Super! Ich find dich tatsächlich noch besser als Daniel Jung ^^ Verständlich erklärt, ohne dabei zu stark zu vereinfachen und gute Beispiele, bei denen man sich wirklich was abschauen kann und nicht nur die ganz simplen Geschichten. Weiter so!
Habe das Integral mal in kartesischen Koordinaten vom PC berechnen lassen. Das gerundete Endergebnis war identisch, aber das Integral wäre gar nicht analytisch lösbar gewesen und wurde über unzählige Seiten von Substitutionen numerisch approximiert. Ich verstehe warum man die Koordinatentransformation durchführt. PS: Danke für deine Mühe
Klasse Video! Danke Dir! Trotzdem noch ein Punkt, den ich nicht verstehe: Wir wollen ja die Mantelfläche berechnen, ab der Polarkoordinatentransformation berechnen wir aber nur noch den Kreis(mti r
Genauso ist es, bei einer expliziten Form lässt du die x-Komponente x, die y-Komponente y und für die z-Komponente setzt du die Fläche ein, die sich durch den 3-dimensionalen Raum schlängelt. Sie findet sich dann wieder im Normalenvektor, dessen Länge integriert wird über die Grundfläche. Wenn du es verstehen willst, schau dir einfach die Einführungsvideos zu Oberflächenintegralen an. Wenn du es nur richtig rechnen willst, schau dir dieses Video hier an.
Interessant, wie oft die Worte schnell und Trick in deinen wunderbaren Videos vorkommen, es klingt als ob man im Studium ständig unter Zeitdruck steht und auf der Suche nach Magic ist...
danke fürs video. kleine frage noch... wenn wir n berechnen mit dem Kreuzprodukt, kommt die letzte Komponente nicht zu -1, sondern 1, weil 1*1-0*0=1, aber bei den trick ist es =-1, warum? was ist hier falsch?(5:28min)
In der Reihenfolge, wie ichs aufgeschrieben habe, müssten sich die Vorzeichen vom Normalenvektor ändern. Wie wir den Normalenvektor am Ende dann genutzt haben, ist also das Kreuzprodukt Fy x Fx. Ist im Grunde egal, nur ist am Ende die Interpretation "Fluss in Richtung des verwendeten Normalenvektors". Wenn wir den Vektor in anderer Richtung nehmen, ändert sich auch das Vorzeichen vom Endergebnis. Darum stimmt das Ergebnis schon eben "in Richtung des verwendeten Normalenvektors".
Das hab ich euch im Video zur Tangentialebene gezeigt: th-cam.com/video/KfcAZCzRXYk/w-d-xo.html in expliziter Form lautet sie nämlich z= f(x0,y0) + f_x(x0,y0)*(x-x0) + f_y(x0,y0)*(y-y0). Wenn du sie in Normalform bringst, also ax+by+cz=d, dann musst du ja das z auf die andere Seite ziehen, also -z rechnen. Der Faktor vor dem z = die letzte Komponente im Normalenvektor, ist also immer -1.
Ich versteh bei 9:31 nicht wie auf einmal die Polarkoordinaten mit den grenzen für r und phi entstehen, hast du eine Erklärung parat? Ansonsten super Video!
Weil x^2+y^2≤9 ein voller Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius 3 ist. Schau dir mal das Video zu Polarkoordinaten an: th-cam.com/video/4unatZKE5r8/w-d-xo.html
Ich habe ein ähnliches Problem nur dass meine Funktion y(x,z) lautet. Heisst mein Vektor dann (x , y(x,z) , z) ? oder soll ich die Funktion nach z umstellen und wie im Video vorgehen ?(also: (x , y , z(x,y)) )
Super video! Du kannst auch x oder y 0 setzen dann hast du einen schnitt z entlang. sqrt(9-x)= y Nun leite ich diese funktion ab und rechne die hypothenuse aus (graphenlänge für dx) und multipliziere die mit dem umfang an x. -> sqrt(1+y'^2)*2pi*y Das ganze inegriert von 0-9 und ich komme auf das selbe ergebnis.
Hey Lila Luke, danke für deinen Beitrag. Mir gefällt deine Idee! Warum nicht einfach für die Mantelfläche alle Kreisumfänge längs einer Schnittkurve aufaddieren. Genial :)
Ich habe leider beim Flächenberechnung mit Oberflächenintegral nicht verstanden wie man die Integral grenzen bildet. Mein Integrand ist einfach xy und die Ungleichung x^2+y^2 < 1. Kann mir einer erklären, wie ich dann die Integral Grenzen setzen muss?
Kannst du die genaue Aufgabe nennen? Bei der Flächenberechnung ist der Integrand immer 1. Wenn du einen anderen Integranden hast, wie zB xy, dann berechnest du was anderes. Vielleicht die Masse der Fläche oder Trägheitsmomente. Und die Fläche lautet x^2+y^2
@@MathePeter Hallo Peter Danke für die Antwort! Die Aufgabe: Sei E = {(x,y,z) element von R^3: x^2+y^2 < 1 , z= sqrt(x^2+y^2) Ich soll nun die Oberfläche von E berechnen, aber mit einer Parametrisierung von E in kartesischen Koordinaten (ich soll hier keine Polarkoordinaten verwenden) LG
Bei 5:40 sagst du dass man für die Berechnung der Masse für f die Dichteverteilung nimmt. Aber Dafür bräuchte man doch zunächst ein Volumen bzw. ein Dreifachintegral. Man kann ja nicht von einer Fläche zu einer Masse springen da das zwei zusätzliche Dimensionen sind
Auch Flächen und Kurven können eine Masse haben. Masse ist einfach nur die Summe der gewichteten Einzelteile. Im Spezialfall n=3 haben wir die Masse eines Volumens, wie wir es aus dem Physik Unterricht oder dem Alltag kennen.
Dass die z-Komponente eine -1 ist, folgt wenn du die Gleichung der Tangentialebene nach 0 umstellst: Du ziehst das z auf die andere Seite, indem du "-z" rechnest. Damit steht eine -1 vor dem z. Wenn du allerdings die Reihenfolge beim Kreuzprodukt umdrehst, ändern sich auch die Vorzeichen des Normalenvektos, sodass dann eben eine 1 dort steht. Zu 6:15: Ja immer eine 1, wenn du Länge, Fläche, Volumen der geometrischen Objekte berechnen willst. Hier natürlich insbesondere eine Fläche, weil ist ja ein Doppelintegral.
Danke für das tolle Video!😊😊😊😊 Aber da frag ich mich eines: ist es immer nötig det(Jacobi-Matrix) zu multiplizieren? Ich habe letztens ein Beispiel gerechnet, dort waren zwei Methoden möglich, die auf das gleiche Ergebnis kamen. Eine Methode mit und eine etwas andere Methode ohne die Multiplikation der Determinante. Wann genau muss man sie nun multiplizieren?🤔
Danke dir! :) Die Determinante der Jacobimatrix kommt immer dann, wenn du die Variablen veränderst. Hier von (x,y) zu (r,phi). Wenn du natürlich gleich von anfang an (r,phi) nimmst, brauchst du die Determinante nicht mehr multiplizieren, denn es werden ja keine Varibalen geändert. Den Weg bin ich im zweiten Teil gegangen: th-cam.com/video/VWNHSoFJrDo/w-d-xo.html Schaus dir mal an und sag mir deine Gedanken!
MathePeter was macht jetzt genau den Unterschied?Ob ich davor die Koordinaten ersetzte oder mitten drinnen, sollte doch irgendwie egal sein? Es wird doch beides mal nur x/y/z durch einen anderen Ausdruck ersetzt. Ich danke dir sehr für deine Zeit! Du hilfst mir extrem.
Wenn du die Variablen erst beim Integrieren ersetzt, muss die Determinante mit rein. Wenn du aber von Anfang an Polarkoordinaten verwendest, dann brauchst du während der Integration keine Transformation mehr. Die Determinante der Jacobimatrix ist nur wichtig, wenn du während einer Integration transformierst. Aber wie im zweiten Teil erwähnt: Das "r" kommt auf andere Weise ins Spiel: Wenn du von Anfang an mit Polarkoordinaten arbeitest, steckt das "r" direkt schon im Normalenvektor drin.
Herzlichen Dank für dieses Video! Das war super hilfreich. Ich habe noch eine kurze Frage: Du berechnest hier also ausdrücklich nur die Mantelfläche, i. e. ohne die Basisfläche, richtig? Wöllte man die gesamte Oberfläche des über F beschriebenen Körpers haben, so müsste man sicherlich zum Endergebnis noch (pi*r²)=(9*pi) hinzuaddieren? Oder habe ich einen Denkfehler? Besten Dank!
Der Normalenvektor (fx, fy, -1) kommt von der Tangentialebene ( th-cam.com/video/KfcAZCzRXYk/w-d-xo.html ), weil man das z auf die andere Seite bringt durch die Rechenanweisung "-z". Deshalb hat z als Vorfaktor die -1.
Das ist in Ordnung, es gibt nämlich immer 2 Normalenvektoren. Die unterscheiden sich grad im Vorzeichen. Bei Oberflächenintegralen 1. Art ist das sowieso egal, weil man den Betrag nimmt. Nur bei Oberflächenintegralen 2. Art (Flussintegralen) macht das einen Unterschied. Da spricht man dann vom "Fluss in Richtung des Normalenvektors". Wenn man das Vorzeichen von dem Normalenvektor ändert, hat dann natürlich auch das Ergebnis ein anderes Vorzeichen. Das ist auch vollkommen in Ordnung. Speziell bei geschlossenen Flächen hat man ausgemacht, dass der Normalenvektor immer nach außen zeigt.
Tolles Video! Eine Frage habe ich allerdings noch. Wenn ich den Bereich zu einer Kreisfläche ändere, wie kommt es dann, dass das Ergebnis des Integrals immer noch die Mantelfläche ist? Vielleicht stehe ich einfach nur gerade auf der Leitung, aber wie funktioniert das?
Die Mantelfläche wird nicht geändert. Nur von oben (aus z-Richtung) sieht es aus wie eine Kreisfläche. Wir schauen deshalb von oben drauf, weil die beiden Integrale nach x und y sind, die Variablen der Parametrisierung.
Gutes Video, danke. Allerdings hätte ich dazu noch eine Anmerkung. Bei Oberflächenintegralen ist der Vektor n eigentlich immer schon normiert definiert, also ein Einheitsnormalenvektor. Das könnte zu Verwirrungen führen, wenn man parallel mit Literatur arbeitet.
Das steht in jeder Literatur anders. Für Beweise nehme ich auch lieber den normierten, aber zum Rechnen lieber den nicht normierten. Macht das praktische Arbeiten angenehmer :)
Super erklärt, aber ich hätte noch eine offene frage. Wenn da jetzt zb noch ein f vor dem dO gegeben wäre (beispielsweise v=(0,x^2+z^2,0)^T)... wie geht man da vor? Danke im Voraus!
Wenn noch eine Funktion oder ein Vektor im Integranden stehen, machst du es, wie ich in 5:42 erklärt hab: einfach für jedes x die x-Komponente deiner Parametrisierung einsetzen, für jedes y die y-Komponente und für jedes z die z-Komponente der Parametrisierung.
@@MathePeter parametrisierung einer Mantelfläche eines Zylinders. Z={(x,y,z)€R^3/ x^2+y^2=r^2 und 0≤z≤0 Radius r steht fest. Bei uns ensteht durch die Ableitungen und dann das kreuzprodukt: (rcosφ, rsinφ, 0) Wollte hier dein Trick anwenden, dann ins polare umwandeln, doch bevor ich ins polare umgewandelt habe, kam die frage auf, was ich für die z Komponente benutzen sollte.
Der Mantelfläche Z={(x,y,z) ∈ ℝ³: x^2+y^2=R^2 und 0≤z≤h} hat die Parametrisierung F(φ,z)=(R*cosφ,R*sinφ,z). Die z-Komponente bleibt unverändert z. Die Variablen sind φ und z. Nach den beiden wird auch abgeleitet und von diesen Ableitungen das Kreuzprodukt gebildet ergibt (R*cosφ, R*sinφ, 0), wie du schon geschrieben hast. Der Normalenvektor ist also immer parallel zur x-y-Ebene bzw. steht in jedem Punkt senkrecht auf der z-Achse. Alles richtig, super!
Sehr cooles Video :) Hab da noch eine Frage: Du meintest, dass man wenn man keine 1 im Integral stehen hat sondern eine Dichteverteilungsfunktion, dass man die Masse ausrechnet. Ich dachte die Masse berechnet man mit dem Volumenintegral aus? Wäre es hier nicht logischer, dass man den Fluss oder Dichte des Flusses ausrechnet?
Danke dir :) Und ja, wenn dort nicht die 1, sondern die Dichte steht, kommt als Ergebnis eine Masse raus; eine flächenbezogene Masse. Wichtig wäre, dass du dein Verständnis von "Masse" verallgemeinerst. Die Masse eines Körpers ist das, was wir als erstes kennen lernen und was auch anschaulich ist. Dazu kommt jetzt, dass auch Kurven und Flächen eine Masse haben können. Nicht mehr wie wir es kennen im Sinne von "wie schwer ist es", sondern allgemein die aufsummierte Gewichtung mit der Dichte über das gesamte Objekt. Für einen Fluss brauchst du das Oberflächenintegral 2. Art und ein Vektorfeld, das "fließt", schau dafür mal hier: th-cam.com/video/-v79Y635CJk/w-d-xo.html
Echt klasse video bzw. udemy Kurs! Aber woher weiß man (habe ich mich generell bei Transformation zu Polarkoordinaten gefragt) wie rum nun die Integrale bzw differential sein müssen. Also warum ist außen phi und innen der Radius?
Danke dir! Wenn die Grenzen jeweils Konstante sind, ist die Reihenfolge egal. Ich habe aber auch eine richtig gute Aufgabe zu Gebietsintegralen, wo ein Zylinder eine Kugel durchstößt. Da kommt in den Radius Grenzen noch der Winkel phi drin vor. Das Integral mit Funktionen als Grenzen steht immer innen!
Lief echt ganz gut. Dafür, dass ich am Montag erst richtig angefangen habe zu lernen hat dein Kurs noch gut was aus mir rausgeholt. Vor allem kann ich den jetzt noch weiter benutzen weil wir jetzt Vektorfelder haben :)
Danke für das klasse Video! Eine Frage habe ich noch: Wie würde ich die Menge, über die ich integriere, parametrisieren, wenn diese nur implizit gegeben ist (z.B. x
Als wir das Volumen ausgerechnet haben und wir eine Transformation durchgeführt haben ist ja ein Verzerrungsfaktor aufgetaucht, passiert so etwas auch wenn man die Oberfläche berechnet und dann eine Transformation durchführt? Zum Beispiel wenn man x^2 +y^2< 1/4(6-z)^2 Parametrisieren will
Was genau meinst du mit dem Verzerrungsfaktor? Meinst du damit die Determinante der Jacobimatrix, die bei der Substitution entsteht? Das kommt nämlich tatsächlich fast immer vor.
Für die Mantelfläche einfach den "=" Fall betrachten, weil das der Rand des Körpers ist. Dann gibts auch nur noch 2 Variablen. Freut mich, dass du selbst drauf gekommen bist :)
Weil du nur in diesem Fall schreiben kannst "∫∫do". Also alle unendlich kleinen Flächenelemente aufsummiert und das über die gesamte Fläche, ergibt am Ende den Flächeninhalt. Wenn du das wirklich verstehen und nicht nur rechnen willst, dann schau dir mal das Einführungsvideo zu Oberflächenintegralen an: th-cam.com/video/M_0Y8I1oYUk/w-d-xo.html
hm seltsam, wenn ich aber das kreuzprodukt ausrechne F1x X F1y, dann komme ich zwar auf das gleiche wie beim Trick, aber genau mit umgekehrten Vorzeichen......Irgendwas hab ich falsch gemacht 🤔
Alles richtig! :) Wenn man beim Kreuzprodukt die Reihenfolge umdreht, ändert sich das Vorzeichen vom Vektor. Beide stehen ja senkrecht auf der Fläche, zeigen nur in unterschiedliche Richtungen. Bei Oberflächenintegralen 1. Art ist das egal, weil man ja eh den Betrag des Vektors nimmt. Bei Oberflächenintegralen 2. Art (Flussintegralen) ändert sich mit dem Vorzeichen die Flussrichtung. Wenn es nicht vorgegeben ist, ist das Vorzeichen vom Ergebnis auch nicht so wichtig, weil es ja eindeutig an deinen Normalenvektor gekoppelt ist. Nur bei geschlossenen Flächen, wie der Oberfläche einer Kugel, hat man allgemein abgesprochen, dass der Normalenvektor von der geschlossenen Fläche weg zeigen soll und nicht in den Körper hinein. Das ist dann praktisch für den Integralsatz von Gauß: th-cam.com/video/T41IHNRNjhw/w-d-xo.html
Kannst ihn sogar immer benutzen, wenn du willst :) Bei Oberflächenintegralen 2. Art musst du bei geschlossenen Flächen immer aufpassen, ob die Richtung „richtig“ ist. Egal wie man den Normalenvektor berechnet, es könnte immer der andere sein. Weiß man erst wenn man ihn berechnet hat 😄
Schau dir mal mein Video zur Tangentialebene an. Da ist dieser Vektor n der Normalenvektor der Tangentialebene. Beim Umstellen in die Normalenform wird einfach auf beiden Seiten der Gleichung "-z" gerechnet.
Das kommt von der Gleichung der Tangentialebene z= f(x0,y0)+fx(x0,y0)*(x-x0)+fy(x0,y0)*(y-y0). Wenn du die in Normalform ax+by+cz=d bringst, muss das z irgendwann auf die Seite vom x und y rüber. Das passiert durch "-z" rechnen. Die Vorfaktoren bilden den Normalenvektor (fx,fy,-1).
Du meinst die Determinante der Jacobimatrix? Die benutzt du immer, wenn du in den einen Koordinaten parametrisierst und dann erst während der Integration die Koordinaten wechselst (Substitution).
Hätte man die aufgabe nicht auch lösen können, indem ich ein eindimensionales integral der parabel(bzw umkehrfunktion) (zum quadrat) von 0 bis 9 ausrechne und dann mal π rechne? Dann hätte ich pi*(integral/0-9/f(x) dx) (wenn wurzel aus bildung der umkehrfunktion und quadrat aus umfangformel einander aufheben
Wenns dir rein um die Fläche geht, gibts natürlich einige elegant Möglichkeiten. Deine Idee gefällt mir, nur denk noch mal genau über deine Formel nach. Mit π*r^2 berechnet man den Flächeninhalt eines Kreises (Rotation der Parabel r=z=f(x)=9-x^2 mit x€[0,3], um die z-Achse). Den dann entlang der Parabel aufsummiert, ergibt ein Volumen. Das ist die Formel fürs Rotationsvolumen. Wenn du an der Oberfläche interessiert bist, nimm stattdessen die Formel für den Umfang eines Kreises 2π*r, wobei auch hier r=z=f(x)=9-x^2 mit x€[0,3] und summiere entlang der Parabelkurve. Dann hast du aus dem Oberflächenintegral ein Kurvenintegral gemacht. Clever. Das Video soll allerdings vor allem zeigen, wie skalare Oberflächenintegrale berechnet werden. Würd mich aber freuen, wenn mehr Leute auf eine Idee wie deine kommen :)
WIE: Kommt auf das Objekt an, dass du parametrisieren willst. Kurven, Flächen, Körper,... alles wird auf seine eigene Art parametrisiert. Da gibts keine Regel die du verpasst hast zu lernen. Du musst einfach jedes Objekt einzeln drauf haben. WANN: Auf jeden Fall immer bei Kurven- und Oberflächenintegralen. Ansonsten, wenn du denkst es vereinfacht dir die Aufgabe. Zu empfehlen, wenn dein Integrationsgebiet etwas aus diesem Video ist: th-cam.com/video/3XvsMTXfM50/w-d-xo.html Aber auch in anderen Fällen, für die es keine Regeln gibt. Wenn du keine Lust hast dir jeden Spezialfall einzeln zusammenzusuchen und wirklich jede Information lückenlos und schön sortiert mit ganz vielen Übungsaufgaben haben willst, empfehle ich dir meinen Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung", den ich unter jedem meiner Videos verlinkt hab ;)
Super! Ich find dich tatsächlich noch besser als Daniel Jung ^^ Verständlich erklärt, ohne dabei zu stark zu vereinfachen und gute Beispiele, bei denen man sich wirklich was abschauen kann und nicht nur die ganz simplen Geschichten. Weiter so!
Du kommst gerade rechtzeitig zur Ana2-Klausur, super Video! :)
Alter so geil erklärt ich glaub du rettest meine Ana 2 Klausur
Habe das Integral mal in kartesischen Koordinaten vom PC berechnen lassen. Das gerundete Endergebnis war identisch, aber das Integral wäre gar nicht analytisch lösbar gewesen und wurde über unzählige Seiten von Substitutionen numerisch approximiert. Ich verstehe warum man die Koordinatentransformation durchführt. PS: Danke für deine Mühe
Klasse Video! Danke Dir!
Trotzdem noch ein Punkt, den ich nicht verstehe: Wir wollen ja die Mantelfläche berechnen, ab der Polarkoordinatentransformation berechnen wir aber nur noch den Kreis(mti r
Genauso ist es, bei einer expliziten Form lässt du die x-Komponente x, die y-Komponente y und für die z-Komponente setzt du die Fläche ein, die sich durch den 3-dimensionalen Raum schlängelt. Sie findet sich dann wieder im Normalenvektor, dessen Länge integriert wird über die Grundfläche. Wenn du es verstehen willst, schau dir einfach die Einführungsvideos zu Oberflächenintegralen an. Wenn du es nur richtig rechnen willst, schau dir dieses Video hier an.
@@MathePeter Danke Dir!!!
Oh mann dank für die Erklärung aber trotzdem sehr aufwändig
Ja tatsächlich. Mit ein bisschen Übung kommt auch hier Routine rein, versprochen!
Ich kommentiere so gut wie nie, aber für deine Videos muss ich danke sagen
Ich danke dir!
Ich glaube nach den nächsten 4 Jahren muss ich dir mal nen Kasten Bier zukommen lassen. Genial !
Können wir zusammen trinken 😄
@@MathePeter Bin ich immer dabei ^^ Mal sehen was morgen bei HöMa II dran kommt
MathePeter ist bester Mann, Ana3 kann vllt doch noch was werden
Interessant, wie oft die Worte schnell und Trick in deinen wunderbaren Videos vorkommen, es klingt als ob man im Studium
ständig unter Zeitdruck steht und auf der Suche nach Magic ist...
Haha ist mir gar nicht so bewusst gewesen, aber kommt schon hin 😂
danke fürs video. kleine frage noch... wenn wir n berechnen mit dem Kreuzprodukt, kommt die letzte Komponente nicht zu -1, sondern 1, weil 1*1-0*0=1, aber bei den trick ist es =-1, warum? was ist hier falsch?(5:28min)
In der Reihenfolge, wie ichs aufgeschrieben habe, müssten sich die Vorzeichen vom Normalenvektor ändern. Wie wir den Normalenvektor am Ende dann genutzt haben, ist also das Kreuzprodukt Fy x Fx. Ist im Grunde egal, nur ist am Ende die Interpretation "Fluss in Richtung des verwendeten Normalenvektors". Wenn wir den Vektor in anderer Richtung nehmen, ändert sich auch das Vorzeichen vom Endergebnis. Darum stimmt das Ergebnis schon eben "in Richtung des verwendeten Normalenvektors".
4:40 Warum -1?
Das hab ich euch im Video zur Tangentialebene gezeigt: th-cam.com/video/KfcAZCzRXYk/w-d-xo.html
in expliziter Form lautet sie nämlich z= f(x0,y0) + f_x(x0,y0)*(x-x0) + f_y(x0,y0)*(y-y0). Wenn du sie in Normalform bringst, also ax+by+cz=d, dann musst du ja das z auf die andere Seite ziehen, also -z rechnen. Der Faktor vor dem z = die letzte Komponente im Normalenvektor, ist also immer -1.
würde mich auch interessieren
10/10 ! sehr hilfreich
Mindestens die Hälfte meiner CPs gehört eigentlich dir ^^
Danke für die Hilfe! Ich konnte in der Physik prüfung keine Komplikationen feststellen
Das freut mich!!
Ich versteh bei 9:31 nicht wie auf einmal die Polarkoordinaten mit den grenzen für r und phi entstehen, hast du eine Erklärung parat? Ansonsten super Video!
Weil x^2+y^2≤9 ein voller Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius 3 ist. Schau dir mal das Video zu Polarkoordinaten an: th-cam.com/video/4unatZKE5r8/w-d-xo.html
Ich habe ein ähnliches Problem nur dass meine Funktion y(x,z) lautet. Heisst mein Vektor dann (x , y(x,z) , z) ? oder soll ich die Funktion nach z umstellen und wie im Video vorgehen ?(also: (x , y , z(x,y)) )
Du kannst auch den Vektor (x , y(x,z) , z) nutzen!
Super video!
Du kannst auch x oder y 0 setzen dann hast du einen schnitt z entlang. sqrt(9-x)= y
Nun leite ich diese funktion ab und rechne die hypothenuse aus (graphenlänge für dx) und multipliziere die mit dem umfang an x. -> sqrt(1+y'^2)*2pi*y Das ganze inegriert von 0-9 und ich komme auf das selbe ergebnis.
Hey Lila Luke, danke für deinen Beitrag. Mir gefällt deine Idee!
Warum nicht einfach für die Mantelfläche alle Kreisumfänge längs einer Schnittkurve aufaddieren. Genial :)
Ich habe leider beim Flächenberechnung mit Oberflächenintegral nicht verstanden wie man die Integral grenzen bildet. Mein Integrand ist einfach xy und die Ungleichung x^2+y^2 < 1. Kann mir einer erklären, wie ich dann die Integral Grenzen setzen muss?
Kannst du die genaue Aufgabe nennen? Bei der Flächenberechnung ist der Integrand immer 1. Wenn du einen anderen Integranden hast, wie zB xy, dann berechnest du was anderes. Vielleicht die Masse der Fläche oder Trägheitsmomente. Und die Fläche lautet x^2+y^2
@@MathePeter Hallo Peter
Danke für die Antwort!
Die Aufgabe: Sei E = {(x,y,z) element von R^3: x^2+y^2 < 1 , z= sqrt(x^2+y^2)
Ich soll nun die Oberfläche von E berechnen, aber mit einer Parametrisierung von E in kartesischen Koordinaten (ich soll hier keine Polarkoordinaten verwenden)
LG
Du kannst ja mit kartesischen Koordinaten starten und dann während der Integration mit Polarkoordinaten substituieren.
@@MathePeter Ok, danke
Wie immer ein sehr tolles Video. 👍👍 Übrigens, das Volumen des Paraboloids ist 40,5 Pi Kubikirgendwas. 😉
Bei 5:40 sagst du dass man für die Berechnung der Masse für f die Dichteverteilung nimmt. Aber Dafür bräuchte man doch zunächst ein Volumen bzw. ein Dreifachintegral. Man kann ja nicht von einer Fläche zu einer Masse springen da das zwei zusätzliche Dimensionen sind
Auch Flächen und Kurven können eine Masse haben. Masse ist einfach nur die Summe der gewichteten Einzelteile. Im Spezialfall n=3 haben wir die Masse eines Volumens, wie wir es aus dem Physik Unterricht oder dem Alltag kennen.
wieso ist die z komponenete -1 ? 4:38
6:15 is es bei einer fläche immmer 1 oder wieso ist es jetzt 1 ?
Dass die z-Komponente eine -1 ist, folgt wenn du die Gleichung der Tangentialebene nach 0 umstellst: Du ziehst das z auf die andere Seite, indem du "-z" rechnest. Damit steht eine -1 vor dem z. Wenn du allerdings die Reihenfolge beim Kreuzprodukt umdrehst, ändern sich auch die Vorzeichen des Normalenvektos, sodass dann eben eine 1 dort steht.
Zu 6:15: Ja immer eine 1, wenn du Länge, Fläche, Volumen der geometrischen Objekte berechnen willst. Hier natürlich insbesondere eine Fläche, weil ist ja ein Doppelintegral.
Danke für das tolle Video!😊😊😊😊
Aber da frag ich mich eines: ist es immer nötig det(Jacobi-Matrix) zu multiplizieren? Ich habe letztens ein Beispiel gerechnet, dort waren zwei Methoden möglich, die auf das gleiche Ergebnis kamen. Eine Methode mit und eine etwas andere Methode ohne die Multiplikation der Determinante. Wann genau muss man sie nun multiplizieren?🤔
Danke dir! :)
Die Determinante der Jacobimatrix kommt immer dann, wenn du die Variablen veränderst. Hier von (x,y) zu (r,phi). Wenn du natürlich gleich von anfang an (r,phi) nimmst, brauchst du die Determinante nicht mehr multiplizieren, denn es werden ja keine Varibalen geändert. Den Weg bin ich im zweiten Teil gegangen: th-cam.com/video/VWNHSoFJrDo/w-d-xo.html
Schaus dir mal an und sag mir deine Gedanken!
MathePeter ah danke! Echt super! Ich muss mir jetzt nur noch klar machen warum das auch so ist. Danke!!
Wenn ich dir helfen kann, sag Bescheid!
MathePeter was macht jetzt genau den Unterschied?Ob ich davor die Koordinaten ersetzte oder mitten drinnen, sollte doch irgendwie egal sein? Es wird doch beides mal nur x/y/z durch einen anderen Ausdruck ersetzt.
Ich danke dir sehr für deine Zeit! Du hilfst mir extrem.
Wenn du die Variablen erst beim Integrieren ersetzt, muss die Determinante mit rein. Wenn du aber von Anfang an Polarkoordinaten verwendest, dann brauchst du während der Integration keine Transformation mehr. Die Determinante der Jacobimatrix ist nur wichtig, wenn du während einer Integration transformierst.
Aber wie im zweiten Teil erwähnt: Das "r" kommt auf andere Weise ins Spiel: Wenn du von Anfang an mit Polarkoordinaten arbeitest, steckt das "r" direkt schon im Normalenvektor drin.
Bester Mann echt!
Herzlichen Dank für dieses Video! Das war super hilfreich. Ich habe noch eine kurze Frage: Du berechnest hier also ausdrücklich nur die Mantelfläche, i. e. ohne die Basisfläche, richtig? Wöllte man die gesamte Oberfläche des über F beschriebenen Körpers haben, so müsste man sicherlich zum Endergebnis noch (pi*r²)=(9*pi) hinzuaddieren? Oder habe ich einen Denkfehler? Besten Dank!
Richtig! Geschlossene Flächen sind z.B. super wichtig beim Integralsatz von Gauß, wenn man statt der Oberfläche zum eingeschlossenen Volumen übergeht.
wie kommt bei der z komponente z=-1 ? z ist ja nicht in der Funktion müsste es nicht 0 sein wenn man die Fktn nach z
ableitet
Der Normalenvektor (fx, fy, -1) kommt von der Tangentialebene ( th-cam.com/video/KfcAZCzRXYk/w-d-xo.html ), weil man das z auf die andere Seite bringt durch die Rechenanweisung "-z". Deshalb hat z als Vorfaktor die -1.
4:38 woher kommt der -1 als z komponente please
Das ist immer eine -1 an der Stelle. Das kommt von der Formel der Tangentialebene: th-cam.com/video/KfcAZCzRXYk/w-d-xo.html
Beim normalen ausrechnen des Kreuzprodukts kommt man auf andere Vorzeichen als bei diesem Trick, die Vorzeichen sind gleich bis auf 1, 1 ist positiv?
Das ist in Ordnung, es gibt nämlich immer 2 Normalenvektoren. Die unterscheiden sich grad im Vorzeichen. Bei Oberflächenintegralen 1. Art ist das sowieso egal, weil man den Betrag nimmt. Nur bei Oberflächenintegralen 2. Art (Flussintegralen) macht das einen Unterschied. Da spricht man dann vom "Fluss in Richtung des Normalenvektors". Wenn man das Vorzeichen von dem Normalenvektor ändert, hat dann natürlich auch das Ergebnis ein anderes Vorzeichen. Das ist auch vollkommen in Ordnung. Speziell bei geschlossenen Flächen hat man ausgemacht, dass der Normalenvektor immer nach außen zeigt.
Tolles Video! Eine Frage habe ich allerdings noch. Wenn ich den Bereich zu einer Kreisfläche ändere, wie kommt es dann, dass das Ergebnis des Integrals immer noch die Mantelfläche ist? Vielleicht stehe ich einfach nur gerade auf der Leitung, aber wie funktioniert das?
Die Mantelfläche wird nicht geändert. Nur von oben (aus z-Richtung) sieht es aus wie eine Kreisfläche. Wir schauen deshalb von oben drauf, weil die beiden Integrale nach x und y sind, die Variablen der Parametrisierung.
Gutes Video, danke. Allerdings hätte ich dazu noch eine Anmerkung.
Bei Oberflächenintegralen ist der Vektor n eigentlich immer schon normiert definiert, also ein Einheitsnormalenvektor.
Das könnte zu Verwirrungen führen, wenn man parallel mit Literatur arbeitet.
Das steht in jeder Literatur anders. Für Beweise nehme ich auch lieber den normierten, aber zum Rechnen lieber den nicht normierten. Macht das praktische Arbeiten angenehmer :)
Super erklärt, aber ich hätte noch eine offene frage. Wenn da jetzt zb noch ein f vor dem dO gegeben wäre (beispielsweise v=(0,x^2+z^2,0)^T)... wie geht man da vor? Danke im Voraus!
Wenn noch eine Funktion oder ein Vektor im Integranden stehen, machst du es, wie ich in 5:42 erklärt hab: einfach für jedes x die x-Komponente deiner Parametrisierung einsetzen, für jedes y die y-Komponente und für jedes z die z-Komponente der Parametrisierung.
Vielen Dank!
hatten in der vorlesung die aufgabe x^2+y^2=r^2 wäre an der stelle z unseres Normalvektor wieder -1?
Kommt auf die Aufgabenstellung an. Schreib doch mal komplett hier rein, dann kann ich weiter helfen.
@@MathePeter parametrisierung einer Mantelfläche eines Zylinders.
Z={(x,y,z)€R^3/ x^2+y^2=r^2 und 0≤z≤0
Radius r steht fest.
Bei uns ensteht durch die Ableitungen und dann das kreuzprodukt: (rcosφ, rsinφ, 0)
Wollte hier dein Trick anwenden, dann ins polare umwandeln, doch bevor ich ins polare umgewandelt habe, kam die frage auf, was ich für die z Komponente benutzen sollte.
Der Mantelfläche Z={(x,y,z) ∈ ℝ³: x^2+y^2=R^2 und 0≤z≤h} hat die Parametrisierung F(φ,z)=(R*cosφ,R*sinφ,z). Die z-Komponente bleibt unverändert z. Die Variablen sind φ und z. Nach den beiden wird auch abgeleitet und von diesen Ableitungen das Kreuzprodukt gebildet ergibt (R*cosφ, R*sinφ, 0), wie du schon geschrieben hast. Der Normalenvektor ist also immer parallel zur x-y-Ebene bzw. steht in jedem Punkt senkrecht auf der z-Achse. Alles richtig, super!
@@MathePeter könntest du kurz erklären warum man bei der paraetriesierung z zum Schluss stehen, hat und nicht die fkt z also x^2+y^2 ?
Weil die Funktion nicht z=x^2+y^2 ist, das wäre ein Paraboloid und du meinst ja es geht um einen Zylinder entlang der z-Achse.
Sehr cooles Video :) Hab da noch eine Frage: Du meintest, dass man wenn man keine 1 im Integral stehen hat sondern eine Dichteverteilungsfunktion, dass man die Masse ausrechnet. Ich dachte die Masse berechnet man mit dem Volumenintegral aus? Wäre es hier nicht logischer, dass man den Fluss oder Dichte des Flusses ausrechnet?
Danke dir :)
Und ja, wenn dort nicht die 1, sondern die Dichte steht, kommt als Ergebnis eine Masse raus; eine flächenbezogene Masse. Wichtig wäre, dass du dein Verständnis von "Masse" verallgemeinerst. Die Masse eines Körpers ist das, was wir als erstes kennen lernen und was auch anschaulich ist. Dazu kommt jetzt, dass auch Kurven und Flächen eine Masse haben können. Nicht mehr wie wir es kennen im Sinne von "wie schwer ist es", sondern allgemein die aufsummierte Gewichtung mit der Dichte über das gesamte Objekt.
Für einen Fluss brauchst du das Oberflächenintegral 2. Art und ein Vektorfeld, das "fließt", schau dafür mal hier: th-cam.com/video/-v79Y635CJk/w-d-xo.html
Aaa ok. Jetzt verstehe ich es. Vielen Dank für die Erklärung :)
Echt klasse video bzw. udemy Kurs! Aber woher weiß man (habe ich mich generell bei Transformation zu Polarkoordinaten gefragt) wie rum nun die Integrale bzw differential sein müssen. Also warum ist außen phi und innen der Radius?
Danke dir! Wenn die Grenzen jeweils Konstante sind, ist die Reihenfolge egal. Ich habe aber auch eine richtig gute Aufgabe zu Gebietsintegralen, wo ein Zylinder eine Kugel durchstößt. Da kommt in den Radius Grenzen noch der Winkel phi drin vor. Das Integral mit Funktionen als Grenzen steht immer innen!
@@MathePeter Ah okay. Vielen Dank für die schnelle Antwort! Schreibe heute Abend darüber meine Klausur..
Viel Erfolg! Sag Bescheid, wie es gelaufen ist :)
Lief echt ganz gut. Dafür, dass ich am Montag erst richtig angefangen habe zu lernen hat dein Kurs noch gut was aus mir rausgeholt. Vor allem kann ich den jetzt noch weiter benutzen weil wir jetzt Vektorfelder haben :)
Ja super, sag Bescheid, wenn du weitere Fragen hast :)
Wäre ja noch viel besser wenn du auch einen Skript erstellen würdest, aber trotzdem prima, daume nach oben!
Super Idee, sollte ich mal angehen! :)
Wie müsste man für den Normalenvektor ableiten, wenn man Polarkoordinaten wählt?
Schau dir dafür einfach den zweiten Teil an: th-cam.com/video/VWNHSoFJrDo/w-d-xo.html
Danke für das klasse Video! Eine Frage habe ich noch: Wie würde ich die Menge, über die ich integriere, parametrisieren, wenn diese nur implizit gegeben ist (z.B. x
Zuerst würde ich für die Übersicht alles weitestgehend zusammenfassen in eine Ungleichung: 1≤x^2+y^2+1
Super, vielen Dank für die ausführliche Antwort! 💪
Ich zerbreche mir den Kopf, was ich eigentlich berechne. Anderes Beispiel: auszuwerten ist \int \int x*z + y^2 dA, wobei dA = x^2+y^2=16, 0
Eine mögliche Interpretation wäre, dass das Flächenintegral die Masse des Flächenstücks A={(x,y,z)∈ℝ: x²+y²=16, 0
bei 13:40 kann ich auch t=r^2 substituieren?
Ja klar! :)
Als wir das Volumen ausgerechnet haben und wir eine Transformation durchgeführt haben ist ja ein Verzerrungsfaktor aufgetaucht, passiert so etwas auch wenn man die Oberfläche berechnet und dann eine Transformation durchführt? Zum Beispiel wenn man x^2 +y^2< 1/4(6-z)^2 Parametrisieren will
Was genau meinst du mit dem Verzerrungsfaktor? Meinst du damit die Determinante der Jacobimatrix, die bei der Substitution entsteht? Das kommt nämlich tatsächlich fast immer vor.
@@MathePeter Hab mir noch mal dein Video angeschaut und dann hat sich die Frage geklärt :D
Für die Mantelfläche einfach den "=" Fall betrachten, weil das der Rand des Körpers ist. Dann gibts auch nur noch 2 Variablen. Freut mich, dass du selbst drauf gekommen bist :)
Wieso wird für die Fläche die Konstante 1 geschrieben ? Ich kann mir irgendwie keinen Reim drauf machen. :(
Weil du nur in diesem Fall schreiben kannst "∫∫do". Also alle unendlich kleinen Flächenelemente aufsummiert und das über die gesamte Fläche, ergibt am Ende den Flächeninhalt. Wenn du das wirklich verstehen und nicht nur rechnen willst, dann schau dir mal das Einführungsvideo zu Oberflächenintegralen an: th-cam.com/video/M_0Y8I1oYUk/w-d-xo.html
Welches Programm benutzt du am Anfang, um deine Funktion in 3d darzustellen?
Das war Geogebra, kann man sich gratis runterladen und nutzen :)
MathePeter Ach das habe ich sogar schon drauf, vielen Dank :)
hm seltsam, wenn ich aber das kreuzprodukt ausrechne F1x X F1y, dann komme ich zwar auf das gleiche wie beim Trick, aber genau mit umgekehrten Vorzeichen......Irgendwas hab ich falsch gemacht 🤔
Alles richtig! :) Wenn man beim Kreuzprodukt die Reihenfolge umdreht, ändert sich das Vorzeichen vom Vektor. Beide stehen ja senkrecht auf der Fläche, zeigen nur in unterschiedliche Richtungen. Bei Oberflächenintegralen 1. Art ist das egal, weil man ja eh den Betrag des Vektors nimmt. Bei Oberflächenintegralen 2. Art (Flussintegralen) ändert sich mit dem Vorzeichen die Flussrichtung. Wenn es nicht vorgegeben ist, ist das Vorzeichen vom Ergebnis auch nicht so wichtig, weil es ja eindeutig an deinen Normalenvektor gekoppelt ist. Nur bei geschlossenen Flächen, wie der Oberfläche einer Kugel, hat man allgemein abgesprochen, dass der Normalenvektor von der geschlossenen Fläche weg zeigen soll und nicht in den Körper hinein. Das ist dann praktisch für den Integralsatz von Gauß: th-cam.com/video/T41IHNRNjhw/w-d-xo.html
@@MathePeter Ah ok danke. Ich vermute mal, diesen Trick wende ich dann auch nur für Oberflächenintegralen 1. Art an. 👍
Kannst ihn sogar immer benutzen, wenn du willst :)
Bei Oberflächenintegralen 2. Art musst du bei geschlossenen Flächen immer aufpassen, ob die Richtung „richtig“ ist. Egal wie man den Normalenvektor berechnet, es könnte immer der andere sein. Weiß man erst wenn man ihn berechnet hat 😄
warum hast du Z=-1 eingesetzt ?
Schau dir mal mein Video zur Tangentialebene an. Da ist dieser Vektor n der Normalenvektor der Tangentialebene. Beim Umstellen in die Normalenform wird einfach auf beiden Seiten der Gleichung "-z" gerechnet.
Bei Kreisen benutzen wir Polarkoordinaten.
Sehr gut, mach ich auch so 👍
woher hast du z= -1?
Das kommt von der Gleichung der Tangentialebene z= f(x0,y0)+fx(x0,y0)*(x-x0)+fy(x0,y0)*(y-y0). Wenn du die in Normalform ax+by+cz=d bringst, muss das z irgendwann auf die Seite vom x und y rüber. Das passiert durch "-z" rechnen. Die Vorfaktoren bilden den Normalenvektor (fx,fy,-1).
Bin mir noch immer nicht sicher, wann ich die determinante der Funktionsgleichung benutzen muss
Du meinst die Determinante der Jacobimatrix? Die benutzt du immer, wenn du in den einen Koordinaten parametrisierst und dann erst während der Integration die Koordinaten wechselst (Substitution).
@@MathePeter Danke sehr. Dachte schon da steckt eine tiefere Bedeutung hinter.
Hätte man die aufgabe nicht auch lösen können, indem ich ein eindimensionales integral der parabel(bzw umkehrfunktion) (zum quadrat) von 0 bis 9 ausrechne und dann mal π rechne? Dann hätte ich pi*(integral/0-9/f(x) dx) (wenn wurzel aus bildung der umkehrfunktion und quadrat aus umfangformel einander aufheben
Wenns dir rein um die Fläche geht, gibts natürlich einige elegant Möglichkeiten. Deine Idee gefällt mir, nur denk noch mal genau über deine Formel nach. Mit π*r^2 berechnet man den Flächeninhalt eines Kreises (Rotation der Parabel r=z=f(x)=9-x^2 mit x€[0,3], um die z-Achse). Den dann entlang der Parabel aufsummiert, ergibt ein Volumen. Das ist die Formel fürs Rotationsvolumen.
Wenn du an der Oberfläche interessiert bist, nimm stattdessen die Formel für den Umfang eines Kreises 2π*r, wobei auch hier r=z=f(x)=9-x^2 mit x€[0,3] und summiere entlang der Parabelkurve. Dann hast du aus dem Oberflächenintegral ein Kurvenintegral gemacht. Clever. Das Video soll allerdings vor allem zeigen, wie skalare Oberflächenintegrale berechnet werden. Würd mich aber freuen, wenn mehr Leute auf eine Idee wie deine kommen :)
Heißt es nicht kartesisch anstatt karthesisch? 😁
Zum Glück ist das hier ein Mathe Kanal und kein Deutschkanal 😂 Danke dir, habs geändert!
Nachdem Kreuzprodukt lösen erhalte ich als Z wert 1 und du hast -1 :(
Ja sry ich hab die Reihenfolge vertauscht. Bei Oberflächenintegralen 1. Art ist das wegen dem Betrag auch noch egal :)
Kann mir bitte wer erklären WIE und WANN man Parametrisierungen wählt? Verstehe das echt gar nicht..
WIE: Kommt auf das Objekt an, dass du parametrisieren willst. Kurven, Flächen, Körper,... alles wird auf seine eigene Art parametrisiert. Da gibts keine Regel die du verpasst hast zu lernen. Du musst einfach jedes Objekt einzeln drauf haben.
WANN: Auf jeden Fall immer bei Kurven- und Oberflächenintegralen. Ansonsten, wenn du denkst es vereinfacht dir die Aufgabe. Zu empfehlen, wenn dein Integrationsgebiet etwas aus diesem Video ist: th-cam.com/video/3XvsMTXfM50/w-d-xo.html
Aber auch in anderen Fällen, für die es keine Regeln gibt.
Wenn du keine Lust hast dir jeden Spezialfall einzeln zusammenzusuchen und wirklich jede Information lückenlos und schön sortiert mit ganz vielen Übungsaufgaben haben willst, empfehle ich dir meinen Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung", den ich unter jedem meiner Videos verlinkt hab ;)
Mathe peter king
mehr reden als tun
Wenn du mehr Aufgaben willst, dann freu dich schon mal auf den Online Kurs zur Mehrdimensionalen Integralrechnung, den ich demnächst veröffentliche :)