Pamatuju doc. Rokytu, když měl husté, černé kudrnaté vlasy. Byly to jednoznačně nejlepší přednášky za celých 5 let studia. Kdyby všechny přednášky byly takové, byla by naše matematika, a zejm. fyzika úplně někde jinde. Jenom bych měl malou poznámku, a sice, že "Taylor" se vyslovuje "tejlor", nikoli "tajlor".
+claarimund Jednak dekuji za poklonu, jednak by me docela zajimalo, kdo z mych studentu se skryva pod jmenem claarimund (napiste mi na mail... diky ... to uz musi byt nejaka doba, co jsem mel prislusne kadere :) ) a konecne: s tim taylorem, pardon tejlorem je to pravda, ale ono se v ceskem prostredi uz tak vzilo rikat "taylor", "taylorova rada" ci dokonce "taylorovat", ze se clovek casem prizpusobi.
,,Tak tohle jsem nikdy neviděl..." Šel jsem do kolen :D Jinak úžasný díl, škoda ,že lidí s tímto přístupem není víc i mezi mladšími lidmi (myšleno na nižších stupních). Jelikož takto mne matematika (dle mého názoru ne zcela mou vinou) úplně minula po maturitě a teď se na to koukat je krása.
Označíme-li jako A(N) pravděpodobnost, že když z intervalu [1,2,3,...N] vybereme nezávisle dvě čísla, tak ta čísla budou nesoudělná, tak platí lim A(N)->6/π². A zas na to přišel Euler a musí to přeci souviset!
Dobrý deň. otázka: nebolo by jednoduchšie rozvinúť funkciu (x na 2) do Fourierovho radu na intervale od (-1,1) a následne dosadiť vhodné x,aby sa fourierova rada stala zadaným radom ? Tak sa to odvodzuje v štandardných učebniciach mat. analýzy,napr. Kufner,Kadlec : Fourierovy rady
Ve videu zaznělo podivení nad souvislostí otáčení a exponencialní funkcí. Souvislost sinu a cosinu s otáčením je zřejmá. Pak se není čemu divit, protože existuje vlastnost, kterou mají funkce exp(x),sin(x) a cos(x). Každá z těchto funcí je rovna své 4. derivaci. Takže to napovídá, že jsou nějak příbuzné. Vše pak vypyne vyjádřením exp(ix) jako mocninné řady. Aktéři videa to jistě vědí, diváci možná ne.
Ještě bych doplnil maličkost, a sice, že je dokázáno, že zeta(3) je iracionální, ale neví se, zda je, či není transcendentní. Dále je dokázáno, že zeta(2n+1) je iracionální pro nekonečně mnoho n. Pak je ještě dokázáno, že alespoň jedno z čísel zeta(5), zeta(7), zeta(9) a zeta(11) je iracionální. Dosti tristní, že? :)
1-1+1-1+1...= 1/2 1-2+3-4+5...= 1/41+2+3+4+5...= -1/12Vrátane ich histórie objavu a ich aplikáciach napr. v teórií strún. Podľa môjho úsudku je to vcelku zaújimavá téma, ktorá spĺňa kritériá vašej diskusie. :-)
A Marku, na margo toho, čo ste spomínali v komentároch v predošlej epizóde, by som sa Vás opýtal, čo ste konkrétne študovali? A venovali ste sa po škole fyzike? Prečo ste s tým prestali? Neviete, ako to funguje na bratislavskom mat-fyze? Ja by som mal tiež o také dačo záujem, ale mám pocit, že ľudia očakávajú skôr "papierové" znalosti, a nie skutočné kvality, keďže nespĺňam viaceré podmienky (ako je maturita, vek atď.). Na záver by som Vám chcel vysloviť strašnú vďaku, lebo všetky matematické základy mám od Vás. Držím Vám palce!
Olivere, studoval jsem geofyziku, ale jelikož jsem školu nedodělal, tak jsem se fyzice nevěnoval. V podstatě jsem jí nedodělal proto, že mě přestala bavit. S bratislavským matfyzem nemám zkušeností žádné. Ale například od českého bys mohl očekávat vysoce teoretickou výuku. Matfyz u na UK připravuje spíš opravdu na exaktní akademickou dráhu vědce apod. Opravdu hodně lidí pak dělá výzkum. Já chtěl jít jinou cestou. Na druhou stranu vím, že spousta toho výzkumu má i praktické aplikace. Vím, že spousta lidí z MFF spolupracuje s firmami, například na tvorbě různých matematických modelů apod. Geofyzikové zase pomáhají hledat ropu, atd. atd. Takže praktické aplikace rozhodně jsou.
eulerovo číslo taky dostaneš z exp(1), to je funkce která je definovaná jako nekonečná posloupnost x^0/0! +x^1/1! +x^2/3!... s touhle funkcí se dá dělat i spoustu dalších věcí, dá se z ní spočítat cosinus a sinus algebraicky (a po malé úpravě) a pak je spojitost mezi éčkem a kružnicí stoprocentně :-)
Matematik a historik John Stillwell uvádí, že Euler na to údajně šel nepatrně jinak, a sice: Sin[Sqrt[x]]/Sqrt[x]=1-x/3!+x^2/5!-x^3/7!+...=0 má kořeny Pi^2, (2Pi)^2, (3Pi)^2..., ale ne 0. Věděl, že pro polynom 1+a1 x+...+an x^n platí, že -a1=1/x1+1/x2+...+1/xn, kde x1,...,xn jsou kořeny polynomu. A...přeškrtnutý čtvereček, jak, jestli si dobře pamatuji, Mirko Rokyta označoval konec důkazu. :)
+claarimund Dobry den, tahle poznamka je zajimava. Dokonce tak, ze jsem si zridil i ucet na youtube, abych mohl zareagovat :) Euler sel na to opravdu tak, jak Stillwell rika, ale ja jsem se chtel vyhnout dvema kompliakcim v nem skrytych: Euler totiz pouziva Taylorovu radu se stredem v nule pro funkci, ktera neni v nule definovana (sqrt(x) je ve jmenovateli), a dokonce pro realnou odmocninu je definovana diky onomu sqrt(x) jen "napravo od nuly", tj. pro kladna cisla. Kdybych chtel pouzit originalni Euleruv pristup, musel bych nejprve zminit, ze sin(sqrt(x))/sqrt(x) lde v nule spojite dodefinovat, a pak se jeste alespon zminit o komplexni analyze a zabyvat se otazkou, jak je tomu pro odmocniny zapornych cisel. Takze jsem to trosku zjednodusil: vezmete si originalniho Euleruv rozvoj, dosadte misto x hodnotu x^2, a onen Euleruv rozvoj pote vynasobite x. Dostanete presne to, co jsem pouzil ve videu a zminene dva problemy nemusite resit. Temito dvema operacemi se nijak nezmeni koeficienty v Taylorove rozvoji, takze jde o tentyz napad: porovnat koeficienty v nekonecne rade a nekonecnem souctu. Je to Eulereuv napad, a nic na tom nemeni ani to, ze jsem jej jen trosku technicky zjednodusil. A opravdu, ctverecek s uhloprickami pouzivam jako symbol pro "konec dukazu", to si claarimund pamatuje dobre. :) Timto ho zdravim, M.R.
+Josef Kratochvíl 0! = 1. Dá se na to dívat několika způsoby. jeden z nich je, že n faktoriál vyjadřuje počet způsobů, kterými můžeme uspořádat n prvkovou množinu. A prázdná množina lze uspořádat právě jedním způsobem. A pak jsou tam další důvody, jako například konzistentnost rekurentního vyjádření apod.
děkuji - filozoficky je mi to zcela jasné,já jsem pořád spíše na té materiální straně,budu se snažit sám pochopit a někomu vysvětlit,proč v matematice-té základní neplatí základní pravidla.jinak dík za reakci
+Josef Kratochvíl Já bych neřekl že neplatí pravidla. Faktoriál je funkce, kterou jsme si my lidi vymysleli, protže nám pomáhá popisovat nějaké jevy. A ta funkce je vymyšlená tak, že nule přiřazuje jedničku. Na tom není nic neobvyklého, špatného nebo jinak problematického.
děkuji za tak rychlou reakci - jsem opravdu překvapen --ale nic to nemění na faktu , že v matematice nemohou být dva příklady s naprosto stejným výsledkem . s tímto se nemohu stotožnit. jsou veličiny, které se definují ,,1,, - to je fyzika
+Josef Kratochvíl Josefe, nevim jak to myslíte a nechci se s Vámi nijak dohadovat, ale dva příklady se stejným výsledkem samozřejmě být mohou. Dokonce jich je nekonečně mnoho. Například: 1-1=0 nebo 2-2=0, nebo 3-3=0, atd... asi vidíte, že můžeme pokračovat jak dlouho budeme chtít a dostaneme nekonečně mnoho příkladů, jejichž výsledek je stejný. Stejně například funkce sinus nebo funkce cosinus nabývají na svém definičním oboru stejných hodnot nekonečněkrát...
To je tak elegantní, až se tomu nechce věřit :D Hlavně celé to propojení.
Rád bych se pana docenta zeptal, jestli je nějaký rozdíl mezi dnešním studenty a studenty z doby před dvaceti lety, to by mě opravdu zajímalo. :)
Ahoj poprosím ťa viac videí s Mirkem Rokytou. ĎAKUJEME
Pamatuju doc. Rokytu, když měl husté, černé kudrnaté vlasy. Byly to jednoznačně nejlepší přednášky za celých 5 let studia. Kdyby všechny přednášky byly takové, byla by naše matematika, a zejm. fyzika úplně někde jinde. Jenom bych měl malou poznámku, a sice, že "Taylor" se vyslovuje "tejlor", nikoli "tajlor".
+claarimund Jednak dekuji za poklonu, jednak by me docela zajimalo, kdo z mych studentu se skryva pod jmenem claarimund (napiste mi na mail... diky ... to uz musi byt nejaka doba, co jsem mel prislusne kadere :) ) a konecne: s tim taylorem, pardon tejlorem je to pravda, ale ono se v ceskem prostredi uz tak vzilo rikat "taylor", "taylorova rada" ci dokonce "taylorovat", ze se clovek casem prizpusobi.
,,Tak tohle jsem nikdy neviděl..." Šel jsem do kolen :D
Jinak úžasný díl, škoda ,že lidí s tímto přístupem není víc i mezi mladšími lidmi (myšleno na nižších stupních). Jelikož takto mne matematika (dle mého názoru ne zcela mou vinou) úplně minula po maturitě a teď se na to koukat je krása.
Označíme-li jako A(N) pravděpodobnost, že když z intervalu [1,2,3,...N] vybereme nezávisle dvě čísla, tak ta čísla budou nesoudělná, tak platí
lim A(N)->6/π². A zas na to přišel Euler a musí to přeci souviset!
Tohto pána by som chcel za učiteľa matalýzy. Nielenže to dáva zmysel, ale vidno, že mu vysvetľovanie robí radosť.
P vs NP?
Taky by mě tento problém zajímal.
Dobrý deň. otázka: nebolo by jednoduchšie rozvinúť funkciu (x na 2) do Fourierovho radu na intervale od (-1,1) a následne dosadiť vhodné x,aby sa fourierova rada stala zadaným radom ? Tak sa to odvodzuje v štandardných učebniciach mat. analýzy,napr. Kufner,Kadlec : Fourierovy rady
Ve videu zaznělo podivení nad souvislostí otáčení a exponencialní funkcí. Souvislost sinu a cosinu s otáčením je zřejmá. Pak se není čemu divit, protože existuje vlastnost, kterou mají funkce exp(x),sin(x) a cos(x). Každá z těchto funcí je rovna své 4. derivaci.
Takže to napovídá, že jsou nějak příbuzné. Vše pak vypyne vyjádřením exp(ix) jako mocninné řady. Aktéři videa to jistě vědí, diváci možná ne.
Aktéři to samozřejmě vědí :-), ale dokud se nebavíme o komplexní exponenciále, tak to tak jasné není.
Ještě bych doplnil maličkost, a sice, že je dokázáno, že zeta(3) je iracionální, ale neví se, zda je, či není transcendentní. Dále je dokázáno, že zeta(2n+1) je iracionální pro nekonečně mnoho n. Pak je ještě dokázáno, že alespoň jedno z čísel zeta(5), zeta(7), zeta(9) a zeta(11) je iracionální. Dosti tristní, že? :)
Nebo použít Fourierovu řadu pro x^2 a následně Parsevalovu rovnost. Ale odvození ve videu je matematicky "hezčí" než Fourierka :D
Budu ešte niekedy nové diely ??
Jj. Mam jeden hotovy. Brzo bude venku
Super :)
Fieldova nebo Fieldsova medaile?
Fieldsova :-)
V Good Will Huntingovi to přeložili jako Fieldova, což mě značně zmátlo. :D
Nojono, ty překlady :-)...
1-1+1-1+1...= 1/2 1-2+3-4+5...= 1/41+2+3+4+5...= -1/12Vrátane ich histórie objavu a ich aplikáciach napr. v teórií strún. Podľa môjho úsudku je to vcelku zaújimavá téma, ktorá spĺňa kritériá vašej diskusie. :-)
EDIT: nie 1/12, ale -1/12
+Oliver Sihlovec Jojo, tohle už mám na seznamu. matematicky je to totiž co já vím nesmysl, ale fyzika to používá...
A Marku, na margo toho, čo ste spomínali v komentároch v predošlej epizóde, by som sa Vás opýtal, čo ste konkrétne študovali? A venovali ste sa po škole fyzike? Prečo ste s tým prestali? Neviete, ako to funguje na bratislavskom mat-fyze? Ja by som mal tiež o také dačo záujem, ale mám pocit, že ľudia očakávajú skôr "papierové" znalosti, a nie skutočné kvality, keďže nespĺňam viaceré podmienky (ako je maturita, vek atď.). Na záver by som Vám chcel vysloviť strašnú vďaku, lebo všetky matematické základy mám od Vás. Držím Vám palce!
Olivere, studoval jsem geofyziku, ale jelikož jsem školu nedodělal, tak jsem se fyzice nevěnoval. V podstatě jsem jí nedodělal proto, že mě přestala bavit. S bratislavským matfyzem nemám zkušeností žádné. Ale například od českého bys mohl očekávat vysoce teoretickou výuku. Matfyz u na UK připravuje spíš opravdu na exaktní akademickou dráhu vědce apod. Opravdu hodně lidí pak dělá výzkum. Já chtěl jít jinou cestou.
Na druhou stranu vím, že spousta toho výzkumu má i praktické aplikace. Vím, že spousta lidí z MFF spolupracuje s firmami, například na tvorbě různých matematických modelů apod. Geofyzikové zase pomáhají hledat ropu, atd. atd. Takže praktické aplikace rozhodně jsou.
ale to sčítáš nekonečna a to nejde, protože 1-1+1... bude vždycky buď 1 nebo nula, to vidí i 6letý dítě
Ach ten kameraman(ka)! Kdyby jste to postavili na stativ tak 100x lepsi.
Stopro souhlas. Stativ jsme meli. Bohuzel se nam tesne pred natacenim rozbil. Proto je to brane z ruky...
eulerovo číslo taky dostaneš z exp(1), to je funkce která je definovaná jako nekonečná posloupnost x^0/0! +x^1/1! +x^2/3!... s touhle funkcí se dá dělat i spoustu dalších věcí, dá se z ní spočítat cosinus a sinus algebraicky (a po malé úpravě) a pak je spojitost mezi éčkem a kružnicí stoprocentně :-)
a koukám že taylorovu řadu tam máš, tak aspoň víš, z čeho vznikla :-D
Matematik a historik John Stillwell uvádí, že Euler na to údajně šel nepatrně jinak, a sice:
Sin[Sqrt[x]]/Sqrt[x]=1-x/3!+x^2/5!-x^3/7!+...=0 má kořeny Pi^2, (2Pi)^2, (3Pi)^2..., ale ne 0. Věděl, že pro polynom 1+a1 x+...+an x^n platí, že -a1=1/x1+1/x2+...+1/xn, kde x1,...,xn jsou kořeny polynomu. A...přeškrtnutý čtvereček, jak, jestli si dobře pamatuji, Mirko Rokyta označoval konec důkazu. :)
+claarimund K historické poznámce se vyjádřit nemohu, neboť mi k tomu chybí infomrace, ale čtvereček potvrzuji :-)
+claarimund
Dobry den, tahle poznamka je zajimava. Dokonce tak, ze jsem si zridil i ucet na youtube, abych mohl zareagovat :) Euler sel na to opravdu tak, jak Stillwell rika, ale ja jsem se chtel vyhnout dvema kompliakcim v nem skrytych: Euler totiz pouziva Taylorovu radu se stredem v nule pro funkci, ktera neni v nule definovana (sqrt(x) je ve jmenovateli), a dokonce pro realnou odmocninu je definovana diky onomu sqrt(x) jen "napravo od nuly", tj. pro kladna cisla. Kdybych chtel pouzit originalni Euleruv pristup, musel bych nejprve zminit, ze sin(sqrt(x))/sqrt(x) lde v nule spojite dodefinovat, a pak se jeste alespon zminit o komplexni analyze a zabyvat se otazkou, jak je tomu pro odmocniny zapornych cisel. Takze jsem to trosku zjednodusil: vezmete si originalniho Euleruv rozvoj, dosadte misto x hodnotu x^2, a onen Euleruv rozvoj pote vynasobite x. Dostanete presne to, co jsem pouzil ve videu a zminene dva problemy nemusite resit. Temito dvema operacemi se nijak nezmeni koeficienty v Taylorove rozvoji, takze jde o tentyz napad: porovnat koeficienty v nekonecne rade a nekonecnem souctu. Je to Eulereuv napad, a nic na tom nemeni ani to, ze jsem jej jen trosku technicky zjednodusil. A opravdu, ctverecek s uhloprickami pouzivam jako symbol pro "konec dukazu", to si claarimund pamatuje dobre. :) Timto ho zdravim, M.R.
takže,kolik je -----,,0!,,------
kolik a proč je ,,0!,, rovno ,,1,,,
+Josef Kratochvíl 0! = 1. Dá se na to dívat několika způsoby. jeden z nich je, že n faktoriál vyjadřuje počet způsobů, kterými můžeme uspořádat n prvkovou množinu. A prázdná množina lze uspořádat právě jedním způsobem. A pak jsou tam další důvody, jako například konzistentnost rekurentního vyjádření apod.
děkuji - filozoficky je mi to zcela jasné,já jsem pořád spíše na té materiální straně,budu se snažit sám pochopit a někomu vysvětlit,proč v matematice-té základní neplatí základní pravidla.jinak dík za reakci
+Josef Kratochvíl Já bych neřekl že neplatí pravidla. Faktoriál je funkce, kterou jsme si my lidi vymysleli, protže nám pomáhá popisovat nějaké jevy. A ta funkce je vymyšlená tak, že nule přiřazuje jedničku. Na tom není nic neobvyklého, špatného nebo jinak problematického.
děkuji za tak rychlou reakci - jsem opravdu překvapen --ale nic to nemění na faktu , že v matematice nemohou být dva příklady s naprosto stejným výsledkem . s tímto se nemohu stotožnit. jsou veličiny, které se definují ,,1,, - to je fyzika
+Josef Kratochvíl Josefe, nevim jak to myslíte a nechci se s Vámi nijak dohadovat, ale dva příklady se stejným výsledkem samozřejmě být mohou. Dokonce jich je nekonečně mnoho. Například: 1-1=0 nebo 2-2=0, nebo 3-3=0, atd... asi vidíte, že můžeme pokračovat jak dlouho budeme chtít a dostaneme nekonečně mnoho příkladů, jejichž výsledek je stejný. Stejně například funkce sinus nebo funkce cosinus nabývají na svém definičním oboru stejných hodnot nekonečněkrát...
to je mazec , alespoň se shodli .. -