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∠ACB=30°よりOAとOBを結ぶと中心角∠AOB=60°でOA=OBより△OBAは正三角形。∠OBA=∠CDA=60°よりCD//OBで円の中心Oと接点Cを結ぶと∠OCD=90°より∠BOC=90°BからCDへ垂線を下ろした交点をH(動画と同じ)とすると∠OCD=∠BOC=∠BHC=90°より∠OBH=90°でOB=OC=BH=HCとなるから四角形OCHBは求めるABと同じ長さの辺を持つ正方形。△BDHは30°、60°、90°の直角三角形、BCは正方形の対角線となるから∠BCD=45°より△BHCは45°、45°、90°の直角二等辺三角形。DH=1とするとHB=HC=√3HC=CD×√3/(√3+1)=6×√3/(√3+1)=6×√3(√3-1)/(√3+1)(√3-1)=6×√3(√3-1)/2=3(3-√3)=9-3√3AB=HCよりよってAB=9-3√3
△OABが正三角形と解ったら、解けました。AB=rとすると、計算しやすいです。OBとCDは平行になります。点BからCDに垂線を引いて、交点をHとすると、四角形COBHは正方形になります。
渋幕受けるなら接弦定理使えなきゃだけど、AB求めたいのとヒントが30度なのと円を使ってることからとりあえず中心角AOBを引くと正三角形できてCD//OBがわかって、それでも解けないからいつも通り中心と接点を結ぶと直角の台形ができて、60度のヒントも考慮しながらBからCDに垂線下ろすと正方形が出来て解けましたヒントから何を考えるべきか何をすべきかをし続けると答えに辿り着けるので良問かなぁと思いました
答えは合ってたけど解き方が変だった。△ACD∽△CBDから,最後AB^2=108-54√3となって,連立方程式で係数を求めてAB=9-3√3
OとA,B,Cをそれぞれ結ぶと三角形OABが正三角形、四角形OBHCが正方形となりCH=ABとなります。なのでCH:HD=√3:1が求まった時点でABが計算できますね。
接弦定理はおじさんには思い出すのがキツイですが、受験生には応用がきいて良いやり方ですね。図だけ見て、円周角30度→中心角60度→ABOは正三角形(AB=半径=rとする）→角DBOは120度→四角形BOCDは直角台形→BからCDに垂線下ろしてP、DB=2DP=6-r→DB*DA=6*6で二次方程式。と考えました。
DB＝2(6-r)です、失礼
BOとCOを引いて、∠BOC=∠DCO=90°,∠BDC=60°の台形BOCDを作ると角度いちいち出さなくても解けました。x+x/√3=6って式になります。
∠BOCが90度になることは∠DBOが120度であることを示してから求めてるんですかね？
@@user-en3xw6dy4s ABOは正三角形だな～てことはDC//BOだな～って感じなのでそうですね
@@THE-rh3hg あー、同位角が等しくなるから平行ですね笑返信ありがとうございます😊
Good
接弦定理で角BAC=45度円周角の定理で角BOC=90度、角BOA=60度BからCDに下ろした垂線の足をHとすると、△BOC≡△BHC(直角二等辺三角形かつBC共通)かつ△BOAが正三角形より、CH=BH=ABなので、AB=CH=CD×(CH/(CH+HD))でやったが、解説とあんまり変わらん
毎日動画投稿お疲れ様です！いつもわかりやすい説明ありがとうございます！
ありがたいお言葉！
接弦定理、完全に忘れてました。ちなみに最後の仕上げの6:10からの計算ですが、何も考えずに AB：CD=√3：(1+√3)、CD=6、で「内項の積＝外項の積」とすると何も考えずに計算てきますね。
方べきの定理を使った人はいないのかな？
接弦定理の後、30º 60º 90ºの三角形と45º 45º 90ºの三角形を補助線で作って粘り強く比を出して行く川端先生の根性がすごいと思いました。結論として面白い問題でいい問題だと思いますね‼️
BO補助線引いて、COの半直線とBAの半直線の交点で1、2、ルート3の直角三角形作って相似で出しました。角OCDが直角と、角BOAが円周角の定理より60度になって、△BOAが正三角形
なるほど！！
AB ＝ｘ とおくと、AB：BC ＝ 1：√2 で、BC ＝ 9√2 － 3√6 になるので、AB ＝ 9 － 3√3 になりました。10 分くらいかかっちゃいましたが、ちゃんと答えが出てくれてよかったです。
なんでab:bcが1:2になるのですか、、？
@@猫好き-e2c まず、△ABC において、点Ｂから辺 AC へ垂線を下ろして、その交点をＨとしますね。すると、△CBD と △ACD が相似なので、∠BCD ＝ ∠BAC ＝ 45° がわかります。したら、AB ＝ｘとしたときに、△ABH が AH ＝ BH の直角二等辺三角形になるので、AB：BH ＝ √2：1 がいえて、隣の △BCH においても、∠BCH ＝ 30° なので、∠CBH ＝ 60° になり、BH：BC ＝ 1：2 がいえます。つまり、AH：BH：AB：BC ＝ 1：1：√2：2 になるので、AB：BC ＝ √2：2 ＝ 1：√2 が導けるわけです。（⚠️追記 ･･･ 1：2 にはなりません）
私はCからADに垂線を引いてADを求め、CD＾２=BD×ADを利用して計算しました。全体を4つに分ける発想はとても面白いですね!
補助線はBHのみで、△DCB∽△DAC(裏返し)でAD(とAB)の比を求めるのが出題者的なベストな解法ではないでしょうか？
いつも動画投稿ありがとうございます😊受験生なのでとても助かってます！
直線ABと直線COの交点をEとする。∠BOA=2∠BCA=60゜よって、三角形OABは正三角形である。よって∠OBA=60゜OB=rとおくと、AB=r∠OBA=∠CDBよりCD//OBよって∠BOE=∠DCE=90°よって、三角形BOEは30°、60°、90°の三角形である。よってOE=√3rまた、OC=rなのでCE=(1+√3)r三角形DCEは30°、60°、90°の三角形なので、DC:CE=1:√3よって、1:√3=6:(1+√3)rよって、r=9-3√3よって、AB=9-3√3
すごい！！
接弦定理って自分の頃は中学で習ったけど、今は高校の範囲なのかな。
そうですね！
流石超名門渋幕。骨が折れた。でも解けたのでスッキリ。
接弦定理の次が大事だったか。直角二等辺三角形と30,60直角三角形のつながりが二種類あったんだぁ。お世話になりました
こういう問題好き
△dbcと△dcaが相似なのは接弦定理を使わずに示せる方法ないのかな、、、考えても思いつかない、、、
接弦定理はふつう中学では教えない範囲接弦定理を使わずとも、OA,OBに補助線を引いて△OABが正三角形かつOB//CDを見抜ければ解けるな
私もそう思います
接弦定理だけでなく和と差の積を使った有理化も高校範囲ですねレベルの高い中学テキストには載ってますが
(別解:高校範囲)DB:DC=2:(1+√3)=x:6 より、DBの長さを求める。次にDC^2=DB・DAより、ADの長さを求める。最後に、AB=AD-DBより、ABの長さを求める。(終)最後のABの長さを出すくだりは『比の式』の方が分かりやすいと思います。
これ模範解答の解説は接弦定理使ってませんでしたね
学校の定期テストで出てきた...
レベル高い！！
えっ、接弦定理って今は高校数学の範囲なんですか…。
どこか難関高校の入試問題を大問一つ丸っとやってみて欲しいです。
方べきで合同じゃないんか...
複雑そうだな…。解いてみよう！
途中で手こずってようやく解けた…。
早！！
@@suugakuwosuugakuni実は既に数楽なので…w
いやー、接弦定理習ったの中2とかですぐに出てこなかった…
今度、数学ティーチ系TH-camrとコラボして欲しい。鈴木先生とか、ヨビノリさんとか。
接弦定理を出題するところから、高校受験に出題するにはちょっと行き過ぎな感じがする。あくまで推論で、三平方の定理と比率の方程式の解き方を組み合わせれば何とか届くみたいな感は強い。しかし、数学の試験で１時間のあいだに他の問題もある中でじっくり解く暇はあるのだろうか？逆に受験生が一定数の受験者がこの定理を知っていることにより、高校の数学担当の先生がさらっと接弦定理を説明したら、具体例を示したらその定理の説明は終わり。手抜きかつ教科の一巡習得に非常に寄与する指針への探りの問題かなとは勘ぐりすぎか？
AO繋いで正三角形作ってあげたらごちゃごちゃせず簡単に求められると思います...せっかく30度提示されてるんだし
高校受験で接弦定理使うのすげーな
今や中学受験で小学生が三平方の定理（但し四角形の面積の面積を利用するという建前）や円周角の定理（外角の利用）使うようなの出題されているし。実は接弦定理すら外角から証明できるので、中学受験で出てもおかしくない。「定理」という言葉は使わないけどね。今年は高校によっては三平方の定理を出さない縛りがあるらしいけど、定理って言葉使わなきゃアリな気もするｗ
ごめんなさい正弦定理使いましたw
出来たけど昔に比べて頭が硬くなってるのが分かるなあ
今年、高校受験をするので、とてもありがたい
ここ受けるの？
∠ACB=30°よりOAとOBを結ぶと中心角∠AOB=60°でOA=OBより△OBAは正三角形。
∠OBA=∠CDA=60°よりCD//OBで
円の中心Oと接点Cを結ぶと∠OCD=90°より∠BOC=90°
BからCDへ垂線を下ろした交点をH(動画と同じ)とすると
∠OCD=∠BOC=∠BHC=90°より∠OBH=90°でOB=OC=BH=HCとなるから四角形OCHBは求めるABと同じ長さの辺を持つ正方形。
△BDHは30°、60°、90°の直角三角形、BCは正方形の対角線となるから∠BCD=45°より△BHCは45°、45°、90°の直角二等辺三角形。
DH=1とするとHB=HC=√3
HC=CD×√3/(√3+1)
=6×√3/(√3+1)
=6×√3(√3-1)/(√3+1)(√3-1)
=6×√3(√3-1)/2=3(3-√3)=9-3√3
AB=HCより
よってAB=9-3√3
△OABが正三角形と解ったら、解けました。
AB=rとすると、計算しやすいです。
OBとCDは平行になります。
点BからCDに垂線を引いて、交点をHとすると、四角形COBHは正方形になります。
渋幕受けるなら接弦定理使えなきゃだけど、
AB求めたいのとヒントが30度なのと円を使ってることからとりあえず中心角AOBを引くと正三角形できてCD//OBがわかって、
それでも解けないからいつも通り中心と接点を結ぶと直角の台形ができて、
60度のヒントも考慮しながらBからCDに垂線下ろすと正方形が出来て解けました
ヒントから何を考えるべきか何をすべきかをし続けると答えに辿り着けるので良問かなぁと思いました
答えは合ってたけど解き方が変だった。△ACD∽△CBDから,
最後AB^2=108-54√3となって,連立方程式で係数を求めてAB=9-3√3
OとA,B,Cをそれぞれ結ぶと三角形OABが正三角形、四角形OBHCが正方形となりCH=ABとなります。なのでCH:HD=√3:1が求まった時点でABが計算できますね。
接弦定理はおじさんには思い出すのがキツイですが、受験生には応用がきいて良いやり方ですね。
図だけ見て、円周角30度→中心角60度→ABOは正三角形(AB=半径=rとする）→角DBOは120度→四角形BOCDは直角台形→BからCDに垂線下ろしてP、DB=2DP=6-r→DB*DA=6*6で二次方程式。と考えました。
DB＝2(6-r)です、失礼
BOとCOを引いて、∠BOC=∠DCO=90°,∠BDC=60°の台形BOCDを作ると角度いちいち出さなくても解けました。
x+x/√3=6って式になります。
∠BOCが90度になることは∠DBOが120度であることを示してから求めてるんですかね？
@@user-en3xw6dy4s ABOは正三角形だな～てことはDC//BOだな～って感じなのでそうですね
@@THE-rh3hg あー、同位角が等しくなるから平行ですね笑
返信ありがとうございます😊
Good
接弦定理で角BAC=45度
円周角の定理で角BOC=90度、角BOA=60度
BからCDに下ろした垂線の足をHとすると、
△BOC≡△BHC(直角二等辺三角形かつBC共通)
かつ
△BOAが正三角形より、
CH=BH=ABなので、
AB=CH=CD×(CH/(CH+HD))
でやったが、解説とあんまり変わらん
毎日動画投稿お疲れ様です！
いつもわかりやすい説明ありがとうございます！
ありがたいお言葉！
接弦定理、完全に忘れてました。
ちなみに最後の仕上げの6:10からの計算ですが、何も考えずに AB：CD=√3：(1+√3)、CD=6、で「内項の積＝外項の積」とすると何も考えずに計算てきますね。
方べきの定理を使った人はいないのかな？
接弦定理の後、30º 60º 90ºの三角形と45º 45º 90ºの三角形を補助線で作って粘り強く比を出して行く川端先生の根性がすごいと思いました。結論として面白い問題でいい問題だと思いますね‼️
BO補助線引いて、COの半直線とBAの半直線の交点で1、2、ルート3の直角三角形作って相似で出しました。角OCDが直角と、角BOAが円周角の定理より60度になって、△BOAが正三角形
なるほど！！
AB ＝ｘ とおくと、AB：BC ＝ 1：√2 で、BC ＝ 9√2 － 3√6 になるので、AB ＝ 9 － 3√3 になりました。10 分くらいかかっちゃいましたが、ちゃんと答えが出てくれてよかったです。
なんでab:bcが1:2になるのですか、、？
@@猫好き-e2c まず、△ABC において、点Ｂから辺 AC へ垂線を下ろして、その交点をＨとしますね。すると、△CBD と △ACD が相似なので、∠BCD ＝ ∠BAC ＝ 45° がわかります。したら、AB ＝ｘとしたときに、△ABH が AH ＝ BH の直角二等辺三角形になるので、AB：BH ＝ √2：1 がいえて、隣の △BCH においても、∠BCH ＝ 30° なので、∠CBH ＝ 60° になり、BH：BC ＝ 1：2 がいえます。
つまり、AH：BH：AB：BC ＝ 1：1：√2：2 になるので、
AB：BC ＝ √2：2 ＝ 1：√2 が導けるわけです。
（⚠️追記 ･･･ 1：2 にはなりません）
私はCからADに垂線を引いてADを求め、CD＾２=BD×ADを利用して計算しました。全体を4つに分ける発想はとても面白いですね!
補助線はBHのみで、△DCB∽△DAC(裏返し)でAD(とAB)の比を求めるのが出題者的なベストな解法ではないでしょうか？
いつも動画投稿ありがとうございます😊
受験生なのでとても助かってます！
直線ABと直線COの交点をEとする。∠BOA=2∠BCA=60゜
よって、三角形OABは正三角形である。
よって∠OBA=60゜
OB=rとおくと、AB=r
∠OBA=∠CDBよりCD//OB
よって∠BOE=∠DCE=90°
よって、三角形BOEは30°、60°、90°の三角形である。
よってOE=√3r
また、OC=rなのでCE=(1+√3)r
三角形DCEは30°、60°、90°の三角形なので、DC:CE=1:√3
よって、1:√3=6:(1+√3)r
よって、r=9-3√3
よって、AB=9-3√3
すごい！！
接弦定理って自分の頃は中学で習ったけど、今は高校の範囲なのかな。
そうですね！
流石超名門渋幕。
骨が折れた。でも解けたのでスッキリ。
接弦定理の次が大事だったか。直角二等辺三角形と30,60直角三角形のつながりが二種類あったんだぁ。お世話になりました
こういう問題好き
△dbcと△dcaが相似なのは接弦定理を使わずに示せる方法ないのかな、、、考えても思いつかない、、、
接弦定理はふつう中学では教えない範囲
接弦定理を使わずとも、OA,OBに補助線を引いて△OABが正三角形かつOB//CDを見抜ければ解けるな
私もそう思います
接弦定理だけでなく和と差の積を使った有理化も高校範囲ですね
レベルの高い中学テキストには載ってますが
(別解:高校範囲)DB:DC=2:(1+√3)=x:6 より、DBの長さを求める。次にDC^2=DB・DAより、ADの長さを求める。最後に、AB=AD-DBより、ABの長さを求める。(終)
最後のABの長さを出すくだりは『比の式』の方が分かりやすいと思います。
これ模範解答の解説は接弦定理使ってませんでしたね
学校の定期テストで出てきた...
レベル高い！！
えっ、接弦定理って今は高校数学の範囲なんですか…。
どこか難関高校の入試問題を大問一つ丸っとやってみて欲しいです。
方べきで合同じゃないんか...
複雑そうだな…。
解いてみよう！
途中で手こずってようやく解けた…。
早！！
@@suugakuwosuugakuni
実は既に数楽なので…w
いやー、接弦定理習ったの中2とかですぐに出てこなかった…
今度、数学ティーチ系TH-camrとコラボして欲しい。
鈴木先生とか、ヨビノリさんとか。
接弦定理を出題するところから、高校受験に出題するにはちょっと行き過ぎな感じがする。
あくまで推論で、三平方の定理と比率の方程式の解き方を組み合わせれば何とか届くみたいな感は強い。
しかし、数学の試験で１時間のあいだに他の問題もある中でじっくり解く暇はあるのだろうか？
逆に受験生が一定数の受験者がこの定理を知っていることにより、高校の数学担当の先生がさらっと接弦定理を説明したら、具体例を示したらその定理の説明は終わり。手抜きかつ教科の一巡習得に非常に寄与する指針への探りの問題かなとは勘ぐりすぎか？
AO繋いで正三角形作ってあげたらごちゃごちゃせず簡単に求められると思います...
せっかく30度提示されてるんだし
高校受験で接弦定理使うのすげーな
今や中学受験で小学生が三平方の定理（但し四角形の面積の面積を利用するという建前）や円周角の定理（外角の利用）使うようなの出題されているし。実は接弦定理すら外角から証明できるので、中学受験で出てもおかしくない。「定理」という言葉は使わないけどね。今年は高校によっては三平方の定理を出さない縛りがあるらしいけど、定理って言葉使わなきゃアリな気もするｗ
ごめんなさい正弦定理使いましたw
出来たけど昔に比べて頭が硬くなってるのが分かるなあ
今年、高校受験をするので、とてもありがたい
ここ受けるの？