Rangkaian RLC dan pergeseran fasa: analisis dalam domain frekuensi. Latihan 9 - Video 1/3.

Sebuah rangkaian dengan beberapa elemen RLC yang dihubungkan secara paralel dan seri dikenai sumber arus sinusoidal. Tentukan arus yang mengalir melalui setiap elemen rangkaian dan tegangan yang melewatinya, serta pergeseran fasanya.
Catatan:
Kapasitor C atau induktor L adalah elemen reaktif. Jika sebuah rangkaian hanya memiliki satu elemen reaktif, rangkaian tersebut dikatakan sebagai rangkaian orde satu, dan jika memiliki “N” elemen reaktif, rangkaian tersebut dikatakan sebagai rangkaian orde dua. Dalam hal ini kita memiliki dua kapasitor C dan sebuah induktor L, jadi rangkaiannya adalah urutan ketiga.
Metode:
1) Kita mulai dengan mengubah sumber arus Iin (t) = 5.cos (t) = 5.cos (t + 0°) dalam domain waktu menjadi Iin = 5.phase (0°) dalam domain frekuensi.
2) Dua resistor, R1 = 2 dan R2 = 2, adalah bilangan riil, tidak memiliki bagian imajiner 'j', oleh karena itu tidak memiliki sudut fasa pada bidang kompleks, sudut fasa adalah nol.
Zr1= R1 + j. (0) = 2 + 0= 2. Zr1 = 2. fase (0°)
Zr2= R2 + j. (0) = 2 + 0= 2. Zr2 = 2. fase (0°)
3) Reaktansi induktif dari induktansi L adalah xL = j.W.L = j. (1). (4) = 4.j atau zL = xL = 4.j
atau 'j' adalah vektor satuan yang terletak pada sumbu imajiner dengan sudut 90° terhadap sumbu nyata, dan oleh karena itu dapat dinyatakan dalam bentuk modulus dan fasa:
j = 1.fase (90°)
Oleh karena itu, zL = xL = 4. [1.fase (90°)] = 4.fase (90°)
4) Reaktansi kapasitif kapasitor C adalah Xc = -j/(W.C)
Untuk kapasitor C1 kita memiliki :
Xc1 = -j/(W.C1) = -j/[(1).(0.5)] = -2.j atau Zc1 = xC1 = -2.j = -2.fase (90°)
Hal yang sama berlaku untuk kapasitor C2:
Xc2 = -j/(W.C2) = -j/[(1).(0,5)] = -2.j atau Zc2 = xC2 = -2.j = -2.fase (90°)
5) Impedansi yang dihasilkan dari kombinasi Zc2 dan Zr2 secara paralel adalah :
Zco = (Zc2.Zr2) / (Zc2 + Zr2) = [-2.fase (90 °)].[2.fase (0 °)] / [-2.fase (90 °) + 2.fase (0 °)]
Zco = 1 - j = 2^(1/2).fase(-45°)
6) Impedansi yang dihasilkan dari kombinasi zL dan Zco secara seri adalah :
Zbco = zL + Zco = 4.fase (90°) + 2^(1/2).fase (-45°) = 10^(1/2).fase (71,565°)
7) Impedansi yang dihasilkan dari kombinasi Zbco dan Zc1 secara paralel adalah :
Zbo = (Zc1.Zbco) / (Zc1 + Zbco)
Zbo = [-2.fase (90°)].[10^(1/2).fase (71,565°)] / [-2.fase (90°)] + [10^(1/2).fase (71,565°)]
Zbo = 4,472.fase(-63,435°)
8) Akhirnya, impedansi total rangkaian di seluruh node (1) dan (0) adalah :
ZAo = Zin = Zr1 + Zbo = 2.fase (0°) + 4.472.fase (-63,435°) = 5,657.fase (-45°)
ZAo = Zin = 5,657.fase (-45°)
9) Arus Iin yang dihantarkan oleh sumber diketahui, rumus pembagi arus yang diterapkan pada cabang BCO menghasilkan arus I1:
I1 = [ Zbco / (Zbco + Zc1)]. Iin
I1 = { 10^(1/2).phase(71,565°) / [ 10^(1/2).phase(71,565°) -2.phase(90°) ] }. 5. fase (0°)
I1 = 11.18.phase(26,565°) [A]
10) Hukum simpul yang diterapkan pada simpul (B) menghasilkan:
Iin = I1 + I2 atau I2 = Iin - I1
I2 = 5.fase (0°) - 11.18.fase (26,565°).
I2 = 7,071.fase (-135°) [A]
11) Arus I2 sekarang sudah diketahui, rumus pembagi arus yang diterapkan pada cabang CO memberikan arus I3:
I3 = [Zr2/(Zr2+Zc2)].I2 = { 2.phase(0°) / [2.phase(0°) -2.phase(90°)] }.7,071.phase(-135°)
I3 = 5.phase(-90°) [A].
12) Hukum simpul yang diterapkan pada simpul (C) menghasilkan:
I2 = I3 + Iout atau Iout = I2 - I3
Iout = 7,071.fase (-135°) - 5.fase (-90°)
Iout = 5.fase (180°)
Catatan:
karena kita berpikir dalam hal fasor (bilangan kompleks), phase(180°) adalah cosinus dari 180°, dan karena fungsi cosinus adalah genap, kita memiliki :
phase(180°)=phase(-180°). Dengan kata lain, Iout = 5.fase (180°) = 5.fase (-180°). Semuanya sama saja.
13) Dari impedansi dan arus yang ditemukan di atas, kita dapat menyimpulkan perbedaan potensial (atau tegangan) pada setiap elemen rangkaian, dengan menggunakan hukum Ohm:
Vr1 = Zr1.Iin = [2.phase(0°)] . [5.fase (0°)] = 10.fase (0°) [V]
Vc1 = Zc1.I1 = [ -2.phase(90°)] . [ 11.18.fase (26,565°)] = 22.36.fase (-63,435°) [V]
vL = zL.I2 = [ 4.phase(90°) ] . [ 7,071.fase (-135°)] = 28,284.fase (-45°) [V]
Vc2 = Zc2.I3 = [ -2.phase(90°) ] . [ 5.fase (-90 °)] = 10.fase (180 °) [V]
Vr2 = Zr2.Iout = [ 2.phase(0°) ] . [ 5.fase (180 °)] = 10.fase (180 °) [V]
14) Rangkaian ini adalah orde ketiga, dan terdapat banyak elemen dalam rangkaian, sehingga arus dan tegangan diplot secara terpisah untuk menunjukkan amplitudo dan fasanya. Namun demikian, amplitudo dan fase dapat dilihat tanpa plot.
Iin dan Vr1 berada dalam satu fase, fasanya adalah (0°), karena R1 adalah elemen resistif murni.
Iout dan Vr2 sefase, fasanya adalah (180°), karena R2 adalah elemen resistif murni.
I1 dan Vc1 berada 90° di luar fase, pada kenyataannya (26,565°) - (-63,435°) = 90°, karena C1 adalah sebuah kapasitor di mana I1 berada 90° di depan Vc1 pada terminalnya.
Hal yang sama berlaku untuk I3 dan Vc2, (-90°) + (180°) = 90°.
I2 dan Vc2 tidak sefase, (-135°) - (-45°) = -90°, I2 berada 90° di belakang Vc2 pada terminalnya.