+Buzmoo Nej, det går inte att lösa. Rent fysikaliskt kommer detta heller inte att ske. Om rumstemperaturen är 20 grader kan ett föremåls temperatur inte sjunka till 10 grader.
Visst kan man likväl lösa differentialekvationen genom att separera den, som att lösa med integrerande faktorn? Finns det för- och nackdelar med de olika metoderna?
Ja, man kan lösa denna även med den separabla metoden. Den enda nackdelen med den separabla metoden i detta fall är att du måste dividera med y-20, som blir 0 då y=20. Därmed tappar man den konstanta lösningen y=20, som man manuellt får addera efteråt om man vill ange alla lösningar.
Är anledningen till att det enbart finns en lösning att för varje värde på x så har exponentialfunktionen enbart ett värde och därmed har också diffekvationen med ett visst begynnelsevillkor endast en lösning?
Njaa ... inte riktigt. Varför vi får en entydig lösning är en intressant fråga i sig, men är svår att svara på så här kortfattat i text. Det skulle vara ett bra ämne att göra en video på dock. Får se om jag får tid den närmsta tiden.
Hej TheVandermonde. Det korta svaret som återger moralen är att om du har en differentialekvation av ordning 1 så ska du förvänta dig att det dyker upp en okänd konstant. I denna ekvation har du en ytterligare okänd konstant, nämligen k, så här får du _två_ konstanter. Det fina i kråksången är dock att du även har _två_ villkor (y(0)=50 och y(10)=40) att använda dig av. Då varje villkor i allmänhet bestämmer en konstant så får du i slutändan _en_ lösning.
hur skulle man gjort om man inte hade fått att y(0)= 50 eftersom det hjälper en att bestämma konstanten C då e^ -Kt blir lika med 1, som gör att man enkelt kan lösa ut C vilket leder till att man med det andra villkoret kan lösa ut konstanten K ex. vi får y(5)= 45, y(10) = 40 hur löser man då ut C och K?
Då får vi Ce^(-5k)=45 och Ce^(-10k)=40, och kan t.ex. lösa ut C ur de båda ekvationerna och "sätta lika": C = 45e^(5k)=40e^(10k). Från denna likhet kan vi sedan lösa ut k, o.s.v.
Hur tar man reda på när y(t) antar värdet: y(t)=10? Då blir värdet för ln negativt. Är det således inte löstagbart?
+Buzmoo Nej, det går inte att lösa. Rent fysikaliskt kommer detta heller inte att ske. Om rumstemperaturen är 20 grader kan ett föremåls temperatur inte sjunka till 10 grader.
Visst kan man likväl lösa differentialekvationen genom att separera den, som att lösa med integrerande faktorn? Finns det för- och nackdelar med de olika metoderna?
Ja, man kan lösa denna även med den separabla metoden. Den enda nackdelen med den separabla metoden i detta fall är att du måste dividera med y-20, som blir 0 då y=20. Därmed tappar man den konstanta lösningen y=20, som man manuellt får addera efteråt om man vill ange alla lösningar.
Är anledningen till att det enbart finns en lösning att för varje värde på x så har exponentialfunktionen enbart ett värde och därmed har också diffekvationen med ett visst begynnelsevillkor endast en lösning?
Njaa ... inte riktigt. Varför vi får en entydig lösning är en intressant fråga i sig, men är svår att svara på så här kortfattat i text. Det skulle vara ett bra ämne att göra en video på dock. Får se om jag får tid den närmsta tiden.
Hej TheVandermonde. Det korta svaret som återger moralen är att om du har en differentialekvation av ordning 1 så ska du förvänta dig att det dyker upp en okänd konstant. I denna ekvation har du en ytterligare okänd konstant, nämligen k, så här får du _två_ konstanter. Det fina i kråksången är dock att du även har _två_ villkor (y(0)=50 och y(10)=40) att använda dig av. Då varje villkor i allmänhet bestämmer en konstant så får du i slutändan _en_ lösning.
hur skulle man gjort om man inte hade fått att y(0)= 50 eftersom det hjälper en att bestämma konstanten C då e^ -Kt blir lika med 1, som gör att man enkelt kan lösa ut C vilket leder till att man med det andra villkoret kan lösa ut konstanten K
ex. vi får y(5)= 45, y(10) = 40 hur löser man då ut C och K?
Då får vi Ce^(-5k)=45 och Ce^(-10k)=40, och kan t.ex. lösa ut C ur de båda ekvationerna och "sätta lika": C = 45e^(5k)=40e^(10k). Från denna likhet kan vi sedan lösa ut k, o.s.v.