Álgebra Linear | Potência de Matrizes (Diagonalização de Operadores) - Exercício Resolvido 01

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Esse vídeo tem duas partes. A primeira parte, mostramos alguns livros que podem ser utilizados para estudar Álgebra Linear. Estes livros são em português e pelo menos dois deles dá para estudar sozinho.
Depois, colocamos um exercício de uma matriz quadrada A de ordem 2 e calculamos sua potência A elevado a 50. Calcular potências de matrizes necessita de algumas operações prévias.
Uma delas e famosa no estudo da Álgebra Linear é a diagonalização de operadores ou também conhecida como diagonalização de matrizes.
Inicialmente nós calculamos os autovalores da matriz. O cálculo dos autovalores é determinado encontrando as raízes do polinômio característico obtido pelo determinante da matriz A - xI, em que I é a matriz identidade.
Neste exercício, calculamos os autovalores e, em seguida, calculamos seus respectivos autovetores associados. Com isso, conseguimos verificar se a matriz é ou não diagonalizável. Em nosso exemplo, colocamos uma matriz que é diagonalizável e portanto conseguimos escrevê-la como uma identidade do tipo D = P^{-1} A P, em que D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de A e P é uma matriz formada pelos autovetores de A. Com isso, calculamos facilmente uma potência de matriz. Em nosso caso, calculamos A elevado a 50.
A facilidade vem do fato que a potência de uma matriz diagonal é feita simplesmente obtendo as potências dos elementos da diagonal principal da matriz. Em nosso caso, as potências dos autovalores da matriz.
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Essa pergunta foi enviada pelo Julio Souza e aqui estamos respondendo.

[@marjoriedealmeidarocha8170]

Estudei Álgebra Linear. Mas não estudei isso. Obrigado por fazer um vídeo assim. Muito bom mesmo.

[@matematicacomsamuca]

Eu que agradeço Marjorie. Um grande abraço!

[@JosFerrari]

Obrigado pela aula professor! Me salvou pra fazer uma prova amanhã :D

[@matematicacomsamuca]

Muito obrigado pelo seu comentário!

[@michelrodriguesdasilva3860]

Eu nunca entendi isso no curso de Engenharia em Álgebra Linear. Agora eu entendi. Muito obrigado!

[@matematicacomsamuca]

Muito obrigado!

[@mansuetosilvadesouza9653]

Parabéns

[@matematicacomsamuca]

Muito obrigado por sua mensagem! Tmj!

[@abujose4304]

Muito obrigado Teacher 😢😢😢😢😢😢

[@matematicacomsamuca]

Eu que agradeço o seu comentário.

[@Leonardo-hay]

Maneira mais fácil de fazer (para os vestibulandos que acabaram caindo nesse vídeo)
Sempre que cair uma questão de potenciação de matriz, fazer assim:
1- primeiro faz matriz D elevada ao quadrado (AxA) e, nesse caso encontrará a matriz identidade
2- sempre que a resposta der a própria matriz identidade, é só verificar se a potência é par ou ímpar
Se for par (A^50 por exemplo) a resposta será a própria matriz identidade. Se for ímpar (A^51) a resposta será a própria matriz.
N precisa de 17 minutos de resolução, tmj

[@matematicacomsamuca]

Oi Leonardo. Muito obrigado pelo seu comentário. Só irei completá-lo e portanto fazer três apontamentos. O primeiro é que este vídeo não faz menção a vestibular. Assim, não espero que esta solução seja uma solução para um vestibulando. O segundo é que a forma apresentada no vídeo é um exemplo que tentei ser didático do que se chama de transformar uma matriz quadrada A de ordem n x n em matriz diagonal. Neste caso, isso só é possível se, e somente se, a matriz A possui n autovetores linearmente independentes. Assim, nem são todas as matrizes que você consegue transformar em diagonal, entretanto, caso você tenha uma quantidade menor que n de autovetores linearmente independentes, você pode transformar a matriz A a uma forma canônica de Jordan. E sobre o tempo do vídeo, ele tem 11 minutos de resolução e não 17 como você mencionou. De qualquer forma, mais uma vez, quero agradecê-lo por sua resolução a um vestibulando que sempre é válido! Valeu!