[00:50] semplificazione del contenuto del teorema di Godel: metafora di un processo di mafia [03:00] semplificazione del contenuto del teorema di Godel: metafora dell’irrazionalità della radice di due [09:58] il teorema di Godel e la “Critica della ragion pura” di Kant [14:48] la dimostrazione da parte di Kant delle sue antinomie [16:24] Godel e la teoria dell’incompletezza [18:45] il problema dell’autoreferenzialità della frase: il teorema del punto fisso
Professore, la ringrazio per le sue lezioni molto interessanti e utili. Se l'ultima parola del video.invece di "completo" voleva dire "incompleto" allora io ho capito. Altrimenti io non ho capito. Grazie in anticipo del riscontro.
Ma è possibile dimostrare la consistenza di un aritmetica in cui i numeri Interi sono limitati al un numero arbitrario finito (es. 1/lunghezza di planck) ?
si, certo: il problema si pone solo quando entra l'infinito. anche se, per insiemi finiti , ma molto grandi, ci sono problemi di tipo diverso, affrontati dalle teorie finitiste.
@@podifreddi Approfitto della sua gentilezza per una domanda più filosofica che altro. Sappiamo che l'universo visibile è 46 mld di AL (o meglio 13,8 più espansione intervenuta nel frattempo). Sappiamo che il numero di atomi sono in numero #Finito seppur molto grande. Sappiamo che le combinazioni sono in numero finito, seppur molto grande. Ma allora ha senso l'infinito o esso è una #Invenzione umana per il calcolo differenziale e nella definizione numerica che però porta a contraddizioni ? Quando andiamo a suddividere e interpolare con infiniti punti la realtà che ci circonda scopriamo divergenze e sotto la lunghezza di Planck non ha senso andare. Nelle ultime definizioni anche il tempo (ultimo baluardo del continuo) sta sparendo, specialmente in alcune "teorie del tutto". E se non avesse senso parlare quindi di #Infinito, visto che il nostro universo è descrivibile in modo discreto senza errori ? (si legga teorema di Shannon).
Qualcuno, non pretendo mi risponda il professore, sa dirmi: in un testo divulgativo che trattava del Principio di indeterminatezza, lessi che, uno dei passaggi logico-matematici, portava alla dimostrazione, in termini tecnici che mai capirò davvero, della reale possibilitá di concepire concretamente un insieme di fattori che conducono alla 'macchina del tempo' in un solo verso. Assolutamente fuori della portata della Umanità e però concepibile. Ho capito malissimo?
Il prof.parla di sistemi formali che contengono VERITA' indimostrabili. Detto così sembra che un enunciato sia VERO, ma che non si possa dimostrare che appunto è vero. Altri autori(e forse lo stesso Odifreddi in altre occasioni), parlano invece di enunciati INDECIDIBILI, dei quali non si possa cioè dimostrare (decidere) la verità o falsità. La differenza è sottile ma c'è. Nel primo caso sappiamo che una cosa è vera (ma non possiamo provarlo), nel secondo caso non sappiamo neanche se una cosa sia vera o falsa. Il risultato è sempre l'incompletezza dei sistemi, ma qual'è l'interpretazione giusta?
entrambe le interpretazioni funzionano. perché in un sistema corretto (che dimostra soltanto verità), una verità indimostrabile è anche indecidibile: non è dimostrabile, ma non è neppure refutabile, altrimenti il sistema dimostrerebbe una falsità.
@@podifreddi Vorrei capire se ho compreso bene la differenza tra un'affermazione indecidibile e una verità indimostrabile. Un'affermazione indecidibile non può essere né dimostrata né refutata (in un dato sistema formale). Per esempio, il quinto postulato di Euclide è indecidibile nella geometria assoluta (quella deducibile dagli altri quattro). Un'affermazione indecidibile può essere “elevata al ruolo di postulato”, dando origine a un nuovo sistema formale, oppure si può elevare a ruolo di postulato la sua negazione, ottenendo un sistema formale ancora diverso. Per esempio, possiamo affiancare ai primi quattro postulati di Euclide il quinto, ottenendo la geometria euclidea, o la sua negazione, ottenendo le geometrie non euclidee. Una verità indimostrabile, invece, è un'affermazione vera ma indimostrabile (in un dato sistema formale). Per esempio, l'enunciato del teorema di Goodstein è vero ma indimostrabile nell'aritmetica di Peano. A differenza di un'affermazione indecidibile, non possiamo elevare al ruolo di postulato la negazione di una verità indimostrabile, altrimenti il sistema non sarebbe corretto perché dimostrerebbe una falsità. Ho capito bene, professore?
Odifeddi NON e' un matematico. Fa' un po' di aritmetica. E scometto che non capisce (ancora) il principio del calcolo differenziale. In piu' io, l'ho sentito parlare dei principi Einsteniani , E posso testimoniare e concludere che non vi capisce nulla. (Vedi per es: Twins paradox, Esposto da Odiferddi. Un allievo della terza media darebbe la stessa naïve spiegazione!!!!). Potrebbe orientarsi verso il Golf......Un buon topico, semplice, poetico, alla portata di tanti, insomma. E il gentil 'uomo pur sembra un'appassionato di questo "candido" sport......
Per fare seriamente/professionalmente il Troll devi conoscere la materia non basta screditare qualcuno con delle frasette da asilo nido ci vuole competenza.... cosa che tu non hai!
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[00:50] semplificazione del contenuto del teorema di Godel: metafora di un processo di mafia
[03:00] semplificazione del contenuto del teorema di Godel: metafora dell’irrazionalità della radice di due
[09:58] il teorema di Godel e la “Critica della ragion pura” di Kant
[14:48] la dimostrazione da parte di Kant delle sue antinomie
[16:24] Godel e la teoria dell’incompletezza
[18:45] il problema dell’autoreferenzialità della frase: il teorema del punto fisso
Professore, la ringrazio per le sue lezioni molto interessanti e utili. Se l'ultima parola del video.invece di "completo" voleva dire "incompleto" allora io ho capito. Altrimenti io non ho capito. Grazie in anticipo del riscontro.
Grazie Professore.
Ma è possibile dimostrare la consistenza di un aritmetica in cui i numeri Interi sono limitati al un numero arbitrario finito (es. 1/lunghezza di planck) ?
si, certo: il problema si pone solo quando entra l'infinito. anche se, per insiemi finiti , ma molto grandi, ci sono problemi di tipo diverso, affrontati dalle teorie finitiste.
@@podifreddi Approfitto della sua gentilezza per una domanda più filosofica che altro.
Sappiamo che l'universo visibile è 46 mld di AL (o meglio 13,8 più espansione intervenuta nel frattempo).
Sappiamo che il numero di atomi sono in numero #Finito seppur molto grande.
Sappiamo che le combinazioni sono in numero finito, seppur molto grande.
Ma allora ha senso l'infinito o esso è una #Invenzione umana per il calcolo differenziale e nella definizione numerica che però porta a contraddizioni ?
Quando andiamo a suddividere e interpolare con infiniti punti la realtà che ci circonda scopriamo divergenze e sotto la lunghezza di Planck non ha senso andare.
Nelle ultime definizioni anche il tempo (ultimo baluardo del continuo) sta sparendo, specialmente in alcune "teorie del tutto".
E se non avesse senso parlare quindi di #Infinito, visto che il nostro universo è descrivibile in modo discreto senza errori ? (si legga teorema di Shannon).
Grande Giorgio 🤗!!
Semplicemente eccezionale Piergiorgio Odifreddi
Qualcuno, non pretendo mi risponda il professore, sa dirmi: in un testo divulgativo che trattava del Principio di indeterminatezza, lessi che, uno dei passaggi logico-matematici, portava alla dimostrazione, in termini tecnici che mai capirò davvero, della reale possibilitá di concepire concretamente un insieme di fattori che conducono alla 'macchina del tempo' in un solo verso. Assolutamente fuori della portata della Umanità e però concepibile. Ho capito malissimo?
Per fortuna ai numeri visibili, ci sono i numeri invisibili
Il prof.parla di sistemi formali che contengono VERITA' indimostrabili. Detto così sembra che un enunciato sia VERO, ma che non si possa dimostrare che appunto è vero. Altri autori(e forse lo stesso Odifreddi in altre occasioni), parlano invece di enunciati INDECIDIBILI, dei quali non si possa cioè dimostrare (decidere) la verità o falsità. La differenza è sottile ma c'è. Nel primo caso sappiamo che una cosa è vera (ma non possiamo provarlo), nel secondo caso non sappiamo neanche se una cosa sia vera o falsa. Il risultato è sempre l'incompletezza dei sistemi, ma qual'è l'interpretazione giusta?
entrambe le interpretazioni funzionano. perché in un sistema corretto (che dimostra soltanto verità), una verità indimostrabile è anche indecidibile: non è dimostrabile, ma non è neppure refutabile, altrimenti il sistema dimostrerebbe una falsità.
@@podifreddi Grazie.
@@podifreddi Vorrei capire se ho compreso bene la differenza tra un'affermazione indecidibile e una verità indimostrabile.
Un'affermazione indecidibile non può essere né dimostrata né refutata (in un dato sistema formale). Per esempio, il quinto postulato di Euclide è indecidibile nella geometria assoluta (quella deducibile dagli altri quattro).
Un'affermazione indecidibile può essere “elevata al ruolo di postulato”, dando origine a un nuovo sistema formale, oppure si può elevare a ruolo di postulato la sua negazione, ottenendo un sistema formale ancora diverso. Per esempio, possiamo affiancare ai primi quattro postulati di Euclide il quinto, ottenendo la geometria euclidea, o la sua negazione, ottenendo le geometrie non euclidee.
Una verità indimostrabile, invece, è un'affermazione vera ma indimostrabile (in un dato sistema formale). Per esempio, l'enunciato del teorema di Goodstein è vero ma indimostrabile nell'aritmetica di Peano. A differenza di un'affermazione indecidibile, non possiamo elevare al ruolo di postulato la negazione di una verità indimostrabile, altrimenti il sistema non sarebbe corretto perché dimostrerebbe una falsità.
Ho capito bene, professore?
"io dico il falso", la sua non dimostrabilità varrebbe "quasi sempre"?
"Io dico il falso" è un'affermazione paradossale.
"Io non sono dimostrabile", invece, è una verità indimostrabile (in un sistema corretto).
2021.10.25 L
Odifeddi NON e' un matematico. Fa' un po' di aritmetica. E scometto che non capisce (ancora) il principio del calcolo differenziale.
In piu' io, l'ho sentito parlare dei principi Einsteniani , E posso testimoniare e concludere che non vi capisce nulla. (Vedi per es: Twins paradox, Esposto da Odiferddi. Un allievo della terza media darebbe la stessa naïve spiegazione!!!!). Potrebbe orientarsi verso il Golf......Un buon topico, semplice, poetico, alla portata di tanti, insomma. E il gentil 'uomo pur sembra un'appassionato di questo "candido" sport......
Ahahahahahahahahahahahahah
Annette vai a nanna...
Per fare seriamente/professionalmente il Troll devi conoscere la materia non basta screditare qualcuno con delle frasette da asilo nido ci vuole competenza....
cosa che tu non hai!