Проведем вторую диагональ . треугольник с острым углом равнобедренный со сторонами 4/2=2. Площадь этого тр. Равна 4/4=1 и равна 1/2*2*2 *sln острого угла, откуда Sin=1/2, угол=30 . Угол@=90-30/2=75.
Валера! Надоело отвечать,что в 8 классе нет триго? 😅 Кстати,прекрасное решение.Я не нашёл более простое без использования тригонометрии.А ведь обычно нахожу.😅 @@GeometriaValeriyKazakov
Есть формула проще. Через диагональ и угол между диагоналями. S=(d^2*sin y) /2 d- длина диагонали y- угол между диагоналями Подставляем вводные достаем из синуса 1/2 угол в 30° между диагоналями Дальше из любого треугольника (180-30) /2=75° Если помнить основные синусы то считается в уме.
Из правого нижнего отрезок в середину диагонали. Справа равнобедренный. Оттуда же перпендикуляр к диагонали. Его длина (из площади) 1. Слева - половинка равностороннего. Ответ (180-30)/2=75 Теперь понятно почему у индусов замудреные решения - переняли у бритов вместе с языком.
Данную эадачу можно решать множеством способов, вплоть до вписанных или описанных окружностей, но в большинстве случаев они сводятся в конце концов к выражению sin 2 α = 1/2. И в Вашем решении, Валерий, получается что высота h - это 2*sin 2β (половина диагонали *на синус двойного угла β = 90 -α).Но,если ученики еще не знают синусов -косинусов, то Ваше решение самое то! Геометрия - универсальный предмет, решать можно и графически и тригонометрически и алгебраически, за это она мне и нравится😊
Я пошёл наверное не самым практичным методом , а именно составил систему , примем стороны за x и y. x × y = 4 - площадь x² + y² = 4² - диагональ x = 2√2 + √3 ( √3 под корнем корня из 2-х ) Далее берём sin(x) = x / 4 и ответ аналогично 75 градусов
На вашем чертеже горизонтальная сторона прямоугольника больше вертикальной стороны прямоугольника. В этом случае угол a=75°. Но, если в прямоугольнике горизонтальная сторона меньше вертикальной стороны, тогда угол a=15°.
Катет, образующий угол альфа обозначим через х. Площадь прямоугольника равна х на диагональ, на синус альфа. Т е 4хsina равно 4. С другой стороны х равен 4cosa. Разделим первое уравнение на второе. Упростим и получим sin2a равно 0,5. После решения уравнения получаем альфа равный 75 или 15 градусов. Правда, второй ответ не соответствует рисунку. Но рисунок не всегда соответствует условию задачи
Я пристроил снизу к прямоугольнику ABCD равный прямоугольник ADEF и провел в нем диагональ АЕ. Получился равнобедр.тр--к АСЕ,боковые стороны которого 4,а площадь тоже 4. Провел высоту СН,которая равна 2. Теперь в поямоуг.тр--ке АСН меньший катет равен половине гипотенузы .
"Прямой" метод решения (без рукотворных трюков с 30°) выглядит так x² + y² = d²; xy = S; (x + y)² = d² + 2S; (x - y)² = d² - 2S; tg(α) = x/y = (√(d² + 2S) + √(d² - 2S))/(√(d² + 2S) - √(d² - 2S)); технически это уже ответ, а дальше как повезет - сводится это к понятному углу в градусной мере или нет. В данном случае tg(α) = 2 + √3; то есть α = 75°. Однако, если последнее неизвестно, это может оказаться затруднительным. Это выражение легко получается из значений тангенсов 30° и 45° и формулы тангенса суммы углов, но догадаться "наоборот", да еще и на экзамене, может оказаться непреодолимым препятствием. Просто для тех кто озадачился. tg(α) = (√(d² + 2S) + √(d² - 2S))/(√(d² + 2S) - √(d² - 2S)) = (√24 + √8)/(√24 - √8) = (√3 + 1))/(√3 - 1) = (1 + √3/3)/(1 - 1*√3/3) = (tg(45°) + tg(30°))/(1 - tg(45°)*tg(30°) = tg(45° + 30°) = tg(75°) Важное замечание для тех, кто хочет получить образование (остальным можно не читать - уже поздно). По сути это будет следствием небрежного обучения, и тут вина не только учеников, но и преподавателей. Но ПЛАТЯТ за эту небрежность ВСЕГДА те, кто учится. Это ВАМ НУЖНО, а преподавателям, особенно, если им полгода до пенсии (например), давно уже ничего не нужно, кроме формального выполнения трудового договора (конечно, есть исключения, но это не про них). С другой стороны, у них есть моральная обязанность отвечать на все вопросы, даже на глупые. Я очень рекомендую взять на вооружение известную сказку Киплинга "Слоненок", это единственный способ получать шишки тогда, когда у вас еще есть, куда безопасно упасть. Ну конечно, не стоит превращать это в войну с ветряными мельницами, просто ищите возможности и используйте их, не боясь показаться глупым. Но это только в том случае, если вам ДЕЙСТВИТЕЛЬНО НАДО. Ну, а если не надо, то и пенять потом будет не на кого. Для примера, был такой академик Николай Николаевич Семенов. Ну, малоизвестный ученый, всего лишь лауреат Нобелевской премии по химии 1956 года (первый в СССР лауреат). Так вот, его назначили директором института Химической физики. Проблема была в том, что он вообще не знал что такое химическая физика, даром, что лауреат и прочее. Ну, то есть - абсолютно был не в курсе, чем ему надо руководить. Есть легенда среди ученого сообщества, что Семенов взял какую-то толстую монографию по химической физике, читал её и взял за МО (modus operandi) заходить в лаборатории института (директором которого он был) и задавать вопросы сотрудникам. Над ним смеялся весь институт. Да-да. Ржали, как лошади. Первые три-четыре месяца. Ну, представьте себе, что к вам приходит директор школы и спрашивает, сколько будет 2х2. Ага. Только через какое-то время все вдруг обнаружили, что вопросики стали не про 2х2, и уже приходится сильно расчесать репу перед тем, как ответить. А через примерно год эти вопросы стали новыми направлениями исследований института. Мне это рассказывал человек, лично знавший Семенова, и врать ему было совсем незачем. Вот как поступают умные люди - они не боятся показаться дураками, они боятся ОСТАТЬСЯ дураками.
Утопал в систему уравнений и помер там, ибо получил иррациональные штуки a*b = 4 a+b = 2√6 Дальше в уме с телефона тяжеловато. Надо искать что попроще.
Короче ребята, тут одно решение у меня есть))) дорисовывем такой же прямоугольник снизу, проводим другую диагональ, по итогу триуголтник ровнобедренный с плошадтю 4 и сторонами по 4, тут по герону находим третью сторону, потом вырожаем площадь по формуле sina*1/2* две стороны, тут угол альфа уже найдем , решение длинее чем у автора но первое на ум это пришло
И это вступительная задаха в Оксфорд? Серьезно? Обозначить стороны через x и y и составить простейшую систему уравнений, теорема пифагора + площадь прямпоугольника, а потом по сторонам вычислить угол.
Там эта "простейшая система уравнений" превратится в биквадратное уравнение с весьма неприятными иррациональными корнями. Да, из них получается в конце концов 75 градусов, однако весьма муторно. С другой стороны - подобное решение это частный случай, и со стороной, скажем, 5 - такая геометрическая лафа уже не прокатит.
Ага, типа лечение гeмороя врачом " ухо горло нос" или кариеса проктологом🤣.Каждый смотрит со своей точки зрения...и действует так же. А если серьезно, то,на мой взгляд, самый практичный метод решения, если принять, что вертикальная сторона прямоугольника равна произведению диагонали нa cosα, а горизонтальная - произведению диагонали нa sinα, и тогда sin2α = 1/2. 2α = 30° или 150°, α = 75° или 15°, но т.к.sinα>cosα, т. е. горизонтальная сторона длиннее, то α = 75° Хотя, надо отдать должное автору, что, если ученики не знают еще синусов-косинусов, это вполне правильное решение. ЛАЙК!
Проведем вторую диагональ . треугольник с острым углом равнобедренный со сторонами 4/2=2. Площадь этого тр. Равна 4/4=1 и равна 1/2*2*2 *sln острого угла, откуда Sin=1/2, угол=30 . Угол@=90-30/2=75.
Отлично
Валера! Надоело отвечать,что в 8 классе нет триго? 😅 Кстати,прекрасное решение.Я не нашёл более простое без использования тригонометрии.А ведь обычно нахожу.😅 @@GeometriaValeriyKazakov
Есть формула проще. Через диагональ и угол между диагоналями.
S=(d^2*sin y) /2
d- длина диагонали
y- угол между диагоналями
Подставляем вводные достаем из синуса 1/2 угол в 30° между диагоналями
Дальше из любого треугольника (180-30) /2=75°
Если помнить основные синусы то считается в уме.
Есть такая
Из правого нижнего отрезок в середину диагонали. Справа равнобедренный. Оттуда же перпендикуляр к диагонали. Его длина (из площади) 1. Слева - половинка равностороннего. Ответ (180-30)/2=75
Теперь понятно почему у индусов замудреные решения - переняли у бритов вместе с языком.
Данную эадачу можно решать множеством способов, вплоть до вписанных или описанных окружностей, но в большинстве случаев они сводятся в конце концов к выражению sin 2 α = 1/2. И в Вашем решении, Валерий, получается что высота h - это 2*sin 2β (половина диагонали *на синус двойного угла β = 90 -α).Но,если ученики еще не знают синусов -косинусов, то Ваше решение самое то! Геометрия - универсальный предмет, решать можно и графически и тригонометрически и алгебраически, за это она мне и нравится😊
Я пошёл наверное не самым практичным методом , а именно составил систему , примем стороны за x и y.
x × y = 4 - площадь
x² + y² = 4² - диагональ
x = 2√2 + √3 ( √3 под корнем корня из 2-х )
Далее берём sin(x) = x / 4
и ответ аналогично 75 градусов
Пусть угол между диагоналями равен b;
S = 0.5d^2*sin(b) = 8*sin(b) = 4;
sin(b) = 0.5; b = 30;
a = (180 - 30)/2 = 75. (!!)
На вашем чертеже горизонтальная сторона прямоугольника больше вертикальной стороны прямоугольника. В этом случае угол a=75°.
Но, если в прямоугольнике горизонтальная сторона меньше вертикальной стороны, тогда угол a=15°.
Катет, образующий угол альфа обозначим через х. Площадь прямоугольника равна х на диагональ, на синус альфа. Т е 4хsina равно 4. С другой стороны х равен 4cosa. Разделим первое уравнение на второе. Упростим и получим sin2a равно 0,5. После решения уравнения получаем альфа равный 75 или 15 градусов. Правда, второй ответ не соответствует рисунку. Но рисунок не всегда соответствует условию задачи
Супер
Я пристроил снизу к прямоугольнику ABCD равный прямоугольник ADEF и провел в нем диагональ АЕ.
Получился равнобедр.тр--к АСЕ,боковые стороны которого 4,а площадь тоже 4.
Провел высоту СН,которая равна 2.
Теперь в поямоуг.тр--ке АСН меньший катет равен половине гипотенузы .
Не понял про 30 градусов... треугольник Пифагора 3,4,5 - у него тоже 30 градусов, а отношение катета к гипотенузе не 1/2... как так ?
"Прямой" метод решения (без рукотворных трюков с 30°) выглядит так x² + y² = d²; xy = S; (x + y)² = d² + 2S; (x - y)² = d² - 2S; tg(α) = x/y = (√(d² + 2S) + √(d² - 2S))/(√(d² + 2S) - √(d² - 2S)); технически это уже ответ, а дальше как повезет - сводится это к понятному углу в градусной мере или нет. В данном случае tg(α) = 2 + √3; то есть α = 75°. Однако, если последнее неизвестно, это может оказаться затруднительным. Это выражение легко получается из значений тангенсов 30° и 45° и формулы тангенса суммы углов, но догадаться "наоборот", да еще и на экзамене, может оказаться непреодолимым препятствием.
Просто для тех кто озадачился. tg(α) = (√(d² + 2S) + √(d² - 2S))/(√(d² + 2S) - √(d² - 2S)) = (√24 + √8)/(√24 - √8) = (√3 + 1))/(√3 - 1) = (1 + √3/3)/(1 - 1*√3/3) = (tg(45°) + tg(30°))/(1 - tg(45°)*tg(30°) = tg(45° + 30°) = tg(75°)
Важное замечание для тех, кто хочет получить образование (остальным можно не читать - уже поздно). По сути это будет следствием небрежного обучения, и тут вина не только учеников, но и преподавателей. Но ПЛАТЯТ за эту небрежность ВСЕГДА те, кто учится. Это ВАМ НУЖНО, а преподавателям, особенно, если им полгода до пенсии (например), давно уже ничего не нужно, кроме формального выполнения трудового договора (конечно, есть исключения, но это не про них). С другой стороны, у них есть моральная обязанность отвечать на все вопросы, даже на глупые. Я очень рекомендую взять на вооружение известную сказку Киплинга "Слоненок", это единственный способ получать шишки тогда, когда у вас еще есть, куда безопасно упасть. Ну конечно, не стоит превращать это в войну с ветряными мельницами, просто ищите возможности и используйте их, не боясь показаться глупым. Но это только в том случае, если вам ДЕЙСТВИТЕЛЬНО НАДО. Ну, а если не надо, то и пенять потом будет не на кого.
Для примера, был такой академик Николай Николаевич Семенов. Ну, малоизвестный ученый, всего лишь лауреат Нобелевской премии по химии 1956 года (первый в СССР лауреат). Так вот, его назначили директором института Химической физики. Проблема была в том, что он вообще не знал что такое химическая физика, даром, что лауреат и прочее. Ну, то есть - абсолютно был не в курсе, чем ему надо руководить. Есть легенда среди ученого сообщества, что Семенов взял какую-то толстую монографию по химической физике, читал её и взял за МО (modus operandi) заходить в лаборатории института (директором которого он был) и задавать вопросы сотрудникам. Над ним смеялся весь институт. Да-да. Ржали, как лошади. Первые три-четыре месяца. Ну, представьте себе, что к вам приходит директор школы и спрашивает, сколько будет 2х2. Ага. Только через какое-то время все вдруг обнаружили, что вопросики стали не про 2х2, и уже приходится сильно расчесать репу перед тем, как ответить. А через примерно год эти вопросы стали новыми направлениями исследований института. Мне это рассказывал человек, лично знавший Семенова, и врать ему было совсем незачем. Вот как поступают умные люди - они не боятся показаться дураками, они боятся ОСТАТЬСЯ дураками.
Супер!
Утопал в систему уравнений и помер там, ибо получил иррациональные штуки
a*b = 4
a+b = 2√6
Дальше в уме с телефона тяжеловато. Надо искать что попроще.
Искомый угол 75 град. Решил устно и сразу, так-как решал раньше эту задачу у Валерия Волкова на канале.
Очевидно, что площадь нужно выразить через тригонометрические функции α: 2*4^2*sinαcosα/2=4, откуда sin2α=1/2. Рисунку соответствует решение α=75°.
Отлично
Забрутфорсил через систему уравнений
Короче ребята, тут одно решение у меня есть))) дорисовывем такой же прямоугольник снизу, проводим другую диагональ, по итогу триуголтник ровнобедренный с плошадтю 4 и сторонами по 4, тут по герону находим третью сторону, потом вырожаем площадь по формуле sina*1/2* две стороны, тут угол альфа уже найдем , решение длинее чем у автора но первое на ум это пришло
$=4^2*sinb/2=4; sinb=1/2; b=30°; a=(180°-b)/2=75°. По моему, всё просто!
Ок. Завтра усилим
Я так понял, что в Оксфорде квота для стран Содружества=90проц? Задача в одно дейст. 4*4*1/2*sinO=4(О-угол диаг). О=30. а=75
4/2=4²sin(2a)/4
2=16sin(2a)/4
sin(2a)=1/2
2a=150
a=75
Змаечательно
И это вступительная задаха в Оксфорд? Серьезно? Обозначить стороны через x и y и составить простейшую систему уравнений, теорема пифагора + площадь прямпоугольника, а потом по сторонам вычислить угол.
Там эта "простейшая система уравнений" превратится в биквадратное уравнение с весьма неприятными иррациональными корнями. Да, из них получается в конце концов 75 градусов, однако весьма муторно.
С другой стороны - подобное решение это частный случай, и со стороной, скажем, 5 - такая геометрическая лафа уже не прокатит.
Здравствуйте. С удовольствием решаю предложенные Вами задачи. Однако хочу уточнить.Площадь треугольника изучается в 8 классе
Да, в 8 кл, где нет тригонометрии
Упоительное решение.
Тоже так считаю
Чаво-то слабовато для Оксфорда.😀
у них геометрии вообще нет практически
Решение автора - через спину, через ухо, через грудь прямо в сердце.
Ага, типа лечение гeмороя врачом " ухо горло нос" или кариеса проктологом🤣.Каждый смотрит со своей точки зрения...и действует так же. А если серьезно, то,на мой взгляд, самый практичный метод решения, если принять, что вертикальная сторона прямоугольника равна произведению диагонали нa cosα, а горизонтальная - произведению диагонали нa sinα, и тогда sin2α = 1/2.
2α = 30° или 150°, α = 75° или 15°, но т.к.sinα>cosα, т. е. горизонтальная сторона длиннее, то α = 75°
Хотя, надо отдать должное автору, что, если ученики не знают еще синусов-косинусов, это вполне правильное решение. ЛАЙК!
@@sv6183В 8 классе нет триго,так что решение оптимальное.