ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ย. 2024
- 【 難易度：★☆☆☆ 】
2023年の明治大学付属中野八王子中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
(1) *問題の確認*
- 問題は、長方形ABCDの中で、ADとEFが平行なときの車線部分の面積の和を求めることです。
(2) *長方形の特性の確認*
- 長方形ABCDの特性を確認します。長方形の全ての角度は直角で、向かい合う辺の長さが等しいです。
- 具体的には、ABとCDが同じ長さで6cm、ADとBCが同じ長さで10cmです。
(3) *平行線の特性の確認*
- ADとEFが平行であることから、平行線の錯角や同位角の特性を利用します。
- 例えば、ADとEFが平行であるため、ADとEFの間に引かれた線分の角度は全て直角になります。
(4) *等積変形の概念の導入*
- 等積変形とは、平行な2本の線の間で点を移動させても、三角形の面積が変わらないという特性です。
- 具体的には、底辺と高さが変わらない限り、三角形の面積は一定です。
(5) *等積変形の応用*
- 問題の図形に等積変形を適用します。例えば、ADとBCという平行線の間で点を移動させても、三角形の面積は変わりません。
- これにより、車線部分の面積を求める際に、形を変えても面積が変わらないことを利用します。
(6) *具体的な計算*
- 長方形ABCDの面積を求めます。縦が6cm、横が10cmなので、面積は60平方センチメートルです。
- 車線部分の面積を求めるために、等積変形を利用して、三角形や四角形の面積を計算します。
(7) *最終的な面積の計算*
- 等積変形を利用して、車線部分の面積を求めます。具体的には、長方形全体の面積から、不要な部分の面積を引いていきます。
- 最終的に、車線部分の面積の和を求めます。
(8) *結論*
- 等積変形を利用することで、車線部分の面積を効率的に求めることができました。
- この方法をマスターすることで、複雑な図形の面積計算も簡単に解けるようになります。
（この概要欄はAIによって生成されています）
▼manavisquare（まなびスクエア）に関する各ページはこちら
・HP
manavigate.co.jp/
・メンバーシップ
/ @manavisquare
・manavisquare（オンライン家庭教師プラットフォーム）
mnsq.jp/
・twitter
/ manavisquare
・菅藤 佑太のtwitter
/ mrkeiosfc16no1
▼お気軽にお問合せください！
kikaku@mnsq.jp
#中学受験 #算数 #図形
個人的には等積変形なしで、2つのピラミッドの面積比からやるのが簡単かなと思いました、真ん中の正向きのピラミッドも、両端の逆さまの2つの三角形を合わせた形のピラミッドも共に長方形の面積の半分で30。
それぞれ5/9と8/9なので合わせて30✕13/9
20/3㎝や、10/3㎝はすぐわかるので、等積変形を考える手間はいらない気がしました
左下と右下の白い三角形を反転させる別解です
EFの間にある交点２つからBCにそれぞれ垂線を引き、白三角と斜線三角をあわせた四角形を２つ作る（動画と同じように交点H・Iとする）
白三角と斜線三角は四角形の対角線で区切られており同じ面積
白と斜線三角を反転させることができるので、求める面積は△AGB＋△DGC＋残った長方形
△AGB＋△DGCは全体の長方形の半分なので６ｘ１０ｘ１／２＝３０・・・①
残った長方形は縦が２ｃｍと出ているので横の長さを求めれば出せる
AB：FC＝３：１なので△GBCと△GHIの相似を利用して、横の長さは１０ｘ２／３＝２０／３
長方形の面積は ２ｘ２０／３＝４０／３＝１３と１／３・・・②
①＋②＝３０＋１３と１／３＝４３と１／３
A４３と１／３㎠
同じ解き方です。
三角形ABGをひっぺがしてABとDCが重なる位置に移動させると、かなりラクです。
同様に切り取って反対側にくっつけて相似の面積比で30×5/9と30×8/9と解きました。
平行四辺形にして面積比が楽
長方形ADEFと三角形BCGがベン図に見えたので、両者の面積の和から積集合たる三角形GHIを取り除いて、
ADEF+BGC-2×GHI=40+30-2×40/3=130/3と解きました。
△DHFと△DBCが相似なら30x3分の2と出来ないのが謎です😅
数学苦手な人ってここがわからないんだよなぁ😢
暗算で求めるなら､
(点GをDに移動して)等積変形し､長方形の半分(6*10/2=)30(90/3)cm^2と､横20/3cm､縦2cmの長方形の40/3cm^2を合計し((90+40)/3=)130/3cm^2とします｡
AG=a，GD=b とし、白色の三角形の左端の三角形の面積をA，その底辺の長さをaa，同様に真ん中の三角形をB，底辺の長さをbb，右端の三角形をC，底辺の長さをccとすると
a+b=10
aa=a/3 (∵△ABGの相似)
cc=b/3 (∵△DCGの相似)
bb=10-aa-cc=10-(a/3)-(b/3)=40/3 (∵a+b=10)
A=(1/2)×aa×2=a/3
B=(1/2)×bb×2=40/3
C=(1/2)×cc×2=b/3
求める面積=6×10-A-B-C=60-a/3-40/3-b/3
=60-40/3-(a+b)/3=60-50/3=130/3
相似で中央の一辺が判ると、後は長方形から白三角の部位を計算して引けば…というチート技を考えておりました。やはり基本の考え方を利用出来た上での回答の方が、説得感がある様な気がします。
自分も等積変形使いましたが、若干やり方が違いましたね。
自分はGをDに持っていき、
同じ形の図形の比率で底辺出して面積出しました。
6-2=4 2 : 4 = 1 : 2 1² : 2² = 1 : 4 10×4/6=20/3
4x+4y=4×20/3×1/2=40/3 4(x+y)=40/3 x+y=10/3
斜線部分の面積 : 10×6 - (x+y+4x+4y) = 60 - (5x+5y) = 60 - 5(x+y) = 60 - 50/3 = 180/3 - 50/3 = 130/3 cm²
中野ー八王子間の投石変形か。三鷹辺りで暴動が起きたあれか❗