Du meinst im Exponent der 7? Wir wollen die Eigenschaft die direkt über dem Beispiel steht anwenden, also a^phi(m) mod m = 1. Dafür schreiben wir den Exponenten um: 160=20*8 = 20*phi(15).
Das letzte Beispiel hatte mit der eulerschen phi-Funktion nur indirekt zu tun, hier wurde der Satz von Euler verwendet was evtl nur zeigen sollte, dass die phi-Funktion für dessen Anwendung quasi benötigt wird. Die 1 als Endergebnis hätte man aber viel leichter haben können. Wenn man die 7^160 = 7^(8*20) = (7^8)^20 mod 15 umschreibt. Einfach Potenzgesetze anwenden, und dann nach Satz von Euler 7^(phi(15)) = 1 mod 15 (anwendbar da ggT(7,15)=1) für (7^8)^20 einsetzt, dann gibt es 1^20 = 1 mod 15 und man ist fertig.
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Tolles Video :) Allerdings verstehe ich gerade die 20 nicht bei Minute 5:50. Würde mich über eine Erklärung freuen.
Du meinst im Exponent der 7? Wir wollen die Eigenschaft die direkt über dem Beispiel steht anwenden, also a^phi(m) mod m = 1. Dafür schreiben wir den Exponenten um: 160=20*8 = 20*phi(15).
@@algebraba2911 aber das heißt dann( 7^20)^phi(15) oder¿ 7^20 * 7^phi(15) ist 7^20+phi(15)
Das letzte Beispiel hatte mit der eulerschen phi-Funktion nur indirekt zu tun, hier wurde der Satz von Euler verwendet was evtl nur zeigen sollte, dass die phi-Funktion für dessen Anwendung quasi benötigt wird.
Die 1 als Endergebnis hätte man aber viel leichter haben können. Wenn man die 7^160 = 7^(8*20) = (7^8)^20 mod 15 umschreibt. Einfach Potenzgesetze anwenden, und dann nach Satz von Euler 7^(phi(15)) = 1 mod 15 (anwendbar da ggT(7,15)=1) für (7^8)^20 einsetzt, dann gibt es 1^20 = 1 mod 15 und man ist fertig.
danke, aber bei 6:12 ist doch ein Fehler oder. Multiplikation in der Potenz darf man doch nicht so auseinanderziehen oder?
Vielen Dank!
Du hast Recht. Aus diesem Grund habe ich das Beispiel nochmal neu gemacht:
th-cam.com/video/TZrQSKTsa0g/w-d-xo.html
Danke!