Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei. ➤ www.mathematrick.de/shop :) _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
@@DagmarBock-r6f Hat sie doch auch gemacht. Sie hat gezeigt, dass von allen Rechtecken mit dem demselben Flächeninhalt genau das Rechteck den kleinsten Umfang hat, wenn bei dem Rechteck alle Seiten gleich lang sind, wenn also das Rechteck ein Quadrat ist.
Das Ganze lässt sich sehr schnell mit der dritten binomischen Formel beweisen: Ein Quadrat hat den Umfang 4a und die Fläche a². Ein Rechteck gleichen Umfangs hat den Umfang 2(a + x) + 2(a − x) und die Fläche (a + x) (a − x) = a² − x². Die Fläche bei gegebenem Umfang ist also am größten für x = 0 (beim Quadrat). Damit ist im Umkehrschluss bei gegebener Fläche auch der Umfang beim Quadrat am kleinsten.
Oh je, mein Mathe ABI ist knapp 40 Jahre her... Den mathematischen Beweis hätte ich nicht mehr hinbekommen... Aber was noch im Kopf verankert ist, der Kreis hat die größte Fläche bei kleinstem Umfang, die Kugel das Größte Volumen bei kleinster Oberfläche. Damit hätte ich ich die Eingangsfrage richtig beantwortet, ohne hier und heute den mathematischen Beweis erbringen zu können. Aber wieder sehr gut erklärt und vermittelt. Ich ziehe immer wieder den Hut vor Susanne, hoch intelligent ohne ein Nerd sein, und macht noch richtig gute Musik (MoonSun). Und schön anzusehen ist sie auch noch, einfach perfekt. Mein Hochachtung!
Wir haben das im College nie gemacht, aber ich erinnere mich, dass wir beweisen mussten, dass 1+1=2 ist. Dieser Beweis umfasste etwa eine Seite, vielleicht sogar zwei! - manchmal kann Mathematik ziemlich absurd sein! Können wir nicht einfach bestimmte offensichtliche Aussagen als gegeben hinnehmen? (Und von dem Wahnsinn von Mengen, in denen nichts ist, oder noch schlimmer, in denen alles ist, einschließlich der Mengen selbst!) Aber es kann Spaß machen - manchmal, wenn man nichts Besseres zu tun hat! Also danke für den Wahnsinn - glaube ich!
Willkommen im Club. Bei uns hat der Professor an der Uni in der ganz ersten Vorlesung bewiesen, dass 1>0 ist.😂 Klingt zwar auf den ersten Blick komplett absurd, aber wer kann das schon formal beweisen?
00:05 Die Antwort: Ja Von Seitenlänge 10 ausgehend, Umfang ergo jeweils 40, dann ist das Quadrat dasjenige mit dem größten Flächeninhalt: 10*10=100 9*11=99 8*12=96 ... 1*10=19 0*20=0 Edit: Ergo muss bei gleichem Flächeninhalt der Umfang größer werden je ungleicher die Seitenlängen sind.
Das geht leider an der Aufgabe vorbei. Es soll ja für ALLE Rechtecke mit allen möglichen Flächeninhalten gezeigt werden. Du hast dir EIN Flächeninhalt ausgesucht und betrachtest das dazugehörige Quadrat und 10 Rechtecke mit gleichem Umfang. Wenn man jetzt noch ganz streng sein will: Wer sagt denn, dass die Aussagen: "Von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt hat das Quadrat den kleinsten Umfang." und "Von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat die größte Fläche." äquivalent (also gleichbedeutend) sind? Auch das müsste / muss bei deinem Ansatz noch gezeigt werden.
Ich schreibe meinen Kommentar, bevor ich Dein Video ansehe. Idee: minimax-Rechnung. Eine Seite ist x, dann ist die andere A/x. Den Umfang berechnet man dann U = 2x + 2(A/x) wobei A die Fläche ist. Als Funktion ist das f(x) = 2x + 2(A/x). Erste Ableitung ist dann f'(x) = 2 - 2(A/x^2). Das gleich 0 gesetzt ist 2 - 2(A/x^2) = 0 Die Gleichung umgestellt gibt x = wurzel(A). Das heißt, das Rechteck mit dem kleinsten Umfang ist ein Quadrat. qed.
Hallo Susanne, Mahlzeit. Erst mal Dir und allen anderen hier einen schönen (2.Advents-)Sonntag. Leider bin ich gestern noch nicht auf eine Lösung gekommen und hatte mir deswegen das Video angeschaut. Heute hatte ich noch mal Lust eine eigene Lösung zu finden. Das ist dabei heraus gekommen: Es soll bewiesen werden, dass ein Quadrat gegenüber eines flächengleichen Rechtecks den kleineren Umfang hat. aR sei die kürzere Seite des Rechtecks bR sei die längere Seite des Rechtecks UR sei der Umfang des Rechtecks AR sei der Flächeninhalt des Rechtecks aQ sei eine Seite des Quadrats UQ sei der Umfang des Quadrats Um aus einem Quadrat ein flächengleiches Rechteck zu erzeugen muss eine Seite um x verkürzt und die andere Seite um y verlängert werden.
Es gilt also: aR = aQ - x bR = aQ + y Weil aR, bR, aQ, x und y Strecken repräsentieren müssen alle diese Werte > 0 sein. AR = aR * bR = (aQ - x)(aQ + y) = aQ^2 + aQ * y - aQ * x + x * y = AQ + aQ * y - aQ * x + x * y Daraus folgt y > x weil ansonsten aQ * y - aQ * x + x * y < 0 wird, was ausgeschlossen ist, weil AQ = AR sein soll. Der Sonderfall x und y = 0 ist ausgeschlossen, weil eine Verkürzung und Verlängerung jeweils um 0 Langeneinheiten bedeuten würde, was einer deckungsgleichen Abbildung des Quadrats entsprechen würde und somit kein Rechteck wäre. UR = 2 * (aR + bR) = 2 * ((aQ - x) + (aQ + y)) = 2 * (2aQ - x + y) = 4 * aQ - 2x + 2y UQ = 4 * AQ Weil y > x ist, ist auch 4 * aQ - 2x + 2y > 4 * aQ Da 4 * aQ - 2x + 2y = UR und 4 * aQ = UQ ist, ist auch UR > UQ bzw. UQ < UR, was zu beweisen war. (q.e.d. juhee 🙂) LG aus dem Schwabenland.
Fläche Quadrat: q*q. Fläche Rechteck: a*b. Weil beide Flächen gleich groß sind: a*b = q*q | : a b = q*q/a (I) Halber Umfang Rechteck: a + b. Halber Umfang Quadrat: 2q. Differenz: D = a + b − 2q (I) einsetzen: D = a+ q*q/a − 2q alles auf Nenner a bringen: D = ( a*a + q*q − 2qa ) / a 2. Binomische Formel im Zähler: D = ( a − q )² / a Zähler: ( ... )² ≥ 0 ; Nenner > 0, also D ≥ 0. Der (halbe) Umfang des Rechtecks ist also mindestens so groß wie der (halbe) Umfang des flächengleichen Quadrats. D = 0 gilt dann und nur dann, wenn a = q und nach (I) auch b = q; also wenn das Rechteck ein Quadrat ist.
das ist eine falsche Aussage. z.B haben regelmäßige 8-Ecken einen größeren Flächeninhalt bei gegebenen Umfang. Deswegen bauen Bienen Ihre Waben in der Form. Bei Kreisförmigenwaben, gäbe es nicht nutzbare Lücken zwichen den Einzelwaben. Bei Quadratischen bräuchte man mehr Wachs (Umfang) bei gleicher Nutzfläche --> Wachsverschwendung. So hatte es jedenfalls unser Prof. für Neuroinformatik erzählt.
Kleine Randbemerkung: Das Verschwinden der ersten Ableitung kann nicht nur auf einen Tiefpunkt oder wie erwähnt auf ein (lokales) Maximum hinweisen. Es ist auch Hinweis auf einen Sattelpunkt. Nur damit es vollständig ist und die Schüler das auch im Hinterkopf haben, Stetigkeit voraus gesetzt.
Der Lösungsansatz war bei mir derselbe, aber bei der Ausführung habe ich mir nur die halbe Arbeit gemacht: Dass man ein Quadrat hat, kann man nämlich auch mit "F = x²" (wieso eig. F und nicht A? 🤨) anstelle von "x = y" belegen; und genau das kommt ja bei der Nullstellensuche von U' raus. Genau an der Stelle habe ich dann schon aufgehört zu rechnen. Wegen x > 0 ⇔ 4F/x³ > 0 (da F > 0) braucht man auch den genauen Wert von x für die Überprüfung mit U'' nicht zu kennen. PS: Nachdem Susanne hier schon mal vorgerechnet hat, dass bei konstantem Rechteck-Umfang die Fläche im Quadrat maximal wird, ist es nur logisch, dass das hier auch gilt. 💡
Ich weiß es leider nur zu gut. Musste im Studium eine Ableitung mit Extremwert errechnen, allerdings für 3 dimensionale Körper. Das Gegenstück ist der Kreis bzw. die Kugel.
Ist der Kreis das Gegenstück oder nur ein weiterer Extremwert? Ist es nun der Kreis von allen gleichen Flächen überhaupt, der den kleinsten Umfang hat?
Warum wird bei 12:19 min die andere Seitenlänge berechnet? Wir wissen, dass x = sqrt(F) ein Wert für den kleinsten Umfang ist. Wir wissen auch, dass das Rechteck und das vermeintliche "Quadrat mit dem kleinsten Umfang" denselben Flächeninhalt haben soll. Der Flächeninhalt von einem Quadrat ist x². Also ist sqrt(F) * sqrt(F) = sqrt(F * F) = sqrt(F²) der Flächeninhalt. Wurzel und Potenz kürzen sich, übrig bleibt F, der Flächeninhalt von Rechteck. Und damit Beweis erbracht.
Das leitet sich unmittelbar aus den binomischen Formeln ab. (a + b)² * (a - b)² = a² - b² a² = (a + b)² * (a - b)² + b² Da b² nicht negativ sein kann, gilt a² >= (a + b)² * (a - b)² --> Ein umfangsäquivalentes Rechteck mit den Seitenlängen a + b und a - b wird also niemals mehr Flächeninhalt haben können als ein Quadrat mit der Seitenlänge a.
Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat enen geringeren Flaecheninhalt als das Quadrat mit gleichem Umfang, denn die Seiten des Rechtecks sind dann q+d und q-d lang (mit q ist die Seitenlaenge des Quadrats mir dem selben Umfang wie das Rechteck). Das folgt daraus, dass das Rechteck und d as Quadrat den selben Umfang haben. Die Flaeche des Quadrats ist dan q^2, die Flaeche des Rechtecks ist jedoch (q+d)*(q-d)=q^2-d^2. Da d^2 sicher groesser 0 ist (d^2=0 wuerde bedeuten, das d=0 und daher das Rechteck ein Quadrat ist, was wir ja ausgeschlossen hatten). Alsp ist die Flaeche ds Rechtecks kleiner als die Flaeche des Quadrazs mit dem slben Umfang. Daraus folgt dann unmittelbar die Behauptung. Diese Loesung (man koennte sie sicher noch besser ausformulieren) kommt ohne Differentialrechnung aus und nutzt sogar nur elementare Geometrie.
Moin, hätte das 1980/81 mein Mathe - Lehrer das genauso erklärt wie du, hätte er nicht Stunden dafür gebraucht und ich hätte es nicht gleich nach der Prüfung wieder vergessen... Ich müsste das ganze Prinzip der Minimum Maximum Rechnung nochmal erfahren, dann könnte ich es wieder.
schöne Aufgabe - habe ich in der Hauptschule (NRW-Abschluss 86) nie gehabt und im Leben erst recht nicht. Da kommt mir immer die Frage - warum lernt man das (außer für eine Prüfung) wenn es nur ein kleiner Teil wirklich braucht ?
Naja, Extremwertaufgaben gehören natürlich nicht zum Hauptschulabschluss. Aber bei Optimierungsaufgaben in Technik oder Wirtschaft braucht man sie halt doch. Falls man sie noch nicht als Anwendungsaufgaben in der Oberstufe des Gymnasiums behandelt hat, sollte man sie spätestens im Studium mit technischem oder wirtschaftlichem Abschluss kennenlernen.
@@hobbyist6181 Studium ist klar. (also Techniker / Ingenieur), der "normale" Mauer - Bäcker - Busfahrer - oder wie ich Chemikant braucht maximal Dreisatz und Prozentrechnung.
Naja, jetzt untertreibst Du aber 😅. Exponentialfunktion, wissenschaf5liche Schreibweise grosser und kleiner Zahlen, Logarithmus (ph-Wert) sollten auch noch dazugehören ....@@jorgschmidt5300
Zum Beispiel kannst Du ermitteln, welchen Wert eine größtmögliche Fläche annimmt. Das kann man auch auf Volumina übertragen. Klingt abstrakt, ist aber nur ein Beispiel für so ziemlich alle logistischen Probleme. Welche maximale Größe darf eine Verpackung haben, um möglichst viele Artikel auf kleinstem Raum unterzubringen.
Solches Wissen kann helfen, in der Realität Material zu sparen. Will man zum Beispiel 36 Dosen verpacken, dann weiß man, daß man weniger Karton außen herum braucht, wenn man 6 Reihen mit je 6 Dosen anordnet, als bei 4 Reihen zu 9 Dosen. Gruß!
Ich hab es ohne Ableitungen probiert. Schaut mal bitte, ob meine Beweisführung schlüssig ist: Für alle Rechtecke mit derselben Fläche wie der Fläche des Quadrats mit der Seitenlänge a muss gelten: a^2 = (a+x)*(a-y) (I) (Es muss schließlich eine Rechteckseite größer a und eine kleiner a sein, d. h. es können nicht beide Rechteck-Seiten größer a und nicht beide kleiner a sein, wenn die Fläche gleich ist.) Es gilt: U(Quadrat) = 4*a (Ii) U(Recheck) = 2(a+x)*(a-y) = 2a + 2x + 2a - 2y = 4a + 2x - 2y (III) Außerdem gilt: a, x, y jeweils ≠ 0 und Element {R+} (IV) Aus (I) folgt: a^2 = a^2 + ax - ay - xy Wenn diese Gleichung richtig ist, dann gilt: ax - ay - xy = 0 a(x-y) - xy = 0 a = xy/(x-y) (V) Zu zeigen ist: U(Quadrat) < U (Rechteck) Also: 4a < 4a + 2x - 2y Sollte dies richtig sein, dann gilt: 2x - 2y > 0 x>y --- Betrachtet man (V), dann muss gelten: y muss kleiner als x sein, sonst wäre a nicht Element {R+} - siehe Voraussetzung (IV) Daraus folgt: 2x - 2y > 0 Und somit ist 4a < 4a + 2x - 2y 4a < 2(a+x)*(2a-y) w.z.b.w.
Beweis: x = waagerechte Seite des Rechtecks, y = senkrechte Seite des Rechtecks, (1) F = Flächeninhalt des Rechtecks = konstant = x*y |/x ⟹ (1a) y = F/x |in (2) ⟹ (2) Umfang des Rechtecks = u = 2x+2y (2a) u = 2x+2F/x = 2*(x+F/x) u’ = 2*(1-F/x²) u’’ = -2*(-F*2x/x^4) = 4Fx/x^4 = 4F/x³ Notwendige Bedingung für einen Tiefpunkt an der Stelle xT: u’(xT) = 0 ⟹ 2*(1-F/xT²) = 0 |/2 ⟹ 1-F/xT² = 0 |+F/xT² ⟹ 1 = F/xT² |*xT² ⟹ xT² = F |√() ⟹ xT = √F > 0 in der Geometrie Hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt an der Stelle xT: u’’(xT) > 0 ⟹ u’’(xT) = 4F/xT³ = 4F/√F³ = 4/√F > 0 in der Geometrie ⟹ An der Stelle xT = √F ist ein Tiefpunkt. ⟹ in (1a) (1b) yT = F/√F = √F ⟹ xT = √F = yT ⟹ Das Rechteck mit dem kleinsten Umfang und einem gleichen, feststehenden Flächeninhalt ist ein Quadrat. q.e.d.
Naja ist einfach. Je ungleicher die Seiten desto kleiner der Flächeninhalt. Sobald eine Kreisfläche in Oval geht wird die Innenfläche auch kleiner bei gleichem Umfang
@achimklinkhammer_150 Ganz einfach. Wir haben ein Quadrat mit Seitenlänge a und Fläche a². Damit der Umfang gleich bleibt, muss die eine Seite um den gleichen Betrag verringert werden, um den die zweite Seite verlängert wird. Die Seiten des Rechtecks betragen dann a-x und a+x. Die Fläche berechnet man mit (a-x)(a+x)=a²-x². Das ist immer kleiner als a².
Und welche Aussage sagt nun dass der Umfang von einem Rechteck bei dem die Seitenlängen nicht gleich sind, größer ist ? (Natürlich bei gleichem Flächeninhalt)
Naja, wir haben überprüft, wann der Umfang minimal wird und haben eine einzige Lösung gefunden, eben wenn wir ein Quadrat haben. Wenn es nur ein Minimum gibt, bedeutet das, dass der Umfang in allen anderen Fällen, also immer dann wenn kein Quadrat vorliegt, größer ist.
da frage ich mich ob du wirklich recht hast? Die Feststellung dass von einem Haufen Päckchen die schwarzen alle gleich groß sind sind heißt doch nicht dass die andersfarbigen nicht genauso groß sind. Zumindest zeigt der Beweis nicht auf ob die Beweisführung überhaupt nötig ist und alle anderen Varianten zum gleichen Ergebnis führen oder?
@@susisorglos5586 Die Feststellung, dass alle schwarzen Päckchen gleich groß sind heißt nicht, dass die anderen größer sind, das stimmt. Aber wenn man feststellt, dass es nur ein kleinstes Päckchen gibt und dass dieses kleinste Päckchen das schwarze ist, bedeutet dies, dass alle anderen Päckchen größer sind. Es gibt in der Mathematik einen Satz, dass es nur dann ein Minimum geben kann, wenn die Ableitung eine Nullstelle hat. In diesem Fall hatte die Ableitung nur eine einzige Nullstelle. Dies bedeutet, dass es ein einziges, eindeutiges Minimum gibt und dass dieses Minimum an der Nullstelle der Ableitung liegt. Wir haben gesehen, dass bei dieser Nullstelle das Quadrat liegt und deshalb haben alle anderen Rechtecke einen größeren Umfang.
@@susisorglos5586 Wenn der Umfang aller Rechtecke gleich wäre, müsste jeder Punkt ein Minimum sein und die Ableitung des Umfangs wäre konstant Null. Wir haben im vorliegenden Beispiel die Ableitung berechnet und gesehen, dass dies nicht der Fall ist.
Gibt es irgendeinen Formeleditor, dessen Ausgaben man direkt hier einfügen kann? Die Aufgabe konnte ich schon lösen, aber beim Schreiben wird es extrem hier.
Bekannter mathematischer Fakt: Der Kreis ist die Form, die den größtmöglichen Flächeninhalt im Verhältnis zum Umfang hat. Wenn man ein Rechteck um einen Kreis zeichnet, und das Rechteck so nah wie möglich an den Kreis anpasst, erhält man ein Quadrat. Damit ist bewiesen, dass das Quadrat das Rechteck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt ist.
@N7OmniTool Der Beweis steht UNTER dem Fakt... Zeig mir ein Rechteck, was einen Kreis auf minimale Weise umschließt und KEIN Quadrat ist. Und nur um dem Vorzubeugen: Mathematische Fakten in Beweisen zu benutzen ist gang und gebe. Man muss ja auch nicht jedes mal beweisen, dass der Satz des Pythagoras stimmt. Das ist ein mathematischer Fakt, der gegeben ist.
Der isoperimetrische Quotient für den Kreis ist gleich eins, das ist soweit richtig. Aus der quadratischen Form eines einen Kreis umschriebenen Rechtecks zu folgern, dass „das Quadrat das Rechteck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt ist“ nicht mehr. Im Vergleich eines Kreises mit einem Quadrat verrät der isoperimetrische Quotient nur das Maß, wie weit ein Quadrat von dem optimalen Fläche/Umfang-Verhältnis des Kreises entfernt ist. Zur Beantwortung der Frage im Video, welches Rechteck unter allen flächengleichen Rechtecken den minimalen Umfang hat, trägt dieser Vergleich nichts bei. Wenn man mit Hilfe des isoperimetrischen Quotienten beweisen wollte, dass das Quadrat unter allen flächengleichen Rechtecken den minimalen Umfang hat, müsste man zeigen, dass der isoperimetrische Quotient für alle flächengleichen Rechtecke kleiner ist als für das Quadrat.
@@Dr.MarAnd Großer Wortschwall, der absolut Unsinn ist. Der größtmögliche Flächeninhalt bei gegbenem Umfang ist equivalent zum kleinstmöglichen Umfang bei gleichem Flächeninhalt. Das ist komplett austauschbar. Es ist buchstäblich vergleichbar mit den zwei Aussagen "A ist größer als B" und "B ist kleiner als A". Basierend darauf sagt der Vergleich eines kreisumschließenden Rechtecks ganz klar aus, dass der Umfang nicht kleiner werden kann, wenn das Rechteck zu einem Quadrat wird, dass den Kreis an vier Stellen berührt. Es gibt keine Möglichkeit das Rechteck mehr dem Kreis anzunähern und damit ist das Quadrat das einzige Rechteck, dass den geringsten Umfang bei gleichbleibendem Flächeninhalt haben kann.
@@m.h.6470 Warum die Polemik? Du bist dir offenbar nicht bewusst, dass Polemik keine Waffe, sondern ein Bumerang ist. Du setzt dich mit meinem Kommentar nicht auseinander (stattdessen polemisierst du) und wiederholst nur stur deinen „Beweis“ unter Bezugnahme auf die erwähnte Äquivalenz. Daher gibt es von meiner Seite nichts dazu zu sagen, was ich nicht schon in meinem Kommentar erläutert habe. (Eine Randbemerkung: Es heißt „äquivalent“, nicht „equivalent“) Ein Tipp für die Zukunft: Falls du Interesse hast, im Austausch mit anderen zu bleiben, solltest du an deinem Verhalten im rationalen Diskurs und an deiner Diktion arbeiten.
@@peterabraham4457 Ja, ich sehe es schon. Das Video habe ich nähmlich nicht gesehen, ich habe nur an den Titel reagiert and da steht: "Was denkst du? Hat das QUADRAT den kleinsten Umfang?".... 🙂
Das Video könnte man schon bei 8:24 stoppen. F = x² sagt ja schon aus, dass bei dem kleinsten Umfang der Flächeninhalt F den Wert x² annimmt. Wir wissen, dass F = x * y ist, also MUSS y = x sein, damit beide Gleichungen stimmen können. Und dass ist nur in einem Quadrat gegeben.
@@m.h.6470 Stimmt, das Video hätte da tatsächlich enden können. Man hätte bei der Funktion auch ohne Ableitung auskommen können: U(x)=x+F/x=(x²+F)/x=(x²-2xF+F+2xF)/x =(x-sqrt(F))²/x+2F (U(x)>0, da x>0) x-sqrt(F)=0 x=sqrt(F)
@@m.h.6470 U(x)>0, da x>0 und F>0. Der ganze Term ist also positiv. Der erste Summand (x-sqrt(F))²/x >= 0, da Quadrate nie negativ sind. => U(x) minimal, wenn (x-sqrt(F))²/x=0 x-sqrt(F)=0
@@timurkodzov718 Eine Frage: Wie kommst du zu der Gleichung (x²-2xF+F+2xF)/x = (x-sqrt(F))²/x+2F ? Wenn man (x-sqrt(F))²/x + 2F ausmultipliziert und auf den Nenner x bringt, erhält man (x²-2xsqrt(F)+F)/x + 2F = (x²-2xsqrt(F)+F)/x + (2xF/x) = (x²-2xsqrt(F)+F+2xF)/x. Der letzte Ausdruck ist ungleich (x²-2xF+F+2xF)/x.
Ja, aber der Umfang von einem 1x16 Rechteck ist 1+16+1+16=34 bzw. von einem 2x8 Rechteck ist er 2+8+2+8=20, also in jedem Fall > 4+4+4+4=16 @@klarabildschirm537
@@klarabildschirm537 Schon, aber ein 2x8-Rechteck hat ja den Umfang 20. Dein Beispiel widerspricht also nicht uschiuschi3232. Trotzdem ist Vorstellung kein Beweis.
![[UNCUT] เก็บ "สจ.โต้ง" เอี่ยวมาเฟีย รู้ตัวคนบงการ ก่อนสั่งลั่นไก I คนดังนั่งเคลียร์ I 13 ธ.ค.67](http://i.ytimg.com/vi/o-J_p62D40w/mqdefault.jpg)
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Es geht um die BEWEISFÜHRUNG - das ist die Aufgabe
@@DagmarBock-r6f Hat sie doch auch gemacht. Sie hat gezeigt, dass von allen Rechtecken mit dem demselben Flächeninhalt genau das Rechteck den kleinsten Umfang hat, wenn bei dem Rechteck alle Seiten gleich lang sind, wenn also das Rechteck ein Quadrat ist.
Da kommen Erinnerungen hoch. An Extremwerte hab ich nicht gedacht, aber dann dämmerte es. Danke dafür
Das Ganze lässt sich sehr schnell mit der dritten binomischen Formel beweisen:
Ein Quadrat hat den Umfang 4a und die Fläche a².
Ein Rechteck gleichen Umfangs hat den Umfang 2(a + x) + 2(a − x) und die Fläche (a + x) (a − x) = a² − x².
Die Fläche bei gegebenem Umfang ist also am größten für x = 0 (beim Quadrat). Damit ist im Umkehrschluss bei gegebener Fläche auch der Umfang beim Quadrat am kleinsten.
Aber wenn ich als Beispiel ein Quadrat von 2x2 mit einem Rechteck 1x4 vergleiche, kann man das x nicht bestimmen ( wäre (2-1) * (2+2))
@welle5086Der Trick besteht darin, dass Nikioko umgekehrt vorgeht: Welches Rechteck hat bei gleichem Umfang die größte Fläche?
@welle5086 "Ein Rechteck gleichen Umfangs". Haben dein 2x2 Quadrat und dein 1x4 Rechteck den gleichen Umfang? ;-)
@@TenorDennis ok - wer lesen kann, ist klar im Vorteil 🥲. Danke für den Hinweis 😀
@@susanna-be3ej Danke
Das war eine schöne und auch mal wieder etwas anspruchsvollere Aufgabe. Vielen Dank!
Eine schöne Auffrischung für mich, hat Spaß gemacht zu folgen, Danke!
Oh je, mein Mathe ABI ist knapp 40 Jahre her...
Den mathematischen Beweis hätte ich nicht mehr hinbekommen...
Aber was noch im Kopf verankert ist, der Kreis hat die größte Fläche bei kleinstem Umfang, die Kugel das Größte Volumen bei kleinster Oberfläche. Damit hätte ich ich die Eingangsfrage richtig beantwortet, ohne hier und heute den mathematischen Beweis erbringen zu können.
Aber wieder sehr gut erklärt und vermittelt.
Ich ziehe immer wieder den Hut vor Susanne, hoch intelligent ohne ein Nerd sein, und macht noch richtig gute Musik (MoonSun).
Und schön anzusehen ist sie auch noch, einfach perfekt. Mein Hochachtung!
Bitte sag zu den Aufgaben, welchem Jahrgang die Aufgaben entsprechen, die Du durchnimmst. Das würde sehr helfen 🌹
Ich bin Jahrgang 1966😊
Wir haben das im College nie gemacht, aber ich erinnere mich, dass wir beweisen mussten, dass 1+1=2 ist. Dieser Beweis umfasste etwa eine Seite, vielleicht sogar zwei! - manchmal kann Mathematik ziemlich absurd sein! Können wir nicht einfach bestimmte offensichtliche Aussagen als gegeben hinnehmen? (Und von dem Wahnsinn von Mengen, in denen nichts ist, oder noch schlimmer, in denen alles ist, einschließlich der Mengen selbst!)
Aber es kann Spaß machen - manchmal, wenn man nichts Besseres zu tun hat! Also danke für den Wahnsinn - glaube ich!
Willkommen im Club. Bei uns hat der Professor an der Uni in der ganz ersten Vorlesung bewiesen, dass 1>0 ist.😂 Klingt zwar auf den ersten Blick komplett absurd, aber wer kann das schon formal beweisen?
Hier gehts um Mathematik, nicht ums Schwafeln, du kleiner College-Schüler. Gute Güte, bekommst du auch was vom Leben mit?
Danke für das tolle Video 🙂
Sehr gerne 😊
00:05 Die Antwort: Ja
Von Seitenlänge 10 ausgehend, Umfang ergo jeweils 40, dann ist das Quadrat dasjenige mit dem größten Flächeninhalt:
10*10=100
9*11=99
8*12=96
...
1*10=19
0*20=0
Edit:
Ergo muss bei gleichem Flächeninhalt der Umfang größer werden je ungleicher die Seitenlängen sind.
Das geht leider an der Aufgabe vorbei. Es soll ja für ALLE Rechtecke mit allen möglichen Flächeninhalten gezeigt werden. Du hast dir EIN Flächeninhalt ausgesucht und betrachtest das dazugehörige Quadrat und 10 Rechtecke mit gleichem Umfang.
Wenn man jetzt noch ganz streng sein will: Wer sagt denn, dass die Aussagen: "Von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt hat das Quadrat den kleinsten Umfang." und "Von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat die größte Fläche." äquivalent (also gleichbedeutend) sind? Auch das müsste / muss bei deinem Ansatz noch gezeigt werden.
Herrlich, mal eine etwas schwierige Aufgabenstellung 😅 Danke dafür, Abi 1992 und doch noch nachvollziehbar 😮
Abi 85... lang ist es her ;-) Hat wieder einmal Spass gemacht!!
Kannst du bitte ein eklärvido über nur Minusklammer machen und was das bedeutet
Muito obrigado
Ich schreibe meinen Kommentar, bevor ich Dein Video ansehe.
Idee: minimax-Rechnung.
Eine Seite ist x, dann ist die andere A/x. Den Umfang berechnet man dann U = 2x + 2(A/x) wobei A die Fläche ist. Als Funktion ist das f(x) = 2x + 2(A/x). Erste Ableitung ist dann f'(x) = 2 - 2(A/x^2). Das gleich 0 gesetzt ist 2 - 2(A/x^2) = 0 Die Gleichung umgestellt gibt x = wurzel(A). Das heißt, das Rechteck mit dem kleinsten Umfang ist ein Quadrat. qed.
Hallo Susanne, Mahlzeit.
Erst mal Dir und allen anderen hier einen schönen (2.Advents-)Sonntag.
Leider bin ich gestern noch nicht auf eine Lösung gekommen und hatte mir deswegen das Video angeschaut.
Heute hatte ich noch mal Lust eine eigene Lösung zu finden.
Das ist dabei heraus gekommen:
Es soll bewiesen werden, dass ein Quadrat gegenüber eines flächengleichen Rechtecks den kleineren Umfang hat.
aR sei die kürzere Seite des Rechtecks
bR sei die längere Seite des Rechtecks
UR sei der Umfang des Rechtecks
AR sei der Flächeninhalt des Rechtecks
aQ sei eine Seite des Quadrats
UQ sei der Umfang des Quadrats
Um aus einem Quadrat ein flächengleiches Rechteck zu erzeugen muss eine Seite um x verkürzt und die andere Seite um y verlängert werden.
Es gilt also:
aR = aQ - x
bR = aQ + y
Weil aR, bR, aQ, x und y Strecken repräsentieren müssen alle diese Werte > 0 sein.
AR = aR * bR = (aQ - x)(aQ + y) = aQ^2 + aQ * y - aQ * x + x * y = AQ + aQ * y - aQ * x + x * y
Daraus folgt y > x weil ansonsten aQ * y - aQ * x + x * y < 0 wird, was ausgeschlossen ist, weil AQ = AR sein soll.
Der Sonderfall x und y = 0 ist ausgeschlossen, weil eine Verkürzung und Verlängerung jeweils um 0 Langeneinheiten bedeuten würde, was einer deckungsgleichen Abbildung des Quadrats entsprechen würde und somit kein Rechteck wäre.
UR = 2 * (aR + bR) = 2 * ((aQ - x) + (aQ + y)) = 2 * (2aQ - x + y) = 4 * aQ - 2x + 2y
UQ = 4 * AQ
Weil y > x ist, ist auch 4 * aQ - 2x + 2y > 4 * aQ
Da 4 * aQ - 2x + 2y = UR und 4 * aQ = UQ ist, ist auch UR > UQ bzw. UQ < UR, was zu beweisen war. (q.e.d. juhee 🙂)
LG aus dem Schwabenland.
Mathematrick auf die 1
Fläche Quadrat: q*q. Fläche Rechteck: a*b.
Weil beide Flächen gleich groß sind:
a*b = q*q | : a
b = q*q/a (I)
Halber Umfang Rechteck: a + b.
Halber Umfang Quadrat: 2q.
Differenz: D = a + b − 2q
(I) einsetzen: D = a+ q*q/a − 2q
alles auf Nenner a bringen: D = ( a*a + q*q − 2qa ) / a
2. Binomische Formel im Zähler: D = ( a − q )² / a
Zähler: ( ... )² ≥ 0 ; Nenner > 0, also D ≥ 0.
Der (halbe) Umfang des Rechtecks ist also mindestens so groß wie der (halbe) Umfang des flächengleichen Quadrats.
D = 0 gilt dann und nur dann, wenn a = q und nach (I) auch b = q; also wenn das Rechteck ein Quadrat ist.
Eine klassische Optimierungsaufgabe. Die lässt sich nur durch den Kreis toppen.
das ist eine falsche Aussage. z.B haben regelmäßige 8-Ecken einen größeren Flächeninhalt bei gegebenen Umfang. Deswegen bauen Bienen Ihre Waben in der Form. Bei Kreisförmigenwaben, gäbe es nicht nutzbare Lücken zwichen den Einzelwaben. Bei Quadratischen bräuchte man mehr Wachs (Umfang) bei gleicher Nutzfläche --> Wachsverschwendung. So hatte es jedenfalls unser Prof. für Neuroinformatik erzählt.
@@thelurker1493 Bienenwaben sind nicht 8-eckig sondern 6-eckig (nur mit 6-Ecken kann man eine Flaeche ohne "Luecken" ueberdecken, mit 8-Ecken nicht).
@@juergenilse3259 sind es halt 6 ecken aber das prinzip sollte denke ich rübergekommen sein. oder bedarf es weiteren erklärungen?
Kleine Randbemerkung:
Das Verschwinden der ersten Ableitung kann nicht nur auf einen Tiefpunkt oder wie erwähnt auf ein (lokales) Maximum hinweisen.
Es ist auch Hinweis auf einen Sattelpunkt.
Nur damit es vollständig ist und die Schüler das auch im Hinterkopf haben, Stetigkeit voraus gesetzt.
Seien x>0, y>0 (die Seitenlängen eines beliebigen Rechtecks). Ferner seien a=sqrt(x*y) (die Seitenlänge des Quadrats gleicher Fläche) und b=(x+y)/2 (die Seitenlänge des Quadrats gleichen Umfangs).
Dann gilt 2a = x*y (die Fläche des Quadrats gleichen Umfangs ist immer größer als die Fläche des Rechtecks).
Lemma: (x+y)² >= 4*x*y
Es gilt (x-y)² >= 0.
(x-y)² = x² - 2*x*y + y² >= 0 | +4*x*y
x² + 2*x*y + y² = (x+y)² >= 4*x*y.
zZ: x+y >= 2a.
(x+y)² >= 4*x*y | sqrt()
x+y >= 2 sqrt(x*y) | Definition a
x+y >= 2a.
zZ: b² >= x*y.
(x+y)² >= 4*x*y | :4
(x+y)²/4 >= x*y
((x+y)/2)² >= x*y | Definition b
b² >= x*y.
Der Lösungsansatz war bei mir derselbe, aber bei der Ausführung habe ich mir nur die halbe Arbeit gemacht:
Dass man ein Quadrat hat, kann man nämlich auch mit "F = x²" (wieso eig. F und nicht A? 🤨) anstelle von "x = y" belegen; und genau das kommt ja bei der Nullstellensuche von U' raus.
Genau an der Stelle habe ich dann schon aufgehört zu rechnen. Wegen x > 0 ⇔ 4F/x³ > 0 (da F > 0) braucht man auch den genauen Wert von x für die Überprüfung mit U'' nicht zu kennen.
PS: Nachdem Susanne hier schon mal vorgerechnet hat, dass bei konstantem Rechteck-Umfang die Fläche im Quadrat maximal wird, ist es nur logisch, dass das hier auch gilt. 💡
Kannst du mal ein Video zur Laplace Transformation machen? Habe ich bisher nicht gefunden auf deinem Kanal. Wäre sehr hilfreich gerade 😅
Ich habe genauso gerechnet.
Ich weiß es leider nur zu gut. Musste im Studium eine Ableitung mit Extremwert errechnen, allerdings für 3 dimensionale Körper. Das Gegenstück ist der Kreis bzw. die Kugel.
Ist der Kreis das Gegenstück oder nur ein weiterer Extremwert? Ist es nun der Kreis von allen gleichen Flächen überhaupt, der den kleinsten Umfang hat?
@@helmutgerlach3219
1 Extremwert, es geht flächenmäßig nicht größer auf einer Ebene bezogen auf den Umfang.
2 Ja
Warum wird bei 12:19 min die andere Seitenlänge berechnet? Wir wissen, dass x = sqrt(F) ein Wert für den kleinsten Umfang ist. Wir wissen auch, dass das Rechteck und das vermeintliche "Quadrat mit dem kleinsten Umfang" denselben Flächeninhalt haben soll. Der Flächeninhalt von einem Quadrat ist x². Also ist sqrt(F) * sqrt(F) = sqrt(F * F) = sqrt(F²) der Flächeninhalt. Wurzel und Potenz kürzen sich, übrig bleibt F, der Flächeninhalt von Rechteck. Und damit Beweis erbracht.
Das leitet sich unmittelbar aus den binomischen Formeln ab.
(a + b)² * (a - b)² = a² - b²
a² = (a + b)² * (a - b)² + b²
Da b² nicht negativ sein kann, gilt a² >= (a + b)² * (a - b)²
--> Ein umfangsäquivalentes Rechteck mit den Seitenlängen a + b und a - b wird also niemals mehr Flächeninhalt haben können als ein Quadrat mit der Seitenlänge a.
Die Aussage dass das Quadrat den kleinsten Umfang hat, trotz des selben Flächeninhalts mit anderen geometrischen Vierecksformen ist richtig.
Oh mann, hab ich viel vergessen seit meinem Mathe LK. Ist aber auch schon über 30 Jahre her.
Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat enen geringeren Flaecheninhalt als das Quadrat mit gleichem Umfang, denn die Seiten des Rechtecks sind dann q+d und q-d lang (mit q ist die Seitenlaenge des Quadrats mir dem selben Umfang wie das Rechteck). Das folgt daraus, dass das Rechteck und d as Quadrat den selben Umfang haben. Die Flaeche des Quadrats ist dan q^2, die Flaeche des Rechtecks ist jedoch (q+d)*(q-d)=q^2-d^2. Da d^2 sicher groesser 0 ist (d^2=0 wuerde bedeuten, das d=0 und daher das Rechteck ein Quadrat ist, was wir ja ausgeschlossen hatten). Alsp ist die Flaeche ds Rechtecks kleiner als die Flaeche des Quadrazs mit dem slben Umfang.
Daraus folgt dann unmittelbar die Behauptung. Diese Loesung (man koennte sie sicher noch besser ausformulieren) kommt ohne Differentialrechnung aus und nutzt sogar nur elementare Geometrie.
Moin, hätte das 1980/81 mein Mathe - Lehrer das genauso erklärt wie du, hätte er nicht Stunden dafür gebraucht und ich hätte es nicht gleich nach der Prüfung wieder vergessen...
Ich müsste das ganze Prinzip der Minimum Maximum Rechnung nochmal erfahren, dann könnte ich es wieder.
schöne Aufgabe - habe ich in der Hauptschule (NRW-Abschluss 86) nie gehabt und im Leben erst recht nicht. Da kommt mir immer die Frage - warum lernt man das (außer für eine Prüfung) wenn es nur ein kleiner Teil wirklich braucht ?
Naja, Extremwertaufgaben gehören natürlich nicht zum Hauptschulabschluss. Aber bei Optimierungsaufgaben in Technik oder Wirtschaft braucht man sie halt doch. Falls man sie noch nicht als Anwendungsaufgaben in der Oberstufe des Gymnasiums behandelt hat, sollte man sie spätestens im Studium mit technischem oder wirtschaftlichem Abschluss kennenlernen.
@@hobbyist6181 Studium ist klar. (also Techniker / Ingenieur), der "normale" Mauer - Bäcker - Busfahrer - oder wie ich Chemikant braucht maximal Dreisatz und Prozentrechnung.
Naja, jetzt untertreibst Du aber 😅. Exponentialfunktion, wissenschaf5liche Schreibweise grosser und kleiner Zahlen, Logarithmus (ph-Wert) sollten auch noch dazugehören ....@@jorgschmidt5300
Den Kanal mag ich sehr.
Aber kann mir wer mal sagen wo ich das in der Praxis brauche?
Zum Beispiel kannst Du ermitteln, welchen Wert eine größtmögliche Fläche annimmt. Das kann man auch auf Volumina übertragen.
Klingt abstrakt, ist aber nur ein Beispiel für so ziemlich alle logistischen Probleme. Welche maximale Größe darf eine Verpackung haben, um möglichst viele Artikel auf kleinstem Raum unterzubringen.
Solches Wissen kann helfen, in der Realität Material zu sparen. Will man zum Beispiel 36 Dosen verpacken, dann weiß man, daß man weniger Karton außen herum braucht, wenn man 6 Reihen mit je 6 Dosen anordnet, als bei 4 Reihen zu 9 Dosen.
Gruß!
Welches Programm nutz du für die Zeichnungen?
تشکر فراوان....🌈🌈🦾🦾🤩🤩🗣️💨
MoonSun!!!!
Ich hab es ohne Ableitungen probiert. Schaut mal bitte, ob meine Beweisführung schlüssig ist:
Für alle Rechtecke mit derselben Fläche wie der Fläche des Quadrats mit der Seitenlänge a muss gelten:
a^2 = (a+x)*(a-y) (I)
(Es muss schließlich eine Rechteckseite größer a und eine kleiner a sein, d. h. es können nicht beide Rechteck-Seiten größer a und nicht beide kleiner a sein, wenn die Fläche gleich ist.)
Es gilt:
U(Quadrat) = 4*a (Ii)
U(Recheck) = 2(a+x)*(a-y)
= 2a + 2x + 2a - 2y
= 4a + 2x - 2y (III)
Außerdem gilt:
a, x, y jeweils ≠ 0 und Element {R+} (IV)
Aus (I) folgt:
a^2 = a^2 + ax - ay - xy
Wenn diese Gleichung richtig ist, dann gilt:
ax - ay - xy = 0
a(x-y) - xy = 0
a = xy/(x-y) (V)
Zu zeigen ist:
U(Quadrat) < U (Rechteck)
Also:
4a < 4a + 2x - 2y
Sollte dies richtig sein, dann gilt:
2x - 2y > 0
x>y
---
Betrachtet man (V), dann muss gelten:
y muss kleiner als x sein, sonst wäre a nicht Element {R+} - siehe Voraussetzung (IV)
Daraus folgt:
2x - 2y > 0
Und somit ist 4a < 4a + 2x - 2y
4a < 2(a+x)*(2a-y)
w.z.b.w.
Naja, der Umfang geht gegen unendlich wenn entweder Seite a oder b gegen null geht. Mittig dazwischen da Minimum bei a=b.
Ja
Ein fester Wert heißt Konstante.
Beweis:
x = waagerechte Seite des Rechtecks,
y = senkrechte Seite des Rechtecks,
(1) F = Flächeninhalt des Rechtecks = konstant = x*y |/x ⟹
(1a) y = F/x |in (2) ⟹
(2) Umfang des Rechtecks = u = 2x+2y
(2a) u = 2x+2F/x = 2*(x+F/x)
u’ = 2*(1-F/x²) u’’ = -2*(-F*2x/x^4) = 4Fx/x^4 = 4F/x³
Notwendige Bedingung für einen Tiefpunkt an der Stelle xT: u’(xT) = 0 ⟹
2*(1-F/xT²) = 0 |/2 ⟹
1-F/xT² = 0 |+F/xT² ⟹
1 = F/xT² |*xT² ⟹
xT² = F |√() ⟹
xT = √F > 0 in der Geometrie
Hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt an der Stelle xT: u’’(xT) > 0 ⟹
u’’(xT) = 4F/xT³ = 4F/√F³ = 4/√F > 0 in der Geometrie ⟹
An der Stelle xT = √F ist ein Tiefpunkt. ⟹ in (1a)
(1b) yT = F/√F = √F ⟹ xT = √F = yT ⟹ Das Rechteck mit dem kleinsten Umfang und einem gleichen, feststehenden Flächeninhalt ist ein Quadrat. q.e.d.
Naja ist einfach. Je ungleicher die Seiten desto kleiner der Flächeninhalt. Sobald eine Kreisfläche in Oval geht wird die Innenfläche auch kleiner bei gleichem Umfang
Mir fallen spontan zwei Beweise ein.
Der zweite Beweis ist mit dritter binomischer Formel und auch für Sek-I-Schüler verständlich.
Dann mal los.
@achimklinkhammer_150 Ganz einfach. Wir haben ein Quadrat mit Seitenlänge a und Fläche a². Damit der Umfang gleich bleibt, muss die eine Seite um den gleichen Betrag verringert werden, um den die zweite Seite verlängert wird. Die Seiten des Rechtecks betragen dann a-x und a+x. Die Fläche berechnet man mit
(a-x)(a+x)=a²-x². Das ist immer kleiner als a².
Und welche Aussage sagt nun dass der Umfang von einem Rechteck bei dem die Seitenlängen nicht gleich sind, größer ist ? (Natürlich bei gleichem Flächeninhalt)
Naja, wir haben überprüft, wann der Umfang minimal wird und haben eine einzige Lösung gefunden, eben wenn wir ein Quadrat haben. Wenn es nur ein Minimum gibt, bedeutet das, dass der Umfang in allen anderen Fällen, also immer dann wenn kein Quadrat vorliegt, größer ist.
da frage ich mich ob du wirklich recht hast? Die Feststellung dass von einem Haufen Päckchen die schwarzen alle gleich groß sind sind heißt doch nicht dass die andersfarbigen nicht genauso groß sind.
Zumindest zeigt der Beweis nicht auf ob die Beweisführung überhaupt nötig ist und alle anderen Varianten zum gleichen Ergebnis führen oder?
@@susisorglos5586 Die Feststellung, dass alle schwarzen Päckchen gleich groß sind heißt nicht, dass die anderen größer sind, das stimmt. Aber wenn man feststellt, dass es nur ein kleinstes Päckchen gibt und dass dieses kleinste Päckchen das schwarze ist, bedeutet dies, dass alle anderen Päckchen größer sind. Es gibt in der Mathematik einen Satz, dass es nur dann ein Minimum geben kann, wenn die Ableitung eine Nullstelle hat. In diesem Fall hatte die Ableitung nur eine einzige Nullstelle. Dies bedeutet, dass es ein einziges, eindeutiges Minimum gibt und dass dieses Minimum an der Nullstelle der Ableitung liegt. Wir haben gesehen, dass bei dieser Nullstelle das Quadrat liegt und deshalb haben alle anderen Rechtecke einen größeren Umfang.
@@patrickdematosribeiro1845okay, aber durch was wird ausgeschlossen das nicht alle anderen auch gleich groß sind?
@@susisorglos5586 Wenn der Umfang aller Rechtecke gleich wäre, müsste jeder Punkt ein Minimum sein und die Ableitung des Umfangs wäre konstant Null. Wir haben im vorliegenden Beispiel die Ableitung berechnet und gesehen, dass dies nicht der Fall ist.
Wie rechnet man 5 sechstel+7 fünfzehntel in klamern ÷2 ganze und 4 fünfzehntel in klamern
@mathematrick: warum sagst du immer „echt größer“? „Größer“ reicht doch für >! Weil das Zeichen ≥ heißt „größer gleich“.
"Echt kleiner/größer" ist die korrekte Bezeichnung, wie sie in der Mathematik verwendet wird. "Kleiner/größer" für < bzw. > ist Umgangssprache.
Gibt es irgendeinen Formeleditor, dessen Ausgaben man direkt hier einfügen kann?
Die Aufgabe konnte ich schon lösen, aber beim Schreiben wird es extrem hier.
Beweisführungen habe ich schon immer gehasst.
Ist so - basta! 😂😂😂
Bekannter mathematischer Fakt: Der Kreis ist die Form, die den größtmöglichen Flächeninhalt im Verhältnis zum Umfang hat.
Wenn man ein Rechteck um einen Kreis zeichnet, und das Rechteck so nah wie möglich an den Kreis anpasst, erhält man ein Quadrat.
Damit ist bewiesen, dass das Quadrat das Rechteck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt ist.
Damit ist gar nichts bewiesen, weil es nur die Wiedergabe eines Fakts ist. Wo steckt darin der Beweis?!
@N7OmniTool Der Beweis steht UNTER dem Fakt... Zeig mir ein Rechteck, was einen Kreis auf minimale Weise umschließt und KEIN Quadrat ist.
Und nur um dem Vorzubeugen: Mathematische Fakten in Beweisen zu benutzen ist gang und gebe. Man muss ja auch nicht jedes mal beweisen, dass der Satz des Pythagoras stimmt. Das ist ein mathematischer Fakt, der gegeben ist.
Der isoperimetrische Quotient für den Kreis ist gleich eins, das ist soweit richtig. Aus der quadratischen Form eines einen Kreis umschriebenen Rechtecks zu folgern, dass „das Quadrat das Rechteck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt ist“ nicht mehr.
Im Vergleich eines Kreises mit einem Quadrat verrät der isoperimetrische Quotient nur das Maß, wie weit ein Quadrat von dem optimalen Fläche/Umfang-Verhältnis des Kreises entfernt ist. Zur Beantwortung der Frage im Video, welches Rechteck unter allen flächengleichen Rechtecken den minimalen Umfang hat, trägt dieser Vergleich nichts bei. Wenn man mit Hilfe des isoperimetrischen Quotienten beweisen wollte, dass das Quadrat unter allen flächengleichen Rechtecken den minimalen Umfang hat, müsste man zeigen, dass der isoperimetrische Quotient für alle flächengleichen Rechtecke kleiner ist als für das Quadrat.
@@Dr.MarAnd Großer Wortschwall, der absolut Unsinn ist.
Der größtmögliche Flächeninhalt bei gegbenem Umfang ist equivalent zum kleinstmöglichen Umfang bei gleichem Flächeninhalt. Das ist komplett austauschbar. Es ist buchstäblich vergleichbar mit den zwei Aussagen "A ist größer als B" und "B ist kleiner als A".
Basierend darauf sagt der Vergleich eines kreisumschließenden Rechtecks ganz klar aus, dass der Umfang nicht kleiner werden kann, wenn das Rechteck zu einem Quadrat wird, dass den Kreis an vier Stellen berührt. Es gibt keine Möglichkeit das Rechteck mehr dem Kreis anzunähern und damit ist das Quadrat das einzige Rechteck, dass den geringsten Umfang bei gleichbleibendem Flächeninhalt haben kann.
@@m.h.6470 Warum die Polemik? Du bist dir offenbar nicht bewusst, dass Polemik keine Waffe, sondern ein Bumerang ist.
Du setzt dich mit meinem Kommentar nicht auseinander (stattdessen polemisierst du) und wiederholst nur stur deinen „Beweis“ unter Bezugnahme auf die erwähnte Äquivalenz. Daher gibt es von meiner Seite nichts dazu zu sagen, was ich nicht schon in meinem Kommentar erläutert habe.
(Eine Randbemerkung: Es heißt „äquivalent“, nicht „equivalent“)
Ein Tipp für die Zukunft: Falls du Interesse hast, im Austausch mit anderen zu bleiben, solltest du an deinem Verhalten im rationalen Diskurs und an deiner Diktion arbeiten.
Grenzwertaufgabe….ich erinnere mich noch nach über 25 Jahren an diese Unterrichtsstunde 😂 Edit extremwertaufgabe heißt es richtig :)
Der Kreis hat den kleinsten Umfang. 🙂
Das war aber nicht die Frage 😉
@@peterabraham4457 Ja, ich sehe es schon. Das Video habe ich nähmlich nicht gesehen, ich habe nur an den Titel reagiert and da steht: "Was denkst du? Hat das QUADRAT den kleinsten Umfang?".... 🙂
Es gibt Leute, die springen dann doch lieber Trampolin. 😂
Das Video könnte man schon bei 8:24 stoppen. F = x² sagt ja schon aus, dass bei dem kleinsten Umfang der Flächeninhalt F den Wert x² annimmt. Wir wissen, dass F = x * y ist, also MUSS y = x sein, damit beide Gleichungen stimmen können. Und dass ist nur in einem Quadrat gegeben.
@@m.h.6470 Stimmt, das Video hätte da tatsächlich enden können.
Man hätte bei der Funktion auch ohne Ableitung auskommen können:
U(x)=x+F/x=(x²+F)/x=(x²-2xF+F+2xF)/x
=(x-sqrt(F))²/x+2F (U(x)>0, da x>0)
x-sqrt(F)=0 x=sqrt(F)
@@timurkodzov718 Wie kommst du von
U(x) = (x - √F)²/x + 2F
zu
x - √F = 0
?
@@m.h.6470 U(x)>0, da x>0 und F>0. Der ganze Term ist also positiv.
Der erste Summand (x-sqrt(F))²/x >= 0, da Quadrate nie negativ sind. => U(x) minimal, wenn
(x-sqrt(F))²/x=0 x-sqrt(F)=0
@@timurkodzov718 Ok, dieser Schritt hat in deiner Erklärung halt gefehlt...
@@timurkodzov718 Eine Frage:
Wie kommst du zu der Gleichung (x²-2xF+F+2xF)/x = (x-sqrt(F))²/x+2F ?
Wenn man (x-sqrt(F))²/x + 2F ausmultipliziert und auf den Nenner x bringt, erhält man (x²-2xsqrt(F)+F)/x + 2F = (x²-2xsqrt(F)+F)/x + (2xF/x) = (x²-2xsqrt(F)+F+2xF)/x. Der letzte Ausdruck ist ungleich (x²-2xF+F+2xF)/x.
Erster Gedanke: Ableitung
Ex act
Ich habe es nich nicht so ganz verstanden
Da braucht man doch nix rechnen, ist doch sofort logisch. Man braucht sich nur ein dünnes langes Rechteck vorstellen.
Nehmen wir ein Beispiel: 4x4=16. ist 1x16, 2x8 nicht auch 16?
Sich was intuitiv vorstellen ist halt kein Beweis.
Ja, aber der Umfang von einem 1x16 Rechteck ist 1+16+1+16=34 bzw. von einem 2x8 Rechteck ist er 2+8+2+8=20, also in jedem Fall > 4+4+4+4=16 @@klarabildschirm537
@lowenzahn3976 sie hat im Titel gefragt, was ich denke. Nicht ob ich es beweisen kann. Heutzutage glaubt ja keiner mehr seinem eigenen Hausverstand.
@@klarabildschirm537 Schon, aber ein 2x8-Rechteck hat ja den Umfang 20. Dein Beispiel widerspricht also nicht uschiuschi3232. Trotzdem ist Vorstellung kein Beweis.