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數學老師的快樂就是這麼樸實無華
數學每次都能把我的腦袋幹燒
2:25 抱歉數學微積分真的危機，所以用圖解，發現0.5最低值0.707，而後的大於0.5的帶進去會不斷變大發散😂我發現入賊船了，最後面約兩分鐘講離散數學是很深的海層面😭
有時候覺得數學老師跟數學家的堅持是密不可分的🎉🎉🎉🎉🎉🎉
英文版看一遍，出了中文版，再看一遍
謝謝支持！
10:02 積的極限 等於 極限的積
10：35 想問x逼近正無窮時lnx極限不存在為什麼還可以拆開
正無窮算不存在嗎
@@ck574b027 沒錯
好像相加減乘除 只要有一項存在就可以拆
@@Waydadada 要兩項都有
x趨近+∞，ln x的極限是∞喔ln x 是 loge x，設y = ln x，其解x會 x=e^y當lim x-->∞(ln x)，ln x --> ln(∞) --> ∞ = e^y ，y要是∞至於拆開，lim他是線性，他那邊等式式乘法，想當於abx^2，寫成ax*bx，等式是一樣的，只是影片把lim寫兩次lim x-->∞(x^3/2x)=lim x-->∞(x*x^2/2x)=lim x-->∞((x^2/2x)*x) = lim x-->∞(x^2/2x) * lim x-->∞(x)當x為∞，x^3>>x，影片就只是把lnx丟到外面做而已影片中-√(x)*㏑x>>2√(x+1)，以數學的「等式」來講是沒拆開的，而因為lim寫兩次，就語言上是用拆開表示
哈哈第一次吃到刚出锅的，热气腾腾的🎉🎉🎉
想請問右上角的極限為甚麼可以拆開呢
他沒拆，就是把lim寫兩次，就像(2x*bx)/3寫成了(2x/3)*bx等式是一樣的
再次重申，0^0=1與極限無關。
那 0^根號2 跟極限有沒有關？
@@fpn12099 連續點。有沒有關都無所謂。
@@fpn12099無理數是要用有理數去極限逼近的，但0不用，因為很明顯它是一個整數，而且是集合論中第一個定義的自然數，有整數的概念後才有有理數和無理數，所以用逼近0去定義0顯然是不合理的（循環論證）
@@dying476 喔。 為了減少篇幅，我直接丟下問題串： (1) 那0次方怎麼定義？ 📻 我猜你會講都定義成1。(2) 為什麼定成1？ 📻 我猜你會講，非0的時情況 a¹⁻¹ = a/a = 1； 但是 a=0 時，若依照指數律可以，可以賦予 0⁰ 兩個值，0或是1。 但是取成0的話不符合排列組合的一些直觀。 (3) 為什麼 0⁰ 的直觀理解只能照你上面說的設 0⁰ =x ，套用上方的乘法運算去理解？ 你可以直接答3就好了，反正1跟2沒有人可以答更完整。
@@fpn120991.就我個人而言，我偏好0⁰等於1，但我不排斥其他人說是其他值或無意義，但我會排斥其他人用奇怪的證明（如下面四和五）2.（1）為什麼我會覺得是1的理由一、多數公式在0⁰=1的情況下更美觀，或者說在0⁰=1時很多較常見的函數可以在x=0時有值且合理，例如e^x的泰勒展開，當然我知道可能存在有函數在這個定義下會有一般人認為的不正常行為，所以這點就只能視為參考二、空積一般被定義成1（例如0!）三、對於0^x和x^0這兩個函數而言，x^0=1在非零複數上都成立，而0^x=0只在正實數上成立，按照普遍性來講，讓0⁰=1更合理四、「0⁰=0¹/0¹=0/0無意義」，對於此證明而言，有極明顯的錯誤a^m/a^n=a(m-n)要成立，其中一個條件是a不等於0，因為如果a=0時成立，則0=0¹=0³/0²=0/0無意義這個證明明顯是錯的，除非你認同0¹無意義五、「lim{x,y -> 0} x^y為不定式，因此0⁰不應該被賦值」，對於這個證明也有一個明顯的錯誤，即「函數值等於極限值只在函數在該點連續時才能成立」，但該證明並沒有給出x^y在0點時連續的證明3.基於這個問題是你在假設我第二個問題的回答是你所想像的，但我並沒有，因此我應該不用回答這個問題，至於我怎麼看待0⁰這個問題：0⁰本就是個定義問題，0作為大部分系統下第一個被定義的數字，用其他數字去做出證明本來就是非常困難或不可能的，只能夠思想上去辯證這個問題，而這個問題之所以能被擱置這麼久，不像0!一樣大家能有個共識，只不過是因為這個問題不具有數學上的幫助，幾乎所有數學問題跟0⁰都是獨立的，也因此很多人基於數學的實用性主義就不想跟這個問題有任何關係，不過我覺得即使無用也不能就因此而不討論，你應該也有看到我另一個關於你的回覆了，我不希望某個數學只因為無用就被嫌棄，因此我還是希望數學界能有個共識
让f（x）^g（x）趋紧于0 且fxgx都是趋紧于零的话 是不是就让f（x）=og（x）啊
國三生誤入
請問老師，原本的函數並不連續，為何可以將ln 和 lim對調呢？
在要求的值上連續就行
@@ck574b027 但他在0的地方不連續啊
你要不要解釋一下為何除零以外任何數地零次方都等於1
a⁰=a¹-¹=a/a=1因為不能除以0所以a不等於0
要找0⁰≠1 並不難，試幾個羅一羅就有答案了，但我發現基本上這樣的函數都長得蠻奇怪的，並沒有 0⁰=1 的例子那樣正常。 至於什麼叫正常，就是指正常人意義的正常，函數不要搞太複雜的那種正常，正常到不知道怎麼描述的那種正常， x^x , x^{sin x}, sin(x) ^ {tan(x)} 的那種正常， (e^x-1)^{ln(1+x)} 還OK的那種正常。 因為之前在戰 0⁰ 的時候，大概2009~2011年的時候，有一個瑞昱半導體的一直到數學板上亂 (那段時間是一個高峰，2015~2018又有幾個高峰) ，那時候他宣稱 0⁰ 即使用函數逼近的觀點，極限也幾乎都是1， 來支持他的論述，然後被一個東吳的老師打爆。 我記憶中有這一個性質： 在 Wiener測度底下 0⁰=0 的測度是0，代表事實是， 0⁰ 算出1 是例外，常態而言不是 1，但有沒有可能把算出1改成算出任一給定的α 的測度都是0呢？ We left it as an exercise。
比較不複雜的式子可以用(f)^(-1/ln(g))來建構函數，函數f和g的極限都是0就行了，老師影片中的方程式就是這一類的。
@@TozoKoyasu 這個在常理已經算複雜了， 如同我上述很概略性的用例子做分類。
首先函數值與極限是兩個不同的概念，把二者混為一談是荒謬的。就算完全不採納極限的觀點也沒有錯。0^0型的極限也有兩種觀點，從趨近的方向來看，等於1是常態；從極限值來看，等於1是特例。我沒有否認後者。某位大學教授聲稱0的任意實數次方等於0。言下之意，0的負數次方也等於0。我提醒他好幾次他都不認錯。其它人也不敢糾正他。後來被我逼急了才認錯。所以我是怎麼個被打爆了？
馬上就有人示範瑞昱半導體的跑來數學板亂。 欸不是，最近都是聯發科的新聞，瑞昱到底行不行啊？對了，請問瑞昱半導體內部改成16進位了嗎？
@@fpn12099 除了人身攻擊，就沒有別的了嗎？找不出反對0^0=1的理由，就要轉移話題了嗎？還有程式設計或多或少會用到十六進位。至於阿貓阿狗應該用不到十六進位。
( e^(-x) ) ^ (1/x^2) , x-> inf
不认账的打算态度恶劣 😎
還要錄英文版的真可憐
??
可憐？不會啊，曹老師錄中英文顧及了整個世界耶~ 多棒呀~
@@Magma0716 我只是想說這樣會很辛苦
@@chillmathematician3303 你的第一句話真的會讓人誤會，你打出現在這句就沒問題啦~
@@chillmathematician3303很容易讓人誤會你在罵人啊
數學老師的快樂就是這麼樸實無華
數學每次都能把我的腦袋幹燒
2:25 抱歉數學微積分真的危機，所以用圖解，發現0.5最低值0.707，而後的大於0.5的帶進去會不斷變大發散😂
我發現入賊船了，最後面約兩分鐘講離散數學是很深的海層面😭
有時候覺得數學老師跟數學家的堅持是密不可分的🎉🎉🎉🎉🎉🎉
英文版看一遍，出了中文版，再看一遍
謝謝支持！
10:02 積的極限 等於 極限的積
10：35 想問x逼近正無窮時lnx極限不存在為什麼還可以拆開
正無窮算不存在嗎
@@ck574b027 沒錯
好像相加減乘除 只要有一項存在就可以拆
@@Waydadada 要兩項都有
x趨近+∞，ln x的極限是∞喔
ln x 是 loge x，設y = ln x，其解x會 x=e^y
當lim x-->∞(ln x)，ln x --> ln(∞) --> ∞ = e^y ，y要是∞
至於拆開，lim他是線性，他那邊等式式乘法，想當於abx^2，寫成ax*bx，等式是一樣的，只是影片把lim寫兩次
lim x-->∞(x^3/2x)=lim x-->∞(x*x^2/2x)=lim x-->∞((x^2/2x)*x) = lim x-->∞(x^2/2x) * lim x-->∞(x)
當x為∞，x^3>>x，影片就只是把lnx丟到外面做而已
影片中-√(x)*㏑x>>2√(x+1)，以數學的「等式」來講是沒拆開的，而因為lim寫兩次，就語言上是用拆開表示
哈哈第一次吃到刚出锅的，热气腾腾的🎉🎉🎉
想請問右上角的極限為甚麼可以拆開呢
他沒拆，就是把lim寫兩次，就像(2x*bx)/3寫成了(2x/3)*bx等式是一樣的
再次重申，
0^0=1與極限無關。
那 0^根號2 跟極限有沒有關？
@@fpn12099
連續點。
有沒有關都無所謂。
@@fpn12099無理數是要用有理數去極限逼近的，但0不用，因為很明顯它是一個整數，而且是集合論中第一個定義的自然數，有整數的概念後才有有理數和無理數，所以用逼近0去定義0顯然是不合理的（循環論證）
@@dying476 喔。
為了減少篇幅，我直接丟下問題串：
(1) 那0次方怎麼定義？
📻 我猜你會講都定義成1。
(2) 為什麼定成1？
📻 我猜你會講，非0的時情況 a¹⁻¹ = a/a = 1； 但是 a=0 時，若依照指數律可以，可以賦予 0⁰ 兩個值，0或是1。 但是取成0的話不符合排列組合的一些直觀。
(3) 為什麼 0⁰ 的直觀理解只能照你上面說的設 0⁰ =x ，套用上方的乘法運算去理解？
你可以直接答3就好了，反正1跟2沒有人可以答更完整。
@@fpn12099
1.就我個人而言，我偏好0⁰等於1，但我不排斥其他人說是其他值或無意義，但我會排斥其他人用奇怪的證明（如下面四和五）
2.（1）為什麼我會覺得是1的理由
一、多數公式在0⁰=1的情況下更美觀，或者說在0⁰=1時很多較常見的函數可以在x=0時有值且合理，例如e^x的泰勒展開，當然我知道可能存在有函數在這個定義下會有一般人認為的不正常行為，所以這點就只能視為參考
二、空積一般被定義成1（例如0!）
三、對於0^x和x^0這兩個函數而言，x^0=1在非零複數上都成立，而0^x=0只在正實數上成立，按照普遍性來講，讓0⁰=1更合理
四、「0⁰=0¹/0¹=0/0無意義」，對於此證明而言，有極明顯的錯誤
a^m/a^n=a(m-n)要成立，其中一個條件是a不等於0，因為如果a=0時成立，則
0=0¹=0³/0²=0/0無意義
這個證明明顯是錯的，除非你認同0¹無意義
五、「lim{x,y -> 0} x^y為不定式，因此0⁰不應該被賦值」，對於這個證明也有一個明顯的錯誤，即「函數值等於極限值只在函數在該點連續時才能成立」，但該證明並沒有給出x^y在0點時連續的證明
3.基於這個問題是你在假設我第二個問題的回答是你所想像的，但我並沒有，因此我應該不用回答這個問題，至於我怎麼看待0⁰這個問題：
0⁰本就是個定義問題，0作為大部分系統下第一個被定義的數字，用其他數字去做出證明本來就是非常困難或不可能的，只能夠思想上去辯證這個問題，而這個問題之所以能被擱置這麼久，不像0!一樣大家能有個共識，只不過是因為這個問題不具有數學上的幫助，幾乎所有數學問題跟0⁰都是獨立的，也因此很多人基於數學的實用性主義就不想跟這個問題有任何關係，不過我覺得即使無用也不能就因此而不討論，你應該也有看到我另一個關於你的回覆了，我不希望某個數學只因為無用就被嫌棄，因此我還是希望數學界能有個共識
让f（x）^g（x）趋紧于0 且fxgx都是趋紧于零的话 是不是就让f（x）=og（x）啊
國三生誤入
請問老師，原本的函數並不連續，為何可以將ln 和 lim對調呢？
在要求的值上連續就行
@@ck574b027 但他在0的地方不連續啊
你要不要解釋一下為何除零以外任何數地零次方都等於1
a⁰
=a¹-¹
=a/a
=1
因為不能除以0所以a不等於0
要找0⁰≠1 並不難，試幾個羅一羅就有答案了，但我發現基本上這樣的函數都長得蠻奇怪的，並沒有 0⁰=1 的例子那樣正常。
至於什麼叫正常，就是指正常人意義的正常，函數不要搞太複雜的那種正常，正常到不知道怎麼描述的那種正常， x^x , x^{sin x}, sin(x) ^ {tan(x)} 的那種正常， (e^x-1)^{ln(1+x)} 還OK的那種正常。
因為之前在戰 0⁰ 的時候，大概2009~2011年的時候，有一個瑞昱半導體的一直到數學板上亂 (那段時間是一個高峰，2015~2018又有幾個高峰) ，那時候他宣稱 0⁰ 即使用函數逼近的觀點，極限也幾乎都是1， 來支持他的論述，然後被一個東吳的老師打爆。
我記憶中有這一個性質： 在 Wiener測度底下 0⁰=0 的測度是0，代表事實是， 0⁰ 算出1 是例外，常態而言不是 1，但有沒有可能把算出1改成算出任一給定的α 的測度都是0呢？ We left it as an exercise。
比較不複雜的式子可以用(f)^(-1/ln(g))來建構函數，函數f和g的極限都是0就行了，老師影片中的方程式就是這一類的。
@@TozoKoyasu 這個在常理已經算複雜了， 如同我上述很概略性的用例子做分類。
首先函數值與極限是兩個不同的概念，
把二者混為一談是荒謬的。
就算完全不採納極限的觀點也沒有錯。
0^0型的極限也有兩種觀點，
從趨近的方向來看，
等於1是常態；
從極限值來看，
等於1是特例。
我沒有否認後者。
某位大學教授聲稱0的任意實數次方等於0。
言下之意，0的負數次方也等於0。
我提醒他好幾次他都不認錯。
其它人也不敢糾正他。
後來被我逼急了才認錯。
所以我是怎麼個被打爆了？
馬上就有人示範瑞昱半導體的跑來數學板亂。 欸不是，最近都是聯發科的新聞，瑞昱到底行不行啊？
對了，請問瑞昱半導體內部改成16進位了嗎？
@@fpn12099
除了人身攻擊，
就沒有別的了嗎？
找不出反對0^0=1的理由，
就要轉移話題了嗎？
還有程式設計或多或少會用到十六進位。
至於阿貓阿狗應該用不到十六進位。
( e^(-x) ) ^ (1/x^2) , x-> inf
不认账的打算态度恶劣 😎
還要錄英文版的真可憐
??
可憐？
不會啊，曹老師錄中英文顧及了整個世界耶~ 多棒呀~
@@Magma0716 我只是想說這樣會很辛苦
@@chillmathematician3303 你的第一句話真的會讓人誤會，你打出現在這句就沒問題啦~
@@chillmathematician3303很容易讓人誤會你在罵人啊