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みなさん，こんばんは！今回は，1997年の京大文理共通問題より，軌跡に関する問題をピックアップ。軌跡や通過領域は，必要性・十分性の確認が難しいですね。ただし，この問題については (1) (2) の 2 段階に分かれているので，その辺りの論理は意識しやすくなっています。まず (1) を解くことにより，s = AP によらず t = OQ = 2 が成り立つことがいえます。点 Q は，原点を中心とする半径 2 の円 C' 上にあるということですね。これが必要条件です。あくまで円 C' 上にある「必要がある」というだけで，円 C' 全てが点 Q の軌跡になるというわけではありません。そこで (2) では，C' のうちどの部分が点 Q の軌跡になるのかを調べていきます。線分 AQ と円 C が共有点をもてば，その点のうち 1 つを点 P とすればよいので，十分性が満たされます。線分 AQ と円 C が共有点を持たないような位置だと点 P をとることができないため，その点 Q は答えには入らないことになりますね。軌跡や通過領域の問題では，このように必要性・十分性の双方を意識するのが大切です。なお，実戦的には様々な解き方をする人がいると思うので，今回は別解を複数紹介してみました。色々な解法を扱えるようにしておくと，どんな問題にも柔軟に対応できるようになります。
計算量が多い、いわばごり押すタイプの解法も網羅してくれるのが素晴らしい。受験生だったときに出会いたかった。
実際の入試でいつもベストな解法を選択できるとは限りませんし，焦っているとシンプルな解法を見落としてしまうこともあります。今回の問題の場合，P(cosθ, sinθ) とおいてしまう受験生も現実的には多い気がしたので，「一応これでゴリ押しすることもできるよ」ということでご紹介しました！
イケボで落ち着いているので本当に聴きやすい
ありがとうございます！
座標平面上に置かれた図形的問題は解法選択肢が沢山あって割とやりやすいですね
そうですね！一昨日の内接円の問題のように，図形の成立条件を考慮する必要もないので，だいぶ解きやすいです。
I Like your chanel eventhough I don't understand japanese..
ありがとうございます！言語が理解できなくても内容が伝わるというのが，数学のいいところですよね。
@@884 english please !
@@WahyuHidayat-oj4ro summary:Mathematics overcomes language barrier!
@@884 yeah but at least we have to understand about its language
軌跡だったら順像か逆像か…なんて頭が働いてないですねいつもありがとうございます。またお願いします
こちらこそ，いつもご視聴ありがとうございます！軌跡の問題は，いわゆる順像法か逆像法かという意味でも，代数的に解くか幾何的に解くかという意味でも，解法選択が難しいですね💦
最近三角関数を学び直し始めていたので余弦定理での解法が思い浮かびました。高校入試の幾何の類題なら方べきの定理を用いる類題もありましたが。円を等式で表現し、直交座標系を発明し点や線を代数的に表現してこの問題の主題でもある解析幾何学の基礎を築いたのがデカルトで、昔高校時代の数学Iの教科書でもその功績が紹介されていましたが、問1の解答にsが含まれない定数となることや、解法3の別解のように座標を代数的に計算して答えを出そうとすると複雑になり、デカルトが有名な著作の『方法序説』で説いたように「数学を用いることで学問上の諸問題が平易になる」ことに反することが逆説的で、高校の倫理でも詳しく取り上げてられていた「方法的懐疑」にはデカルトの著作や考えも疑いの対象に含める必要があるというメッセージがこの問題に込められているようにも感じられます。
僕はこういう問題を 解法3 で処理したくなるタイプなのですが，この問題については代数的に解こうとすると却って遠回りになる問題でした💦▶︎ 線分の長さの積で条件設定がなされている▶︎ 円がある▶︎ 等しい長さがあるあたりがその理由でしょうか。図形問題は奥が深いですね。
ベクトルでやりました。中々ベクトルも汎用性高くて良きです。
こうした図形問題は，ベクトルを用いたり座標を用いたり，色々な見方ができて面白いですよね！
ホントに大手予備校いらなくなるなホントに質が高すぎる!!!!!!!!!!!!!!!!!!あとは質問と添削指導ができれば
ありがとうございます✨実は，今年度中に TH-cam に付随した学習サービスをリリースする予定です。ご希望のものドンピシャにはならないかもしれませんが，お楽しみに！
この問題、「単位球面Ｃ：x^2＋y^2＋z^2 ＝ 1 上の点Ｐを取り、．．．」だったら、かなり面白い奇問でしたねぇ。
おーなるほど！それも考えてみると面白そうですね。
こういう問題でよくあるのが最初は解法浮かばなくて仕方なく計算ゴリゴリで半分くらいやった時に簡単な解法を見つけるっていう……
あるあるですね笑
純粋に好みで言ったら東大数学と京大数学どちらが好きですか？
古めの問題だと京大の方が好きで，最近のものだと東大の方が好きです！
方冪の定理からAR*AP=AB*AC=3とPQ*AP=3よりAR=PQよって△OAR≡OPQ∴t=OA=2
AR = PQ から，すぐに △OAR ≡ △OPQ がいえるのはどうしてでしょうか？
@@884 3辺の長さが等しいから合同だと思いました。
@@たんすにゴン-w2k 三角形の合同を利用して t = OA = 2 をいいたいわけですから，3 つの辺の長さがそれぞれ等しいことを合同の根拠にはできないと思います。
@@884 間違えました、角ORA=角OPQでした😅
@@884 横から失礼します。方べきの定理からAR=PQ同一円上にあるためOR=OP二等辺三角形の性質より角OPR＝角ORPこの三つが成り立つことを言えば三角形の二辺とその間の角が等しい為AROとQPOの合同が言えませんか？
本番(1)でsでてこなかったら絶対計算ミス疑う
ほんとですよね！実際 OQ が一定なのでどうしようもないのかもしれませんが，問題文が紛らわしいといえば紛らわしいです。
sで表わせって書いてあるのに答えにsが出てこないって問題不備とかにはならないのかな……
そうなんですよね〜。定数でも臆さず答えてくれる受験生を求めている，と好意的に解釈することはできるのですが，s を用いていないのは事実ですから，問題の不備に近いです。実際，t = 2 という結論を出せたのに，s を用いなきゃいけないのかと不安になり，答案を書ききれなかった受験生もいるでしょうから。
三角比のやり方で頑張ってでた解にsが含まれないって絶望しそう
ほんとですよね笑ぴったり t = 2 になると知っていれば計算を進める気になりますが，実際に問題を解くときはもちろんそれを知らないわけで，三角比を用いて座標を表示してしまうと挫折しやすいです。他に全く解法が思い浮かばなければ，この方法で突っ走るほかないですけどね。
楕円かなと予想して計算したらsが消えてしまってビックリ。で、中を見ることに。余弦定理は考えなかったわ。
余弦定理を使うと，思いのほか簡単に OQ の長さを求められます！
解けて嬉しいですがえらそうなことを言うと、軌跡の問題の割に解いていて面白くないような気もします。え〜こんな軌跡になるの？！みたいな意外性があまりありません
(1) で t = 2 (= const.) となったときは少し驚いたのですが，あとから考えてみると「そりゃそうか」という感じですよね。
@@884 いずれにしても懇切丁寧な解説動画で素晴らしいです私が受験生のときにもこういう動画があればよかったのにと思います今後も楽しみにしています
ありがとうございます✨引き続き，東大・京大などの大学入試問題を丁寧に解説していきます！
みなさん，こんばんは！今回は，1997年の京大文理共通問題より，軌跡に関する問題をピックアップ。
軌跡や通過領域は，必要性・十分性の確認が難しいですね。
ただし，この問題については (1) (2) の 2 段階に分かれているので，その辺りの論理は意識しやすくなっています。
まず (1) を解くことにより，s = AP によらず t = OQ = 2 が成り立つことがいえます。
点 Q は，原点を中心とする半径 2 の円 C' 上にあるということですね。これが必要条件です。
あくまで円 C' 上にある「必要がある」というだけで，円 C' 全てが点 Q の軌跡になるというわけではありません。
そこで (2) では，C' のうちどの部分が点 Q の軌跡になるのかを調べていきます。
線分 AQ と円 C が共有点をもてば，その点のうち 1 つを点 P とすればよいので，十分性が満たされます。
線分 AQ と円 C が共有点を持たないような位置だと点 P をとることができないため，その点 Q は答えには入らないことになりますね。
軌跡や通過領域の問題では，このように必要性・十分性の双方を意識するのが大切です。
なお，実戦的には様々な解き方をする人がいると思うので，今回は別解を複数紹介してみました。
色々な解法を扱えるようにしておくと，どんな問題にも柔軟に対応できるようになります。
計算量が多い、いわばごり押すタイプの解法も網羅してくれるのが素晴らしい。受験生だったときに出会いたかった。
実際の入試でいつもベストな解法を選択できるとは限りませんし，焦っているとシンプルな解法を見落としてしまうこともあります。
今回の問題の場合，P(cosθ, sinθ) とおいてしまう受験生も現実的には多い気がしたので，「一応これでゴリ押しすることもできるよ」ということでご紹介しました！
イケボで落ち着いているので本当に聴きやすい
ありがとうございます！
座標平面上に置かれた図形的問題は解法選択肢が沢山あって割とやりやすいですね
そうですね！
一昨日の内接円の問題のように，図形の成立条件を考慮する必要もないので，だいぶ解きやすいです。
I Like your chanel eventhough I don't understand japanese..
ありがとうございます！
言語が理解できなくても内容が伝わるというのが，数学のいいところですよね。
@@884 english please !
@@WahyuHidayat-oj4ro
summary:
Mathematics overcomes language barrier!
@@884 yeah but at least we have to understand about its language
軌跡だったら順像か逆像か…なんて頭が働いてないですね
いつもありがとうございます。またお願いします
こちらこそ，いつもご視聴ありがとうございます！
軌跡の問題は，いわゆる順像法か逆像法かという意味でも，代数的に解くか幾何的に解くかという意味でも，解法選択が難しいですね💦
最近三角関数を学び直し始めていたので余弦定理での解法が思い浮かびました。高校入試の幾何の類題なら方べきの定理を用いる類題もありましたが。
円を等式で表現し、直交座標系を発明し点や線を代数的に表現してこの問題の主題でもある解析幾何学の基礎を築いたのがデカルトで、昔高校時代の数学Iの教科書でもその功績が紹介されていましたが、問1の解答にsが含まれない定数となることや、解法3の別解のように座標を代数的に計算して答えを出そうとすると複雑になり、デカルトが有名な著作の『方法序説』で説いたように「数学を用いることで学問上の諸問題が平易になる」ことに反することが逆説的で、高校の倫理でも詳しく取り上げてられていた「方法的懐疑」にはデカルトの著作や考えも疑いの対象に含める必要があるというメッセージがこの問題に込められているようにも感じられます。
僕はこういう問題を 解法3 で処理したくなるタイプなのですが，この問題については代数的に解こうとすると却って遠回りになる問題でした💦
▶︎ 線分の長さの積で条件設定がなされている
▶︎ 円がある
▶︎ 等しい長さがある
あたりがその理由でしょうか。
図形問題は奥が深いですね。
ベクトルでやりました。中々ベクトルも汎用性高くて良きです。
こうした図形問題は，ベクトルを用いたり座標を用いたり，色々な見方ができて面白いですよね！
ホントに大手予備校いらなくなるな
ホントに質が高すぎる!!!!!!!!!!!!!!!!!!
あとは質問と添削指導ができれば
ありがとうございます✨
実は，今年度中に TH-cam に付随した学習サービスをリリースする予定です。
ご希望のものドンピシャにはならないかもしれませんが，お楽しみに！
この問題、「単位球面Ｃ：x^2＋y^2＋z^2 ＝ 1 上の点Ｐを取り、．．．」だったら、かなり面白い奇問でしたねぇ。
おーなるほど！それも考えてみると面白そうですね。
こういう問題でよくあるのが最初は解法浮かばなくて仕方なく計算ゴリゴリで半分くらいやった時に簡単な解法を見つけるっていう……
あるあるですね笑
純粋に好みで言ったら東大数学と京大数学どちらが好きですか？
古めの問題だと京大の方が好きで，最近のものだと東大の方が好きです！
方冪の定理からAR*AP=AB*AC=3と
PQ*AP=3より
AR=PQ
よって△OAR≡OPQ
∴t=OA=2
AR = PQ から，すぐに △OAR ≡ △OPQ がいえるのはどうしてでしょうか？
@@884 3辺の長さが等しいから合同だと思いました。
@@たんすにゴン-w2k 三角形の合同を利用して t = OA = 2 をいいたいわけですから，3 つの辺の長さがそれぞれ等しいことを合同の根拠にはできないと思います。
@@884 間違えました、角ORA=角OPQでした😅
@@884
横から失礼します。
方べきの定理からAR=PQ
同一円上にあるためOR=OP
二等辺三角形の性質より角OPR＝角ORP
この三つが成り立つことを言えば三角形の二辺とその間の角が等しい為AROとQPOの合同が言えませんか？
本番(1)でsでてこなかったら絶対計算ミス疑う
ほんとですよね！
実際 OQ が一定なのでどうしようもないのかもしれませんが，問題文が紛らわしいといえば紛らわしいです。
sで表わせって書いてあるのに答えにsが出てこないって問題不備とかにはならないのかな……
そうなんですよね〜。定数でも臆さず答えてくれる受験生を求めている，と好意的に解釈することはできるのですが，s を用いていないのは事実ですから，問題の不備に近いです。
実際，t = 2 という結論を出せたのに，s を用いなきゃいけないのかと不安になり，答案を書ききれなかった受験生もいるでしょうから。
三角比のやり方で頑張ってでた解にsが含まれないって絶望しそう
ほんとですよね笑
ぴったり t = 2 になると知っていれば計算を進める気になりますが，実際に問題を解くときはもちろんそれを知らないわけで，三角比を用いて座標を表示してしまうと挫折しやすいです。
他に全く解法が思い浮かばなければ，この方法で突っ走るほかないですけどね。
楕円かなと予想して計算したらsが消えてしまってビックリ。で、中を見ることに。余弦定理は考えなかったわ。
余弦定理を使うと，思いのほか簡単に OQ の長さを求められます！
解けて嬉しいですがえらそうなことを言うと、軌跡の問題の割に解いていて面白くないような気もします。
え〜こんな軌跡になるの？！みたいな意外性があまりありません
(1) で t = 2 (= const.) となったときは少し驚いたのですが，あとから考えてみると「そりゃそうか」という感じですよね。
@@884
いずれにしても懇切丁寧な解説動画で素晴らしいです
私が受験生のときにもこういう動画があればよかったのにと思います
今後も楽しみにしています
ありがとうございます✨
引き続き，東大・京大などの大学入試問題を丁寧に解説していきます！