同値を制する者、受験数学を制する［6.分数式・無理式の入った方程式・不等式］
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
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- เผยแพร่เมื่อ 12 ต.ค. 2024
- 演習問題と解答
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同値を制する者、受験数学を制する シリーズ紹介・動画一覧
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こういう高校数学の基盤を体型的に教えている本、授業って本当に少ないからすごく価値あるシリーズ。
この同値をここまできちんと証明してくれる参考書がまず無いので本当にありがたいです。
（自分用）
暗黙の条件を式化（言語化）することが重要。特に同値関係においては過不足なく表現することが大切で、そうすることでよりシンプルで体系化しやすいものとなる。今回の動画は無→有、有→無の操作を行っていた。同値変形においては「条件から自明なことは何か」「条件で不要なものは何か」という問いかけを心掛けると良さそう。
これを理解すると問題の見え方が全然違ってくる…楽しい😭😭
論理式を用いることでこんなにも明快に表現できるのか…(すごい)
今回のは本当に見て良かったです。
ずっと思っってました。方程式などを解いた後、代入して確認する問題とそうでない問題。
参考書などでは一切そういった疑問が解決出来ませんから。
やっぱり塾に行かず自力だけで頑張っても限界があるのだとしみじみ思います。
こういった授業を受けていればもう少し上に行けたのかと悔しい気持ちになりますね。
何でもそうですが、先生や師匠がいると上達は早いものです。
君より後に生まれたかったなぁ。
本当にありがとうございます。
2:36 [ B/A > 0 ⇔ AB > 0 ] の証明
5:30 [ B/A >= 0 ⇔ AB >= 0 and A≠0 ] の証明
7:05 例題
10:15 [ A < B ⇔ A^2 < B^2 ]に関して
14:30 無理式の不等式の同値変形
17:55 √A > B の同値変形の証明
21:45 ( √A>B and A >= B ) and B < 0 の同値変形
25:13 例題①
28:19 例題②
とても勉強になります。特にB≧0orB
(同意)
多分だと思いますが
媒介変数を消去して（例えば二式の交点点p （x,y））の軌跡を求めた時にその全ての点p（x,y）において最初の二式は成り立っても媒介変数が実数であるとは限らないからではないでしょうか。 大体の場合その媒介変数は実数という設定なので全てのxyにおいてちゃんと実数の媒介変数が存在するか確認しなければなりません。
つまり媒介変数を消去して得られるxyの軌跡の式は必要条件にすぎず、
十分性の確認として実数媒介変数の存在確認をするのだと思います
間違ってたら指摘していたいただけるとありがたいです
「無理式の入った方程式・不等式はグラフを使って解け」と、県内１位の進学校の先生が仰っていたのを思い出しました。
揚げ足取る訳じゃないが、ちょこちょこ書いてあることと喋ってることが違うのを見つけるのが楽しいw
今日ちょうど一対一でやったやつー
ナイスタイミングですわ～
(1)暗に仮定されていること
(2)元の式が持っているが変形後に失われてしまう条件
を明らかにすることが大切。
A-B平面で真理集合を描いて √ を用いない表現にしましょう
B＜√A ⇔ A＞Ｂ² または （Ａ≧0 and B＜0）
おしまい
ほんとにありがとう。
分数式の不等式とかは同地変形の初歩を分かってるかどうかのテストに適してる問題だと言えそうですね
僕も今度問題集の分数式の問題をあえてグラフ使わずに解いてみようと思います
マジでおもしろい
天童遊 あっそう
神動画
この「同地を制するもの、受験数学を制す」の再生リストにこのタイトルに関係ない動画が入ってますよ！
急激に難しくなりましたね…
このタイプの不等式は初めてやった時違えてて困惑した記憶がありますね。
このシリーズでは同値がメインテーマということですが、
必要条件や十分条件についても触れる予定はありますか?
たしか、同シリーズの2番目か3番目で軽く触れていたと思います！
無理式の等式不等式の同値変形のやり方は当たり前だけど気づかなかった
14:52 の同値変形ってB=0のときA0を満たさないから √A0 だと思ったんですけど、なぜ √A
「(B>0)⇒(B≧0)」と,
「(√A0)」から、
「(√A0)⇔(√A
仮定が偽のとき、「ならば」は真
@@hiroyamatv
仮定が偽の時、「ならば」は真
ということですが、この説明はまずいです。
これはつまり、
p⇔√A
私の理解が怪しいのですが、無理数の不等式で、
①√A
「暗に」というのは「無視して良い」ということではありません。√A√xなどの様にしか書かれないけれど、実際にはy>√x and x≧0を意味しているわけですから、無視して良いどころか、無視してはいけません。
｢グラフより」で逃げる派。
じろ2 じろ2
自分も無理式が正になるのと、交点のx座標求めて解きました(-∀-｀;)
わいは実践ではグラフ使うけど
同値変形を知っていると心が豊かになるやで
グラフ描けば一目でわかる。というかグラフ描かずに解けと言われたら俺できない。
いろんなこと、すっ飛ばしていたんだ、と思います。
板書を最後に撮らせてもらえるよう体をずらして頂けると嬉しいです。
√2x+√5＝x+1
この時の式変形(同地変形)はどのようにすればいいのでしょうか？
これって、図で考えれば当然なことですよね。
17:28のとこってB>0じゃないとＡもBも0のとき成り立たなくないですか？
それは思った
一年前のコメントに失礼します。
√A0 で事足りるはずで、B=0 という余計な情報が付け足されています。
ただ、A
一年前のコメントに失礼します。
実は≧、等号付き不等号でも
A
(3)(A≠0orB≠0)側は、
A≧0andB≧0and(A≠0orB≠0)A0
から、(じつはこれも証明できます。最後に補足しておきます)
(＊＊)
⇔A≧0andB≧0and(A≠0orB≠0)andA-B0
⇔A≧0andB≧0and(A≠0orB≠0)and(A+B)(A-B)0
⇔A≧0andB≧0and(A≠0orB≠0)andA^2-B^2
(補足)
A≧0andB≧0and(A≠0orB≠0)⇒A+B>0
を証明しましょう。
A≧0andB≧0and(A≠0orB≠0)⇒A+B>0
これを否定すると、
∃A∃B[A≧0andB≧0and(A≠0orB≠0)andA+B≦0]
[...]の中を変形します。
∧とかV使えばいいのに
この世の全てを味見した男
かっけえ
少しメモらせてください
仮定が偽の時「ならば」は真
(気にしないで)
最初の同値はAが実数という条件が必要ですね
th-cam.com/video/BzC3qkDN7DA/w-d-xo.html
第2回の講義で これから扱う文字は断りのない限り実数とすると書かれていますよ
まあ、毎回言うのに越したことはありませんが…
失礼いたしました
忘れてました。
両辺にAの二乗をかけるときに一言欲しいですね
不等号を用いている時点で、大小比較可能な実数範囲で考えているということが暗に条件化されているのではないでしょうか？
そうとも限らないと思います。
例えば
i/2>0⇔2i>0
の同値は成立します
@@user-zc1cu1zj9m 虚数に正負もないですよ。
サムネイルでは+4が-4になっています。
ありがとうございます直しました
25:18
そりゃグラフ描けば、中学生でも解ける
1＜Xとしたら無理ですね
どうしてルートの中は暗に０以上と仮定されているのですか？
複素数の範囲で考えると、ルートの中身が負ならばそれは虚数です。(√(－2)＝(√2)i)
つまり、範囲が実数であれば、虚数は存在言えないため、負はありえないです。特に断りがない限りはこの連続講義は実数の範囲で考えているので、これが成り立ちます。
よって、結論は実数の範囲であればルートの中身は正になります。
ざっくりとこんな感じで正となります。
ルートの中身が複素数の時などを議論していないので、ざっくりです。
@@瑠璃-y2b 最近複素数をやったので混乱しちゃって。
17:00 らへん
B=0で同値なるの？
いちおう√A＜BがあるのでBは0にならないため同値は保たれていると思いますが、B＝0は要らないですね
←は明らかでしょう。andで繋がれた3つが成り立つんですから、そのうちの一つが成り立ちます。
問題は⇒ですが、実はこれも大丈夫です。
√A0orB=0
つまり、
「B>0とB=0の少なくとも一方が成り立つ」
なので、
√A0⇒B≧0
です。B>0とB=0の少なくとも一方が成り立ってますから、
B>0⇒B≧0
です。
両方の矢印が言えたので、これらは同値です。
AB 座標平面の図で説明したほうが教育的かも？
暗算で解けたけれど、動画みたいな説明は無理です😅
低評価をつけました。ならばの意味を説明している動画
th-cam.com/video/hVH2dUYSjhQ/w-d-xo.html
では、真理値表を用いて、命題p⇒qの真偽は、pが偽の場合にはqが真であっても偽であっても、p⇒qは真と言っています。しかし、qの真偽が判断できないときは未定義です。この動画ではp: [AB≧0かつA≠0]、q: B/A≧0するときは同値であると言っています。A=0のときはたしかにpは偽ですが、qは真偽の判定不能です。この場合でも同値と言うのでしょうか。
三崎一朗さん
真偽が高校段階で判定できないのならそれは、
「真や偽」が存在しない=命題でない
という事になりそもそも数学で扱う事では無くなるのではないでしょうか?
(私は高校2年生でまだ大学の数学にも触れていない未熟者ながら勝手に考えさせて頂きました。もしおかしな点があったら逆に御教授願いたいくらいです笑)
では、AB≦0⇔B/A≦0は成り立つかどうか、どう考えますか？対偶も併せて考えてみるとどうですか？
三崎一朗 さん
なるほど…
qを考える時点でA=0が未定義である。
にも関わらず、真理値表を考える講義ではそれぞれの命題について注目し、その真偽を判定していましたね…
となると、qのみに注目する時にA=0の時はどうなるんだって話になりますもんね…
てことは正確には
p:[AB≧0かつA≠0]⇔q:[B/A≧0かつA≠0]
と表記するのが厳密って事ですかね…
三崎一朗 さん
あ、でも2:49のところからも仰っていた「高校数学では(分母)≠0はあんに仮定されている」に従えば表記しないだけで
(分母)=0については除いて考えている
とも捉えられないですか??
p:[AB≧0かつA≠0]
⇔q:[B/A≧0]
⇔q':[B/A≧0かつA≠0]
って事です。
いえもんさん、AB≧0⇔B/A≧0がスマートとなりますかね…