Danke für das gute Video ! Mir ist beim ersten Beispiel aber noch nicht ganz klar geworden, ob ein Ausdruck durch x als Beweis für Surjektivität ausreichend ist ? Muss man nicht erst dann zeigen dass dieser Ausdruck alle Werte abdeckt (z.B. durch Betrachtung des Verhaltens ins Unendliche) ?
Hammer! Super erklärt, gut veranschaulicht, deutlich und sinnvoll!! Bestes Mathe-Erklärvideo, was ich bisher gesehen habe (und ich habe leider schon einige durch :D)!
Ich habe eine Frage: f:R mit f(x)= x^n-a n ist eine natürliche Zahl. Was muss für n gelten, damit f surjektiv ist Angenommen, n wurde so gewählt, dass f nicht surjektiv ist. Ist f dann Injektive? Begründen Sie ihre Antwort
Könnte man die 2. Funktion auch so beweisen, dass man nach x umstellt und somit sehen kann, dass die Wurzel von y für negative Werte nicht definiert ist?
Dabei gibt es ein kleines Problem: Potenzieren und Radizieren mit geradem Exponenten ist nicht äquivalent. Das bedeutet beispielsweise: Aus x=sqrt(y) folgt zwar y=x^2 , aber aus y=x^2 nicht zwingend x=sqrt(y).Du musst also extrem aufpassen, wie du die logische Kette bildest. Und schließlich musst du noch argumentieren, dass es überhaupt eine negative Zahl gibt. Mit dem Versuch, Dinge allgemein zu klären, holt man sich eine Menge Nebenargumentationen rein. Die sind meist aber gar nicht notwendig. Der Mathematiker hilft sich daher so, dass er, wenn es möglich ist, eine Aussage immer mit Gegenbeispiel widerlegt. Er wird dabei so konkret wie möglich, damit kein offener Raum für Diskussion bleibt.
Surjektivität ist immer abhängig vom betrachteten Bildraum. Wenn du den so klein machst, dass genau der Wertebereich der Funktion erreicht wird, ist es automatisch surjektiv. Sur = alle D.h. surjektiv ist es, wenn ALLE Werte des ANGEGEBENEN Bildraums erreicht werden. Damit ist das Ganze keine Eigenschaft der Funktionsgleichung, sondern eine Eigenschaft der gesamten Funktion, die ja aus 3 Komponenten besteht: f: D -> B, f(x)=... - Definitionsbereich D - Bildraum B - Bilungsvorschrift f(x)=...
Du meinst 1/x+|x|, richtig? Das ist eine spannende Frage. Man könnte sie auf verschiedene Weisen angehen: A) Wir zeigen, dass f(x)=c für jedes c lösbar ist, d.h. mindestens eine Lösung hat B) Wir suchen geeignete Grenzwerte und unterteilen die y-Bereiche. Zum Beispiel geht x bei 1/x gegen +-unendlich für x->0. Damit sind "große y" erklärbar. Kleine y erklärt man über das |x|. B) müsste man sich genauer ansehen, das ist jetzt nur ein Beweisansatz. Man muss ihn sicher nochmal systematisch untersuchen. Vielleicht können wir ja gemeinsam darauf kommen. Schreib mir mal, wie du vorgehen würdest :-)
@@johannarest3681 Du kannst umformen: Ich würde hier den positiven und negativen Bereich separat betrachten: x>0 : x/(1+x) = (x+1-1)/(1+x)= 1 - 1/(1+x) , das ergibt Wertebereich (0;1] x
Danke für das gute Video ! Mir ist beim ersten Beispiel aber noch nicht ganz klar geworden, ob ein Ausdruck durch x als Beweis für Surjektivität ausreichend ist ? Muss man nicht erst dann zeigen dass dieser Ausdruck alle Werte abdeckt (z.B. durch Betrachtung des Verhaltens ins Unendliche) ?
Hammer! Super erklärt, gut veranschaulicht, deutlich und sinnvoll!! Bestes Mathe-Erklärvideo, was ich bisher gesehen habe (und ich habe leider schon einige durch :D)!
Das freut mich, vielen herzlichen Dank!
Top, genau das hat mir gefehlt
Also bisher die besten Erklärungen die ich im online gefunden habe, einfach und auf den Punkt, vielen Dank für deine Arbeit!
Ganz hervorragendes Video!
Ich habe eine Frage:
f:R mit f(x)= x^n-a n ist eine natürliche Zahl.
Was muss für n gelten, damit f surjektiv ist
Angenommen, n wurde so gewählt, dass f nicht surjektiv ist. Ist f dann Injektive? Begründen Sie ihre Antwort
Danke für das Video! Könntest du zu f(x) = 2x^3 + 1 einen Nachweis rechnen?
Mehr Beispiele wären toll!
Könnte man die 2. Funktion auch so beweisen, dass man nach x umstellt und somit sehen kann, dass die Wurzel von y für negative Werte nicht definiert ist?
Dabei gibt es ein kleines Problem: Potenzieren und Radizieren mit geradem Exponenten ist nicht äquivalent. Das bedeutet beispielsweise:
Aus x=sqrt(y) folgt zwar y=x^2 , aber aus y=x^2 nicht zwingend x=sqrt(y).Du musst also extrem aufpassen, wie du die logische Kette bildest. Und schließlich musst du noch argumentieren, dass es überhaupt eine negative Zahl gibt. Mit dem Versuch, Dinge allgemein zu klären, holt man sich eine Menge Nebenargumentationen rein. Die sind meist aber gar nicht notwendig.
Der Mathematiker hilft sich daher so, dass er, wenn es möglich ist, eine Aussage immer mit Gegenbeispiel widerlegt. Er wird dabei so konkret wie möglich, damit kein offener Raum für Diskussion bleibt.
Vielen Dank für dieses hilfreiche Video !!!!!!
Sehr gerne! :-)
Gut erklärt!
Kann mir jemand erklären, warum (2) nicht surjektiv ist, aber (3) schon ? Irgendwie komm ich da nicht so ganz drauf.
Surjektivität ist immer abhängig vom betrachteten Bildraum. Wenn du den so klein machst, dass genau der Wertebereich der Funktion erreicht wird, ist es automatisch surjektiv.
Sur = alle
D.h. surjektiv ist es, wenn ALLE Werte des ANGEGEBENEN Bildraums erreicht werden. Damit ist das Ganze keine Eigenschaft der Funktionsgleichung, sondern eine Eigenschaft der gesamten Funktion, die ja aus 3 Komponenten besteht:
f: D -> B, f(x)=...
- Definitionsbereich D
- Bildraum B
- Bilungsvorschrift f(x)=...
dakne
Danke für das tolle Video!!!
Ich müsst bei der Funktion x/1 + IxI = f(x) Surjektivität beweisen. Weiß aber nicht, wie ich da genau vorgehen soll.
Du meinst 1/x+|x|, richtig?
Das ist eine spannende Frage. Man könnte sie auf verschiedene Weisen angehen:
A) Wir zeigen, dass f(x)=c für jedes c lösbar ist, d.h. mindestens eine Lösung hat
B) Wir suchen geeignete Grenzwerte und unterteilen die y-Bereiche. Zum Beispiel geht x bei 1/x gegen +-unendlich für x->0. Damit sind "große y" erklärbar. Kleine y erklärt man über das |x|.
B) müsste man sich genauer ansehen, das ist jetzt nur ein Beweisansatz. Man muss ihn sicher nochmal systematisch untersuchen. Vielleicht können wir ja gemeinsam darauf kommen. Schreib mir mal, wie du vorgehen würdest :-)
@@Lernkompass Ne im Zähler steht x und im Nenner 1 + Betrag von x 😊
Und der Wertebereich ist ]-1,1[
@@johannarest3681 Du kannst umformen: Ich würde hier den positiven und negativen Bereich separat betrachten:
x>0 : x/(1+x) = (x+1-1)/(1+x)= 1 - 1/(1+x) , das ergibt Wertebereich (0;1]
x
Ist die Funktion im ersten Beispiel nicht auch bijektiv?
Gutes Video! Danke :)