Als sehr alter Mann macht es mir sehr Freude Ihre ausserordentlich sehr gute Darstellung von Rechenthemen anzuschauen und mit zurechnen. Sie werden eine sehr gute Mathelehrerin, davon bin ich zu 100% überzeugt. Vielen lieben Dank für Ihre Arbeit :)
Ich habe das Rätsel so gelöst, indem ich die Fläche eines Kreissegments berechnet habe. Diese bekommt man, indem man die Fläche des Viertelkreises minus der Fläche des Dreiecks rechnet, also 0.5²π/4-0 5*0.5/2. Dann hab ich das Ergebnis mit 8 multipliziert, da wir ja 8 Segmente haben und bin somit auch auf 0.57cm² gekommen.
Ich habs genauso gemacht. Das hat mich dann weitergeführt und ich wollte diese Fläche allgemein für jeden Kreis in eine Formel packen. Also wenn man den Kreis in n Teile teilt, wie groß ist dann die Fläche zwischen 1/n * Umfang und der Grundseite 1/n des Dreiecks. Das hat richtig Spaß gemacht und nach bisschen Nachdenken, hab ich es geschafft :D
Der Vorteil, wenn man so rechnet ist, dass man ähnliche Aufgaben allein durch abzählen lösen kann. Am besten man löst das einmal allgemein für ein Viertelkreissegment: r^2(π-2)/2 und muss dann nur mehr der Anzahl der Kreissegmente multiplizieren. Das spart bei Prüfungen nicht nur Zeit, sondern es ist übersichtlicher und damit weniger fehleranfällig.
Bitte so lange wie möglich Pi nicht auflösen. Halbkreis minus Dreieck ergibt 2 von 8 Sektoren. Deshalb ist das Ergebnis: ( 1/8*Pi - 1/4 ) * 4 = 0,5708 bezogen auf das „Einheitsquadrat“ mit der Seitenlänge 1
Bisher wusste ich gar nicht, dass Mathematik auch so dekorativ sein kann 😉 🌸 Da blüht einem was 😁 Susanne macht immer sehr unterhaltsame und interessante Videos, stets mit viel Freude und Begeisterung. 👍Bei diesem Geometrie Rätsel habe ich den gleichen Lösungsweg angepeilt, man kann auch mal um die Ecke denken 😉
Meine Überlegung war, dass sich die 4 Halbkreise zu 2 Vollkreisen ergänzen. Die Fläche ist leicht ausgerechnet. Davon dann einmal das komplette Quadrat abziehen, und die Fläche der Blume bleibt übrig. Kommt auch 0,57... raus
Das ist eine sehr schöne Idee. Das muss man auch erst einmal sehen, dass beim Subtrahieren des Quadrats alle doppelt berechneten (sich überlappenden) Halbkreisflächen übrig bleiben.
Ich fände es eleganter, pi solange wie möglich als pi stehen zu lassen und erst im allerletzten Schritt in einen Dezimalbruch umzuwandeln. pi/2-1 ist irgendwie griffiger als 0,57. Ich weiß nicht, was in der Unterstufe gefragt ist, aber ich finde die Darstellung von blackpenredpen gut, wo er das Endergebnis als Darstellung mit pi stehen lässt und nur zur Info, falls er ein Koordinatensystem benutzt, als Dezimalbruch hinschreibt. Großes Lob für Deine Videos. Ich hatte Mathe LK und bin jetzt Buchhalter. Sehr unterhaltsam und für Schüler wahrscheinlich sehr lehrreich wegen Deiner ausführlichen und entspannten Entwicklung der Lösungen. 👍
Mir erschien es am Anschaulichsten, 4 Halbkreise überlappend in das Quadrat zu legen und dann einmal die Fläche des Quadrates abzuziehen. Es bleiben die Überlappungen übrig, eben das Kleeblatt.
Es macht immer wieder Spaß, deine Mahe-Rätsel zu lösen! 😊 Ich bin wiefolgt vorgegangen: Ich habe zunächstmal zwei Halbkreise (einen Kreis) berechnet: K=π*r² = π*0,5² = 0,25π. Diesen Wert habe ich von der Gesamtfläche des Quadrats abgezogen: =(1*1)-0,25π = 1-0,25π. Dieser Wert entspricht nun der Hälfte der weiß dargestellten Flächen. Diesen nochmal mit 2 multipliziert ( 2*(1-0,25π)) ergibt 2-0,5π=0,429. Das ist die Gesamtfläche der weiß dargestellten Felder. Das ganze vom Wert der Fläche des Quadrats abgezogen ((1*1)-0,429=0,571) ergibt dann den Wert der gesuchten Fläche.
Habe schon auf ihre "Wochenendaufgabe" gewartet. Habe zwischenzeitlich festgestellt, dass jetzt etliche Trittbrettfahrer im Internett gibt - kann man mehr Lob erhalten? Sie und ihr Team machen es wirklich gut. Bin doch aber etwas langsamer, naja mit fast 80. Habe es aber auch rausbekommen und dann erst reingesehen. Bleiben sie gesund!
Danke! Hallo Susanne, super Video. Von so außergewöhnlichen Aufgaben habe ich noch nie gehört. Du hast wirklich eine elegante Lösung präsentiert. Ein schönes, sonniges Wochenende!
Vor dem Videoschauen: Radius r = 1/2 cm Fläche Kreissegment (90°) = r²/2 * (π/2 - sin(π/2)) (im Bogenmass) Es gibt 8 solcher Kreissegmente (je zwei davon bilden ein «Blatt»): A = 8 * (r²/2 * (π/2 - sin(π/2))) A = 8 * ((1/2)²/2 * (π/2 - sin(π/2))) = 8 * (1/8 * (π/2 - sin(π/2))) = (π/2 - sin(π/2)) = (π/2 - 1) ≈ 0,571 A ≈ 0,571 [cm²] Nach dem Videoschauen: Deine Lösung, Susanne, ist natürlich noch einen ganzen Ticken einfacher. Zudem hätte ich dafür nicht die Formel für die Fläche des Kreissegments nachschlagen müssen. ;)
Hallo Susanne, ein inspirierendes Video! Meine Lösung für Rechenfaule und Teigmäuse: Vor uns liegt ein quadratisches Stück Teig mit der Kante 1 Einheit. Jetzt steche ich 4 Halbkreise (= 2 ganze = 2*pi*(1/2)^2 = pi/2) aus. Der Teig ist vollständig weg. „HALT!!!“, schreit da der Teig, „soviel bin ich doch gar nicht!“ „Das macht nichts“, entgegnete die Mathematik, „du bestehst genau aus 1-pi/2 = -0.5708 Einheiten und der Betrag davon ist die Fläche der Blütenblätter 😃.
Weitere Variante: Die oberen Blütenblätter unten dranhängen, die gesuchte Fläche ergibt sich dann aus Kreisfläche minus Karo = Kreisfläche minus (Quadratfläche minus 4 Viertelkreise) = 2*Kreisfläche minus Quadratfläche = 2r²π - (2r)² = 4r²(π/2 - 1) = a²(π/2 - 1) = (π/2 - 1)cm²
Hallo Susanne, eine nette Aufgabe. Trotzdem einen ganz kleinen Kritikpunkt: Die Einheiten sollten bei jedem Schritt mitgenommen werden. Das ist später für alle Lernenden wichtig, wenn sie die Mathematik in der Physik anzuwenden haben, denn das Mitnehmen der Einheiten hat auch immer die Kontrollfunktion zu überprüfen, ob die Rechnung korrekt durchgeführt wurde. πr² => π*(0,5cm)²= π*0,25cm² Bitte nimm es nicht kleinlich. Mathematik ist nun mal in der Physik das wichtigste Handwerkszeug und das Rechnen mit dimensionslosen Zahlen (Flächeneinheiten oder Gewichtseinheiten) in der Mathematik ist ja nun mal eine Vorbereitung auf das, was in der Physik allgegenwärtig ist.
@@Nikioko Erzähle das einem Ingenieur, einem Studenten an einer technischen Hochschule oder einem, der Physik lernt. Die Mathematik mit ihren dimensionslosen Einheiten ist eine Vorstufe zu dem, was in der Physik zum alltäglichen Handwerk gehört und unabdingbar ist. Gerade in der Mathematik wird eine angehender Student oder Abiturient darauf vorbereitet, MIT Einheiten zu rechnen. Wenn du meinst, dass Susanne einen Fehler gemacht hat, dann trage es höflich vor und nicht als Vorwurf oder unbelegte Behauptung. Merke: Wer etwas behauptet ist immer in der Situation, seine Behauptung belegen zu müssen! Der einzige Punkt, der hier noch kritisierbar wäre ist der, dass anstatt des Gleichheitszeichens nach dem Ermitteln der ersten Fläche das hier genommen werden müsste: ≈
@@ralfurban8165 Einheiten sind eine Sache. Aber durch gerundete Zwischenergebnisse kommt ein falscher Zahlenwert heraus, der sich bis zum Ende fortpflanzt und sogar vergrößert. Deswegen formt man die Gleichung mit Variablen um und setzt erst ganz am Ende die Zahlenwerte ein. Die Einheiten können dabei als Kontrolle dienen, ob man die Terme richtig umgeformt hat. Aber wirklich sind die signifikanten Stellen. Kein Ergebnis kann genauer sein als der ungenaueste Wert, mit dem man gerechnet hat. Und wenn man unterwegs schon ohne Not auf drei signifikante Stellen rundet, dann ist das Ergebnis schon in der dritten Stelle unsicher. Und damit ist das Ergebnis dann unabhängig von der Einheit schon mit 1% fehlerbehaftet.
Ich hatte auch das weiße Segment berechnet über das Quadrat abzüglich des Vollkreises. Dann die Segmente mit 2 multipliziert und das Ergebnis von der Fläche des Quadrates abgezogen. Da das Ergebnis das selbe ist, habe ich wohl richtig gerechnet. 🙂
Mit (r hoch zwei) * pi, kommt man zum Kreis. Und davon die zwei weißen Flächen abgezogen, schon hat man ihn, den Rechenbogen. Die rote Blume mit vier Blättern ist wie Glücks-Klee und dessen Vettern. Die Fläche mehr als halb so groß wie das Quadrat: einfach famos! Geometrie ist elegant, Susannes Art zudem charmant!
Ich habe es so ähnlich gemacht mit zwei Unterschieden. Ich habe einfach die weisse Fläche verdoppelt und dann vom Quadrat abgezogen. Ausserdem mag ich es immer nicht, mit gerundeten Zwischenergebnissen weiterzurechnen, weil sich Rundungsfehler aufsummieren können und das Endergebnis verändern können. Die Kreisfläche ergibt sich wie im Video beschrieben aus pi*0.5^2=pi*(1/2)^2=pi/4. Damit ergibt sich die weisse Fläche aus 1-pi/4. Somit unsere Blume aus 1-2*(1-pi/4)=1-2+pi/2=pi/2-1. Wenn man das dann ausrechnet kommt man auf 0.571 gerundet. Wenn man wie im Video mit gerundeten Zwischenergebnissen rechnet, kommt man auf 0.570. Der Unterschied ist in diesem Fall also minimal. Wenn man aber mit anderen Rechenoperationen wie höheren Potenzen oder gar Exponentialfunktionen oder Logarithmus rechnen muss, können die Unterschiede manchmal durchaus grösser sein.
Wenn man die Teile etwas anders arrangiert, kann man zwei Kreise zusammenbauen, in denen ein einbeschriebenes Quadrat fehlt. Dieses besteht jeweils aus zwei Dreiecken. Diese insgesamt 4 Dreiecke lassen sich zu dem Ursprungsquadrat zusammensetzen. Lösung ist also 2*pi*r² - d². D ist der Kreisdurchmesser und gleichzeitig die Kantenlänge des großen Quadrats (1cm), r ist der Radius (0,5cm). Eingesetzt gibt das dann 2*pi*(0,5cm)² - (1cm)² = 0,5pi cm² - 1 cm² ≈ 0,57 cm²
Könntest du vielleicht ein Video machen zum Satz von Stokes und dem Satz von Gauss? Habe noch kein Video dazu gefunden wo dieses Thema leicht erklärt wird und deine Videos sind immer super verständlich.
Ich habe gestern meine Nichte mit ihren Hausaufgaben geholfen und sie hatte exact die selbe Hausaufgabe. Ich konnte ihr nicht helfen, weil ich keine plan hatte. Danke dafür. Und dabei war die Lösung eigentlich einfach 😂
Es gibt auch eine Möglichkeit der Lösung über Integration: Kart. Koordinatensystem im Mittelpunkt der Figur. Gleichung des Kreises in allgemeiner Lage: (x-x0)^2 +(y-y0)^2 =r^2. Gewählt habe ich den 1. Quadranten: Die Mittelpunkte der 2 Kreise: P1=(r,0), P2=(0,r) führt zu den beiden Relationen y1=+/- sqrt(r^2-(x-r)^2) und y2= r +/-sqrt(r^2-x^2). Damit die Figur entstehen kann muss man bei y1 die positive und für y2 die negative Wurzel wählen. y1=sqrt(r^2-(x-r)^2) y2=r-sqrt(r^2-x^2). Die Integrationsgrenzen sind 0 und r . A/4 = Integral 0 bis r y1(x)dx - Integral 0 bis r y2(x) dx. Die Substitutionen z=x-r und z bzw x = r*sin(u) führen zu A/4 = r^2*(pi-2)/2 bzw. A =2*r^2(pi-2) für den Flächeninhalt der Figur. Man kann vermutlich auch über ein DoppelIntegral mit den Kreisgleichungen zum Ergebnis kommen. Die Integrale sind in diesem Beispiel auch nicht bzw. nur wenig bösartiger Natur und vergleichsweise einfach lösbar.
Hallo, Die Blume sind ja die überschneidenden Flächen der 4 Halbkreise. Also hab ich Ao*2 genommen. Hier kommt dann 1,57cm^2 raus, wenn man den eigentlichen Flächeninhalt abzieht, bekommt man den Flächeninhalt der überschneidenden Flächen heraus, also 0,57cm^2
Quadratseite = 2r, Fläche Quadrat= (2r)^2= 4r^2 Vier Halbkreise=zwei Kreise Fläche davon (ohne Überschneidung)= 2x(r^2xπ) Mit Überschneidung haben sie aber genau die Fläche des Quadrats. Die Überschneidungsfläche ist also die Fläche der Kreise ohne Überschneidung abzüglich der Fläche der Kreise mit Überschneidung: 2 x r x r x π - 4 x r x r = 2r^2 (π-2) Einsetzen der gewünschten Länge von r=0,5 2x0,25 (π-2) macht gerundet: 0,5x1,14= 0,57
Im Quadrat sind 4 Halbkreise (2 Kreise), die teilweise überlappen. Die rote Fläche ist also die Differenz zwischen dem Flächeninhalt von 2 Kreisen und dem Quadrat.
Wirklich schönes Video. Ich habe die Fläche berechnet, indem ich einfach die Fläche des Quadrates von der Fläche zweier deiner Kreise abgezogen habe. Da die zu berechnende Fläche ja komplett aus Überlagerungen von an den Quadratkanten angelegten Halbkreisen besteht, ist das quasi das, was von den Kreisen nicht ins Quadrat passt. Ich hoffe, dass das nachvollziehbar erklärt war. ^^
Sehr cool. Wir können auch die Fläche eines Blütenblatts finden, indem wir die Differentialrechnung verwenden und die Fläche unter dem Kreis c1 berechnen: x2 + (y-0,5) ^ 2-0,25 dann die Fläche unter dem Kreis c2 subtrahieren: (x-0,5 )^2+y^2-0,25
Meine Lösung: Die Figur mit einem horizontalen Schnitt durch die Mitte teilen, dann die untere Hälfte oben ansetzen. Die rote Fläche liegt dann vollständig in einem Kreis mit dem Radius 0,5cm. Dann ein Quadrat (45° gedreht) innerhalb des Kreises einzeichnen. Dieses Quadrat teilt die roten Bereiche zur Hälfte. Seine Kantenlänge ist SQR(2)/2 (Pythagoras), seine Fläche 1/2. Die Kreisfläche minus der kleineren Quadratfläche ist die halbe Fläche der roten Bereiche, also PI/4 - 1/2. Die gesuchte rote Fläche ist doppelt so groß, also PI/2 - 1.
Der Vollständigkeit halber: die allgemeine Lösung bei einer Seitenlänge des Quadrats mit Seitenlänge a ist -> A = a²((1/2)*π - 1) Man kann die Aufgabe erst einmal mit allgemeiner Seitenlänge des Quadrats lösen, was relativ einfach ist und dann für a=1 einsetzen.
Ich habe mal als Prinzip gelernt, bis zum Schluss mit π (bzw. jeder anderen irrationalen Zahl, so sie denn vorkommt, etwa eine Wurzel) zu rechnen, das Ergebnis [in diesem Fall (π/2 - 1) cm²] so anzugeben und erst dann in einem Aussagesatz den gerundeten Wert in der jeweiligen Einheit zu nennen. Runden als Zwischenschritt dient nur zur persönlichen Kontrolle, ob das Zwischenergebnis plausibel ist, nicht zum Weiterrechnen. Ist dieses Prinzip im 21. Jahrhundert aufgegeben?
Nein. Das gilt heute auch noch so. Da kann ich Sie beruhigen. Niemals Zwischenergebnisse runden und damit weiterrechnen. Allerdings müssen wir das unseren Erstis auch noch recht oft sagen. Also so ganz verstanden haben das bei weitem noch nicht alle.
Vier Halbkreise mit dem Durchmesser 1 werden in ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 gelegt. Gesucht ist die Größe der Überlappungsfläche. Die Fläche der Kreisteile ist 2*pi*(0,5)^2, die Fläche des Quadrates ist 4*(0,5)^2 (= vier Quadrate mit der Seitenlänge 0,5). Dann hat die gesuchte Fläche eine Größe von (2*pi-4)*(0,5)^2=(2*pi-4)/4, also ungefähr 0,5708.
Geht mit der Fläche des Kreissegments. Ein errechnetes Kreissegment bildet genau die Hälfte der Fläche eines der 4 Teile des Kleeblattes, da die Sehne genau durch deren Mitte läuft. Gegeben r = 0,5cm und Winkel Alpha = 90°. A = ((0,5cm)²/2) x [((90°x π)/180°) - sin(90°)] A = 0,0713cm² Fläche (Kleeblatt) A = 0,0713cm² x 8 A = 0,57cm²
Wirklich gutes video. Ich stand erst mal wie der Ochs vor'm Berg und hab die Lösung nicht gesehen. Aber es ist herrlich einfach, wenn man den Weg sieht wie man zum Ergebnis kommt. Mehr davon bitte. VG vom Ingenieur.
Ok bevor ich das Video gesehen hab mein Vorschlag 😊: 1) Ich rechne mir son viertel Kreis aus ( Π * 0,5² ) / 4 2) Ich möchte jetzt die kleine Freifläche statt dem Kreis, also das 0,5x0,5 Quadrat minus den viertelkreis 0,5² - ( Π * 0,5² ) / 4 3) Die rote Form ist das Quadrat minus 8x diese Fläche Grüße
Würdest du ein Video über das Volumen oder die Oberfläche von T-förmigen Rohren machen? Also zwei Rohre die senkrecht zueinander stehen und passgenau ineinanderlaufen. Da würd ich mich drüber freuen :)
Ich habe einen anderen Lösungsweg gesehen als erstes. Jedoch muss ich sagen, dass deiner sicherlich der intuitivere ist. Ich habe 2(pi*(0,5cm)^2)-1cm^2 gerechnet. Mit Worten: Ich habe die vier Halbkerise berechnet und anschliessend minus das Quadrat. Dies ergibt mit die überlappende Fläche (aka die Rote). Dies ging natürlich nur, da nichts doppelt überlapt war.
Cooles Video 😀 Ich habe es mit einem kleinen bisschen Unterstützung von dir gelöst, habe allerdings erstmal eine Hälfte betrachtet und sowohl den Flächeninhalt des Halbkreises als auch des Rechtecks (halbes Quadrats) berechnet. Aus der Differenz habe ich die Fläche der weißen Freifläche bekommen und dann von dem 1cm^2 großen Quadrat entsprechend viele Freiflächen abgezogen.
Ich habe (wie andere hier auch) die Quadratfläche minus zweimal die weiße Fläche gerechnet. Die Gleichung kann man dann vereinfachen zu pi/2-1 als Fläche für die Blume. Das finde ich noch etwas schöner als zu runden.
Peter Volgnandt Dieses Video habe ich wie so viele von dir mit Vergnügen genossen. Dazu würde passen die Seite mind your decisions auf you tube, wo vor ein 10 Tagen ein ähnliches Problem mit drei sich überschneidenden Kreisen gestellt wurde. Erklärung ist auf englisch, aber man versteht es trotzdem wunderbar. Die Sprache der Mathematik ist doch universal.
in diesem Fall ohne Runden mit Dezimalzahlen AB(1)= 1 - (2 - π/2) = π/2 - 1 skalierbar für jedes Quadrat mit der Seite a und Kreis mit Radius a/2 mit der Formel AB(a)= ½ x π x a² - a² = a² (π/2 - 1) als Funktion f(a) mit a є |R ergibt sich ein parabelförmiger Verlauf....
Anderer Lösungsweg: Ich zeichne die beiden Diagonalen in dem Quadrat und erhalte so 4 rechtwinklige gleichseitige Dreiecke. Der Flächeninhalt eines Halbkreises mit dem Durchmesser 1cm minus dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks = 1/4 Quadrat ergibt genau 2 halbe Kleeblätter, also genau ein ganzes Kleeblatt: 1 Kleeblatt = π*(1/2)²/2-1/4 = π/8-1/4 = (π-2)/8 4 Kleeblätter = 4*(π-2)/8 = (π-2)/2 ≈ 0,57 cm²
Sehr cooles kleines Rätsel. Ich fände es nur besser, wenn du das pi nicht gleich "wegmultipliziert" hättest, dann käme als Antwort nämlich pi/2 - 1 statt 0.57... heraus, was mMn besser ist, weil das mehr Informationsgehalt hat als eine "flache" Zahl. So kommt man dann zur Verallgemeinerung f(x) = x²((pi/2) - 1) Und dann kann man das ableiten (df/dx = x(pi - 2)) und sonst was damit machen.
: Sehr lustiges Video. Ein Lösungsansatz ist auch, die Fläche des Einheitskreises zwei mal von der Fläche des Quadrats zu subtrahieren. Wenn man die Farben umkehrt, bzw sich auf die weißen Flächen konzentriert, dann sieht man, dass diese zwei man die Umrisse eines Kreises bilden.
Ich hab mir zuerst nur 1 Viertel des gesamten Quadrats angeschaut. Der Viertelkreis wäre ja ein Viertell von von 0,5^2*Pi, also ein Viertel von (1/2^2)*Pi also ein Viertel von (1/4)*Pi, also (1/16)*Pi . Das restliche weiße in diesem Viertel-Quadrat wäre also 1/4-((1/16)*Pi). Das ganze brauch ich jetzt aber 8 mal, wei es 8 solche weißen Flächeb gibt, also mal 8: 2-Pi/2. Jetz hab ich aber das weiße und brauche das rote, also einfach 1 minus das weiße: 1-(2-Pi/2)= Pi/2-1
Es geht einfacher: Verbinde die Ecken zum Mittelpunkt und ziehe dieses Dreieck vom Halbkreis ab, so erhältst Du die Fläche eines Blütenblattes = 1/2 x 1/4 x pi - 1/2 x 1/2 x 1 = 1/8 Pi - 1/4 Jetzt mal 4 Blätter Ergebnis 1/2 Pi - 1 ≈ 0,57
Warum wurden so schnell Zahlen eingesetzt? A quadrat = 1 cm² A kreis = Pi * 0.5² cm² = 1/4 * Pi cm² A weiße Fläche = (1 - 1/4 * Pi) cm² A komplette weiße Fläche = 2 * (1 - 1/4 * Pi) cm² rote Blume = (1 - 2 * (1 - 1/4 * Pi)) cm² = (1 - (2 - 1/2* Pi)) cm² = (1 - 2 + 1/2 * Pi) cm² = (1/2 * Pi - 1) cm² Und das könnte man ausrechnen. Das ist halt 0,5707963... cm² Aber ich finde das Ergebnis 1/2 * Pi - 1 doch sehr anschaulich. Es ist kein besonders komplizierter, umfangreicher Ausdruck. Warum wurden dann so frühzeitig Zahlen eingesetzt?
Ich finde es verständlicher, wenn man die weiße Fläche, die du berechnet hast *2 nimmst und dann das Rechteck (1cm²) - dem Ergebnis der weißen Fläche (0,215*2=0,43) rechnest. Ergibt auch den Flächeninhalt von der Roten Fläche :)
Mein Lösungsansatz erscheint im nachhinein etwas umständlich. Ich habe dafür zunächst nur ein Viertel der Gesamtfläche betrachtet und habe dann mit A=r²/2*(α𝞹/180°-sin(α)) = 0,07135 cm² die Fläche für ein Kreissegment berechnet. Diese Fläche dann mal 8 um auf A(rot) = 0,5708 cm² zu kommen.
Ich habe 8 mal den Flächeninhalt eines halben Segments genommen. A = 8 * (0,5²*pi/4 - 0,5²/2) Oder 2 mal deine weißen Teilstücke subtrahieren: A = 1² - 2*(1² - 0,5²*pi)
Die Fläche von einem Halbkreis berechnen = 0.3925 cm² Das abziehen von der Hälfte des Quadrates 0.5 - 0.3925 =0.1075 cm² Das Ergebnis halbieren = 0.05375 cm² Diese Fläche entspricht einem weißen Anteil in einem Viertel der Ausgangszeichnung Diese 0.05375 von der Achtelfläche des Quadrates abziehen 0.125 - 0.05375 = 0.07125 cm² 0.07125 ist die Hälfte eines " Blattes" . Daher 0.07125 x 8 ( weil 4 " Blätter" vorhanden) Ergebnis 0.57cm²
Dankeschön für das Rätsel aber warum einfach wenn's auch kompliziert geht? Da mir deine wunderbar einfache Lösung nicht eingefallen ist, mir aber sofort die Kreisformel in den Sinn kam (x^2+y^2=1), habe ich mir die Funktionen für 2 Halbkreise mit dem Durchmesser 1 gebastelt, die sich so überschneiden, wie im Bild {1. y=sqrt(0,25-x^2) und 2. y= - sqrt(0.25-(x+0.5)^2)+0.5}. Danach faul die Geogebra-Funktion Integralzwischen beiden Funktionen von -0.5 bis 0 ausrechnen lassen (ergibt den Flächeninhalt für 1 Blatt) und das ganze dann mal 4.
Ich habe die Diagonalen gezeichnet und somit 2 Kreise mit Quadrat innen bekommen. Dann berechnet sich das ganze folgendermassen: 2×(0.5^(2)×π−2×0.5^(2))
ich habe das rätsel gelöst, indem ich alle 4 identifizierbaren halbkreise (insgesamt 2 ganze kreise) zusammengerechnet habe, die halbkreise überlappen sich bei der erwünschten fläche, und das quadrat abgezogen habe. 2 * 0,5² * π - 1
Ich finde es schade, dass im Video nur mit (gerundeten) Dezimalzahlen gearbeitet wird. Ich bevorzuge wie viele andere in den Kommentaren den "korrekten" Weg, bei dem das Ergebnis bis zuletzt mit π dargestellt wird, also z.B. in der Form π*d²/2 - d² oder d²(π/2 - 1), wobei d der Durchmesser des Kreises, bzw. die Kantenlänge des Quadrats ist. Im Beispiel gilt d=1cm, das Ergebnis ist also (π/2 - 1) cm² = 0,5708 cm²
Ja genau. Sowas nennt man afaik Freistellen. Man schreibt eine Gleichung hin - in diesem Falle d²-2(d²-d²π/4) - und vereinfacht sie soweit, dass die Variablen möglichst nur einmal drin sind. Als Erstes also d² ausklammern -> d²(1-2(1-π/4)), als zweites die Klammer in der Klammer auflösen -> d²(1-2+π/2) und als letzes vereinfachen -> d²(π/2-1). Erstens und Zweitens+Drittens kann man natürlich auch vertauschen, wie du das gemacht hast.
Ich hab bei der Aufgabe gleichen einen Blackout bekommen und mir erstmal deinen Lösungsweg angesehen. War am Ende doch ganz einfach, warum bin ich da nicht selbst darauf gekommen?
Die Aufgabenstellung sagt nicht, dass die Figur mithilfe von Halbkreisen gebildet wird. Die Skizze suggeriert es, aber es ist in der Aufgabe nicht angegeben.
Ich möchte auch meinen Rechenweg teilen: 1. Ein Halbkreis berechnen Pi/8 2. Alles 4 Halbkreise addieren 1/2 pi (überlappende Fläche ist die rote) 3 davon nun das Quadrat abziehen. 1/2 pi - 1 = 0,57
Ich hab die 4 Blätter vertauscht, so dass ich einen Kreis bekommen habe, dann hab ich jeweils die innere Hälfte von den Blättern weggedacht, so dass ich in dem Kreis dann ein auf der Spitze stehende Quadrat hatte. Dann die Fläche vom Kreis ausgerechnet (0,25*Pi). Dann das innere Quadrat gedanklich nach aussen gefaltet, dadurch sieht man, dass es genau halb so groß ist wie das äussere, also 0,5. Wenn man nun das innere Quadrat vom Kreis abzieht, bekommt man genau 4 halbe Blätter und die haben eine Fläche von 0,25*Pi - 0,5. Um nun die ganze Fläche von den Blättern zu bekommen das ganze also noch mal 2 und wir sind bei 0,5*Pi - 1, was ungefair 0.57 entspricht.
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht ... ich hatte erst überlegt mit Sinus-Funktionen zu arbeiten (wenn man einen "Hügel" der Blume abgeht und dann in der Quadratmitte quasi ins Tal wechselt - kann ich gerade schwer erklären - sieht das einer Sinusfunktion ja nicht unähnlich)
Ich hatte 2*Pi*0,5^2-1, dann bekommt man 0,571. Ich hatte es so gelöst, wenn man 4 Halbkreise hat, was 2 Kreise wird, dann soll man die Fläche der 2 Kreis berechnen - den Quadrat, der ein Flächeninhalt von 1 hat. Dann bekommt den “Überschuss der Halbkreise, die nicht ohne übereinander legen der Halbkreise hineingepasst hätte.
Ich würde dazu tendieren, Pi bis zuletzt in der Gleichung zu lassen und, wenn überhaupt, erst am Schluss auszurechnen. Das macht es deutlicher und eigentlich auch genauer (jedenfalls so lange wie Pi nicht ausgerechnet und damit gerundet wird). Mein Ergebnis war Pi/2 - 1.
Quadrat = 1 quadrat cm Quadrat minus 1xKreis (0,5 x 0,5 x π) = 1/2 Fläche weises Feld. Das ganze geteilt durch 2 hat man die Fläche eines weisen Feldes. Jetzt mal 4 Rechnen, da es 4 weise Flächen sind. Anschliesend Fläche vom Quadrat minus Fläche weise Felder = Fläche Pink Felder. Oder sehe ich das falsch?
Ha, da hatte ich wohl Tomaten auf den Augen. Die Halbkreisidee kam mir leider nicht, aber prinzipiell bin ich ähnlich vorgegangen. Ich habe das Quadrat noch einmal geviertelt und von diesem kleineren Quadrat einen Viertelkreis abgezogen (Seitenlänge u. Radius jeweils 0,5cm) - das Ergebnis bildet 1 von 2 weissen Flächen im kleinen Quadrat ab welche man also verdoppelt - nun hat man die gesamte weisse Fläche vom kleinen Quadrat und muss diese noch mit 4 multiplizieren um die gesamt-weisse Fläche des großen Quadrats zu erhalten - diese zieht man nun vom Gesamtflächeninhalt des großen Quadrates ab und man erhält als Ergebnis ~ 57,08mm²
genau so, bis auf den Schluss, da hab ich die weisse Fl. einfach x2 und dann von dem 1cm2 Quadratinhalt abgezogen, Ergebnis gleich. sehr witzig, jetzt kann ich meinem Sohn zeigen, daß es eigentlich Spaß macht, in der Schule fand ich es schrecklich.
*Mein komplettes Equipment*
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Als sehr alter Mann macht es mir sehr Freude Ihre ausserordentlich sehr gute Darstellung von Rechenthemen anzuschauen und mit zurechnen. Sie werden eine sehr gute Mathelehrerin, davon bin ich zu 100% überzeugt. Vielen lieben Dank für Ihre Arbeit :)
Ich habe das Rätsel so gelöst, indem ich die Fläche eines Kreissegments berechnet habe. Diese bekommt man, indem man die Fläche des Viertelkreises minus der Fläche des Dreiecks rechnet, also 0.5²π/4-0 5*0.5/2. Dann hab ich das Ergebnis mit 8 multipliziert, da wir ja 8 Segmente haben und bin somit auch auf 0.57cm² gekommen.
Ich habs genauso gemacht. Das hat mich dann weitergeführt und ich wollte diese Fläche allgemein für jeden Kreis in eine Formel packen. Also wenn man den Kreis in n Teile teilt, wie groß ist dann die Fläche zwischen 1/n * Umfang und der Grundseite 1/n des Dreiecks.
Das hat richtig Spaß gemacht und nach bisschen Nachdenken, hab ich es geschafft :D
Habe ich auch so gerechnet.
Ich habe es genauso gerechnet wie du. :)
Der Vorteil, wenn man so rechnet ist, dass man ähnliche Aufgaben allein durch abzählen lösen kann. Am besten man löst das einmal allgemein für ein Viertelkreissegment: r^2(π-2)/2 und muss dann nur mehr der Anzahl der Kreissegmente multiplizieren. Das spart bei Prüfungen nicht nur Zeit, sondern es ist übersichtlicher und damit weniger fehleranfällig.
Bitte so lange wie möglich Pi nicht auflösen. Halbkreis minus Dreieck ergibt 2 von 8 Sektoren. Deshalb ist das Ergebnis: ( 1/8*Pi - 1/4 ) * 4 = 0,5708 bezogen auf das „Einheitsquadrat“ mit der Seitenlänge 1
Bisher wusste ich gar nicht, dass Mathematik auch so dekorativ sein kann 😉 🌸 Da blüht einem was 😁 Susanne macht immer sehr unterhaltsame und interessante Videos, stets mit viel Freude und Begeisterung. 👍Bei diesem Geometrie Rätsel habe ich den gleichen Lösungsweg angepeilt, man kann auch mal um die Ecke denken 😉
Meine Überlegung war, dass sich die 4 Halbkreise zu 2 Vollkreisen ergänzen. Die Fläche ist leicht ausgerechnet. Davon dann einmal das komplette Quadrat abziehen, und die Fläche der Blume bleibt übrig. Kommt auch 0,57... raus
Das ist eine sehr schöne Idee. Das muss man auch erst einmal sehen, dass beim Subtrahieren des Quadrats alle doppelt berechneten (sich überlappenden) Halbkreisflächen übrig bleiben.
Hab ich auch so gemacht.
Habe ich auch so.
Ich bin erst draufgekommen, das Ergebnis von 4:02 zu verdoppeln und dann von den 1cm² abzuziehen aber so geht's auch :D
so rum finde ich das auch einfacher. sobald ich 2x die weiße Fläche habe, muss ich das doch nur 2x von 1cm² abziehen.
Ich fände es eleganter, pi solange wie möglich als pi stehen zu lassen und erst im allerletzten Schritt in einen Dezimalbruch umzuwandeln. pi/2-1 ist irgendwie griffiger als 0,57. Ich weiß nicht, was in der Unterstufe gefragt ist, aber ich finde die Darstellung von blackpenredpen gut, wo er das Endergebnis als Darstellung mit pi stehen lässt und nur zur Info, falls er ein Koordinatensystem benutzt, als Dezimalbruch hinschreibt. Großes Lob für Deine Videos. Ich hatte Mathe LK und bin jetzt Buchhalter. Sehr unterhaltsam und für Schüler wahrscheinlich sehr lehrreich wegen Deiner ausführlichen und entspannten Entwicklung der Lösungen. 👍
Ich hab auch als lösung pi/2 - 1 aufgrschrieben.
Mir erschien es am Anschaulichsten, 4 Halbkreise überlappend in das Quadrat zu legen und dann einmal die Fläche des Quadrates abzuziehen. Es bleiben die Überlappungen übrig, eben das Kleeblatt.
Sehr schöne Idee. Das muss man auch erst Mal sehen!
Es macht immer wieder Spaß, deine Mahe-Rätsel zu lösen! 😊 Ich bin wiefolgt vorgegangen: Ich habe zunächstmal zwei Halbkreise (einen Kreis) berechnet: K=π*r² = π*0,5² = 0,25π. Diesen Wert habe ich von der Gesamtfläche des Quadrats abgezogen: =(1*1)-0,25π = 1-0,25π. Dieser Wert entspricht nun der Hälfte der weiß dargestellten Flächen. Diesen nochmal mit 2 multipliziert ( 2*(1-0,25π)) ergibt 2-0,5π=0,429. Das ist die Gesamtfläche der weiß dargestellten Felder. Das ganze vom Wert der Fläche des Quadrats abgezogen ((1*1)-0,429=0,571) ergibt dann den Wert der gesuchten Fläche.
Habe schon auf ihre "Wochenendaufgabe" gewartet. Habe zwischenzeitlich festgestellt, dass jetzt etliche Trittbrettfahrer im Internett gibt - kann man mehr Lob erhalten?
Sie und ihr Team machen es wirklich gut. Bin doch aber etwas langsamer, naja mit fast 80. Habe es aber auch rausbekommen und dann erst reingesehen.
Bleiben sie gesund!
Danke! Hallo Susanne, super Video. Von so außergewöhnlichen Aufgaben habe ich noch nie gehört. Du hast wirklich eine elegante Lösung präsentiert. Ein schönes, sonniges Wochenende!
Das ist eine Aufgabe aus der 8. Klasse, also in Bayern.
@@juliussenegal6668 ja die ist auch ziemlich einfach
Vor dem Video:
Berechne die Fläche von 4 Halbkreisen. Das Ergebnis sind dann 8 "Blätter" (wegen Überlappungen) + 4 weiße Flächen.
Quadrat entspricht 4 Blätter + 4 weiße Flächen.
Also sind 2 (volle) Kreise - 1 Quadrat = 4 Blätter.
Als Formel: A = 2*π*(0,5)² - 1² = 2*0,25*π - 1 = 0,5*π - 1 = 1,57... - 1 = 0,57...
Vor dem Videoschauen:
Radius r = 1/2 cm
Fläche Kreissegment (90°) = r²/2 * (π/2 - sin(π/2)) (im Bogenmass)
Es gibt 8 solcher Kreissegmente (je zwei davon bilden ein «Blatt»):
A = 8 * (r²/2 * (π/2 - sin(π/2)))
A = 8 * ((1/2)²/2 * (π/2 - sin(π/2))) = 8 * (1/8 * (π/2 - sin(π/2))) = (π/2 - sin(π/2)) = (π/2 - 1) ≈ 0,571
A ≈ 0,571 [cm²]
Nach dem Videoschauen:
Deine Lösung, Susanne, ist natürlich noch einen ganzen Ticken einfacher. Zudem hätte ich dafür nicht die Formel für die Fläche des Kreissegments nachschlagen müssen. ;)
Hallo Susanne,
ein inspirierendes Video!
Meine Lösung für Rechenfaule und Teigmäuse:
Vor uns liegt ein quadratisches Stück Teig mit der Kante 1 Einheit. Jetzt steche ich 4 Halbkreise (= 2 ganze = 2*pi*(1/2)^2 =
pi/2) aus. Der Teig ist vollständig weg. „HALT!!!“, schreit da der Teig, „soviel bin ich doch gar nicht!“ „Das macht nichts“, entgegnete die Mathematik, „du bestehst genau aus 1-pi/2 = -0.5708 Einheiten und der Betrag davon ist die Fläche der Blütenblätter 😃.
Weitere Variante: Die oberen Blütenblätter unten dranhängen, die gesuchte Fläche ergibt sich dann aus
Kreisfläche minus Karo = Kreisfläche minus (Quadratfläche minus 4 Viertelkreise) = 2*Kreisfläche minus Quadratfläche = 2r²π - (2r)² = 4r²(π/2 - 1) = a²(π/2 - 1) = (π/2 - 1)cm²
1-(1-pi*0.5^2)*2= A
Hallo Susanne, eine nette Aufgabe. Trotzdem einen ganz kleinen Kritikpunkt: Die Einheiten sollten bei jedem Schritt mitgenommen werden. Das ist später für alle Lernenden wichtig, wenn sie die Mathematik in der Physik anzuwenden haben, denn das Mitnehmen der Einheiten hat auch immer die Kontrollfunktion zu überprüfen, ob die Rechnung korrekt durchgeführt wurde.
πr² => π*(0,5cm)²= π*0,25cm²
Bitte nimm es nicht kleinlich. Mathematik ist nun mal in der Physik das wichtigste Handwerkszeug und das Rechnen mit dimensionslosen Zahlen (Flächeneinheiten oder Gewichtseinheiten) in der Mathematik ist ja nun mal eine Vorbereitung auf das, was in der Physik allgegenwärtig ist.
Die Einheiten sind unwichtig. Viel schlimmer ist, dass Zwischenergebnisse ausgerechnet wurde, wodurch echte Fehler entstanden sind.
@@Nikioko Erzähle das einem Ingenieur, einem Studenten an einer technischen Hochschule oder einem, der Physik lernt. Die Mathematik mit ihren dimensionslosen Einheiten ist eine Vorstufe zu dem, was in der Physik zum alltäglichen Handwerk gehört und unabdingbar ist. Gerade in der Mathematik wird eine angehender Student oder Abiturient darauf vorbereitet, MIT Einheiten zu rechnen.
Wenn du meinst, dass Susanne einen Fehler gemacht hat, dann trage es höflich vor und nicht als Vorwurf oder unbelegte Behauptung.
Merke: Wer etwas behauptet ist immer in der Situation, seine Behauptung belegen zu müssen!
Der einzige Punkt, der hier noch kritisierbar wäre ist der, dass anstatt des Gleichheitszeichens nach dem Ermitteln der ersten Fläche das hier genommen werden müsste: ≈
@@gougga Danke sehr.
@@ralfurban8165 Einheiten sind eine Sache. Aber durch gerundete Zwischenergebnisse kommt ein falscher Zahlenwert heraus, der sich bis zum Ende fortpflanzt und sogar vergrößert. Deswegen formt man die Gleichung mit Variablen um und setzt erst ganz am Ende die Zahlenwerte ein. Die Einheiten können dabei als Kontrolle dienen, ob man die Terme richtig umgeformt hat. Aber wirklich sind die signifikanten Stellen. Kein Ergebnis kann genauer sein als der ungenaueste Wert, mit dem man gerechnet hat. Und wenn man unterwegs schon ohne Not auf drei signifikante Stellen rundet, dann ist das Ergebnis schon in der dritten Stelle unsicher. Und damit ist das Ergebnis dann unabhängig von der Einheit schon mit 1% fehlerbehaftet.
Kannst du mir bitte erklären wie man auf das Ergebnis 0,785 kommt? Also mit was muss man 0,5 multiplizieren??🙏🏻
knackig und doch gehaltvoll erklärt - wunderbar!
bin über Ar = Aq - 2 (Aq - Ao) zum ziel [Ar=rosa Blumenfl., Aq=Quadratfl., Ao=Kreisfl.]
Ich hatte auch das weiße Segment berechnet über das Quadrat abzüglich des Vollkreises. Dann die Segmente mit 2 multipliziert und das Ergebnis von der Fläche des Quadrates abgezogen. Da das Ergebnis das selbe ist, habe ich wohl richtig gerechnet. 🙂
War auch mein Ansatz. Einfach einmal weniger um die Ecke denken ;-)
Mit (r hoch zwei) * pi,
kommt man zum Kreis. Und davon die
zwei weißen Flächen abgezogen,
schon hat man ihn, den Rechenbogen.
Die rote Blume mit vier Blättern
ist wie Glücks-Klee und dessen Vettern.
Die Fläche mehr als halb so groß
wie das Quadrat: einfach famos!
Geometrie ist elegant,
Susannes Art zudem charmant!
Ich habe es so ähnlich gemacht mit zwei Unterschieden. Ich habe einfach die weisse Fläche verdoppelt und dann vom Quadrat abgezogen. Ausserdem mag ich es immer nicht, mit gerundeten Zwischenergebnissen weiterzurechnen, weil sich Rundungsfehler aufsummieren können und das Endergebnis verändern können.
Die Kreisfläche ergibt sich wie im Video beschrieben aus pi*0.5^2=pi*(1/2)^2=pi/4. Damit ergibt sich die weisse Fläche aus 1-pi/4. Somit unsere Blume aus 1-2*(1-pi/4)=1-2+pi/2=pi/2-1. Wenn man das dann ausrechnet kommt man auf 0.571 gerundet.
Wenn man wie im Video mit gerundeten Zwischenergebnissen rechnet, kommt man auf 0.570. Der Unterschied ist in diesem Fall also minimal. Wenn man aber mit anderen Rechenoperationen wie höheren Potenzen oder gar Exponentialfunktionen oder Logarithmus rechnen muss, können die Unterschiede manchmal durchaus grösser sein.
Sehr geehrtes Fräulein Scherer, Ihre Lösung ist nicht nur überaus anschaulich, sondern auch faszinierend.
Wenn man die Teile etwas anders arrangiert, kann man zwei Kreise zusammenbauen, in denen ein einbeschriebenes Quadrat fehlt. Dieses besteht jeweils aus zwei Dreiecken. Diese insgesamt 4 Dreiecke lassen sich zu dem Ursprungsquadrat zusammensetzen. Lösung ist also 2*pi*r² - d².
D ist der Kreisdurchmesser und gleichzeitig die Kantenlänge des großen Quadrats (1cm), r ist der Radius (0,5cm).
Eingesetzt gibt das dann
2*pi*(0,5cm)² - (1cm)²
= 0,5pi cm² - 1 cm²
≈ 0,57 cm²
Ich liebe deine Matherätsel!!! Gerne mehr davon! 😊
Könntest du vielleicht ein Video machen zum Satz von Stokes und dem Satz von Gauss? Habe noch kein Video dazu gefunden wo dieses Thema leicht erklärt wird und deine Videos sind immer super verständlich.
Ich habe gestern meine Nichte mit ihren Hausaufgaben geholfen und sie hatte exact die selbe Hausaufgabe. Ich konnte ihr nicht helfen, weil ich keine plan hatte. Danke dafür.
Und dabei war die Lösung eigentlich einfach 😂
Es gibt auch eine Möglichkeit der Lösung über Integration: Kart. Koordinatensystem im Mittelpunkt der Figur. Gleichung des Kreises in allgemeiner Lage: (x-x0)^2 +(y-y0)^2 =r^2. Gewählt habe ich den 1. Quadranten: Die Mittelpunkte der 2 Kreise: P1=(r,0), P2=(0,r) führt zu den beiden Relationen y1=+/- sqrt(r^2-(x-r)^2) und y2= r +/-sqrt(r^2-x^2). Damit die Figur entstehen kann muss man bei y1 die positive und für y2 die negative Wurzel wählen. y1=sqrt(r^2-(x-r)^2) y2=r-sqrt(r^2-x^2). Die Integrationsgrenzen sind 0 und r . A/4 = Integral 0 bis r y1(x)dx - Integral 0 bis r y2(x) dx. Die Substitutionen z=x-r und z bzw x = r*sin(u) führen zu A/4 = r^2*(pi-2)/2 bzw. A =2*r^2(pi-2) für den Flächeninhalt der Figur. Man kann vermutlich auch über ein DoppelIntegral mit den Kreisgleichungen zum Ergebnis kommen. Die Integrale sind in diesem Beispiel auch nicht bzw. nur wenig bösartiger Natur und vergleichsweise einfach lösbar.
Hallo,
Die Blume sind ja die überschneidenden Flächen der 4 Halbkreise. Also hab ich Ao*2 genommen. Hier kommt dann 1,57cm^2 raus, wenn man den eigentlichen Flächeninhalt abzieht, bekommt man den Flächeninhalt der überschneidenden Flächen heraus, also 0,57cm^2
Hallo Susanne; interessant und anschaulich!
Quadratseite = 2r, Fläche Quadrat= (2r)^2= 4r^2
Vier Halbkreise=zwei Kreise
Fläche davon (ohne Überschneidung)= 2x(r^2xπ)
Mit Überschneidung haben sie aber genau die Fläche des Quadrats. Die Überschneidungsfläche ist also die Fläche der Kreise ohne Überschneidung abzüglich der Fläche der Kreise mit Überschneidung:
2 x r x r x π - 4 x r x r =
2r^2 (π-2)
Einsetzen der gewünschten Länge von r=0,5
2x0,25 (π-2)
macht gerundet:
0,5x1,14= 0,57
Im Quadrat sind 4 Halbkreise (2 Kreise), die teilweise überlappen. Die rote Fläche ist also die Differenz zwischen dem Flächeninhalt von 2 Kreisen und dem Quadrat.
Wirklich schönes Video.
Ich habe die Fläche berechnet, indem ich einfach die Fläche des Quadrates von der Fläche zweier deiner Kreise abgezogen habe. Da die zu berechnende Fläche ja komplett aus Überlagerungen von an den Quadratkanten angelegten Halbkreisen besteht, ist das quasi das, was von den Kreisen nicht ins Quadrat passt.
Ich hoffe, dass das nachvollziehbar erklärt war. ^^
0,57cm² hab ich auch kurz in 60sec ausgerechnet. Super.
Der Ansatz ist wichtig.
Braucht jeder Gartenbauhandwerker.
Sehr cool. Wir können auch die Fläche eines Blütenblatts finden, indem wir die Differentialrechnung verwenden und die Fläche unter dem Kreis c1 berechnen: x2 + (y-0,5) ^ 2-0,25 dann die Fläche unter dem Kreis c2 subtrahieren: (x-0,5 )^2+y^2-0,25
Meine Lösung: Die Figur mit einem horizontalen Schnitt durch die Mitte teilen, dann die untere Hälfte oben ansetzen. Die rote Fläche liegt dann vollständig in einem Kreis mit dem Radius 0,5cm. Dann ein Quadrat (45° gedreht) innerhalb des Kreises einzeichnen. Dieses Quadrat teilt die roten Bereiche zur Hälfte. Seine Kantenlänge ist SQR(2)/2 (Pythagoras), seine Fläche 1/2. Die Kreisfläche minus der kleineren Quadratfläche ist die halbe Fläche der roten Bereiche, also PI/4 - 1/2. Die gesuchte rote Fläche ist doppelt so groß, also PI/2 - 1.
Dankeschön, ein bisschen länger nachdenken und dafür einfacher zur Lösung kommen. Super erklärt.
Der Vollständigkeit halber: die allgemeine Lösung bei einer Seitenlänge des Quadrats mit Seitenlänge a ist -> A = a²((1/2)*π - 1)
Man kann die Aufgabe erst einmal mit allgemeiner Seitenlänge des Quadrats lösen, was relativ einfach ist und dann für a=1 einsetzen.
Ich habe mal als Prinzip gelernt, bis zum Schluss mit π (bzw. jeder anderen irrationalen Zahl, so sie denn vorkommt, etwa eine Wurzel) zu rechnen, das Ergebnis [in diesem Fall (π/2 - 1) cm²] so anzugeben und erst dann in einem Aussagesatz den gerundeten Wert in der jeweiligen Einheit zu nennen. Runden als Zwischenschritt dient nur zur persönlichen Kontrolle, ob das Zwischenergebnis plausibel ist, nicht zum Weiterrechnen. Ist dieses Prinzip im 21. Jahrhundert aufgegeben?
Nein. Das gilt heute auch noch so. Da kann ich Sie beruhigen. Niemals Zwischenergebnisse runden und damit weiterrechnen. Allerdings müssen wir das unseren Erstis auch noch recht oft sagen. Also so ganz verstanden haben das bei weitem noch nicht alle.
Vier Halbkreise mit dem Durchmesser 1 werden in ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 gelegt. Gesucht ist die Größe der Überlappungsfläche. Die Fläche der Kreisteile ist 2*pi*(0,5)^2, die Fläche des Quadrates ist 4*(0,5)^2 (= vier Quadrate mit der Seitenlänge 0,5). Dann hat die gesuchte Fläche eine Größe von (2*pi-4)*(0,5)^2=(2*pi-4)/4, also ungefähr 0,5708.
Geht mit der Fläche des Kreissegments. Ein errechnetes Kreissegment bildet genau die Hälfte der Fläche eines der 4 Teile des Kleeblattes, da die Sehne genau durch deren Mitte läuft. Gegeben r = 0,5cm und Winkel Alpha = 90°.
A = ((0,5cm)²/2) x [((90°x π)/180°) - sin(90°)]
A = 0,0713cm²
Fläche (Kleeblatt)
A = 0,0713cm² x 8
A = 0,57cm²
Wirklich gutes video. Ich stand erst mal wie der Ochs vor'm Berg und hab die Lösung nicht gesehen. Aber es ist herrlich einfach, wenn man den Weg sieht wie man zum Ergebnis kommt. Mehr davon bitte.
VG vom Ingenieur.
Ok bevor ich das Video gesehen hab mein Vorschlag 😊:
1) Ich rechne mir son viertel Kreis aus ( Π * 0,5² ) / 4
2) Ich möchte jetzt die kleine Freifläche statt dem Kreis, also das 0,5x0,5 Quadrat minus den viertelkreis
0,5² - ( Π * 0,5² ) / 4
3) Die rote Form ist das Quadrat minus 8x diese Fläche
Grüße
Würdest du ein Video über das Volumen oder die Oberfläche von T-förmigen Rohren machen? Also zwei Rohre die senkrecht zueinander stehen und passgenau ineinanderlaufen. Da würd ich mich drüber freuen :)
Deine Videoupdates versüßen mir in letzter Zeit ziemlich häufig meinen Tag. 📉☺
📐Herzlichen Dank dafür an dieser Stelle. 📏
Ich habe einen anderen Lösungsweg gesehen als erstes. Jedoch muss ich sagen, dass deiner sicherlich der intuitivere ist.
Ich habe 2(pi*(0,5cm)^2)-1cm^2 gerechnet.
Mit Worten: Ich habe die vier Halbkerise berechnet und anschliessend minus das Quadrat. Dies ergibt mit die überlappende Fläche (aka die Rote).
Dies ging natürlich nur, da nichts doppelt überlapt war.
Hallo, könnte man die Fläche von den Blättern auch als Parabel sehen und dann die Fläche über die Integralrechnung lösen?
Cooles Video 😀 Ich habe es mit einem kleinen bisschen Unterstützung von dir gelöst, habe allerdings erstmal eine Hälfte betrachtet und sowohl den Flächeninhalt des Halbkreises als auch des Rechtecks (halbes Quadrats) berechnet. Aus der Differenz habe ich die Fläche der weißen Freifläche bekommen und dann von dem 1cm^2 großen Quadrat entsprechend viele Freiflächen abgezogen.
Ich habe (wie andere hier auch) die Quadratfläche minus zweimal die weiße Fläche gerechnet. Die Gleichung kann man dann vereinfachen zu pi/2-1 als Fläche für die Blume. Das finde ich noch etwas schöner als zu runden.
Peter Volgnandt
Dieses Video habe ich wie so viele von dir mit Vergnügen genossen.
Dazu würde passen die Seite mind your decisions auf you tube, wo vor ein 10 Tagen ein ähnliches Problem mit drei sich überschneidenden Kreisen gestellt wurde. Erklärung ist auf englisch, aber man versteht es trotzdem wunderbar. Die Sprache der Mathematik ist doch universal.
Vielen lieben Dank
Ganz schön clever, dieser Lösungsansatz. Danke!
in diesem Fall ohne Runden mit Dezimalzahlen
AB(1)= 1 - (2 - π/2) = π/2 - 1
skalierbar für jedes Quadrat mit der Seite a und Kreis mit Radius a/2 mit der Formel
AB(a)= ½ x π x a² - a² = a² (π/2 - 1)
als Funktion f(a) mit a є |R ergibt sich ein parabelförmiger Verlauf....
A von den 2 Vollkreisen minus A des Quadrates ergibt auch die gesuchte Fläche. Denn nur dort überschneiden sich jeweils 2 der Kreise.
Achtmal das Viertelquadrat abzüglich dem Viertelkreis ergibt die komplementäre (weiße) Fläche.
1 - 8*(Q/4 - K/4) = 1 - 2(Q-K) = 1 - 2(1 - π/4) = π/2 - 1 = 3.14159/2 - 1 = 0.570795
Schwierig?
hallo zusammen, muss nicht die weiße flache 2 x abgezogen werden ????
lach aber natürlich vom Quadrat
Danke liebe Susanne, du bist super wie immer! Nebenbei gefragt: Wie integriert man sqrt(0,25-x²) ? Definitionsbereich von 0 bis 0.5.
Wieso "0,25" aber "0.5"? Komma oder Punkt?
Wie immer grossartig und unterhaltsam. Danke😊 und natürlich auch wie immer 👍
Anderer Lösungsweg:
Ich zeichne die beiden Diagonalen in dem Quadrat und erhalte so 4 rechtwinklige gleichseitige Dreiecke. Der Flächeninhalt eines Halbkreises mit dem Durchmesser 1cm minus dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks = 1/4 Quadrat ergibt genau 2 halbe Kleeblätter, also genau ein ganzes Kleeblatt:
1 Kleeblatt = π*(1/2)²/2-1/4 = π/8-1/4 = (π-2)/8
4 Kleeblätter = 4*(π-2)/8 = (π-2)/2 ≈ 0,57 cm²
Sehr cooles kleines Rätsel. Ich fände es nur besser, wenn du das pi nicht gleich "wegmultipliziert" hättest, dann käme als Antwort nämlich pi/2 - 1 statt 0.57... heraus, was mMn besser ist, weil das mehr Informationsgehalt hat als eine "flache" Zahl. So kommt man dann zur Verallgemeinerung
f(x) = x²((pi/2) - 1)
Und dann kann man das ableiten (df/dx = x(pi - 2)) und sonst was damit machen.
So kann man zur Verallgemeinerung kommen*
: Sehr lustiges Video. Ein Lösungsansatz ist auch, die Fläche des Einheitskreises zwei mal von der Fläche des Quadrats zu subtrahieren. Wenn man die Farben umkehrt, bzw sich auf die weißen Flächen konzentriert, dann sieht man, dass diese zwei man die Umrisse eines Kreises bilden.
Pi/2-1? 🤔
Ich hab mir zuerst nur 1 Viertel des gesamten Quadrats angeschaut. Der Viertelkreis wäre ja ein Viertell von von 0,5^2*Pi, also ein Viertel von (1/2^2)*Pi also ein Viertel von (1/4)*Pi, also (1/16)*Pi . Das restliche weiße in diesem Viertel-Quadrat wäre also 1/4-((1/16)*Pi). Das ganze brauch ich jetzt aber 8 mal, wei es 8 solche weißen Flächeb gibt, also mal 8: 2-Pi/2. Jetz hab ich aber das weiße und brauche das rote, also einfach 1 minus das weiße: 1-(2-Pi/2)= Pi/2-1
Es geht einfacher: Verbinde die Ecken zum Mittelpunkt und ziehe dieses Dreieck vom Halbkreis ab, so erhältst Du die Fläche eines Blütenblattes = 1/2 x 1/4 x pi - 1/2 x 1/2 x 1 = 1/8 Pi - 1/4
Jetzt mal 4 Blätter
Ergebnis 1/2 Pi - 1 ≈ 0,57
Ich habe es über den Kreisabschnitt gerechnet 😀
Tolle Aufgabe 👍
Genauso hätte ich es auch gemacht. 😁👍
Warum wurden so schnell Zahlen eingesetzt?
A quadrat = 1 cm²
A kreis = Pi * 0.5² cm² = 1/4 * Pi cm²
A weiße Fläche = (1 - 1/4 * Pi) cm²
A komplette weiße Fläche = 2 * (1 - 1/4 * Pi) cm²
rote Blume = (1 - 2 * (1 - 1/4 * Pi)) cm²
= (1 - (2 - 1/2* Pi)) cm²
= (1 - 2 + 1/2 * Pi) cm²
= (1/2 * Pi - 1) cm²
Und das könnte man ausrechnen. Das ist halt 0,5707963... cm²
Aber ich finde das Ergebnis 1/2 * Pi - 1 doch sehr anschaulich. Es ist kein besonders komplizierter, umfangreicher Ausdruck.
Warum wurden dann so frühzeitig Zahlen eingesetzt?
Ich finde es verständlicher, wenn man die weiße Fläche, die du berechnet hast *2 nimmst und dann das Rechteck (1cm²) - dem Ergebnis der weißen Fläche (0,215*2=0,43) rechnest. Ergibt auch den Flächeninhalt von der Roten Fläche :)
Ich hab 4 mal den Halbkreis mit Radius 0,5cm zusammengerechnet und dann den Flächeninhalt des Quadrat abgezogen. Geht finde ich am einfachsten. 😊
Mein Lösungsansatz erscheint im nachhinein etwas umständlich. Ich habe dafür zunächst nur ein Viertel der Gesamtfläche betrachtet und habe dann mit A=r²/2*(α𝞹/180°-sin(α)) = 0,07135 cm² die Fläche für ein Kreissegment berechnet. Diese Fläche dann mal 8 um auf A(rot) = 0,5708 cm² zu kommen.
Ich habe 8 mal den Flächeninhalt eines halben Segments genommen.
A = 8 * (0,5²*pi/4 - 0,5²/2)
Oder 2 mal deine weißen Teilstücke subtrahieren:
A = 1² - 2*(1² - 0,5²*pi)
Die Fläche von einem Halbkreis berechnen = 0.3925 cm²
Das abziehen von der Hälfte des Quadrates 0.5 - 0.3925 =0.1075 cm²
Das Ergebnis halbieren = 0.05375 cm²
Diese Fläche entspricht einem weißen Anteil in einem Viertel der Ausgangszeichnung
Diese 0.05375 von der Achtelfläche des Quadrates abziehen
0.125 - 0.05375 = 0.07125 cm²
0.07125 ist die Hälfte eines " Blattes" .
Daher 0.07125 x 8 ( weil 4 " Blätter" vorhanden)
Ergebnis 0.57cm²
Dankeschön für das Rätsel aber warum einfach wenn's auch kompliziert geht? Da mir deine wunderbar einfache Lösung nicht eingefallen ist, mir aber sofort die Kreisformel in den Sinn kam (x^2+y^2=1), habe ich mir die Funktionen für 2 Halbkreise mit dem Durchmesser 1 gebastelt, die sich so überschneiden, wie im Bild {1. y=sqrt(0,25-x^2) und 2. y= - sqrt(0.25-(x+0.5)^2)+0.5}. Danach faul die Geogebra-Funktion Integralzwischen beiden Funktionen von -0.5 bis 0 ausrechnen lassen (ergibt den Flächeninhalt für 1 Blatt) und das ganze dann mal 4.
ich habs geschätzt und kam auf das gleiche Ergebnis :-)
Nice!
Thank u prof 😍😍
Ziemlich leicht, rechne 2x einen Kreis mit d=1 und ziehe davon den Flächeninhalt des Quadrates ab
Folglich: 3,1415 * 0,5² * 2 - 1² =0,5707cm²
Ich hab mir das Video jetzt im Nachhinein angeguckt und muss sagen, mein Weg ist einfacher :-D
Ich habe die Diagonalen gezeichnet und somit 2 Kreise mit Quadrat innen bekommen.
Dann berechnet sich das ganze folgendermassen:
2×(0.5^(2)×π−2×0.5^(2))
ich habe das rätsel gelöst, indem ich alle 4 identifizierbaren halbkreise (insgesamt 2 ganze kreise) zusammengerechnet habe, die halbkreise überlappen sich bei der erwünschten fläche, und das quadrat abgezogen habe. 2 * 0,5² * π - 1
@Gehteuch Nichtsan sheeesh, deine antwort war sehr schön, degga
Das ist ja ein toller Kanal hier
Das freut mich sehr! Herzlich willkommen und viel Spaß beim Stöbern! 😊
Ich finde es schade, dass im Video nur mit (gerundeten) Dezimalzahlen gearbeitet wird. Ich bevorzuge wie viele andere in den Kommentaren den "korrekten" Weg, bei dem das Ergebnis bis zuletzt mit π dargestellt wird, also z.B. in der Form π*d²/2 - d² oder d²(π/2 - 1), wobei d der Durchmesser des Kreises, bzw. die Kantenlänge des Quadrats ist.
Im Beispiel gilt d=1cm, das Ergebnis ist also (π/2 - 1) cm² = 0,5708 cm²
Ja genau. Sowas nennt man afaik Freistellen. Man schreibt eine Gleichung hin - in diesem Falle d²-2(d²-d²π/4) - und vereinfacht sie soweit, dass die Variablen möglichst nur einmal drin sind. Als Erstes also d² ausklammern -> d²(1-2(1-π/4)), als zweites die Klammer in der Klammer auflösen -> d²(1-2+π/2) und als letzes vereinfachen -> d²(π/2-1). Erstens und Zweitens+Drittens kann man natürlich auch vertauschen, wie du das gemacht hast.
Ich hab bei der Aufgabe gleichen einen Blackout bekommen und mir erstmal deinen Lösungsweg angesehen. War am Ende doch ganz einfach, warum bin ich da nicht selbst darauf gekommen?
Die Aufgabenstellung sagt nicht, dass die Figur mithilfe von Halbkreisen gebildet wird.
Die Skizze suggeriert es, aber es ist in der Aufgabe nicht angegeben.
Ich möchte auch meinen Rechenweg teilen:
1. Ein Halbkreis berechnen Pi/8
2. Alles 4 Halbkreise addieren 1/2 pi (überlappende Fläche ist die rote)
3 davon nun das Quadrat abziehen.
1/2 pi - 1 = 0,57
😂😂 habe Genau diese Aufgabe in meinem Mathe Buch sm Freitag als Hausaufgabe aufbekommen.
Es kann so einfach sein😀👍 danke schön
Ich hab die 4 Blätter vertauscht, so dass ich einen Kreis bekommen habe, dann hab ich jeweils die innere Hälfte von den Blättern weggedacht, so dass ich in dem Kreis dann ein auf der Spitze stehende Quadrat hatte. Dann die Fläche vom Kreis ausgerechnet (0,25*Pi). Dann das innere Quadrat gedanklich nach aussen gefaltet, dadurch sieht man, dass es genau halb so groß ist wie das äussere, also 0,5. Wenn man nun das innere Quadrat vom Kreis abzieht, bekommt man genau 4 halbe Blätter und die haben eine Fläche von 0,25*Pi - 0,5. Um nun die ganze Fläche von den Blättern zu bekommen das ganze also noch mal 2 und wir sind bei 0,5*Pi - 1, was ungefair 0.57 entspricht.
Hallo, ich habs so gerechnet:
(0,5•0,5•3,14 - (1•1,414 : 2)² )• 2 = 0,57cm²
Bei Quadraten rechne ich gerne mit 1,414 für die Diagonale...
Sehr interessant. 👍🏻
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht ... ich hatte erst überlegt mit Sinus-Funktionen zu arbeiten (wenn man einen "Hügel" der Blume abgeht und dann in der Quadratmitte quasi ins Tal wechselt - kann ich gerade schwer erklären - sieht das einer Sinusfunktion ja nicht unähnlich)
Ich hatte 2*Pi*0,5^2-1, dann bekommt man 0,571. Ich hatte es so gelöst, wenn man 4 Halbkreise hat, was 2 Kreise wird, dann soll man die Fläche der 2 Kreis berechnen - den Quadrat, der ein Flächeninhalt von 1 hat. Dann bekommt den “Überschuss der Halbkreise, die nicht ohne übereinander legen der Halbkreise hineingepasst hätte.
👍 grandios 👍
Ich würde dazu tendieren, Pi bis zuletzt in der Gleichung zu lassen und, wenn überhaupt, erst am Schluss auszurechnen. Das macht es deutlicher und eigentlich auch genauer (jedenfalls so lange wie Pi nicht ausgerechnet und damit gerundet wird). Mein Ergebnis war Pi/2 - 1.
Ahh, hier bestätigt es sich ja nochmal... Da gibt es diesen a²(π/2-1)-Trick für... a²-2(a²-πa²/4)=a²(π/2-1)
Vielen Dank für deine hilfreichen Videos, die sind immer sehr toll!
Übeigens: Kennst du Juju? Du siehst ihr recht ähnlich, finde ich ;)
Quadrat = 1 quadrat cm
Quadrat minus 1xKreis (0,5 x 0,5 x π) = 1/2 Fläche weises Feld. Das ganze geteilt durch 2 hat man die Fläche eines weisen Feldes. Jetzt mal 4 Rechnen, da es 4 weise Flächen sind. Anschliesend Fläche vom Quadrat minus Fläche weise Felder = Fläche Pink Felder. Oder sehe ich das falsch?
Ein schönes Rätsel
A(B) =A(Q)-2*A(w)
B = Blume
Q = Quadrat
w = weiß
spitze: was zu knabbern, was zu trinken und vor den monitor: mathestunde.
Süß! Ich hätte echt nie gedacht, dass Mathe-Videos tatsächlich mal zur Unterhaltung geschaut werden.
Nach kurzer Einführung ergab sich meinerseits die Lösungsformel für die rote Fläche im Quadrat: A = 1-((1-1/4 *pi)*2).
Ha, da hatte ich wohl Tomaten auf den Augen. Die Halbkreisidee kam mir leider nicht, aber prinzipiell bin ich ähnlich vorgegangen.
Ich habe das Quadrat noch einmal geviertelt und von diesem kleineren Quadrat einen Viertelkreis abgezogen (Seitenlänge u. Radius jeweils 0,5cm) - das Ergebnis bildet 1 von 2 weissen Flächen im kleinen Quadrat ab welche man also verdoppelt - nun hat man die gesamte weisse Fläche vom kleinen Quadrat und muss diese noch mit 4 multiplizieren um die gesamt-weisse Fläche des großen Quadrats zu erhalten - diese zieht man nun vom Gesamtflächeninhalt des großen Quadrates ab und man erhält als Ergebnis ~ 57,08mm²
genau so, bis auf den Schluss, da hab ich die weisse Fl. einfach x2 und dann von dem 1cm2 Quadratinhalt abgezogen, Ergebnis gleich. sehr witzig, jetzt kann ich meinem Sohn zeigen, daß es eigentlich Spaß macht, in der Schule fand ich es schrecklich.