач путём геометрических построений, как то, продлить боковые стороны вверх до их стыковки в точке К, и увидим, что образовавшийся треугольник АКС является близнецом треугольника АСD, площадь которого равна 8, а верхнее основание, является медианой, которая делит треугольник АКС, пополам, то есть площадь треугольника АВС, равна 4, а площадь трапеции равна 8+4=12. Что не так?
Тебя, гляжу, как неуча переклинило! Какое может быть логическое обоснование там, где проводят точные построения и измерения. Это тебе не преступления раскрывать где должны работать логика и психология, совместно с экспертизой. У нас преступления быстро раскрываются, кого застали, или кто сообщил сразу становятся первыми подозреваемыми, и осуждают их за чужие преступления, так как тётям и дядям на верху нужно быстрее. Тебе в этом примере разжевали всё что жуётся, даже медиану провели равностороннего треугольника, которая является диагональю равнобедренный трапеции, а верхнее основание это средняя линия равностороннего треугольника, которая делит его на части, в соотношении 1/3, при общей площади 4, то есть в трапеции ровно 3 таких треугольника, а это значит, что диагональ делит трапецию на части, соотношение которых 1/2. Это не логика, а геометрия!
@@МладшийЛейтенант-в8и Не, ето раньше случилось. Не то древние греки с индусами, не то египтяне - точно не помню. Но если хочешь могу для тебя их и Казакова рассуждения повторить. По условию ВС=СД. Также если у нас по условию угол АСД прямой, то точка К медианьі, проведенной из вершиньі прямого угла к гипотенузе, является центром описанной вокруг треугольника АСД окружности. => Отрезок КД есть радиус и равен КС. Казаков установил(и я с ним согласен) что если по условию АВ=ВС, то угльі при вершинах А и С треугольника АВС равньі и угол САД также равен углам А и С.(как накрест секущий) По свойству равнобедренной трапеции угол ВАД равен углу АДС. Угол АДС равен двум углам ВАС(назовем его @) и двум углам САД. Таким образом имеем следующее: в прямоугольном треугольнике АСД, угол при вершине А равен @, при вершине Д равен 2@. По свойству треугольника(в нашем случае прямоугольного) @+2@+90 = 180 градусов. 3@=90 градусов. => @=30 градусов, 2@=60 градусов. По свойству прямоугольного треугольника(ето уже древние индусьі доказали - стопудово) катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине его гипотенузьі. Т.е. в нашем случае СД = 0,5 АД прямоугольного треугольника АСД. Но по условию СД=ВС, следовательно верхнее основание ВС равнобедренной трапеции АВСД, равно половине нижнего основения АД Или АД=2ВС чтд.
Написал ответ,но я его не вижу. Угол А состоит из двух равных уголков(это нужно доказывать?)в сумме с углом С он составляет 180°(это нужно доказывать?)убираем прямой угол АСD,остаётся 90° Три равных угллочка в сумме дают 90°. Что ещё нужно доказать? Казаков
@@Артьомдругартем Надо выбрать порядок сортировки "сначала новые" тогда будет все видно. Угол А трапеции равен двум углам А: угол треугольника ВАС плюс с угол треугольника АСВ Что еще нужно доказьівать? Докажи что квадрат, построенньій на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенньіх на его катетах
1. Шрифт смотрится отлично.
2. Очередная классная задача развивающая геометрическое мышление, впрочем как и весь ваш материал на канале. Досторить паралельную сторону к АВ лучшее решение, и ответ сразу виден.
3. Спасибо за знания!
Вот еще идея. Трапеция равнобедренная, значит вписанная, угол АСД прямой, значит АД - диаметр, АВ = ВС = СД, значит равные хорды, значит центральные углы, равны, т.е., если провести радиусы к центру окружности, он же середина АД, то получим 3 равных равносторонних треугольника, площадь одного из них равна половине АСД и равна 4
А можно и вовсе заключить, что раз угол С прямой, а боковые стороны равны меньшему основанию, то это половина правильного шестиугольника, а дальше элементарно
Ваше решение - это просто праздник какой-то!
Нашла Sтрап. как площадь половины правильного шестиугольника.
Обычно учитель ставит оценки за решение. Ведь решения могут быть и плохие.
Способ 1. Проводим СК параллельно АВ, обозначаем все углы и приходим к выводу, что внешний угол СКD=СDК=90-@=2@, откуда @=30°
Тогда СК - медиана и площадь жёлтого равна половине зелёного, ответ 12
Способ 2. Продлить АВ и СД до пересечения в точке Р и заметить, что биссектриса является ещё и высотой. Тогда ВС - медиана в тр-ке АРС, а площади АРС и АСД равны.
Чуть иначе решал. Сместил сторону CD влево, до совмещения С и В. Очевидно (из равнобедренности АВС и перпендикулярности высоты основанию), что АС будет разделена смещённой CD ровно пополам. Но тогда и высота АВС будет вдвое меньше, чем CD. А поскольку высота АВС бполучается вдвое меньше, чем высота ACD (при равном основании), то и площадь будет вдвое меньше.
Провёл вторую диагональ. От точки пересечения опустил перпендикуляр на сторону АД, она же и медиана. Получил 4 равных треугольника, а значит основание нижнее в два раза больше основания верхнего. Тогда и площадь жёлтого в два раза меньше зелёного. Итоговая площадь 12.
А ещё можно продлить стороны до трапеции и получим равносторонний треугольник. В него вписана окружность у которой куски диагоналей той частью что перпендикулярна сторонам являются радиусами.
Почему диагональ?
@@GeometriaValeriyKazakov решил, что раз трапеция равносторонняя то пересечения диагоналей будет в середине и опуская с точки их пересечения перпендикуляр он будем для основания АД и медианой.
Режем правый треугольник параллельно левой стороне трапеции... Справа равносторонний, слева равный жёлтому и все они равны по площади. 12
АД=2ВС
КТО доказал, Казаков?
@МладшийЛейтенант-в8и
Я ролик не смотрел. Медиана равна половине гипотенузы ;)
@@ОлегКозловский-о8е
С чего бы СК||АВ будет медианой?
Провести перпендикуляр BO к AC. Треугольники BOC и ACD подобна с коэффициентом подобия 2. Значит , площадь ABC=4, и вся трапеция 12
Для наглядности опишем окружность. Углы трапеции -- 60° и 120°. Достроим до равностороннего треугольника. Зеленая =1/2 от треугольника, а дополняшка =1/4. Желтая =1-1/2-1/4=1/4=4 ед.
Ответ:12
Приятная задача. Трапеция, скорее классич. стандарт. Пожалуй, устная. АС--биссект.(св-во), а раз ВАС=ВСА=САД=а, ВАД=СДА=2а, сл-но, СДА=60(!). СД=ВС=1/2АД. Sabc=1/2Sacd=4. Sabcd=12
Честно говоря, даже не смотрел на решение, только заставку - решил устно за 1 секунду....Теперь просмотрев, дописываю - без углов альфа...
Углы альфа равны потому что равнобедренный. И САД тоже альфа, потому что накрест лежащие. Проводим СМ (где М медиана на гипотенузе прямоугольного прямоугольника). А это сразу АМ=СМ=ДМ. АМ=СМ, значит треугольник равнобедренный, значит АСМ тоже альфа. Накрест лежащие углы равны, значит, АВ параллельна СМ. Значит АВСМ - ромб. Все стороны равны. И треугольники равны. Значит, и площади их равны. Медиана делит треугольник на два равновеликих, значит площади эти тоже равны. Получается три равные площади, две из которых равны 8, значит, втроём 12.
Проведём медиану
СК => СК=АК;
АСК=½АСД=4 равнобедренный с углами Альфа.
АВС=АСК=4;
АВСД=12
По моему все просто, острые уголочки в равнобедренном треугольнике 30 градусов. А в большом прямоугольном- 30 и 60. Поскольку АВС состоит из двух прямоугольных с площадью в 4 раза меньшей, чем у треугольника АСD, площадь равнобедренного в два раза меньше площади прямоугольного. Т.е площадь трапеции в 1.5 раза больше 8-и, 12- ответ.
Думаю, вы ошибаетесь. Задача очень сложная олимпиадная. Треугольник сам признался, что он равнобедренный? То-то и оно. (Бывает)
Дополнительное построение: ВМ⊥АС; СD=x.
S(1)=(1/2)*AC*CD; 8=(1/2)*AC*x; AC=16/x.
∆ ABC--равнобедренный, так как АВ=ВС; ВМ--высота и медиана этого треугольника;
АМ=СМ=(1/2)*АС; СМ=(1/2)*(16/х)=8/х. СМ=8/х.
⊿ ВСМ∾⊿ АСD (прямоугольные треугольники и ∠САD=∠BCM, как накрест лежащие при АD∥BC и секуще АС).
ВМ/СD=CM/AC; BM=(CM*CD)/AC; BM=((8/x)*x))/(16/x)=x/2; BM=x/2.
S(ABC)=(1/2)*AC*BM; S(ABC)=(1/2)*(16/x)*(x/2)=4. S(ABC)=4.
S(ABCD)=S(ABC)+S(1); S(ABCD)=4+8=12; S(ABCD)=12.
Ответ: S=12.
Решается устно.
Площадь зелёного тр--ка в 2 раза больше жёлтого.
АД=2ВС
КТО доказал, Казаков?
Такие очевидные вещи не надо доказывать.Угол при основании 60°,так как угол дополняющий равен 90+30.
@@Артьомдругартем
А 60° и 30° кто доказал, Казаков?
Из всего выходит, что мы, в своих решениях не можем принимать на веру ни одной геометрической теоремы, их всегда нужно доказывать, причём в общем виде?
Провести AM||CD до пересечения с BC.
Получившийся треугольник будет равен ACD, по катету и острому углу, т.к. AM=CD и равны накрест лежащие углы.
В тр. AMC, AB это медиана (доказывается через равенство AM=AB=BC).
Медиана делит площадь AMC пополам, значит S(ABC)=4
S(abcd)=8+4=12
не понял зачем проводить медиану, после того как нашли соотношения оснований? есть площади треугольников с общей высотой относятся друг к другу так же как их основания
У треугольников АВС и АСD равные высоты, у АВС основание в 2 раза меньше, значит, площадь АВС в 2 раза меньше площади АСD и равна 4, потом 4 + 8 = 12
АД=2ВС
КТО доказал, Казаков?
я продлил стороны трапеции, получился равнобедренный треугольник AED, площадь ACD половина большого треугольника, оттуда и площадь AED 16. Площадь BEC будет 1/4 AED, то есть 4, оттуда и площадь трапеции 16-4=12
А что ищем?
Классный прикол.😂
Решается проще, чем репу парить! Налицо равнобедренная трапеция, которая "сделана" путём "обрезания" равностороннего треугольника по средней линии, площадь которого равна 1/4 площади треугольника, то есть 4, а площадь всего треугольника, равна 16, значит площадь всей трапеции равна 16-4=12, а площадь её жёлтой части равна 12-8=4. Я, даже подобия не рассматривал, всё очень очевидно даже без дополнительных геометрических построений!
S=12. Построил параллелограмм внутри трапеции, который оказался ромбом, ну а дальше - дело
техники. Неизвестная часть = 4. Ответ: 12.
АД=2ВС
КТО доказал, Казаков?
супер-задача)) я сначала усмотрел тригой - и решил даже не выкладывать, неинтересно... а потом усмотрел другое... сейчас напишу ВС=а АС=в... опустим перп из В на АС (тчк О).. треуги ОВС и АСD подобны, там углы накрест лежащие равны... коэфф подобия 2, так как АС/ОС=2... тогда площади 1:4... тогда площадь ОВС =2... ответ 12
S acd=8=1/2h*2x=h*x
S abcd=3/2h*x=3/2*8=12
h- высота, опущенная из т.С
Спасибо.
Тонкий аккуратнее
Ну, началось! Как это больше ничего не дано? Основания есть, их нужно найти. Дан угол между верхним основанием и диагональю, равный 90°. Дерзайте, или как сказано в Библии, ищите, да обряшете! А угол АВС=90°+2а, а в треугольнике АСD, угол АDС=2а, значит треугольник имеет гипотенузу, она же нижнее основание, в два раза больше боковой стороны, а вернее основание равно боковой стороне и тоже половине нижнего основания. За это время рассуждений, можно было решить кучу подобных задач путём геометрических построений, как то, продлить боковые стороны вверх до их стыковки в точке К, и увидим, что образовавшийся треугольник АКС является близнецом треугольника АСD, площадь которого равна 8, а верхнее основание, является медианой, которая делит треугольник АКС, пополам, то есть площадь треугольника АВС, равна 4, а площадь трапеции равна 8+4=12. Что не так?
Excellent problem ❤
//
Половина комментаторов видит "очевидные" вещи без логического обоснования.
Ха-Ха-Ха
Что-то не так в консерватории, учитель.
//
Согласен. Тем более я провел предварительную работу вначале ролика
Неужели все надо разжевывать??
@@Артьомдругартем
Странно, Казаков со мной согласен. Неужели же вам всё нужно разжёвывать?
Тебя, гляжу, как неуча переклинило! Какое может быть логическое обоснование там, где проводят точные построения и измерения. Это тебе не преступления раскрывать где должны работать логика и психология, совместно с экспертизой. У нас преступления быстро раскрываются, кого застали, или кто сообщил сразу становятся первыми подозреваемыми, и осуждают их за чужие преступления, так как тётям и дядям на верху нужно быстрее. Тебе в этом примере разжевали всё что жуётся, даже медиану провели равностороннего треугольника, которая является диагональю равнобедренный трапеции, а верхнее основание это средняя линия равностороннего треугольника, которая делит его на части, в соотношении 1/3, при общей площади 4, то есть в трапеции ровно 3 таких треугольника, а это значит, что диагональ делит трапецию на части, соотношение которых 1/2. Это не логика, а геометрия!
@КонстантинВинников-р6б что--то не припомню,чтобы мы с вами свиней пасли.
Я за то,чтобы соблюдать приличия и не хамить незнакомым людям.
Да
S(ACD)=(2x*h)/2=xh=8
S(ABCD)=(x+2x)*h/2=3xh/2=3*8/2=12
Это решение после 3:00
S acd = (2x*h)/2 = 8; h acd = 8/х
S abcd = (x+2x)/2*h = (x+2x)/2*8/х = 3х/2*8/х = 3*4=12
АД=2ВС
КТО доказал, Казаков?
@@МладшийЛейтенант-в8и Не, ето раньше случилось. Не то древние греки с индусами, не то египтяне - точно не помню.
Но если хочешь могу для тебя их и Казакова рассуждения повторить.
По условию ВС=СД. Также если у нас по условию угол АСД прямой, то точка К медианьі, проведенной из вершиньі прямого угла к гипотенузе, является центром описанной вокруг треугольника АСД окружности. => Отрезок КД есть радиус и равен КС. Казаков установил(и я с ним согласен) что если по условию АВ=ВС, то угльі при вершинах А и С треугольника АВС равньі и угол САД также равен углам А и С.(как накрест секущий) По свойству равнобедренной трапеции угол ВАД равен углу АДС. Угол АДС равен двум углам ВАС(назовем его @) и двум углам САД. Таким образом имеем следующее: в прямоугольном треугольнике АСД, угол при вершине А равен @, при вершине Д равен 2@. По свойству треугольника(в нашем случае прямоугольного) @+2@+90 = 180 градусов. 3@=90 градусов. => @=30 градусов, 2@=60 градусов. По свойству прямоугольного треугольника(ето уже древние индусьі доказали - стопудово) катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине его гипотенузьі. Т.е. в нашем случае СД = 0,5 АД прямоугольного треугольника АСД. Но по условию СД=ВС, следовательно верхнее основание ВС равнобедренной трапеции АВСД, равно половине нижнего основения АД Или АД=2ВС
чтд.
Написал ответ,но я его не вижу.
Угол А состоит из двух равных уголков(это нужно доказывать?)в сумме с углом С он составляет 180°(это нужно доказывать?)убираем прямой угол АСD,остаётся 90°
Три равных угллочка в сумме дают 90°.
Что ещё нужно доказать?
Казаков
@@Артьомдругартем Надо выбрать порядок сортировки "сначала новые" тогда будет все видно.
Угол А трапеции равен двум углам А: угол треугольника ВАС плюс с угол треугольника АСВ
Что еще нужно доказьівать?
Докажи что квадрат, построенньій на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенньіх на его катетах
@Артьомдругартем
... угол А из равных уголков ...
Да, это непременно нужно указывать. И это, кстати, указал Казаков.