très belle démonstration ; il me manque juste à 10 mn 13 le lien entre les variables (xy) et la fonction g(a,b) et l'introduction du jacobien ; je vais aller approfondir ces notions ; il reste que la somme infinie de rationnels donne un transcendant ( qui sort de Q donc Q n'est pas complet ) est-ce bien cela ? que les maths sont belles !
On le peut. Formellement, je dirais que c'est une intégrale impropre. Exactement de la même façon que l'on peut intégrer 1/√x entre 0 et 1, en définissant l'intégrale comme la limite lorsque ε -> 0 de l'intégrale entre 1/√x entre ε et 1. Ici on prendrait, au lieu du carré [0,1]x[0,1] un carré [0,1-ε]x[0,1-ε] sur lequel l'intégrale est bien définie, en faisant ensuite tendre ε->0
@@vector7669 ok, merci. Avez-vous une référence dans un bouquin? (je passe l'agrégation interne et je vois que ça peut bien rentrer dans une ou deux leçons) mais c'est un peu difficile à mémoriser !
super ! magique ! Que se passe -t-il quand l'inverse est à la puissance 4 ? J'ai vu que c'est pi^4/96. Quand l'inverse est à lapuissance 6, pi^6/960. Mais comment le démontrer ? Il doit y avoir encore un tour de magie.
Effectivement! La fonction qui généralise ces sommes est la fonction zeta de Riemann. Ici on a calculé ζ(2), mais comme tu l'as dit on peut également calculer ζ(4), ζ(6), ... En général il existe une preuve (que je ne connais pas, mais qui est très certainement intéressante) pour trouver ζ(nombre pair), qui permet de trouver ζ par récurrence sans avoir à utiliser un "tour de magie" à chaque fois. En revanche on ne connaît pas ζ(nombre impair) en terme de constantes mathématiques comme π,e,... (en.m.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function ) Je te laisse chercher sur Google si tu veux en savoir plus
Car x et y sont entre 0 et 1. Si tu es pré-occupé par le bord, intègre x et y entre 0 et 1-epsilon et laisse ensuite tendre epsilon vers 0. C'est ainsi qu'on définit l'intégrale impropre.
Oui! Si ça t'intéresse, il y a une visualisation géométrique th-cam.com/video/d-o3eB9sfls/w-d-xo.html Mais effectivement, pas facile à voir tout de suite
Incroyable ! Étant en terminale j'ai très vite été perdu mais magnifique
Je ne comprends pas comment t'as obtenu la fonction g
très belle démonstration ; il me manque juste à 10 mn 13 le lien entre les variables (xy) et la fonction g(a,b) et l'introduction du jacobien ; je vais aller approfondir ces notions ; il reste que la somme infinie de rationnels donne un transcendant ( qui sort de Q donc Q n'est pas complet ) est-ce bien cela ? que les maths sont belles !
Incroyable, merci beaucoup!!
Excellente vidéo merci
Bonjour. On ne peut pas occulter le point (x,y)=(1,1) qui fait partie du domaine d'intégration, non?
On le peut. Formellement, je dirais que c'est une intégrale impropre. Exactement de la même façon que l'on peut intégrer 1/√x entre 0 et 1, en définissant l'intégrale comme la limite lorsque ε -> 0 de l'intégrale entre 1/√x entre ε et 1. Ici on prendrait, au lieu du carré [0,1]x[0,1] un carré [0,1-ε]x[0,1-ε] sur lequel l'intégrale est bien définie, en faisant ensuite tendre ε->0
@@vector7669 ok, merci. Avez-vous une référence dans un bouquin? (je passe l'agrégation interne et je vois que ça peut bien rentrer dans une ou deux leçons) mais c'est un peu difficile à mémoriser !
super ! magique ! Que se passe -t-il quand l'inverse est à la puissance 4 ? J'ai vu que c'est pi^4/96. Quand l'inverse est à lapuissance 6, pi^6/960. Mais comment le démontrer ? Il doit y avoir encore un tour de magie.
Effectivement! La fonction qui généralise ces sommes est la fonction zeta de Riemann.
Ici on a calculé ζ(2), mais comme tu l'as dit on peut également calculer ζ(4), ζ(6), ...
En général il existe une preuve (que je ne connais pas, mais qui est très certainement intéressante) pour trouver ζ(nombre pair), qui permet de trouver ζ par récurrence sans avoir à utiliser un "tour de magie" à chaque fois. En revanche on ne connaît pas ζ(nombre impair) en terme de constantes mathématiques comme π,e,... (en.m.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function )
Je te laisse chercher sur Google si tu veux en savoir plus
mindblowing
Salut, pourrais faire une vidéo pour démontrer la formule du changement de variable sur plusieurs intégrales stp
Merci
Bonjour! vidéo fascinante! Pouvez-vous toutefois réexpliquer pourquoi on peut dire que la valeur absolue de xy est strictement inférieure à 1?
Car x et y sont entre 0 et 1. Si tu es pré-occupé par le bord, intègre x et y entre 0 et 1-epsilon et laisse ensuite tendre epsilon vers 0. C'est ainsi qu'on définit l'intégrale impropre.
- très bien, le son est juste un peu faible pour mes vieilles oreilles.
Le changement de variable qui va bien n'est pas intuitif...
C'est quand même fou de trouver pi là dedans car c'est une somme d'inverses d'entiers, l'infini est plein de mystères.
Oui!
Si ça t'intéresse, il y a une visualisation géométrique
th-cam.com/video/d-o3eB9sfls/w-d-xo.html
Mais effectivement, pas facile à voir tout de suite