Eine Frage: Warum beginnt die Folge der Zufallsvariablen mit X und nicht mit X1? Also warum heißt es „Seien X, X1, X2, … reelle Zufallsvariablen“, eine Folge beginnt doch mit dem 1. Folgenglied?
Für die beiden Konvergenzbegriffe benötigen wir eine Folge von Zufallsvariablen X_1,X_2, ..., sowie eine Zufallsvariable X, gegen die die Folge X_1, X_2, ... fast sicher oder stochastisch konvergiert. Diese Situation ist durch das, was ich sage und was auf der Folie steht, gegeben.
Weil für jedes omega im Einheitsintervall für unendlich viele n der Funktionswert X_n(omega) gleich eins ist, aber auch für unendlich viele n der Funktionswert null vorkommt.
In unserer Vorlesung hatten wir den Satz, dass wenn stochastische Konvergenz für eine Folge X_n vorliegt, dies äquivalent dazu ist, dass für jede Teilfolge x_n_k eine Teilfolge X_n_k_j exisitert, sodass x_n_k_j -> X fast sicher. Wie könnte so eine Teilteilfolge bei Ihrem letzten Beispiel denn z.B. aussehen?
Ja, das ist das sog. Teilfolgenkriterium für stochastische Konvergenz. Das Video ist schon lang genug und so habe ich diesen Punkt nicht aufgenommen, s. hierzu eine meiner Vorlesungen: th-cam.com/video/ME4ZUOxuk-E/w-d-xo.html Die Teilfolge in diesem Beispiel ist X_1,X_2X_4,X_8, ..., die fast sicher gegen null konvergiert.
Wie genau sieht denn der Ergebnisraum aus, wenn man als Folge die Partialsumme von n unabhängigen Zufallsvariablen betrachtet? Nehmen wir zum Beispiel die (normierte) Summe der Augenzahlen beim n-maligen Werfen eines Spielwürfels, also Y1 = X1 Y2 = 1/2 * (X1 + X2) Y3 = 1/3 * (X1 + X2 + X3) usw. wobei Xi die Augenzahl beim i-ten Wurf ist. Für Y1 ist der Ergebnisraum Omega = N mit N = {1,2,3,4,5,6}, Für Y2 ist der Ergebnisraum Omega = N x N (alle möglichen Paare). Für Y3 ist der Ergebnisraum Omega = N x N x N (alle möglichen Tripel) usw. Der Ergebnisraum ändert sich also für jedes n. Wenn ich die Definition der fast-sicheren bzw. stochastischen Konvergenz richtig verstanden habe, müssen die Yn jeweils auf dem gleichen Ergebnisraum definiert sein. Wie kann man denn in diesem Beispiel ganz konkret die Konvergenz überprüfen?
Am Anfang wird ja gesagt, dass alle Zufallsvariablen auf einem (geeigneten) Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Setzt man X_1,X_2, ... als stochastisch unabhängig voraus, so gibt es eine auf Sätzen der Maßtheorie gründende kanonische Konstruktion, bei der als Grundraum (Ergebnisraum) Omega die Menge aller reellen Zahlenfolgen gewählt wird. Die Zufallsvariable X_j ordnet dann einer solchen Folge deren j-tes Folgenglied zu. Die Sigma-Algebra auf diesem Grundraum ist die kleinste Sigma-Algebra, bezüglich derer alle diese "Projektionsabblidungen" messbar sind, und das Wahrscheinlichkeitsmaß ist das unendliche Produkt-Maß, das aus den Verteilungen der X_j gebildet wird. Der mathematische Hintergund hierfür ist der Fortsetzungssatz der Maßtheorie. Diesen allgemeinen Ansatz kann man natürlich spezilisieren, wenn die Zufallsvariable X_j das Ergebnis des j-ten Wurfs mit einem Würfel modellieren soll. Wird nur endlich oft (n-mal) geworfen, so ist ein kanonischer Grundraum die Menge aller n-tupel mit Komponenten aus den Zahlen von 1 bis 6. Wir der Würfel als echt angenommen, so arbeitet man zudem mit einem Laplace-Modell, nimmt also alle n-Tupel als gleich wahrscheinlich an. Dieses Video setzt voraus, dass man damit schon vertraut ist.
@@stochastikclips Ok, verstehe. Das heißt also für das obige Beispiel eines unendlich oft geworfenen Würfel wäre der Ergebnisraum der unendliche Produktraum Omega = {1,2,...,6} x {1,2,...,6} x ..... (endlich oft) ?
@@nilshoppenstedt6073 Wenn als Ergebnisraum der Definitionsbereich aller Zufallsvariablen verstanden wird, dann ist beim gedanklich unendlich oft durchgeführten Würfelwurf in der Tat Omega = {1,2,...,6}x{1,2,...,6} x ... (unendlich oft) ein auf der Hand liegender Ergebnisraum (ich würde eher von 'Grundraum' sprechen).
Sehr schön erklärt, vielen Dank fürs Hochladen! Gibt es irgendeine anschauliche Unterscheidung zwischen der fast sicheren und stochastischen Konvergenz oder sind das letztendlich zwei verschiedene, aber abstrakte Konzepte?
Das Beispiel auf der letzten Folie zeigt sehr schön den Unterschied zwischen beiden Konzepten. Die Folge der Funktionen konvergiert für für kein omega aus dem Einheitsintervall gegen null. Die schwächere Bedingung der stochastischen Konvergenz gegen null ist aber erfüllt, da die Längen der Intervalle, auf denen sich die Funktionen von null unterscheiden, bei wachsendem n gegen null konvergieren. Ein noch anschaulicheres Beispiel kenne ich nicht. Das Video zeigt auch, dass die fast sichere Konvergenz als punktweise Konvergenz auf einer Menge der Wahrscheinlichkeit eins allgemein das stärkere Konzept ist. In einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum, in dem die Wahrscheinlichkeit einer abzählbaren Teilmenge des Grundraums Omega gleich eins ist, fallen beide Konzepte zusammen. In der Maßtheorie korrespondieren die fast sichere Konvergenz zur "Konvergenz fast überall" (bezüglich des betrachteten Maßes) und die stochastische Konvergenz zur "Konvergenz dem Maße nach"
Danke für die schnelle Antwort und die ergänzenden Erläuterungen. Sie haben Recht, an dem letzten Beispiel wird der Unterschied eigentlich ganz gut verdeutlicht. Aber wahrscheinlich ist es wie immer: richtig verstehen tut man es erst, wenn man sich selbst mal damit beschäftigt. Ich wünsche einen guten Rutsch ins neue Jahr! 😊
sehr gut erklärt! Danke!
Vielen Dank! Es ist auch für mich immer ein schöner Moment, etwas richtig verstanden zu haben.
10:20 Woher kommen bei dem A^c die Vereinigungen her? Standen die bei A implizit auch schon da?
Es heißt ja, "dass es eine natürliche Zahl k gibt", und dieser Satzteil enttpricht der Vereinigung über alle k von 1 bis Unendlich.
Danke! Gute Videos!
Eine Frage: Warum beginnt die Folge der Zufallsvariablen mit X und nicht mit X1? Also warum heißt es „Seien X, X1, X2, … reelle Zufallsvariablen“, eine Folge beginnt doch mit dem 1. Folgenglied?
Für die beiden Konvergenzbegriffe benötigen wir eine Folge von Zufallsvariablen X_1,X_2, ..., sowie eine Zufallsvariable X, gegen die die Folge X_1, X_2, ... fast sicher oder stochastisch konvergiert. Diese Situation ist durch das, was ich sage und was auf der Folie steht, gegeben.
@@stochastikclips Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Boah danke jetzt wird mir auch der Unterschied zwischen lim in und außerhalb der Klammer klar!! :)
Das war unter anderem die Absicht.
Mir ist der letzte Teil nicht klar. Warum konvergiert die Folge für kein Omega?
Weil für jedes omega im Einheitsintervall für unendlich viele n der Funktionswert X_n(omega) gleich eins ist, aber auch für unendlich viele n der Funktionswert null vorkommt.
In unserer Vorlesung hatten wir den Satz, dass wenn stochastische Konvergenz für eine Folge X_n vorliegt, dies äquivalent dazu ist, dass für jede Teilfolge x_n_k eine Teilfolge X_n_k_j exisitert, sodass x_n_k_j -> X fast sicher. Wie könnte so eine Teilteilfolge bei Ihrem letzten Beispiel denn z.B. aussehen?
Ja, das ist das sog. Teilfolgenkriterium für stochastische Konvergenz. Das Video ist schon lang genug und so habe ich diesen Punkt nicht aufgenommen, s. hierzu eine meiner Vorlesungen: th-cam.com/video/ME4ZUOxuk-E/w-d-xo.html
Die Teilfolge in diesem Beispiel ist X_1,X_2X_4,X_8, ..., die fast sicher gegen null konvergiert.
@@stochastikclips Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das andere Video werde ich mir auch noch anschauen danke:)
Wie genau sieht denn der Ergebnisraum aus, wenn man als Folge die Partialsumme von n unabhängigen Zufallsvariablen betrachtet? Nehmen wir zum Beispiel die (normierte) Summe der Augenzahlen beim n-maligen Werfen eines Spielwürfels, also
Y1 = X1
Y2 = 1/2 * (X1 + X2)
Y3 = 1/3 * (X1 + X2 + X3)
usw. wobei Xi die Augenzahl beim i-ten Wurf ist.
Für Y1 ist der Ergebnisraum Omega = N mit N = {1,2,3,4,5,6},
Für Y2 ist der Ergebnisraum Omega = N x N (alle möglichen Paare).
Für Y3 ist der Ergebnisraum Omega = N x N x N (alle möglichen Tripel)
usw.
Der Ergebnisraum ändert sich also für jedes n. Wenn ich die Definition der fast-sicheren bzw. stochastischen Konvergenz richtig verstanden habe, müssen die Yn jeweils auf dem gleichen Ergebnisraum definiert sein. Wie kann man denn in diesem Beispiel ganz konkret die Konvergenz überprüfen?
Am Anfang wird ja gesagt, dass alle Zufallsvariablen auf einem (geeigneten) Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Setzt man X_1,X_2, ... als stochastisch unabhängig voraus, so gibt es eine auf Sätzen der Maßtheorie gründende kanonische Konstruktion, bei der als Grundraum (Ergebnisraum) Omega die Menge aller reellen Zahlenfolgen gewählt wird. Die Zufallsvariable X_j ordnet dann einer solchen Folge deren j-tes Folgenglied zu. Die Sigma-Algebra auf diesem Grundraum ist die kleinste Sigma-Algebra, bezüglich derer alle diese "Projektionsabblidungen" messbar sind, und das Wahrscheinlichkeitsmaß ist das unendliche Produkt-Maß, das aus den Verteilungen der X_j gebildet wird. Der mathematische Hintergund hierfür ist der Fortsetzungssatz der Maßtheorie. Diesen allgemeinen Ansatz kann man natürlich spezilisieren, wenn die Zufallsvariable X_j das
Ergebnis des j-ten Wurfs mit einem Würfel modellieren soll. Wird nur endlich oft (n-mal) geworfen, so ist ein kanonischer Grundraum die Menge aller n-tupel mit Komponenten aus den Zahlen von 1 bis 6. Wir der Würfel als echt angenommen, so arbeitet man zudem mit einem Laplace-Modell, nimmt also alle n-Tupel als gleich wahrscheinlich an. Dieses Video setzt voraus, dass man damit schon vertraut ist.
@@stochastikclips Ok, verstehe. Das heißt also für das obige Beispiel eines unendlich oft geworfenen Würfel wäre der Ergebnisraum der unendliche Produktraum
Omega = {1,2,...,6} x {1,2,...,6} x ..... (endlich oft) ?
@@nilshoppenstedt6073 Wenn als Ergebnisraum der Definitionsbereich aller Zufallsvariablen verstanden wird, dann ist beim gedanklich unendlich oft durchgeführten Würfelwurf in der Tat Omega = {1,2,...,6}x{1,2,...,6} x ... (unendlich oft) ein auf der Hand liegender Ergebnisraum (ich würde eher von 'Grundraum' sprechen).
@@stochastikclips Ok, vielen Dank! Das hilft mir erst mal weiter!!
danke!
Sehr schön erklärt, vielen Dank fürs Hochladen! Gibt es irgendeine anschauliche Unterscheidung zwischen der fast sicheren und stochastischen Konvergenz oder sind das letztendlich zwei verschiedene, aber abstrakte Konzepte?
Das Beispiel auf der letzten Folie zeigt sehr schön den Unterschied zwischen beiden Konzepten. Die Folge der Funktionen konvergiert für für kein omega aus dem Einheitsintervall gegen null. Die schwächere Bedingung der stochastischen Konvergenz gegen null ist aber erfüllt, da die Längen der Intervalle, auf denen sich die Funktionen von null unterscheiden, bei wachsendem n gegen null konvergieren. Ein noch anschaulicheres Beispiel kenne ich nicht. Das Video zeigt auch, dass die fast sichere Konvergenz als punktweise Konvergenz auf einer Menge der Wahrscheinlichkeit eins allgemein das stärkere Konzept ist. In einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum, in dem die Wahrscheinlichkeit einer abzählbaren Teilmenge des Grundraums Omega gleich eins ist, fallen beide Konzepte zusammen. In der Maßtheorie korrespondieren die fast sichere Konvergenz zur "Konvergenz fast überall" (bezüglich des betrachteten Maßes) und die stochastische Konvergenz zur "Konvergenz dem Maße nach"
Danke für die schnelle Antwort und die ergänzenden Erläuterungen. Sie haben Recht, an dem letzten Beispiel wird der Unterschied eigentlich ganz gut verdeutlicht. Aber wahrscheinlich ist es wie immer: richtig verstehen tut man es erst, wenn man sich selbst mal damit beschäftigt.
Ich wünsche einen guten Rutsch ins neue Jahr! 😊
@@nilshoppenstedt6073 "Aber WAHRSCHEINLICH ist es wie immer..." höhö
pooooh ich check ich cheeeeeck
Das war die Absicht.