วีดีโอ

我竟然在最后那个旋转四维空间中看懂了，但是我不知道怎么描述…

谢谢

可以试着做成英文版，吸引更多观众。让更多人知道这些东西，而且youtube的创作奖励很给力的，可以赚点小钱

在低维的视角无法描述高维的事物。正如 在二维世界很难用它的抽象工具一维直线去描述三维物体。我们在三维也完全无法用二维工具描述思维。因为第四维度在第三维度是常数或者无限趋近于零。三维世界可以推论四维的存在 却无法在二维表现出来。能表现出来的 都是三维物体。

lean + LLM 普及之后，那数学就是工科了🤣

輔助證明可以，取代不可能，純粹上的不可能，因為在"已定的邏輯系統"下不存在自我建構又自我說服能力的邏輯系統(一般認為可以放進去是因為你做的題目框架寫好了，不會問自證邏輯系統的問題，相當於你滿足了哥德爾完備性定理，所以題目都能成功跑出來) 更直觀來說，目前AI還無法滿足某些邏輯學問題，如圖靈測試，情況一，當跑出一個所有人都不懂的證明，他就過不了圖靈測試，因為證明看不懂就等於亂碼 情況二，證明能看懂，那又會發生另一個問題，證明的語意是哪來的，倘諾只是依照邏輯系統本身的產出，那就不等於獨立證明，相當於依照設定好的邏輯系統運行，等於不用手算上機跑，那可不叫AI 假設既能看懂、而邏輯系統也不是一開始設定好的，也就是該AI自行補充邏輯系統來完備證明，那恭喜你，你不只發明了一個AI可以證明數學，還創造了第一個AI數學家，這是相當困難的，相當於創造一個客觀上有思維的AI 更白話的講，現在的AI有能力證明數學問題，但不是"獨立"證明，得拿現有的東西訓練語言模型產生數學證明 順帶一提，不完備定理的理解魔怔了，那是無設限的情況下去找一個特殊命題，即所有邏輯系統都無法產生證明但該命題存在，正常來說，不用杞人憂天每次都覺得存在一個無法證明的命題，因為更大的可能是遇不上，不要每次都只會提不完備定理，多數情況更有用的是完備性定理，他保障你的程式碼理想情況下，跑出來的結果必定具有邏輯效力

问一下，军训的目的是什么，侵略中华民国吗，已举报。

重构数学！

想問要怎麼在 GitHub 找到數學地圖

你好可爱😍

说的很有道理，确实大模型的出现之后，数学需要进行重构，才能达到更好的和人类交流

理解多维空间没必要把它转换到我们物理世界的3维空间中，如果非要转换的化，可以把超过三维的哪些维度用不同的颜色，形状...来表示

长见识了，非常感谢推荐lean工具

我自己用lean做cs方向一段时间了，然后试了一下用mathlib学一些本科数学，印象比较深的点有两个：（1）反馈相比光看书强太多了，做证明题和例题马上知道自己对不对，（2）和写代码一样，有时我并不care某个东西的具体实现，只是想拿来用，等到需要再去了解；自己看书很难达到这样的效果，因为对于一个我不理解的定理，我不能保证我一定能用对，但是用lean的话我能知道我是否漏了某些条件。个人觉得这种便利性可以提高效率。

剛看完陶哲軒演講演算法就給我推你的影片

1:50 lean code 是如何成功證明的？跟代碼的關聯性為何？很適合開幾期來教學一下！

出片了！！

更新了！🎉

很好的视频，但有一个问题。我对四维到三维的投影有了一些认识，但对四维空间本身还是没什么理解，太难了。博主不是承诺对四维空间本身有一个感性的认知吗？加油

0:00 開場 0:52 定理的網絡 2:46 3.1 Algebra 中的節點 8:45 3.2 代數 13:12 3.3 分析 19:13 3.4 其他的二年級數學 21:21 3.5 高年級數學

0:00 開場 1:50 2.1代碼--信息的流水線 7:14 2.2數學--命題的流水線 11:38 2.3 LEAN、mathlib與數學地圖

感謝原 PO (博主嗎?) 做出了我當初學 Agda 和直構邏輯時想做類似的事，看到能夠有一張視覺化地圖真得很驚人。以下順帶提供 youtube 的分節功能： 0:00 開場 2:51 1.1數學中的「車軲轆話」 6:55 1.2邏輯的起點 12:30 1.3「嚴謹」的終點

后续是不是可以考虑开源

这就是艺术，用照相机的二维取景器推理出一个三维取景器用来观察四维空间，相当好的切入点，一场空间想象力的智力体验，发现新维度的愉快。比那些奇怪流派所谓高价艺术品更有价值。

真是很不錯，謝謝博主

四維是不是直接一眼就能看到一個物件的所有角度？？

有了这个库可以彻底终结大量奇奇怪怪的讨论比如0.9循环9究竟等于不等于1，或是什么全体自然数的和是不是-1/12。反正能基于现有的定理形式化证明，如果真的写出来了，要么是公理有问题，要么是真的……

感謝你的提供 太強了！ 用2維畫面畫四維物體 太強了！ 厲害厲害！！！ 我一次就看懂了

我想說很多話，但是懶得打字，所以就簡單總結一下吧，我個人認為我們永遠無法理解和感受更高緯度，我們最多也只能想像出四維在我們認知的空間裏的投影。但是投影畢竟只是投影，不是真正的四維，就好比二維世界沒有高度的存在，所以不論怎麼做，都無法感受不存在的東西。用降維思考方法來推導的話，四維空間就是你在看一個物體的時候，能同時看到它的全貌和內在結構，並能繞過三維直接干預該物體的內部結構，這點光是想像就很難了。就好比我們畫個圓，在不破壞這個圓圈周長線的情況下，可以在裏面添加或擦除線條或圖形。

一些想像的tips 1. 平時自己的眼睛 相當於「二維的照相機」去了解「三維的世界」 (因為人眼或照相機本身就是個二維的畫面) 但在想像四維時 要把自己本身這個人 當成「三維的照相機」去了解「四維的世界」 (因為人的認知本身是一個三維的畫面) 2. 二維的照相機在看三維的世界時 有一些「結果」比如說在看一個二維的平面 或一個三維的立方體時 移動相機所帶來的變化 那些變化也可以說是一個「既定的結果」 也可以反過來說是二維照相機(視角)的「規則」 但在三維照相機 我們並沒有經驗 所以要把裡面的「結果」變成「規則」 去看四維的世界 比如說鏡頭怎麼怎麼動時 一個三維的超平面或四維的超立方體 所帶來「視角的變化」

花了兩個小時看 看懂了 講得很清楚 感謝

真的很感謝 UP 主，很有幫助。

但up我有個問題，Lean 這些東西都用 Type theory 做的，所以 Type theory 的模塊不會單獨出現，可是這樣你的數學地圖不就少了 Type theory 嗎

感謝博主，在看完影片後，多於多邊形模組的觀測及描述具體了許多

相當棒的視頻,一直是數學小白看了大神的視頻對數學燃起興趣,想請問大神這數學地圖和4D的程序指令要用甚麼軟體?怎麼操作?

看完好想重學數學，又不知從何學起

超级棒！不知道能不能期待一下计算机专业的类似可视化！

非常高质量的视频，整体展示了数学系统的分类架构；不过有个问题，为啥几何的位置这么靠右侧呢？感觉欧几里得的几何是最早实现公理化的系统，而且代数与几何本质上应该是表示数学逻辑的两种表现形式，内在是相通的，在数学系统中所处的位置应该差不多吧？感谢up主的辛苦工作了

以前在學數學的時候一直在思考概念上有沒有這樣的地圖存在，礙於才疏學淺、信息搜索能力有限一直沒有查到是否真的有這樣的概念的想法存在，今天算是被我碰到運氣了，感謝Up開拓我的認知視野。

我二十多年前上大学的时候，致力于自己手动建立这样的数学地图，当然最终半途而废了。

大神请继续更新

感谢！

TH-cam 似乎会先发压缩画质的版本？原视频是4K的，大概TH-cam要再处理一下。 Github 链接：github.com/Crispher/MathlibExplorer 制作的过程中我感觉到这样的内容还是由数学专业选手制作更合适。不过既然是我做了可视化，就由我来做一个相对基础的介绍，抛砖引玉，请学数学的朋友们多多指教～ 程序跨平台编译问题很多，在windows上的测试很有限。如果在你的系统上不能运行可以在github上提issue。

yugu，你好！感谢您精彩的讲解，很有启发意义。 我有一个疑问，三位空间的投影规则能应用到四维空间吗? 我认为我们在做一维，二维和三维的投影时，都是以三维空间为背景进行的。你视频中的四维立方体也应该是遵循三维空间的投影规则。

是不是要先确定光线光子在四维空间中的运动路径？折射，反射，散射，... 之后，才能确定肉身人类会看到什么样的景像， 毕竟，「看」这个动作脱离不了光线， 看了之后，才有可能理解， 理解之后，才有可能感受，和做出正确的预测，

数学家A：没人比我更细 数学家B：不你错了， 我比你更谨

構造函數 + prototype

距离的定义理应无法替代和消解勾股定理证明本身的价值，割补证明的价值理应在其他地方凸显。

第四維就是"無常"啊，也就是俗稱的時間，有變化才有時間，我們現在都在同一個方向的時間變化中，你們想想，整個宇宙啥都沒有的時候有沒有"無常"這個東西？而一旦變動出現，就產生了各種可能性，而連續的可能性構成了時間，朝著某個方向的時間線前進，就是我們體驗的三維人生，也就是無常，三維的個體可以三維中活動，而四維的層次可以在時間中活動，比較粗暴的舉例：如果一個人可以在四維中活動，你可以看到他從小孩變成老人，再從老人變成小孩，而第五維度我認為是"可能性"，也就是俗稱的平行宇宙，如果一個人可以在五維中活動，你可以看到他切換各種不同的版本

要更進階直觀的體驗四維相機, 也可以借助目前有的VR設備, 把四維超體渲染進三維VR環境, 透過VR讓人感受, 操作就不會是範例網站的平面影片投影, 而是實際可感受的多角度立體投影, 雖然人眼VR可感受的依舊是二維, 但包含景深的VR環境肯定更可以建立直覺