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この動画の中で「留数Res(f,α)を2πi倍すれば，α周りでのfの複素積分が得られる」ことを説明していますが，厳密にはローラン展開の一意性を示しておく必要があります．というのは，この動画で説明した以外でローラン展開の係数a₁,a₂,a₃,……の取り方があったとすれば，留数も複数あるかもしれないからですね．しかし，結論から言えばローラン展開には一意性があり，留数もひとつに定まります．このことについては動画概要欄の記事の中で証明しているので，気になる方は是非参照してみてください．
ローラン展開。教科書 なんかで何回もチャレンジしてきましたがわかりませんでしたが、このチャンネルを見て分かったような気になりました。ありがとうございます。
ローラン展開って自分が勉強したときに理解するのに半年かかったのに、やまたくさんの動画みたら１７分で一撃でした。笑これは神動画ですね！ ダントツ、カコイチの破壊力！！ やはり前回のテイラー展開とのセット解説がまさに神！ なんで複素数から突然にローラン展開が出てくるのかがめっちゃわかりやすいです。
神動画とはありがとうございます！(大袈裟に言ってくださってる気もしますが……笑)テイラー展開と状況を比較して考えると理解しやすいですよね〜
f(z）=Ｉ＋Ⅱ のところで、I はCに沿った積分ですが、Cの内部にα という特異点があると、IはTaylor展開にはならないのでは?
ご質問をありがとうございます！結論から言えば，やはりIはTaylor展開ができます．次の[1], [2]を確認して頂けると分かりやすいと思います(記号は動画の中のものを用います)．[1]fがαで微分可能であろうとなかろうと，α中心の円周C上での複素積分(1/2πi)∫f(ζ)/(ζ-z)dζ (積分はC上)はテイラー展開が可能です．これはひとつ前のTaylor展開の動画において，αの可微分性を全く用いないことから分かります．[2]Taylor展開においてもLaurent展開においても，Cauchyの積分公式よりf(z)=(1/2πi)∫f(ζ)/(ζ-z)dζ (積分はC_z上)が成り立ちます．ここから積分経路C_zを変形するとき，fがαで微分可能ならC_zはCに膨らませるだけで良いのですが，fがαで微分不可能ならC_zはCとC'に分けることになります．つまり，fのαでの可微分性の違いは[2]においてのみ現れます．よって，fがαで微分可能ならC上での複素積分となりTaylor展開可能で，fがαで微分可能ならC上とC'上での複素積分となりLaurent展開可能となるわけですね．
この動画の中で「留数Res(f,α)を2πi倍すれば，α周りでのfの複素積分が得られる」ことを説明していますが，厳密にはローラン展開の一意性を示しておく必要があります．というのは，この動画で説明した以外でローラン展開の係数a₁,a₂,a₃,……の取り方があったとすれば，留数も複数あるかもしれないからですね．
しかし，結論から言えばローラン展開には一意性があり，留数もひとつに定まります．
このことについては動画概要欄の記事の中で証明しているので，気になる方は是非参照してみてください．
ローラン展開。
教科書 なんかで何回もチャレンジしてきましたがわかりませんでしたが、このチャンネルを見て分かったような気になりました。ありがとうございます。
ローラン展開って自分が勉強したときに理解するのに半年かかったのに、やまたくさんの動画みたら１７分で一撃でした。笑
これは神動画ですね！ ダントツ、カコイチの破壊力！！
やはり前回のテイラー展開とのセット解説がまさに神！ なんで複素数から突然にローラン展開が出てくるのかがめっちゃわかりやすいです。
神動画とはありがとうございます！(大袈裟に言ってくださってる気もしますが……笑)
テイラー展開と状況を比較して考えると理解しやすいですよね〜
f(z）=Ｉ＋Ⅱ のところで、I はCに沿った積分ですが、Cの内部にα という特異点があると、IはTaylor展開にはならないのでは?
ご質問をありがとうございます！
結論から言えば，やはりIはTaylor展開ができます．
次の[1], [2]を確認して頂けると分かりやすいと思います(記号は動画の中のものを用います)．
[1]
fがαで微分可能であろうとなかろうと，α中心の円周C上での複素積分
(1/2πi)∫f(ζ)/(ζ-z)dζ (積分はC上)
はテイラー展開が可能です．
これはひとつ前のTaylor展開の動画において，αの可微分性を全く用いないことから分かります．
[2]
Taylor展開においてもLaurent展開においても，Cauchyの積分公式より
f(z)=(1/2πi)∫f(ζ)/(ζ-z)dζ (積分はC_z上)
が成り立ちます．
ここから積分経路C_zを変形するとき，fがαで微分可能ならC_zはCに膨らませるだけで良いのですが，fがαで微分不可能ならC_zはCとC'に分けることになります．
つまり，fのαでの可微分性の違いは[2]においてのみ現れます．
よって，fがαで微分可能ならC上での複素積分となりTaylor展開可能で，fがαで微分可能ならC上とC'上での複素積分となりLaurent展開可能となるわけですね．