วีดีโอ

Οι ιδιοτιμές πάντα μπορούν να μας δώσουν την απάντηση στο πρόβλημά μας είτε για θετ. ή αρν. ορισμένο είτε για θετ. ή αρν. ημιορισμένο είτε για μη ορισμένο πίνακα. Η ορίζουσα (και οι ελάσσονές της) μπορεί να αποφανθεί μόνο για θετικά ή αρνητικά ορισμένο πίνακα και για μη ορισμένο (σε περίπτωση μονο που έχουμε 2x2 πίνακα και μας βγει αρνητκή)

Σε ευχαριστώ! Γραφω στο Xournal με γραφίδα Wacom Intuos Art (παλιό μοντέλο δεν κυκλοφορεί) την πηρα το 2018. Εντούτοις, η One που έχεις είναι αρκετά κοντά σε αυτήν

Καλησπέρα. Σας ευχαριστώ. Γράφω στο Xournal και η γραφίδα μου είναι Wacom μοντέλο: CTH-490. Την έχω κοντά στα 6 χρόνια. Έχει εξαντληθεί αλλά υπάρχουν παραπλήσιες

Τα α και β μπορούν να είναι γενικά και μη μηδενικά όπως επισης η f μπορεί να οριστεί σε όλο το R (απλά την όρισα στο στα θετικά μονο για να προσομοιάσω ότι στη φυσική μια ταλάντωση αρχίζουμε να τη μετραμα από το 0 και μετά. Το γ έχει τοποθετηθεί εκεί προκειμένου να δειξουμε ότι πέρα από ταλάντωση η f είναι και επί του R.

Προσωπικά με αυτά που έχω συναντήσει μέχρι σήμερα δεν έχω διαπιστώσει κάτι τέτοιο. Αν μια ΣΥΝΕΧΗΣ συνάρτηση f έχει μια οποιαδήποτε ιδιότητα (πχ είναι 1-1 ή επί ή μονότονη ή φραγμένη ή ίση με κάποια άλλη συνάρτηση) πάντα πάνω από ένα D υποσύνολο ρητών ή αρρήτων, τότε αυτή η ιδιότητα γενικεύεται για την f αν επεκτείνουμε το D σε συνεκτικό σύνολο δηλαδή σε διάστημα του R .

Χονδρικά: Πυκνότητα ρητών ή αρρήτων σε συνδυασμό με τη συνέχεια της f μπορούν να επεκτείνουν στο R ό,τι ιδιότητα ισχύει για την f πάνω από ρητούς ή άρρητους

@@onlymathsioannina Μια ομαλά (ομοιόμορφα) συνεχής συνάρτηση στο Q είναι και απλά (ολικά) συνεχής. Η συνάρτηση αυτή επεκτείνεται συνεχώς στο R μονοσήμαντα. Αυτό αποδεικνύεται. Είναι μια πρόταση την οποία έχω συναντήσει στην οποία όμως ουδέν αναφέρεται για ομαλή συνέχεια στην επέκταση. Αν είχα ένα αντιπαράδειγμα θα απεδείκνυα την άποψή μου ότι η ομαλή συνέχεια δεν ακολουθεί πάντα στην επέκταση. Δεν ξέρω αν ματαιοπονώ ψάχνοντας. Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

Τα συγκεκριμένα είναι ξένα μεταξύ τους αλλά πράγματι τα διαστήματα πρέπει γενικά να είναι μη κενά ανά δύο προκειμένου να είμαστε βέβαιοι ότι οι ρίζες είναι διακεκριμένες

Νικολάκη σε περιμένω στα μέρη μου φίλε

Ακριβώς! Όσα σημεία επαφής και να προσθέσεις αφενός τα σύνολα πιθανόν να αλλάξουν (αν δεν είναι κλειστά) αφετέρου όμως η απόσταση που είχαν πριν μεταξύ τους δεν αλλάζει

@@Kotsos24919 ωραία ... άρα μπορούμε να δείξουμε ότι και τα Α^ο , Β^ο έχουν κ αυτά απόσταση ίση με d(A,B) ; (Α^ο είναι το εσωτερικό του Α)

@@riemann80 δεν ισχύει για τα εσωτερικά των δύο συνόλων η αντίστοιχη ιδιότητα. Πχ στην πραγματική ευθεία με τη συνήθη μετρική αν Α=[0,1]U{2} και B=[3,4] ισχύει ρ(Α,Β)=1 αλλά ρ(Α^ο,Β^ο)=2. Να θυμάσαι γενικά ότι σε ευκλείδειο μετρικό χώρο το εσωτερικό ενός συνόλου εξουδετερώνει οτιδήποτε είναι χαμηλότερης διάστασης από τη διάσταση του εκάστοτε μετρικού σου χώρου. Για παράδειγμα προηγουμένως, το A^o εξουδετερώνει το σύνολο {2} το οποίο είναι μηδενο-διάστατο ενώ η πραγματική ευθεία είναι διάστασης 1

@@Kotsos24919 ωραίο αντιπαράδειγμα . Αν περιοριστούμε σε συνεκτικά σύνολα (για να αποφύγουμε τις ενώσεις με μηδενοδιάστατα πράγματα) ισχύει? Υποθέτω πως ναι , διότι τα συνεκτικά του R για παράδειγμα είναι τα διαστήματα , και γενικά στους ευκλείδειους χώρους τα συνεκτικά είναι οι μπάλες (ή σφαίρες , δε ξέρω πως τα ονομάζετε).

@@riemann80 Γενικά πάλι όχι. Στο R με τη συνήθη μετρική ισχύει καθώς συνεκτικο = διάστημα. Μην περιοριζεσαι όμως μονάχα στο R. Αν πάρεις στο επίπεδο με την ευκλείδεια μετρική τον μοναδιαίο δίσκο ως πρώτο σύνολο και ως δεύτερο σύνολο πάρεις το δίσκο κέντρου (3,0), ακτίνας 1 ένωση με το ευθύγραμμο τμήμα [2,3]×{0}, αφενός τα δύο σύνολα έχουν απόσταση το ένα από το άλλο 1 αλλά η απόσταση των εσωτερικών τους είναι 2 (καθώς το εσωτερικό θα σκοτώσει το ευθύγραμμο τμήμα που είναι έξω από το δεύτερο δίσκο αφού είναι μονοδιάστατο αντικείμενο μέσα στο επίπεδο που είναι διάστασης 2). Σημειώνω ότι και τα δύο σύνολα είναι συνεκτικά.

χααχαχαχαχααχαχα Σερα ή κάνουμε κάτι καλά ή δεν το κάνουμε καθόλου!