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大学入って初めて、いかに中高の問題の因数分解が計算しやすいように調整されてたか痛感した
どうせ綺麗な数字になるんでしょ?って思いながら解くよね
@@shp6989 分かりみが深い。
そんななか出てきたルート１４７分のを一生憎む、あっててもあってる気がしなかった
@@tomatann635 ちょっと詳しく
@@tomatann635 それ 7√3 ですよ
複素数の積を図形的に捉えてあげても偏角が和,絶対値が積となることがわかり、その性質を使って三角関数の加法定理を証明する流れが個人的にすごく好きです.
複素数の積→偏角は和のところで、暗黙のうちに三角関数の加法定理を使っていませんか？
@@tchaikovsky1026 教科書等では,加法定理を用いて複素数の積において絶対値が積で偏角が和となることを証明しています.(こちらが一般的な方法でしょう.)しかしながら、複素数の積を図形的に捉えてあげて証明することもできます.(ここでいう「図形的に捉えてあげて」とは、加法定理を既知として↑で述べた「積において絶対値が積,偏角が和となる」…(※)という定理を図形的な意味として見出すという教科書の流れではなく,図形的な側面(「相似」の概念)から定理(※)を導いてやるということです.そうでなければ循環論法に陥ってしまいます.この点についてのご指摘だと思われますが,ご安心ください.以下に定理(※)の証明を添えます.)定理(※)の証明複素数を複素数平面上でベクトルとして捉えてやると都合が良いので(というか複素数はベクトルなので)、a,b∈lRとして、複素数a+biを右にa進んで上にb進むベクトル(a,b)として扱う.こう考えることにより複素数の和はベクトル和と同様に振る舞うことがわかる.まず複素数Aと虚数単位iの積Aiについて、複素数平面上でベクトルAiはベクトルAをπ/2回転したものである…(※※)を前提とする.(これは別個で証明できる.要は座標平面上で点(a,b)を原点中心にπ/2回転した点が(-b,a)であることを示せばよい.)2つ複素数A=a+bi,B=c+di(a,b,c,d∈lR,argA=α,argB=β)の積について考えるとAB=A(c+di)=c・(A)+d・(Ai)(A,Aiを纏まりと捉えて分配して展開した)AiはAをπ/2回転したものであるから,この2つのベクトルA,Aiを基底とする直交座標系…①は、2つのベクトル1,iを基底とする直交座標系…②をlAl倍に相似拡大または縮小し,原点中心にargA=αだけ回転したものであり、①と②は互いに相似である.したがって,ベクトルB=c・1+d・iをlAl倍に拡大または縮小して,αだけ回転したベクトルがAB=c・(A)+d・(Ai)であるから、これにより複素数ABの絶対値はlAllBl,偏角はα+βであることがわかり定理(※)は示された.補足(1)どうしても言葉で記述すると堅苦しくなってしまいますが、AB=c・(A)+d・(Ai)という複素数を図示してあげると視覚的に理解できると思います.補足(2)あえて「①と②が座標系として相似」と表現したのは、一般角α,βを扱っているゆえ、一般性を保つためです.３点(0),(c),(c+di)を頂点とする三角形と３点(0),(c・A),(c・A+d・Ai)を頂点とする三角形が相似といえばわかりやすいかもしれません.補足(3)定理(※※)を活用して複素数平面上で定理(※)を証明しましたので,定理(※)を用いると(cos α+isinα)(cos β+isinβ)=cos (α+β)+isin(α+β)左辺を展開して実部と虚部の比較により三角関数の加法定理cos αcos β-sinαsinβ=cos (α+β)sinαcos β+sinβcos α=sin(α+β)が得られます.補足(4)恐らくお気づきかと思いますが上で紹介した定理(※)の証明では定理(※※)と複素数のベクトルとしての振る舞いがミソになっています.複素数平面上でなくても同様の加法定理の証明がただのxy平面上でベクトルを用いてできます.(証明)大文字はベクトルを表すことにする.また、cos (θ+π/2)=-sinθ,sin(θ+π/2)=cos θを既知とする.(これは加法定理を用いるまでもなく証明可能)E1=(1,0),E2=(0,1)とし,E3=(cos α,sinα)=(cos α)E1+(sinα)E2E4=(cos (α+π/2),sin(α+π/2))=(-sinα,cos α)=(-sinα)E1+(cos α)E2とする.E1,E2を基底とする座標系を原点中心にαだけ回転したのがE3,E4を基底とする座標系であるから,ベクトル(cos β)E3+(sinβ)E4は(cos β)E1+(sinβ)E2をαだけ回転したベクトルであり,(cos β)E3+(sinβ)E4={cos (α+β)}E1+{sin(α+β)}E2⇔(cos αcos β-sinαsinβ)E1+(sinαcos β+sinβcos α)E2=cos (α+β)}E1+{sin(α+β)}E2E1,E2は線形独立だから,係数比較(つまり、成分表示したときの成分の比較)により三角関数の加法定理cos αcos β-sinαsinβ=cos (α+β)sinαcos β+sinβcos α=sin(α+β)が得られた.このように、ベクトルの視点から見てみれば加法定理なんて一瞬で導けてしまいます.(上では多少丁寧に書いたつもりなので長々しく見えてしまいます.)余談ですが、加法定理,定理(※)ともに独立に証明することもでき、また加法定理を用いて定理(※)を導いたり、逆に定理(※)を用いて加法定理を導いたりできて、証明経路がたくさんある(つまり一方通行ではない)というのも個人的に数学の面白さの１つだとおもいます.因みに、私は数学2の授業で先生に「加法定理の証明は複素数平面を用いてできる」ということを教わり、そこで複素数平面に関して学習した際に定理(※)の図形的な証明を知って感動した記憶があります.教科書等に載せられていないのが残念ですが、非常に面白いので是非多くの方々に知っていただきたいです.もし上で述べた定理(※)の証明がわかりにくかったり読みづらかったりすれば、「加法定理 複素数平面 証明」で検索してみてください.ヤフー知恵袋あたりで見つかるとおもいます.
@@mathmouse3797 おっしゃっていることはよくわかります。自分は数学の専門家でないので、間違いがありましたらご容赦ください。書いていただいたアプローチは、形式的には複素平面をとっていますが、xy平面を用いた加法定理の証明（高校でやるような一般的な証明）とほぼ同値であることがわかりました。もちろんどちらが正しいとかではなく、両方正しいのだと思います。 @mathmouse さんの論証では、「複素数の積は伸縮と回転を表す」を証明した時点ですでに加法定理がほぼ証明されているので、「複素数の積の性質から加法定理を証明する」という主張に違和感がありました。
@@tchaikovsky1026 「複素数の積の性質を導いた時点で加法定理の証明ができている」というのは全くその通りです.絶対値が1の特殊な場合について単に「複素数の積の性質」を書き直したのが加法定理となっています.ですので、「複素数の積の性質を利用して加法定理を証明する」というのは「複素数の積の性質から何か発展させて(応用させて)加法定理を導く」というニュアンスではなく、「複素数の積に関する定理の特殊なケースが加法定理そのものであるということを述べる」だけのものです.複素数の積に関する定理を認めた上では、確かに加法定理はそれに含まれる自明な主張ですね.同じ類として、三角関数の合成も加法定理そのものであり,加法定理を導いた時点でほとんど導けているような自明な事柄です.ただし、複素数の演算のみでエレガントに加法定理を記述できるというのは記憶しやすいという点からも価値のあることだと思います.
とりあえずラーメン食べたい
「うーん…そーなるねー」とか言いながら動画見ると、自分がめちゃくちゃ頭いいように感じられる動画ww
この速度で順序よく説明できるのまじで凄いわ。
ド・モアブルの定理の導出を初めてやった時は「数l+数ll=数lll」って感じがして面白かったです‼️
実数係数多項式の方程式は、互いに共役な複素数を解に持つので、実数係数の二次式と一次式の積の形に因数分解することが可能ですね。
これ作問者は「整数の範囲で」想定していたのに誤って「実数の範囲で」と書いてしまった説が濃厚。前者なら残りの12次多項式(21番目の円分多項式)の規約性の証明をしないとだからきちんと1級レベル(=大学範囲)だけど、後者は結果がごついしcos使わないと係数死ぬほど複雑になるし高校レベルだしでただの悪問。
@@ボブやねん 「整数の範囲で因数分解する」がどのような行為を指すのか誤解していませんか？例えばx^3-1を整数の範囲で因数分解すると(x-1)(x^2+x+1)となることはわかりますか？
@@ボブやねん おーい聞かれてんぞーw
@@xpxxpx6812 偽モンさむい
@@ボブやねん 下手に数学ガチ勢に反論するとこうなるんだよなぁ…
@@ボブやねん 間違った時は謝ってね
因数分解ってこんなにも奥深いのか....
真面目に動画止めてやったら地獄を見ました。5時間かけて意地でやったところ回答にたどり着けました。対ありでした
ここのコメント欄読んで理解できた。コメント欄に優秀な人達がいてよかったです。
てかこのような動画は真面目しか見ないだろ。勉強しない奴がわざわざ見に来るはずがない
@@アンチマン-i7nバカはまず問題文理解出来ん
ごり押すなら、X^2+X+1=0を解の公式に入れるとX=ω,ω^2が出てくるから7倍して偏角が2π/3,4π/3になるものとして(2π/3+2nπ)/7,(4π/3+2nπ)/7が出てくるから14個の複素数解が求められる
解法としては先にそれを思いつきそう
5:29 複素数平面ていうのは、平面なんですよ不覚にも笑ってしまったw
小泉構文みたいで好き
最後のx^1の項（cosの項）、係数しか書いてなくてx掛け忘れてる気がする…
ですよね。この指摘なさすぎて自分が間違ってるのかと思った。
解説がわかりやすくて、複素平面の応用例がわかった気がします。こういうの見ると現時点で実数の範囲で因数分解できないと考えられているものもできてしまうものも出てくるかもしれませんね。
もし問題が整係数の範囲で因数分解だったら、式見てω代入して0になることに気づけばωの最小多項式であるx^2+x+1を因数に持つことがすぐ分かります。あとはx^2+x+1で割った商の12次式が整数上で既約なことを証明しないといけないですが。
円分多項式について知っていれば、x^21-1にたどり着ければ数検側の最初の解答になりますね。範囲を実数にしたせいで・・・
x^n-1の因数分解は、(x-1)(x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+1)ということは知っていたが、数A.1の範囲しかわからないから、それ以上に因数分解出来るとはたまげたなぁ...
@al2 tio5 ん？
与式においてX=x^2とおくとX^2+X+1=0となり、その解XはX=exp(±i2π/3)ただし、exp(a)はe^aとする。よって解xはx=exp(±i2π/21+i2nπ/7) (nは整数で0≦n≦6)ここでω=exp(i2π/21)、ζ=exp(i2π/7)とおくとxはx=ωζ^nもしくは1/ω ζ^n と表せる。 よって与式は係数が複素数の範囲で因数分解すると、x^14+x^7+1=(x-ωζ^0)(x-ωζ^1)(x-ωζ^2)・・・(x-ωζ^6)(x-1/ω ζ^0)(x-1/ωζ^1)(x-1/ωζ^2)・・・(x-1/ωζ^6)となる。ここでζはζ^n-ζ^(n-7)=exp(i2nπ/7)-exp(i2(n-7)π/7)=exp(i2nπ/7)-exp(i2nπ/7)=0という性質があるので、x^14+x^7+1=(x-ωζ^0)(x-ωζ^1)(x-ωζ^2)・・・(x-ωζ^6)(x-1/ω ζ^0)(x-1/ωζ^(-1))(x-1/ωζ^(-2))・・・(x-1/ωζ^(-6))=(x^2-(ω+1/ω)x+1)(x^2-(ωζ+1/ωζ^(-1))x+1)・・・(x^2-(ωζ^6+1/ωζ^(-6))x+1)となる。ここでωζ^n+1/ω ζ^(-n)は、ωζ^n+1/ω ζ^(-n)=ωζ^n+(ωζ^n)^(-1)=2cos(θ_n)ただしθ_nはωζ^nの偏角でθ_n=2π/21+2nπ/7=2(3n+1)π/21よってx^14+x^7+1=(x^2-2cos(2π/21)x+1)(x^2-2cos(8π/21)x+1)(x^2-2cos(14π/21)x+1)(x^2-2cos(20π/21)x+1)(x^2-2cos(26π/21)x+1)(x^2-2cos(36π/21)x+1)(x^2-2cos(38π/21)x+1)となる。角度がπを超える角φについてはcos(φ)=cos(2π-φ')=cos(φ')と整理し、またcos(14π/21)=cos(2π/3)=-1/2を適用し=(x^2-2cos(2π/21)x+1)(x^2-2cos(8π/21)x+1)(x^2+x+1)(x^2-2cos(20π/21)x+1)(x^2-2cos(16π/21)x+1)(x^2-2cos(10π/21)x+1)(x^2-2cos(4π/21)x+1)となり係数が実数の範囲で因数分解できた。
高1でも分かる説明をするなんて...尊敬する！
お主どんな高一だよ
因数分解を複素数の話に持っていく発想ってのができる人がすごいね
こういう問題を頭いい人に何も予習させず模範解答も渡さず解説させたい。どういう風に解いていくのか聞きたい。
少なくとも理系大学生ならスラスラと解けないといけないレベルの基礎問題なのであくまで高校数学の範囲でって所が難問ポイントですね
高1でわかってる人とか理解できてる中学生がいて凄い。俺わからんかった笑
超上位中高とか行ったら自力で解くレベルの奴がいますが、ここにはいない模様です。
解説聞くと分かった気になるやつ
趣味程度に数Ⅲかじってるだけの底辺文系でもド・モアブルの定理の意味(?)わかった。すごい。どんなけ説明わかりやすいんや。
最後の答え、それぞれの因数の二個目2cos(?/21π)×xじゃないですか？xが抜けてる気が
これ大学受験でも複素平面使う誘導ありなら解けそうだな
x^7-1を掛けるってことに気づけたらそこからは複素数って気づけるよね
俺もうそろ高校入試だから難しめの因数分解かなーって思ってたら答えが思ってたんと違う
俺が問題出してやるよ！因数分解しなさい(a+b)(b+c)(c+a)+abc答え (a+b+c)(ab+bc+ca)
@@housecalpis4029 (a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)
動画とレベルが違いすぎて草
灘でもこんなの出さない
@@housecalpis4029 青チャートで見たことある
12:06ここで点と点が線に繋がって鳥肌立った
俺『元の方が見やすいやん』
因数分解とかそんなもんやろ
@@コムドットチャンネル登録減らそうのそうか？大体きれいになるもんだと思ってたわ
数学的には足し算より掛け算の方が簡単なんだよね。だから見やすいのかも。
@@ammmamaaamaam積分、Σ「…」
@@りゅう-q6k8vまあそいつらがムズいのはそれのせい
全く同じ方法で、x²ⁿ+xⁿ+1(n:自然数)の実数範囲での因数分解が可能ですね。
ん？？？自然数？？？
@@田中_田中 n=1のときの因数分解はどのようになるのでしょう。
@@JJ-mr7li 失礼しました。「自然数」は誤りです。n=1は除きます。
x^2 + x + 1 = 0の２解がω,ω^2というのがすぐ出てくればx^7-1をかける手間は必要ないね。x^7 = ω,ω^2を解いてx = cos2π/21 ± isin2π/21,cos8π ±isin8π/21,….,cos38π/21 ± isin38π/21と求められれば、あとは和と差の積で虚部を消すだけ
x^7-1かけるとこまでは思いついたけどそこから詰まって、解説聞いてあーなるほどなって感じでした。これは中々面白い！
葛西さんとかこういうのパーっと解いちゃうんだろなーすごい
大変面白いですね！とても分かりやすいご解説でした！！チャンネル登録させて頂きました！！！
もしできても最後にx^2+x+1にするの忘れそうw
できないだろ
@@緑虫-n6f クソリプやめとけ
"もし"が読めない模様
@@Shuuuuuuuumai もしっていってんだろ日本語検定やってこい
@@最近の中学生-q3w 口悪いぞ
こうゆう数学の面白そうなの早く理解したい中三です。本当に辛いけど理数科目指して苦手な国語頑張ります！
この問題は、２００６年７月２３日に実施された実用数学技能検定（第１２１回）１級１次の問題１です。
有能
伸びろ
@@amolaquila 伸びない定期
@@amolaquila 伸びる必要性皆無
@@amolaquila きも
大学入試にも因数分解に関する問題でド・モアブル使う問題はありますから、今回の解答に対する驚きは、減りましたね。文系の方も数Ⅲを学んで欲しいと思います‼️
それは文系なのだろうか※数Ⅲを学ぶ時点で文系ではないのではないかという意味ね
すごくわかりやすく解説してくれてるのはわかるが、やっぱりわからんwこれは難しすぎる
19:47 各因数、2cos○πではなく、2cos○πxですよね
それな……
それ思ったからそのコメ探してたーー
そう
2x cos○πですね。
複素数を用いるなんて何と豊かな発想でしょうか。河野さんの動画を見て何十年かぶりにまた勉強をしたくなりました。こういう動画を見たいということで１つ。以前クイズ番組で「人間は１００メートルを最速で何秒で走れるか？」のような問題が出てきて「９秒４ｘ」のような解答が出てきましたがどうやって計算したのかさっぱりわかりません。河野さんの解説を見てみたいです。
それおもしろそう
@@kraas1343普通に終端速度で100mを割っただけじゃないの？
@@朕鶴 人間の走りに終端速度って定義できるの??現在最速の速度を使うにしてもこれから先もっと速い人が出てくるかもだし
中学生ワイ｢因数分解かぁ〜、見てみよ!!!( ﾟдﾟ)ﾊｯ!!!!｣
逃げろ....
逃がさん…お前だけは…(数学沼)
に〜げるんだよ〜！
スモーキー！
自分語りになるんですけど無事ゴリゴリ理系の高校に受かったのでどんどん数学沼にハマっていこうと思います
数3一通り学んだら、無理ゲーとは感じなくなるんだね。数3やる前と数3一通りやった後に見るのとはかなり理解が変わる
sinとかcosの話聞いてたら、なぜか迷子になった気分になるんですけど何でですかね🥺
その気持ちわかる気がする
θかっけぇこれだけしか理解出来ん
懐かしい知識がいっぱいだなぁ。大学4年だけど全部やったことある知識なのに綺麗に全部抜けてるわ、、、、
因数分解奥深し
問題文「実数の範囲で解きなさい」天才 「複素数の範囲で考えます」
問題がシンプルで奥が深い一番おもろいタイプの問題
だんだん、鈴木貫太郎さんが浮かんでくるのはわたしだけでしょうか？(特に図形的にX^4-1=0を正方形になる・・・)
いやー私もです！
考え方はギリッッギリ追いついたが解答はどんな書き方になるんだろう
多分だけど1次試験なんじゃないかな？
分かりやすかったです。見事な解答・解説ですね。私の場合、(ｘ^2+x+1)で割ったときの商Q(x)=x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1を用いて、(ｘ^2+x+1)Q(x)の形でできたと思っていました。しかも、その解答に思い至るまでに3日かかっていました。Q(x)の方は容易には因数分解できないと思っていました。重箱の隅をつついて細かいことを言うと、河野さんの解答には小さな誤りがあると思います。12:35辺りです。12:35 iを分数全体に掛けて書いていますが、ルート3にだけ掛けて、分子に載せなくてはいけません。 16:35 言葉の問題。「x座標」ではなくて、「実座標」または「実部」と表現するのかも。
(x^7-1)を掛けるってとこで詰んだ
これを思いつけるレベルの天才と書面だけで理解出来る天才が無数にいるの怖すぎる
現在67歳!この動画を50年前に見たかった😁
めっちゃ面白い動画です！楽しかったです！！
w1〜w21と1を分けたら解が22個あることになってるので、w1＝1とするかw20までにするかだと思います
ω20までだよな
x^n-1の形が出たところで、複素平面にある単位円上の回転の話になるのは鈴木貫太郎さんの動画から推測がついた。最後まで見ると美しい解でちょっと感動した。
これ、実数の範囲だから一目だけど全ての実2次体の範囲とかだと計算エグいなあ。
別の数学TH-camrの方の動画見て解いたら、発想が分かりました。
もうすぐ62歳、43年前に数Ⅲやったけどこんなのあったか？って、すべて忘れています。ところで、1か月くらい前にこんな問題がNetに上がっていましたが、これ解いてもらえませんか。（花子さんの誕生日というので検索してね。数Ⅱbらしいです。）花子さんの誕生日は2006年12月9日で、そこでf(x)=x^2006+x12+x9を色々な整式で割って余りを求める。というものでした。これを知恵袋に上げましたが、これに続く設問（何で割るか）があるはずと一蹴されて、悩んでいます。Net検索してもこれ以上の設問は見つかりませんでした。確かにそうかもしれません。。。冥途の土産になるかもしれないので、よろしくお願いします。
実係数の多項式を実係数の多項式の範囲で因数分解せよ、と言う問題は「必ず」2次以下の多項式で因数分解できます。たぶん高校数学で習う数少ない複素数の性質(実係数多項式の解は実数解か互いに複素共役な解)なので、そこに気付けるかですかね。x²+x+1で因数分解可能なのはすぐにわかりますが、そのあとの多項式がまだ因数分解できることは計算しなくてもわかる事だったりします。
複素数平面は虚数とか三角関数とかベクトルとかいろんな単元がつながるからすごくすき
いい意味で最初から最後まで何言ってんの笑
因数分解の問題なのに、平面出てきた瞬間見るのを辞めた
ベクトルが意外と有能だぅ
これ見た目は良くないけど面白いやり方がある。x^14+x^7+1=x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 - x^13 - x^12 - x^11 - x^10 - x^9 - x^8 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 - x^2 - xあとは、これを3項づつ、x^2+x+1 で括ると終わりです。もっともらしく整理すると。(x^2+x+1)*(x^12 - x^11+x^9 - x^8+x^6 - x^4+x^3 - x+1)
おつかれぃ
4:45正しくは1からω20またはω1からω21
ですよね
これが=0の方程式なら、x^7=exp(±i2π/3+i 2πn)x=exp[i(±2π/21+2/7 πn)]n=±3,±2,±1,0x=exp[i(2π/21+2/7 πn)],exp[i(-2π/21-2/7 πn)]Π[x^2- 2cos(2π/21+2/7πn) x + 1]が因数分解の結果
文系大学生のワイからしたらこの問題の解説は、終始「は？は？は？」の連続だった
数III範囲が入りますからねぇ。私は文系なのに理系に行って無事死亡しました。
関係ないけどド･モアブルの定理って大数の1対1数学2に載ってるよね
文転高3ワイ、二次数学数Ⅲいらないにも関わらずこんな訳のわからん動画でふむふむしてる様子(なお理解はしていない)
数3範囲内で突き詰めたなかでは、複素数平面はまじで圧倒的にむずい。
すげぇなこの問題
協会の想定解が(x^2+x+1)でくくっただけなのであれば、cosを使った7つの掛け算にまで分解できることを「試験中に気づいてしまった」方は余計に時間がとられて、災難でしたね。
感動した！！！
内容は難しいけど、久しぶりに数学面白いなって思えた
実数の範囲で因数分解っていう文を解釈違いしてて、｢ないやん...」と思ってしまって、そこで解くのをやめてしまった。。悔しい。
複素数全く思い浮かばなくて、両辺をx^7で括って（x+x^-1）で因数分解しようとしたら途中で詰んだ…
あと3000人で30万人！！！
おんなじ形の因数分解をする時は複素数平面使えば良いってわけね
なるほど，公式解答は「整数の範囲で」と言っとけば正解だったのかな
x=2/3i と x=4/3iが解なので、(x-2/3i)(x-4/3i)=x^2+x+1で割り切れて、x^14+x^7+1=(x^2+x+1)(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)まではできたけど、「実数範囲で」ってのは、もっと頑張って分解しないとダメ？
最初の想定解の導き方が知りたいです。
因数定理使えるでしょx^3-1の因数分解で出てくる形と気づけば、ω、ω^2を1の虚数根としてx^14+x^7+1=(x^7-ω)(x^7-ω^2)と出来るとわかり、ω^7=ωだし(ω^2)=ω^2だからx=ωとx=ω^2が因数であることがわかる。だから、x^14+x^7+1は(x-ω)(x-ω^2)=x^2+x+1を因数に持つとわかる。あとは割り算すりゃいい。
wolframalpha で x^14+x^7+1=0 と入れると整数係数の因数分解までしか出ないな。普通因数分解の問題って言ったら、実数係数までは考えないもんなあ。ひっかけ問題だね。
実数の範囲では少なくとも二次まで因数分解できますからね。
細かいけど、(x-1)(x-ω1)....ではじめたなら、最後の項は(x-ω20)では…？
こーゆーのみると理系進めばよかったと思う
共役複素数の性質、ｎ乗根の極形式について知っていないと太刀打ちできない。
これ数検一級問題集でクソムズすぎて捨てたまだ見てないけど単位円とか使ってたような
使ってた！
@@あいうえお-g4w8o 簡単ではない
初見で解けてたまるかこんなの解けなくても1級受かったからみんな安心してね
@@あいうえお-g4w8o 確かに難しくはないですよね
@@あいうえお-g4w8o 俺キツかったわ
まじで理解しやすい！好き
「あぁドモアブルの定理ね」ってドヤってたけどよく考えたら俺が知ってるのはドモルガンだった
複素数平面出てきたあたりから驚愕の連続
これを解ける人間がいることに驚く。想定解をあっさりやってるけど、なんでx^2+x+1で割ろうと思うところに行きつくかも理解できないし、それを割った時の2項目もあっさり出てこない。数学得意のはずだけど自力で解ける気が全くしない。
1の三乗根ωの性質(ω^3=1,ω^2+ω+1=0)を使うと、ω^14+ω^7+1=ω^2+ω+1=0となり、x^14+x^7+1はx^2+x+1を因数に持つことが分かるからだと思います。後半の( )はひたすら割り算をするしかないので、多分あっさり出てきているわけでは無いと思います。
4:56 ω21で合ってますか？解が21個で1が解のひとつだからω20ではないですか？
恐らく書き間違えかと思います。その後の説明ではω_20になってますね。
Xの2乗+X+1に変換したのは間違っています。正しくは、Xの２乗+2になります。ただし、Xの14乗+Xの7乗+1の因数分解はXの２乗+2をを因数にしない、Xの２乗+2の形で因数分解できないのが不思議です。Xの14乗+Xの7乗+1の因数分解は、Xの2乗+X+1で因数分解できますが。
共役な複素数同士をかけて1になるという発想がでてこなかった
最後の解答ですが、それぞれのカッコ内の第2項は2cos2π/21 xのようにxの係数という理解で良いでしょうか
自分で展開すればわかることでしたすみません。
凄い！
とても面白い問題ですね。ところで、xが抜けているように思うのですがどうでしょう？
面白いなぁ。ホンマに面白い。そもそも、どういう思考回路からこんな発想が思いつくんだろうか。。。俺もちゃんと各種定理が意味するところを理解していれば、このような発想が思いつくのであろうか、、、
(x^7−1/2−√3i/2)(x^7−1/2＋√3i/2)で、ここからどうせ、因数が共役な項同士をかけるんだろうなぁって思ってやる気なくなってしまった。
どちらの項も-1/2ではなく+1/2ですかね。
逆に数検はなぜそれでくくれることをぱっと出せたんですかね
xにωを代入すると0になるので因数定理から分かりますね。
![[ TEASER ] เงาะป่า - วงL.กฮ. | TMG RECORD](http://i.ytimg.com/vi/M4ObdFfcPww/mqdefault.jpg)
![[Factorization] A shortcut technique that is too bad if you don't know it.](/img/n.gif)
大学入って初めて、いかに中高の問題の因数分解が計算しやすいように調整されてたか痛感した
どうせ綺麗な数字になるんでしょ?って思いながら解くよね
@@shp6989 分かりみが深い。
そんななか出てきたルート１４７分のを一生憎む、あっててもあってる気がしなかった
@@tomatann635 ちょっと詳しく
@@tomatann635 それ 7√3 ですよ
複素数の積を図形的に捉えてあげても偏角が和,絶対値が積となることがわかり、その性質を使って三角関数の加法定理を証明する流れが個人的にすごく好きです.
複素数の積→偏角は和
のところで、暗黙のうちに三角関数の加法定理を使っていませんか？
@@tchaikovsky1026
教科書等では,加法定理を用いて複素数の積において絶対値が積で偏角が和となることを証明しています.(こちらが一般的な方法でしょう.)
しかしながら、複素数の積を図形的に捉えてあげて証明することもできます.(ここでいう「図形的に捉えてあげて」とは、加法定理を既知として↑で述べた「積において絶対値が積,偏角が和となる」…(※)という定理を図形的な意味として見出すという教科書の流れではなく,図形的な側面(「相似」の概念)から定理(※)を導いてやるということです.そうでなければ循環論法に陥ってしまいます.この点についてのご指摘だと思われますが,ご安心ください.以下に定理(※)の証明を添えます.)
定理(※)の証明
複素数を複素数平面上でベクトルとして捉えてやると都合が良いので(というか複素数はベクトルなので)、a,b∈lRとして、複素数a+biを右にa進んで上にb進むベクトル(a,b)として扱う.こう考えることにより複素数の和はベクトル和と同様に振る舞うことがわかる.
まず
複素数Aと虚数単位iの積Aiについて、複素数平面上でベクトルAiはベクトルAをπ/2回転したものである…(※※)
を前提とする.
(これは別個で証明できる.要は座標平面上で点(a,b)を原点中心にπ/2回転した点が(-b,a)であることを示せばよい.)
2つ複素数A=a+bi,B=c+di(a,b,c,d∈lR,argA=α,argB=β)の積について考えると
AB=A(c+di)=c・(A)+d・(Ai)(A,Aiを纏まりと捉えて分配して展開した)
AiはAをπ/2回転したものであるから,この2つのベクトルA,Aiを基底とする直交座標系…①は、2つのベクトル1,iを基底とする直交座標系…②をlAl倍に相似拡大または縮小し,原点中心にargA=αだけ回転したものであり、①と②は互いに相似である.
したがって,ベクトルB=c・1+d・iをlAl倍に拡大または縮小して,αだけ回転したベクトルがAB=c・(A)+d・(Ai)であるから、これにより複素数ABの絶対値はlAllBl,偏角はα+βであることがわかり定理(※)は示された.
補足(1)
どうしても言葉で記述すると堅苦しくなってしまいますが、AB
=c・(A)+d・(Ai)という複素数を図示してあげると視覚的に理解できると思います.
補足(2)
あえて「①と②が座標系として相似」と表現したのは、一般角α,βを扱っているゆえ、一般性を保つためです.３点(0),(c),(c+di)を頂点とする三角形と３点(0),(c・A),(c・A+
d・Ai)を頂点とする三角形が相似といえばわかりやすいかもしれません.
補足(3)
定理(※※)を活用して複素数平面上で定理(※)を証明しましたので,
定理(※)を用いると
(cos α+isinα)(cos β+isinβ)=cos (α+β)+isin(α+β)
左辺を展開して実部と虚部の比較により
三角関数の加法定理
cos αcos β-sinαsinβ=cos (α+β)
sinαcos β+sinβcos α=sin(α+β)
が得られます.
補足(4)
恐らくお気づきかと思いますが上で紹介した定理(※)の証明では定理(※※)と複素数のベクトルとしての振る舞いがミソになっています.
複素数平面上でなくても同様の加法定理の証明がただのxy平面上でベクトルを用いてできます.
(証明)
大文字はベクトルを表すことにする.
また、cos (θ+π/2)=-sinθ,sin(θ+π/2)=cos θを既知とする.
(これは加法定理を用いるまでもなく証明可能)
E1=(1,0),E2=(0,1)とし,
E3=(cos α,sinα)=(cos α)E1+(sinα)E2
E4=(cos (α+π/2),sin(α+π/2))=(-sinα,cos α)=(-sinα)E1+(cos α)E2
とする.
E1,E2を基底とする座標系を原点中心にαだけ回転したのがE3,E4を基底とする座標系であるから,
ベクトル(cos β)E3+(sinβ)E4は(cos β)E1+(sinβ)E2をαだけ回転したベクトルであり,
(cos β)E3+(sinβ)E4={cos (α+β)}E1+{sin(α+β)}E2
⇔
(cos αcos β-sinαsinβ)E1+(sinαcos β+sinβcos α)E2=cos (α+β)}E1+{sin(α+β)}E2
E1,E2は線形独立だから,係数比較(つまり、成分表示したときの成分の比較)により
三角関数の加法定理
cos αcos β-sinαsinβ=cos (α+β)
sinαcos β+sinβcos α=sin(α+β)
が得られた.
このように、ベクトルの視点から見てみれば加法定理なんて一瞬で導けてしまいます.(上では多少丁寧に書いたつもりなので長々しく見えてしまいます.)
余談ですが、加法定理,定理(※)ともに独立に証明することもでき、また加法定理を用いて定理(※)を導いたり、逆に定理(※)を用いて加法定理を導いたりできて、証明経路がたくさんある(つまり一方通行ではない)というのも個人的に数学の面白さの１つだとおもいます.
因みに、私は数学2の授業で先生に「加法定理の証明は複素数平面を用いてできる」ということを教わり、そこで複素数平面に関して学習した際に定理(※)の図形的な証明を知って感動した記憶があります.教科書等に載せられていないのが残念ですが、非常に面白いので是非多くの方々に知っていただきたいです.もし上で述べた定理(※)の証明がわかりにくかったり読みづらかったりすれば、「加法定理 複素数平面 証明」で検索してみてください.ヤフー知恵袋あたりで見つかるとおもいます.
@@mathmouse3797
おっしゃっていることはよくわかります。
自分は数学の専門家でないので、間違いがありましたらご容赦ください。
書いていただいたアプローチは、形式的には複素平面をとっていますが、xy平面を用いた加法定理の証明（高校でやるような一般的な証明）とほぼ同値であることがわかりました。
もちろんどちらが正しいとかではなく、両方正しいのだと思います。
@mathmouse さんの論証では、「複素数の積は伸縮と回転を表す」を証明した時点ですでに加法定理がほぼ証明されているので、
「複素数の積の性質から加法定理を証明する」という主張に違和感がありました。
@@tchaikovsky1026
「複素数の積の性質を導いた時点で加法定理の証明ができている」というのは全くその通りです.
絶対値が1の特殊な場合について単に「複素数の積の性質」を書き直したのが加法定理となっています.
ですので、「複素数の積の性質を利用して加法定理を証明する」というのは「複素数の積の性質から何か発展させて(応用させて)加法定理を導く」というニュアンスではなく、「複素数の積に関する定理の特殊なケースが加法定理そのものであるということを述べる」だけのものです.
複素数の積に関する定理を認めた上では、確かに加法定理はそれに含まれる自明な主張ですね.同じ類として、三角関数の合成も加法定理そのものであり,加法定理を導いた時点でほとんど導けているような自明な事柄です.
ただし、複素数の演算のみでエレガントに加法定理を記述できるというのは記憶しやすいという点からも価値のあることだと思います.
とりあえずラーメン食べたい
「うーん…そーなるねー」とか言いながら動画見ると、自分がめちゃくちゃ頭いいように感じられる動画ww
この速度で順序よく説明できるのまじで凄いわ。
ド・モアブルの定理の導出を初めてやった時は「数l+数ll=数lll」って感じがして面白かったです‼️
実数係数多項式の方程式は、互いに共役な複素数を解に持つので、実数係数の二次式と一次式の積の形に因数分解することが可能ですね。
これ作問者は「整数の範囲で」想定していたのに誤って「実数の範囲で」と書いてしまった説が濃厚。
前者なら残りの12次多項式(21番目の円分多項式)の規約性の証明をしないとだからきちんと1級レベル(=大学範囲)だけど、後者は結果がごついしcos使わないと係数死ぬほど複雑になるし高校レベルだしでただの悪問。
@@ボブやねん 「整数の範囲で因数分解する」がどのような行為を指すのか誤解していませんか？例えばx^3-1を整数の範囲で因数分解すると(x-1)(x^2+x+1)となることはわかりますか？
@@ボブやねん おーい聞かれてんぞーw
@@xpxxpx6812 偽モンさむい
@@ボブやねん 下手に数学ガチ勢に反論するとこうなるんだよなぁ…
@@ボブやねん 間違った時は謝ってね
因数分解ってこんなにも奥深いのか....
真面目に動画止めてやったら地獄を見ました。5時間かけて意地でやったところ回答にたどり着けました。対ありでした
ここのコメント欄読んで理解できた。
コメント欄に優秀な人達がいてよかったです。
てかこのような動画は真面目しか見ないだろ。勉強しない奴がわざわざ見に来るはずがない
@@アンチマン-i7nバカはまず問題文理解出来ん
ごり押すなら、
X^2+X+1=0を解の公式に入れると
X=ω,ω^2が出てくるから
7倍して偏角が2π/3,4π/3になるものとして
(2π/3+2nπ)/7,(4π/3+2nπ)/7が出てくるから
14個の複素数解が求められる
解法としては先にそれを思いつきそう
5:29 複素数平面ていうのは、平面なんですよ
不覚にも笑ってしまったw
小泉構文みたいで好き
最後のx^1の項（cosの項）、係数しか書いてなくてx掛け忘れてる気がする…
ですよね。この指摘なさすぎて自分が間違ってるのかと思った。
解説がわかりやすくて、複素平面の応用例がわかった気がします。
こういうの見ると現時点で実数の範囲で因数分解できないと考えられているものもできてしまうものも出てくるかもしれませんね。
もし問題が整係数の範囲で因数分解だったら、式見てω代入して0になることに気づけばωの最小多項式であるx^2+x+1を因数に持つことがすぐ分かります。
あとはx^2+x+1で割った商の12次式が整数上で既約なことを証明しないといけないですが。
円分多項式について知っていれば、x^21-1にたどり着ければ数検側の最初の解答になりますね。範囲を実数にしたせいで・・・
x^n-1の因数分解は、
(x-1)(x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+1)
ということは知っていたが、数A.1の範囲しかわからないから、それ以上に因数分解出来るとはたまげたなぁ...
@al2 tio5 ん？
与式において
X=x^2
とおくと
X^2+X+1=0
となり、その解Xは
X=exp(±i2π/3)
ただし、exp(a)はe^aとする。
よって解xは
x=exp(±i2π/21+i2nπ/7) (nは整数で0≦n≦6)
ここでω=exp(i2π/21)、ζ=exp(i2π/7)とおくとxは
x=ωζ^nもしくは1/ω ζ^n
と表せる。
よって与式は係数が複素数の範囲で因数分解すると、
x^14+x^7+1=
(x-ωζ^0)(x-ωζ^1)(x-ωζ^2)・・・(x-ωζ^6)
(x-1/ω ζ^0)(x-1/ωζ^1)(x-1/ωζ^2)・・・(x-1/ωζ^6)
となる。
ここでζは
ζ^n-ζ^(n-7)
=exp(i2nπ/7)-exp(i2(n-7)π/7)
=exp(i2nπ/7)-exp(i2nπ/7)
=0
という性質があるので、
x^14+x^7+1
=(x-ωζ^0)(x-ωζ^1)(x-ωζ^2)・・・(x-ωζ^6)
(x-1/ω ζ^0)(x-1/ωζ^(-1))(x-1/ωζ^(-2))・・・(x-1/ωζ^(-6))
=
(x^2-(ω+1/ω)x+1)
(x^2-(ωζ+1/ωζ^(-1))x+1)
・・・
(x^2-(ωζ^6+1/ωζ^(-6))x+1)
となる。ここでωζ^n+1/ω ζ^(-n)は、
ωζ^n+1/ω ζ^(-n)
=ωζ^n+(ωζ^n)^(-1)
=2cos(θ_n)
ただしθ_nはωζ^nの偏角で
θ_n=2π/21+2nπ/7=2(3n+1)π/21
よって
x^14+x^7+1
=
(x^2-2cos(2π/21)x+1)(x^2-2cos(8π/21)x+1)(x^2-2cos(14π/21)x+1)
(x^2-2cos(20π/21)x+1)(x^2-2cos(26π/21)x+1)(x^2-2cos(36π/21)x+1)
(x^2-2cos(38π/21)x+1)
となる。角度がπを超える角φについてはcos(φ)=cos(2π-φ')=cos(φ')と整理し、
またcos(14π/21)=cos(2π/3)=-1/2を適用し
=
(x^2-2cos(2π/21)x+1)(x^2-2cos(8π/21)x+1)(x^2+x+1)
(x^2-2cos(20π/21)x+1)(x^2-2cos(16π/21)x+1)(x^2-2cos(10π/21)x+1)
(x^2-2cos(4π/21)x+1)
となり係数が実数の範囲で因数分解できた。
高1でも分かる説明をするなんて...尊敬する！
お主どんな高一だよ
因数分解を複素数の話に持っていく発想ってのができる人がすごいね
こういう問題を頭いい人に何も予習させず模範解答も渡さず解説させたい。どういう風に解いていくのか聞きたい。
少なくとも理系大学生ならスラスラと解けないといけないレベルの基礎問題なのであくまで高校数学の範囲でって所が難問ポイントですね
高1でわかってる人とか理解できてる中学生がいて凄い。
俺わからんかった笑
超上位中高とか行ったら自力で解くレベルの奴がいますが、ここにはいない模様です。
解説聞くと分かった気になるやつ
趣味程度に数Ⅲかじってるだけの底辺文系でもド・モアブルの定理の意味(?)わかった。すごい。どんなけ説明わかりやすいんや。
最後の答え、それぞれの因数
の二個目
2cos(?/21π)×x
じゃないですか？
xが抜けてる気が
これ大学受験でも複素平面使う誘導ありなら解けそうだな
x^7-1を掛けるってことに気づけたらそこからは複素数って気づけるよね
俺もうそろ高校入試だから
難しめの因数分解かなーって
思ってたら答えが思ってたんと
違う
俺が問題出してやるよ！
因数分解しなさい
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
答え (a+b+c)(ab+bc+ca)
@@housecalpis4029
(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)
動画とレベルが違いすぎて草
灘でもこんなの出さない
@@housecalpis4029 青チャートで見たことある
12:06ここで点と点が線に繋がって鳥肌立った
俺『元の方が見やすいやん』
因数分解とかそんなもんやろ
@@コムドットチャンネル登録減らそうのそうか？大体きれいになるもんだと思ってたわ
数学的には足し算より掛け算の方が簡単なんだよね。だから見やすいのかも。
@@ammmamaaamaam
積分、Σ「…」
@@りゅう-q6k8vまあそいつらがムズいのはそれのせい
全く同じ方法で、x²ⁿ+xⁿ+1(n:自然数)の実数範囲での因数分解が可能ですね。
ん？？？
自然数？？？
@@田中_田中 n=1のときの因数分解はどのようになるのでしょう。
@@JJ-mr7li 失礼しました。「自然数」は誤りです。n=1は除きます。
x^2 + x + 1 = 0の２解がω,ω^2というのがすぐ出てくればx^7-1をかける手間は必要ないね。
x^7 = ω,ω^2を解いて
x = cos2π/21 ± isin2π/21,cos8π ±isin8π/21,….,cos38π/21 ± isin38π/21
と求められれば、あとは和と差の積で虚部を消すだけ
x^7-1かけるとこまでは思いついたけどそこから詰まって、解説聞いてあーなるほどなって感じでした。これは中々面白い！
葛西さんとかこういうのパーっと解いちゃうんだろなーすごい
大変面白いですね！とても分かりやすいご解説でした！！チャンネル登録させて頂きました！！！
もしできても最後にx^2+x+1にするの忘れそうw
できないだろ
@@緑虫-n6f クソリプやめとけ
"もし"が読めない模様
@@Shuuuuuuuumai もしっていってんだろ日本語検定やってこい
@@最近の中学生-q3w 口悪いぞ
こうゆう数学の面白そうなの早く理解したい中三です。
本当に辛いけど理数科目指して苦手な国語頑張ります！
この問題は、２００６年７月２３日に実施された実用数学技能検定（第１２１回）１級１次の問題１です。
有能
伸びろ
@@amolaquila 伸びない定期
@@amolaquila 伸びる必要性皆無
@@amolaquila きも
大学入試にも因数分解に関する問題でド・モアブル使う問題はありますから、今回の解答に対する驚きは、減りましたね。文系の方も数Ⅲを学んで欲しいと思います‼️
それは文系なのだろうか
※数Ⅲを学ぶ時点で文系ではないのではないかという意味ね
すごくわかりやすく解説してくれてるのはわかるが、やっぱりわからんw
これは難しすぎる
19:47 各因数、2cos○πではなく、2cos○πxですよね
それな……
それ思ったからそのコメ探してたーー
そう
2x cos○πですね。
複素数を用いるなんて何と豊かな発想でしょうか。
河野さんの動画を見て何十年かぶりにまた勉強をしたくなりました。
こういう動画を見たいということで１つ。
以前クイズ番組で「人間は１００メートルを最速で何秒で走れるか？」
のような問題が出てきて「９秒４ｘ」のような解答が出てきましたが
どうやって計算したのかさっぱりわかりません。
河野さんの解説を見てみたいです。
それおもしろそう
@@kraas1343
普通に終端速度で100mを割っただけじゃないの？
@@朕鶴 人間の走りに終端速度って定義できるの??現在最速の速度を使うにしてもこれから先もっと速い人が出てくるかもだし
中学生ワイ｢因数分解かぁ〜、見てみよ
!!!( ﾟдﾟ)ﾊｯ!!!!｣
逃げろ....
逃がさん…お前だけは…(数学沼)
に〜げるんだよ〜！
スモーキー！
自分語りになるんですけど無事ゴリゴリ理系の高校に受かったのでどんどん数学沼にハマっていこうと思います
数3一通り学んだら、無理ゲーとは感じなくなるんだね。
数3やる前と数3一通りやった後に見るのとはかなり理解が変わる
sinとかcosの話聞いてたら、なぜか迷子になった気分になるんですけど何でですかね🥺
その気持ちわかる気がする
θかっけぇこれだけしか理解出来ん
懐かしい知識がいっぱいだなぁ。
大学4年だけど全部やったことある知識なのに綺麗に全部抜けてるわ、、、、
因数分解奥深し
問題文「実数の範囲で解きなさい」
天才 「複素数の範囲で考えます」
問題がシンプルで奥が深い一番おもろいタイプの問題
だんだん、鈴木貫太郎さんが浮かんでくるのはわたしだけでしょうか？(特に図形的にX^4-1=0を正方形になる・・・)
いやー私もです！
考え方はギリッッギリ追いついたが
解答はどんな書き方になるんだろう
多分だけど1次試験なんじゃないかな？
分かりやすかったです。見事な解答・解説ですね。
私の場合、(ｘ^2+x+1)で割ったときの商Q(x)=x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1を用いて、
(ｘ^2+x+1)Q(x)の形でできたと思っていました。
しかも、その解答に思い至るまでに3日かかっていました。Q(x)の方は容易には因数分解できないと思っていました。
重箱の隅をつついて細かいことを言うと、河野さんの解答には小さな誤りがあると思います。12:35辺りです。
12:35 iを分数全体に掛けて書いていますが、ルート3にだけ掛けて、分子に載せなくてはいけません。
16:35 言葉の問題。「x座標」ではなくて、「実座標」または「実部」と表現するのかも。
(x^7-1)を掛けるってとこで詰んだ
これを思いつけるレベルの天才と書面だけで理解出来る天才が無数にいるの怖すぎる
現在67歳!
この動画を50年前に見たかった😁
めっちゃ面白い動画です！
楽しかったです！！
w1〜w21と1を分けたら解が22個あることになってるので、w1＝1とするかw20までにするかだと思います
ω20までだよな
x^n-1の形が出たところで、複素平面にある単位円上の回転の話になるのは鈴木貫太郎さんの動画から推測がついた。最後まで見ると美しい解でちょっと感動した。
これ、実数の範囲だから一目だけど全ての実2次体の範囲とかだと計算エグいなあ。
別の数学TH-camrの方の動画見て解いたら、発想が分かりました。
もうすぐ62歳、43年前に数Ⅲやったけどこんなのあったか？って、すべて忘れています。ところで、1か月くらい前にこんな問題がNetに上がっていましたが、これ解いてもらえませんか。
（花子さんの誕生日というので検索してね。数Ⅱbらしいです。）花子さんの誕生日は2006年12月9日で、そこでf(x)=x^2006+x12+x9を色々な整式で割って余りを求める。というものでした。
これを知恵袋に上げましたが、これに続く設問（何で割るか）があるはずと一蹴されて、悩んでいます。Net検索してもこれ以上の設問は見つかりませんでした。確かにそうかもしれません。。。冥途の土産になるかもしれないので、よろしくお願いします。
実係数の多項式を実係数の多項式の範囲で因数分解せよ、と言う問題は「必ず」2次以下の多項式で因数分解できます。たぶん高校数学で習う数少ない複素数の性質(実係数多項式の解は実数解か互いに複素共役な解)なので、そこに気付けるかですかね。x²+x+1で因数分解可能なのはすぐにわかりますが、そのあとの多項式がまだ因数分解できることは計算しなくてもわかる事だったりします。
複素数平面は虚数とか三角関数とかベクトルとかいろんな単元がつながるからすごくすき
いい意味で最初から最後まで何言ってんの笑
因数分解の問題なのに、平面出てきた瞬間見るのを辞めた
ベクトルが意外と有能だぅ
これ見た目は良くないけど面白いやり方がある。
x^14+x^7+1=x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 - x^13 - x^12 - x^11 - x^10 - x^9 - x^8 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 - x^2 - x
あとは、これを3項づつ、x^2+x+1 で括ると終わりです。もっともらしく整理すると。
(x^2+x+1)*(x^12 - x^11+x^9 - x^8+x^6 - x^4+x^3 - x+1)
おつかれぃ
4:45
正しくは1からω20
またはω1からω21
ですよね
これが=0の方程式なら、
x^7=exp(±i2π/3+i 2πn)
x=exp[i(±2π/21+2/7 πn)]
n=±3,±2,±1,0
x=exp[i(2π/21+2/7 πn)],exp[i(-2π/21-2/7 πn)]
Π[x^2- 2cos(2π/21+2/7πn) x + 1]が因数分解の結果
文系大学生のワイからしたらこの問題の解説は、終始「は？は？は？」の連続だった
数III範囲が入りますからねぇ。私は文系なのに理系に行って無事死亡しました。
関係ないけどド･モアブルの定理って大数の1対1数学2に載ってるよね
文転高3ワイ、二次数学数Ⅲいらないにも関わらずこんな訳のわからん動画でふむふむしてる様子(なお理解はしていない)
数3範囲内で突き詰めたなかでは、複素数平面はまじで圧倒的にむずい。
すげぇなこの問題
協会の想定解が(x^2+x+1)でくくっただけなのであれば、cosを使った7つの掛け算にまで分解できることを「試験中に気づいてしまった」方は余計に時間がとられて、災難でしたね。
感動した！！！
内容は難しいけど、久しぶりに数学面白いなって思えた
実数の範囲で因数分解っていう文を解釈違いしてて、｢ないやん...」と思ってしまって、そこで解くのをやめてしまった。。悔しい。
複素数全く思い浮かばなくて、
両辺をx^7で括って（x+x^-1）で因数分解しようとしたら途中で詰んだ…
あと3000人で30万人！！！
おんなじ形の因数分解をする時は複素数平面使えば良いってわけね
なるほど，公式解答は「整数の範囲で」と言っとけば正解だったのかな
x=2/3i と x=4/3iが解なので、(x-2/3i)(x-4/3i)=x^2+x+1で割り切れて、
x^14+x^7+1=(x^2+x+1)(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)
まではできたけど、「実数範囲で」ってのは、もっと頑張って分解しないとダメ？
最初の想定解の導き方が知りたいです。
因数定理使えるでしょ
x^3-1の因数分解で出てくる形と気づけば、ω、ω^2を1の虚数根としてx^14+x^7+1=(x^7-ω)(x^7-ω^2)と出来るとわかり、ω^7=ωだし(ω^2)=ω^2だからx=ωとx=ω^2が因数であることがわかる。だから、x^14+x^7+1は(x-ω)(x-ω^2)=x^2+x+1を因数に持つとわかる。あとは割り算すりゃいい。
wolframalpha で x^14+x^7+1=0 と入れると整数係数の因数分解までしか出ないな。普通因数分解の問題って言ったら、実数係数までは考えないもんなあ。ひっかけ問題だね。
実数の範囲では少なくとも二次まで因数分解できますからね。
細かいけど、(x-1)(x-ω1)....ではじめたなら、最後の項は(x-ω20)では…？
こーゆーのみると理系進めばよかったと思う
共役複素数の性質、ｎ乗根の極形式について知っていないと太刀打ちできない。
これ数検一級問題集でクソムズすぎて捨てた
まだ見てないけど単位円とか使ってたような
使ってた！
@@あいうえお-g4w8o 簡単ではない
初見で解けてたまるか
こんなの解けなくても1級受かったからみんな安心してね
@@あいうえお-g4w8o 確かに難しくはないですよね
@@あいうえお-g4w8o 俺キツかったわ
まじで理解しやすい！好き
「あぁドモアブルの定理ね」ってドヤってたけどよく考えたら俺が知ってるのはドモルガンだった
複素数平面出てきたあたりから驚愕の連続
これを解ける人間がいることに驚く。想定解をあっさりやってるけど、なんでx^2+x+1で割ろうと思うところに行きつくかも理解できないし、それを割った時の2項目もあっさり出てこない。数学得意のはずだけど自力で解ける気が全くしない。
1の三乗根ωの性質(ω^3=1,ω^2+ω+1=0)を使うと、
ω^14+ω^7+1=ω^2+ω+1=0
となり、x^14+x^7+1はx^2+x+1を因数に持つことが分かるからだと思います。
後半の( )はひたすら割り算をするしかないので、多分あっさり出てきているわけでは無いと思います。
4:56 ω21で合ってますか？解が21個で1が解のひとつだからω20ではないですか？
恐らく書き間違えかと思います。その後の説明ではω_20になってますね。
Xの2乗+X+1に変換したのは間違っています。正しくは、Xの２乗+2になります。ただし、Xの14乗+Xの7乗+1の因数分解はXの２乗+2をを因数にしない、Xの２乗+2の形で因数分解できないのが不思議です。Xの14乗+Xの7乗+1の因数分解は、Xの2乗+X+1で因数分解できますが。
共役な複素数同士をかけて1になるという発想がでてこなかった
最後の解答ですが、それぞれのカッコ内の第2項は2cos2π/21 xのようにxの係数という理解で良いでしょうか
自分で展開すればわかることでしたすみません。
凄い！
とても面白い問題ですね。
ところで、xが抜けているように思うのですがどうでしょう？
面白いなぁ。ホンマに面白い。そもそも、どういう思考回路からこんな発想が思いつくんだろうか。。。
俺もちゃんと各種定理が意味するところを理解していれば、このような発想が思いつくのであろうか、、、
(x^7−1/2−√3i/2)(x^7−1/2＋√3i/2)
で、ここからどうせ、因数が共役な項同士をかけるんだろうなぁって思ってやる気なくなってしまった。
どちらの項も-1/2ではなく+1/2ですかね。
逆に数検はなぜそれでくくれることをぱっと出せたんですかね
xにωを代入すると0になるので因数定理から分かりますね。