【受験数学♯116】積分方程式

[@indigotom8969]

右側の問題について、高校生が知らなくてもいい訂正をします。
・fの連続性が仮定されていないためf(x)=2xに高々可算個の不連続点を付け加えても解になりますので、この動画では無限にある解の一つを挙げたに過ぎません。こうなったのは微積分学の基本定理がfの連続性を外すと成り立たなくなることが原因です。
・微積分学の基本定理を「∫[a～x]f(x)dx=F(x)-F(a)」から導出していますが、通常の論理は逆で、微積分学の基本定理から上式を導きます。これはともすると循環論法になりかねません。
・fの連続性を仮定した上での話ですが、「(1)ある値で成立」「(2)両辺を微分したものが成立」するなら元の式も成立します（区間の端でも片側極限で微分を定義するはず）。よって解の十分性は自動的に満たされています。十分性が成り立つこと自体は言及すべきですが、元の式に代入して確認することは不要です。

[@healthydeb7437]

わかりやすいですわぁ
感謝。

[@あかたにれな]

f(x)=g(x)⇔f’(x)=g’(x)かつある定数aについてf(a)=g(a)
だから、代入して確認しなくてもいいのではないですか？

[@akito2922]

「f(x)=g(x)⇔f’(x)=g’(x)かつある定数aについてf(a)=g(a)」という事実は常にいえるものではないので注意が必要です。
これを使える関数であることの確認とこれを使ったということが分かるようになっていれば確認は不要です。

[@あかたにれな]

AKITOの勉強チャンネル わざわざ2年も前の動画のコメントに返信していただき、本当にありがとうございます。できればでいいのですが、具体的にどのような状況で成り立たないのか教えていただけないでしょうか。自分では少し思いつかなくて…

[@akito2922]

例えば、f(x)=0 (0≦x≦1)、g(x)=0 (0

[@あかたにれな]

AKITOの勉強チャンネル なるほど、定義域と微分可能な区間が一致しないから確かにこの場合は確認が必要ですね。反例まで教えていただき本当にありがとうございました。

[@02213921]

最後の話でx＝0だけでは全てのxで成立する事が言えないと言われてましたが、どうすれば全てのxで成立する事が言えるんでしょうか

[@itterassyai7029]

Ryoh no 求めたf(x)を実際に左辺に代入して右辺になれば全てのxに対して成立、右辺にならなければ解は存在しないといった感じだと思います。
ただ入試の記述でそこまで要求されるかは分かりませんが…

[@02213921]

itte rassyai
必要十分的に考えて矛盾してないか確かめるっていう思考をしてなかったので、理解が浅かったんだと思います。
返信ありがとうございました！

[@のん-w3f7c]

ありがとうございます😆

[@yukyamai1752]

ありがとうございます😆