皮亚诺公理不是数学理论的起点，还需要证明其一致性，一致性的证明可以参考number systems and the foundations of analysis这本书的附录E，但这个证明假设又是在ZF的一致性上。 而ZF的一致性，由哥德尔第二不完备定理知，不可以由其自身证明出来，具体可以参考郝兆宽的《数理逻辑证明及其限度》这本书的第十章。但是人们为了研究选择公理的独立性，需要假定一个命题，这个命题是V=L，axiom of constructibility，在这个假设下可以证明选择公理的正确性。你可以把这些补充在你的后续视频里。但是有一点，你务必确保你自己懂这些理论，不然只是泛泛而谈的话，没什么意思。
在回應訊息時麻煩請要尊重主播的辛苦付出，這種影片在台灣是沒人看的，更不用講有人「製作，請大家要珍惜
谢谢你喜欢～
感謝原 PO (博主嗎?) 做出了我當初學 Agda 和直構邏輯時想做類似的事，看到能夠有一張視覺化地圖真得很驚人。以下順帶提供 youtube 的分節功能：
0:00 開場
2:51 1.1數學中的「車軲轆話」
6:55 1.2邏輯的起點
12:30 1.3「嚴謹」的終點
谢谢～ 我就是原作者，不过在 bilibili 更活跃一点。
非常感謝，過去我覺得數學很無聊，但是這部影片的邏輯安排讓我知道這些數學知識之間的關聯性，非常期待下篇！！！
感謝您🙏🏻因為您我才開始明白甚麼是數學🙏🏻
这就不敢当了哈哈
宝藏频道！谢谢up的分享。
感謝您如此優質的數學分支圖
非常寶貴
請問可以分享這個分支圖的鏈結嗎
之后会发布的，但还有工作没有完成，敬请关注～
@@yugu233 很期待
谢谢
期待下一集。学计算机遇到了瓶颈，于是去学了算法，学算法遇到了瓶颈，然后发现缺乏数学基础，就去学数学，但是很多数学上又有一大堆别人口中无可置否的常识，根本没有人去解释那些常识，直接默认那些常识正确，并且学生知道那些......现在终于稍微理解一些了。
确实，似乎“常识”需要被定义分级一下，普遍化的和非普遍化的分开来描述，否则太容易看不懂了…
推，謝謝UP主。
距离的定义理应无法替代和消解勾股定理证明本身的价值，割补证明的价值理应在其他地方凸显。
我想知道排列組合屬於哪種數學分類、好多題型都沒有嚴謹的證明😢
組合學或離散數學？
实际上形式和内涵是分开的，但符号又可以将其统一起来，某种程度上这也是意向性
小时候，我在字典里查“一”这个字（应该是最简单的汉字），然后发现字典里用来解释“一”的所有字都比“一”更复杂。公理化应该就是如此。话说回来，“长度”究竟是怎么定义的？
宇宙維度
一維是長
二維是面
三維是體
四維是時空
再上還有56789維，印象中是太小，影響不大而沒被人察覺
@@chunyulo7605 5678维是弦论胡诌的，既没有实验依据也没有现象依据
长度的定义依赖于“距离”。你需要一个空间M（比如常用的欧式空间R^n，或者球面S^2等等），以及一个M上的函数g，这个函数输入M上的两个（可以是同一个）点，输出一个非负实数，且满足三角不等式，那这个g就可以当成“距离”来用。
比较抽象的例子是，在L^2(R)空间（所有平方后可积的函数）中，函数f和g的“距离”可以定义为对(f-g)^2积分，然后再开根号
数学家A：没人比我更细
数学家B：不你错了， 我比你更谨
偶然刷到影片。可以推薦一本書The Princeton Companion to Mathematics
內容過於龐大、正在嘗試消化當中。
首先感謝作者的付出了。😅
畢氏定理的邏輯描述：
若 角BAC = 直角 則 距離AB*距離AB + 距離AC*距離AC = 距離BC*距離BC
其中 "距離" 在此僅作為一種符號被定義，與其他運算符號（算數運算符、比較運算符）沒有太大的不同，不需涉及循環論證。
當然若想做到這一點，僅靠歐幾里德的五大公理是不夠用的，後世數學家們也幫他打了不少補丁，詳情可見希爾伯特公理。
只要长度能做四则运算，那假设的强度和解析几何+平方关系应该是等价的吧。
@@yugu233 你應該用過直尺圓規做圖吧？尺規也能證明畢氏定理，而且不用涉及實數運算。
我的意思是，應該把歐氏幾何看作沒有實數運算的，純粹的符號推導。而距離、加法、乘法、等價關係等等的符號定義，其實比較像是為了避免物理上的尺規操作，所以把這些操作寫成了符號。這種只有符號定義的歐氏幾何，也可以推導出畢氏定理。
而解析幾何則是在實數系統上建構出來的新的幾何學，只是借用了畢氏定理的形式來定義這種新幾何學的長度。
勾股定理是包含了加法和乘法的表达的啊。尺规当然可以定义长度，但只能比较不能计算，一旦把这个系统补到了可以陈述勾股定理的强度，也就和解析几何区别不大了。
@@yugu233 1. 怎麼會區別不大呢？解析幾何是從實數中建構出來的，那就表示三大難題（三等分角、化圓為方、倍立方）根本不成問題，但這些在歐氏幾何中都是辦不到的。
2. 雖然表述中有算數運算符，但那也跟實數運算不是一回事。我不知道你說的 "尺規不能計算" 是什麼意思，不能數值計算還是可以定義加法啊。用圓規把 AB 移到 CD 延長直線，往 D 點外做一點 E，得到 CE 長度就能定義為 AB+CD 了啊。
3. 我還是用程式碼說明吧。在解析幾何中：
點是 class Point { float x; float y; }
線段長度是 float LineLength(Point point1, Point point2) { return 畢氏定理; }
長度加法是 float Add(float length1, float length2) { reutrn length1 + length2; }
長度相等是 boolean Equal(float length1, float length2) { return length1 == length2; }
但歐氏幾何沒有實數float，所以：
點的類別 class Point 不能用座標來定義了。
線段長度 class LineLength extends Length { Point point1; Point point2; } 是長度的子類別。
長度加法 Length Add(Length length1, Length length2) 大概會用 ArrayList 之類的容器存放所有線段。
長度相等則是把容器中的所有線段拿出來，按照公理規則去比較。
最終底層就只有邏輯判斷而已，完全沒有用到四則運算，又何來循環論證一說呢？
我没有说这是循环论证。我只是隐约感觉这样的公理的强度高，在有R这种方便的构造时必要性就降低了。作为欧氏几何的公理化接受度更高的tarski公理更弱，是decidable的，这样的话放着R不用感觉也有一些价值，只是我没有深入研究，不知道tarski公理表述的勾股定理怎样的。
開1.5聽 結果聽到一半都忘了自己開1.5倍XD
所以，严谨的说，你是希望用1.5的平方的倍数播放。🌹
數學即感覺或直覺，身為一名考生 根本就沒有多餘的精力思考嚴不嚴謹的問題，看到公式就套 寫出答案，要是算錯了 就說服自己應該要這麼作才對😢
如果你还是中学生，那这个视频应当看作扩展视野的内容，而不是对中学知识的补正或者批判。
06:00 既然数学是独立于物理世界的，那放黑洞边上也不会影响勾股定理啊
意思是在黑洞旁边，平方关系就不能近似描述现实世界了。
好看
这个图能从哪里得到？
现在还在施工中，以后会发出来的，敬请关注～
之前b站看完沒想到這邊又遇到你了xd
推荐算法早已看透了一切xd
建议在一开始就讲一下是什么领域的科普😀花了16分钟看了以后我发现越来越不对劲，不会是要讲ATP吧...
什麼領域？標題不就寫數學
皮亚诺公理不是数学理论的起点，还需要证明其一致性，一致性的证明可以参考number systems and the foundations of analysis这本书的附录E，但这个证明假设又是在ZF的一致性上。
而ZF的一致性，由哥德尔第二不完备定理知，不可以由其自身证明出来，具体可以参考郝兆宽的《数理逻辑证明及其限度》这本书的第十章。但是人们为了研究选择公理的独立性，需要假定一个命题，这个命题是V=L，axiom of constructibility，在这个假设下可以证明选择公理的正确性。你可以把这些补充在你的后续视频里。但是有一点，你务必确保你自己懂这些理论，不然只是泛泛而谈的话，没什么意思。
你在说什么。。选择公理在ZF+V=L里是个定理啊。。
那不完备定理对这种公理化的数学建立没有影响吗？
有影响的话，大概就是告诉我们，在公理的选择上不要指望一劳永逸，但公理化的整体思路并没有问题。
开头的地图可以分享一下吗，想自己玩一下
还有一些问题要处理，后续会分享的，敬请关注！
@@yugu233 自己做的吗？好厉害！怪不得查不到。
可以解釋元語言嗎
支持
怎么没有3和4了？是不是up主还没想好？
大纲是有的，不过还在在制作中。
勾股定理已经被证明是真实的了，在只是用三角函数的方式
三角才是比較廣義的 畢氏定理只適用於直角
而餘弦定理則是適用於廣義角
勾股定理等价于 sin平方加cos平方等于1
@@段子手-q7t 定理不会等价于定义，你说的三角恒等式可以直接来自定义。
平面坐标系里两点距离难道不是勾股定理算出来的？前面都说了脱离物理又拿黑洞说是，直接否定平面几何好了，那你的1+1=2在物理中也不成立，交换率也不一定成立呦
聽君一席話，如聼一席話
长度在几何原本就己经定义好了，用定义，公设，与公理，经过命题辨为真，就成定理，不要拿古中国的数学来讲。
所谓数学，不过是人类构筑的一套逻辑体系，而这一体系漏洞百出