Pour l'exercice: AB-BA=I_n => tr(AB-BA) = tr(I_n) = n Impossible car par linéarité de la trace tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA) or on vient de démontrer que tr(AB) = tr(BA)
@@pierre-francoisleclercq8874 Merci de remarquer ce détail ! Il est important pour l'exercice d'être en caractéristique zéro. Exercice supplémentaire : trouver un contre-exemple en caractéristique positive (par exemple p=2, matrices de taille 2x2). - Alex
Bien joué , en ce qui me concerne j'ai passés BA de l'autre côté, je n'ais donc pas eu besoin d'utilisés la linéarité puisqu'on à Tr(I_n + BA) = Tr(AB) ce qui est contradictoire étant donnée que Tr(AB) = Tr(BA) donc l'assertion initiale est fausse .
Mon essaie pour l'exo: En supposant que tels A, B existe: On trouve d'une part: tr(Id)=tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0 Et d'autre part: tr(Id)=n Donc n=0, or M_0(K) est vide. Donc contradiction. Des tels matrices n'existe pas.
Je me suis toujours demandé a quoi ressemblait la trace géométriquement, vu que ça ne dépend pas de la base il devrait y avoir une interprétation géométrique ! (Comme le déterminant qui est un volume)
Quand sortira la prochaine vidéo à 3 🍅 🍅 🍅? Continue Dr Thomaths sans te décourager par le faible début Je propose pour cette chaîne les opérateurs pseudo différentiels, la géométrie sous riemannienne, les structures projectives, les équations différentielles partielles et les applications nombre complexe - linéaires ( donc linéaires en un nombre complexe de variables)
Bonjour, C'est un outil important en algèbre linéaire (attention les deux tomates indiquent que la vidéo est niveau Licence). On peut utiliser la trace pour déterminer les valeurs propres d'une matrice, elle apparaît comme coefficient dans le polynôme caractéristique (en fait tous les coefficients sont des traces de certains endomorphismes) et la trace est en un sens précis la "version infinitésimale du déterminant". Vous allez voir dans la suite de la série :) Alex
C'est vraiment très clair et ça motive l'utilisation de la trace, au top 😊
Merci !
Merci beaucoup!! Ca m'aide bcp
Pour l'exercice:
AB-BA=I_n => tr(AB-BA) = tr(I_n) = n Impossible car par linéarité de la trace tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA) or on vient de démontrer que tr(AB) = tr(BA)
Cela donne quoi sur un corps tel que Z/pZ ?
@@pierre-francoisleclercq8874 Merci de remarquer ce détail ! Il est important pour l'exercice d'être en caractéristique zéro. Exercice supplémentaire : trouver un contre-exemple en caractéristique positive (par exemple p=2, matrices de taille 2x2). - Alex
Bien joué , en ce qui me concerne j'ai passés BA de l'autre côté, je n'ais donc pas eu besoin d'utilisés la linéarité puisqu'on à Tr(I_n + BA) = Tr(AB) ce qui est contradictoire étant donnée que Tr(AB) = Tr(BA) donc l'assertion initiale est fausse .
Sur un corps K de caractéristique nulle.
Nice
Mon essaie pour l'exo:
En supposant que tels A, B existe:
On trouve d'une part:
tr(Id)=tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0
Et d'autre part: tr(Id)=n
Donc n=0, or M_0(K) est vide. Donc contradiction. Des tels matrices n'existe pas.
J'étais arrivé à cette même conclusion, mais mes maths étant plus que rouillées, il me fallait confirmation. 😊
@@garkham cooool!
Je me suis toujours demandé a quoi ressemblait la trace géométriquement, vu que ça ne dépend pas de la base il devrait y avoir une interprétation géométrique ! (Comme le déterminant qui est un volume)
C’est une sorte de variation infinitésimal du volume (car la trace est la différentielle du déterminant)
Quand sortira la prochaine vidéo à 3 🍅 🍅 🍅?
Continue Dr Thomaths sans te décourager par le faible début
Je propose pour cette chaîne les opérateurs pseudo différentiels, la géométrie sous riemannienne, les structures projectives, les équations différentielles partielles et les applications nombre complexe - linéaires ( donc linéaires en un nombre complexe de variables)
Bientôt :) Ce sont de bonnes idées pour des vidéos à 3 🍅 🍅 🍅, merci !
Mais ça sert à quoi la trace ?
Bonjour,
C'est un outil important en algèbre linéaire (attention les deux tomates indiquent que la vidéo est niveau Licence). On peut utiliser la trace pour déterminer les valeurs propres d'une matrice, elle apparaît comme coefficient dans le polynôme caractéristique (en fait tous les coefficients sont des traces de certains endomorphismes) et la trace est en un sens précis la "version infinitésimale du déterminant". Vous allez voir dans la suite de la série :)
Alex