very interesting to see synthetic division twice and set the remainder equal to zero (which leads to the same expression when differentiating) this idea can be extended. whenever you divide a polynomial p(x) by (x-a)^2, the remainder bx + c will be the the equation of the tangent of p(x) at x = a. proof: p(x) = q(x)(x-a)^2 + bx + c --- eqn 1, where r(x) = bx + c p'(x) = q'(x)(x-a)^2 + 2q(x)(x-a) + b p'(2) = q'(2)(2-2)^2 + 2q(2)(2-2) + b p'(2) = b equation of tangent is y = p'(2)x + c_1 => y = bx + c_1 --- eqn 2 since p'(2) = b when x = 2, p(x) = p(2) and y = p(2) => p(2) = 2b + c_1 (substituing into equation 2) ---- eqn (3) => p(2) = q(2)(2-2)^2 + 2b + c (substuting into equation 1) ---- eqn (4) => p(2) = 2b + c --- eqn (4a) since both eqn (3) and eqn (4a) has subject p(2), this means 2b + c_1 = 2b + c => c_1 = c substituting back into eqn 2 => equation of tangent of polynomial p(x) at x = 2: y = bx + c = r(x) So if you don't feel like finding of equations of tangents using calculus, u can divide by its quadratic factor lol (or if you want to say calculus is banned).
16分鐘的完整版: th-cam.com/video/XSNQ2K7knvg/w-d-xo.htmlsi=Kbxgm4ABhqySZzST
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李翰老師就會免費的幫你解一題數學題, 同時還有可能把你的提問拍成影片喔!
老師整理好的那三行我這邊兩個法
法一 1式直接打入2式硬幹
法二 2式多乘一個alpha,變成a^3+2a^2b=-2a
3式先代入2式，就變只剩alpha 的一個滿簡單的3次式了。
個人覺得兩位老師很真誠的在做這種影片很棒，算數學本來就會突然卡在一些想通之後自己都哭笑不得的地方。
別被酸民影響了～～～
2:11 \beta=-2\alpha+5/2帶回第二式會得到一個一元二次方程式，直接算出來
是的
老師看不出來😅
對欸！我們當天居然都沒注意到！
當時看到這段時我也是在想這好像可以解，我覺得李老師應是被曹老師的笑聲打亂思緒😂
我是直接1式乘以alpha 然後跟2式對消 得一元二次方程式
可以嘗試factorize by grouping terms.
2x³-5x²-4x+12=0
2x³-4x²-x²-4x+12=0
(2x³-4x²)-(x²+4x-12)=0
2x²(x-2)-(x+6)(x-2)=0
(x-2)(2x²-x-6)=0
(x-2)(x-2)(2x+3)=0
其實因為是拍片，真的要即時拿出數感而湊出不容易的
很喜歡看老師們的解題思路
是不是可以搭配有理根候選人(正負1,2,3,4,6,12,1/2,3/2)
從第一條式子(2α+β=5/2)可以推論β是分數
再從第三條式子(ααβ=-6)可以推論-6/β是完全平方數
綜合以上條件可得知β=-3/2
再代回第一條式子可知α=2
不求導數的正解
綜合除法也可以除以 x-β 得商式 2x^2 + (2β - 5) x + (2β^2 - 5β - 4) [就是影片中第一次綜合除法的商式，把α換成β]
此商式即爲 （x- α)^2. 重根式有判別式=0 條件， 所以
(2β - 5)^2 - 4 x 2 x (2β^2 - 5β - 4) = 0
如此， 與影片中類似， 可以降次到2次，解出β
求导，导数等于零的地方是原方程的二重根
5:02 老師很棒的一點就是把圖形畫出來。
4:00 得到-1/3或2後，把這兩個數帶回第一式，得到兩組結果：(alpha=2,beta=-3/2) or (alpha=-1/3,beta=19/6)。最後將這兩組結果帶入第三式就可以排除 (alpha=-1/3,beta=19/6) 這一組，得到 (alpha=2, beta=-3/2) 這一組結果了
堪根定理可以很快找到根的範圍
加上牛頓整係數找有理根
明顯f(2)=0
綜合除法(x-2)(2x²-x-6)=0
(x-2)(x-2)(2x+3)
1. 是按照题解的思路，1式带入2式 只剩下beta 的2次方程
2. 是微积分求导，通过零点 去找“二重根”
3. 2(x-a)^2(x-b) 如果不是解答题，是填空题 2a^2b=12, a=\pm 1, \pm 2, 试一试比解方程快，这里需要一点点数学直觉(2不含平方因子,因此 a,和2b都要是整数, 12只含平方因子2^2)
我用第三式 可以得到ab=-6/a代入第二式得到aaa+2a-12=0 得到a=2 跟兩共軛虛根(虛根捨去)
整體來說還算快
對我也是這樣處理
既然重根，重根也必定是牛頓一次因式檢驗法找出來的某一個，常數12能夠配出重根的就只有1,-1,2,-2，1跟-1用性質就知道不對，那就只剩2跟-2，直接綜合除法做就出來了
我覺得這題不用微積分最好的做法是把一次因式檢驗法的原理推廣到二次
假設重根為 q/p, 設 2x^3-5x^2-4x+12 = (px-q)^2*(rx-s) = (p^2*x^2+2pqx+q^2)*(rx-s) = 0 (pqrs 皆為整數)
p^2 需要是 2 的因數 且 q^2 需要是 12 的因數
我們就知道 p 只能是 1,-1 q 只能是 1,-1,2,-2 不然係數會爆掉 (e.g. p如果為2,那原式的三次方跟必須為4的倍數 不成立)
所以實際上要測的根只有 1,-1,2,-2 有可能是重根
很快就可以找到 2 是重根
從第一式-2a-b=-5/2得b為+-1/2或+-3/2（因-2a為整數），再由第三式-a^2b=6得b=-3/2, a=2（因a為有理數）。
==============================
以上是配合牛頓一次因式檢驗和二重根得a, b = +-1, +-2, ..., +-12, +-1/2, +-3/2的可能。
degf(x)=3,f(2001)=5,f(2003)=7,f(2005)=11,f(2007)=-1,求f(2009)=?
th-cam.com/video/MllKh7ayyQg/w-d-xo.htmlsi=6CFcdWovVg3htMeA
(我跟李翰老師合作的影片)
最後的第三式-α²β=6可以取αβ=-6/α代到第二式就可以得到α的一元三次方程式了，然後有α-2的因式
我也是用這個
@@周育群-n6v 拍片時的思考和非拍片時的思考會不盡相同
直接消掉beta，最坏情况就是得到两个关于alpha的三次方程。两个三次方程一减，消掉三次项就变成二次方程了。
微分之後知道x=2或-1/3時切線斜率為0，帶回原式可知x=2為一解，即x=2是重根，再來就好算了
有沒有考慮跟張旭老師也拍一部影片
他們兩個微積分可以互炸欸，如果可以真的好期待😂
不行，胸部不夠大😅
ChatGPT o1-preview 先把有理根找出來再一個個代入找到2是一個根
再解(x−2)(2x ^2−x−6)
觀察到常數項是12=2*2*3,又說有重根那就是先假裝重根2啦!且係數有"－"→(x-2),f(x)=(x-2)(x-2)(2x+3),代入驗算OK...
very interesting to see synthetic division twice and set the remainder equal to zero (which leads to the same expression when differentiating)
this idea can be extended. whenever you divide a polynomial p(x) by (x-a)^2, the remainder bx + c will be the the equation of the tangent of p(x) at x = a.
proof:
p(x) = q(x)(x-a)^2 + bx + c --- eqn 1, where r(x) = bx + c
p'(x) = q'(x)(x-a)^2 + 2q(x)(x-a) + b
p'(2) = q'(2)(2-2)^2 + 2q(2)(2-2) + b
p'(2) = b
equation of tangent is y = p'(2)x + c_1
=> y = bx + c_1 --- eqn 2 since p'(2) = b
when x = 2, p(x) = p(2) and y = p(2)
=> p(2) = 2b + c_1 (substituing into equation 2) ---- eqn (3)
=> p(2) = q(2)(2-2)^2 + 2b + c (substuting into equation 1) ---- eqn (4)
=> p(2) = 2b + c --- eqn (4a)
since both eqn (3) and eqn (4a) has subject p(2), this means
2b + c_1 = 2b + c
=> c_1 = c
substituting back into eqn 2
=> equation of tangent of polynomial p(x) at x = 2: y = bx + c = r(x)
So if you don't feel like finding of equations of tangents using calculus, u can divide by its quadratic factor lol (or if you want to say calculus is banned).
我用根與係數😂
重根是很有用的提示
可惜解到一半就放棄了
let y=x-a
2[(x-a)^2](x-b)=2y^3+2(a-b)(y^2)=2x^3-5x^2-4x+12=2y^3+(6a-5)y^2+(6a^2-10a-4)y+......
6a^2-10a-4=0===>a=2，-1/3
6a-5=2(a-b)===>(a,b)=(2,-1.5)，(-1/3，19/6)
驗算(a，b)=(2，-1.5)
微分
想請問微完知道重根之後另一根β如何解呢，感謝
@@C平方分之一 知道 2 是重根, 就綜合除法將 2x^3 -5x^2 -4x +12 拆兩個 (x-2) 的因次項
(x-2)(2x^2-x-6) = (x-2)(x-2)(2x+3) = 0, 另一根就是 -2/3
3:42 把第一式的beta整理一下，代入第二式，就有上面的那個一元二次方程式了...
泰勒？
看不懂😁 都用自己的方式教法 有沒有更容易的教法😂
假如他是實數根 又因為是有一個重複根 那就只用看最大項(2x^3)跟最小項(12) 得知分解後的公式為(x+-a)(x+-a)(2x+b) 還有a*a*b=12
然後12的因子只有2 2 3 所以就可以得出 x= +-2 跟x = -3/2 然後再代 -2進去刪掉就可以了
❤❤❤