ขนาดวิดีโอ: 1280 X 720853 X 480640 X 360
แสดงแผงควบคุมโปรแกรมเล่น
เล่นอัตโนมัติ
เล่นใหม่
＜目次＞00:00 今回はのテーマは，Twitter でちょっと話題になった問題00:19 問題紹介01:39 概要説明02:05 誤った解答例とその "解説"04:49 本題に入る前の補足（誤りの箇所の見つけ方）07:05 (1)「決定的な誤り」は厚さにある12:21 (2) なぜ値は正答に一致したのか19:39 (3) どういう問題だと失敗するのか22:03 誤答例の修正23:25 まとめと視聴者のみなさんへのメッセージ※この動画を作成するにあたり，清先生の Twitter から予告なく画像をお借りし，使用しております。清 史弘 先生：twitter.com/f_sei
今回の動画作成にあたり参考にしたツイート：小島 宗一郎 さんtwitter.com/LANLECAM/status/1302957102328053767RaMa さんtwitter.com/MMMMTTTT09/status/1302867004810883073
なお，終盤の板書で「三角錐が足りない」と書いていますが，これは「円錐が足りない」の誤りですので訂正いたします。（これ，自分が最もよくやってしまう言い間違い・書き間違いの 1 つなんです笑）ご指摘くださった方，ありがとうございました！
また，13:01 で描いた図ですが，l にくっついている辺は HH' ではないですね。こちらも訂正いたします。ご指摘くださった方，ありがとうございます⭐️
やっぱ他の数学系TH-camrとは一線を画す徹底的な詳しさやな
ありがとうございます✨
僕はこの問題軸がずれているのが嫌なので複素数つかって回転させてから見やすい図形でいつも通りの積分の問題に持ち込みます。ただこれを聞いて思考が止まらず常に話続けていられる頭の回転に驚きました。すごい解答だと思います。これからも頑張ってください。
あーなるほど，複素数を用いるのもアリですね！複素数を用いたり，直線 l: y = x に沿って新しい座標をとったり，やりやすい向きに直して計算するのもシンプルでいい解法だと思います。
自分も同じでした。パッと見て足し合わせる方向と回転軸が45°ずれているので、グルっと45°回転移動させて回転方向と足し合わせる方向を一致させてから考えたくなります。（まだ数Cで行列やってた2006年高校入学の世代ですので行列使いますけど笑）この解答方針を変えずに答案を直せ、と言われると当時の自分にはお手上げだったかもしれません。
初心者で申し訳ないんだけど、傘型積分とかってなんで解答に書いちゃだめなんですか
今の高校範囲ではないですが、一次変換を用いるのもアリですね😅
受験生です。ダメな理由も、わりかしこう言う問題では答えが一致することもある程度知っていましたが、後半からの考察は非常に視点として役に立ちました。ありがとうございます。
こちらこそ，ご視聴ありがとうございます⭐️受験に向けて，勉強頑張っていきましょう〜
今年５０歳になるおじさんです。子供が微積をやり始めたので久しぶりに勉強再開。今の子たちはこんなに素晴らしい解説動画を無料で見られるなんて、幸せですね。社会で答えの出ない問題に向き合うことが多い中、悩んだ末に確実な解答があり、しかも解説がすごい。最高の気分転換になりました。
ご丁寧にコメントありがとうございます😊楽しんでいただけたようでよかったです！
大学受験から離れて久しいが、当時の疑問が解消されてスッキリした。素晴らしい。
ご視聴ありがとうございます！お役に立てたようでよかったです〜
5:10 このあたりで話されている、1次近似や2次近似についての詳しい解説動画を作っていただけませんか？なぜ傘型積分、バウムクーヘン積分で求まるのかを理解したいのです。
コメントありがとうございます！今後の動画作りの参考にします。
@@884 お返事ありがとうございます！なかなか参考書や教科書では触れられていない、そういった原理の部分に強く興味があるのですが、どう調べれば知ることができるのかもわからず、、、引き続き、動画楽しみにしております！
僕含め多くの動画や参考書等で「当たり前」として省略されているところではありますが，大事ですよね。そういうところに目がいくのは素晴らしいと思います。コメントありがとうございました！
奥が深いですね。とてもためになりました。
お役に立てたようでよかったです！
濃い25分でした！ありがとうございました！！
こちらこそ，ご視聴ありがとうございました！
どうやって考えたらいいかとかを教えてくれて面白いです
ありがとうございます！他の動画もぜひご覧下さい⭐️
最後まで真剣に見てしまいました。体積とは何かを考えるとても良い機会になり林先生に感謝です。参考書や他の動画で紹介されている傘型積分は正直理解できているのかどうか自分でもわかりません。もっと言うと置換積分やdxの意味すら理解できているのかよくわからないのです。わからないなりに好きでやってますので先生の色々な動画にチャレンジさせていただきます。
お役に立てたようで何よりです！積分における変数変換は，大学入試でもその後の学習でも大切なので，ぜひ納得のいくまで考えてみてください。
自分は専ら複素数を利用して回転させてから解いています。しかし、学校の先生からはこの手の回転体は、傘型積分、新たな座標軸を置くといった引き出しを増やすよう口酸っぱく言われているので、こういった動画を見ることができて良かったです。
それはよかったです！他にも高校数学関連の動画をお届けしています。ぜひご覧ください〜
高校生の時、試験問題をバームクーヘン積分で瞬コロした気になってたら返ってきた採点は0点。おまけに「答えの値はだけはあってるけど、この解法では点はあげれません。なぜダメか、考えて説明に来て下さい」とかコメントが付いてて、後日説明に行ったな。暇潰しで見た動画で20年前のことを思い出させられるとは。。。
おー，そんなご経験が！
数学好きにはたまらない動画ですね♪ 受験生ではないけど面白かったです。
楽しんでいただけたようで何よりです！
パップスギュルダンの定理を盾に開き直ったとしても重心の位置は微妙に変化していくのでその場合もまた別の立式をして積分しないといけないですよね
複素数を用いて回転させて軸を回転軸をX軸にするっていう方法もあって複素数平面って便利だなって思った問題です
x 軸まわりの回転であれば，体積は計算しやすいですもんね！
教えてくださり、ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。いままですべて√2dxで計算してしまっていました。これからは円錐の側面積に着目した傘型積分を記述に明記するようにします。ひとつだけ質問してもよろしいでしょうか？9:42Δx２次の項だけ無視することができて、 Δx1次の項だけで計算しても良いのでしょうか？Δx２次の項を無視して良いという考え方の他の事例動画などあれば、ご紹介していただけると嬉しいです。
ありがとうございました😊受験生です。大変参考になりました。他の動画も見させていただきます。
それはよかったです！ぜひ他の動画もご覧ください。勉強頑張りましょう🔥
@@884 返信ありがとうございます！再生リストから入試対策の動画も見させていただきました！！もしよろしければ東工大の問題も扱っていただきたいです！！チャンネル登録しました☺️今後もよろしくお願いします
@@ベンゼン環-x1e わかりました！今後の動画作りの参考にしますね♪
備忘録👏70G"【 斜軸回転体の 解法の一つ→ ☆斜軸を 新たな軸にとる 】PH＝ 1/√2 ･( x－x² ), t＝ OH＝ OQ －QH＝ √2 x －1/√2 ･( x－x² ) ＝ 1/√2 ･( x＋x² ), よって、dt＝ 1/√2 ･( 1＋2x ) dx だから、[0→1] V＝ π ∫ { 1/√2 ･( x－x² ) }² ･ 1/√2 ･( 1＋2x ) dx ＝ π／2√2 ･ ∫ ( 2x⁵－3x⁴＋x² ) dx ＝ π／30√2 ■
簡潔にまとまっていますね！ありがとうございます。
点と直線の距離で被積分関数出してベクトルの内積0の式で積分変数を変換してる
旧新数学演習にある問題ですね！当時傘型積分の理解が甘かったので、林先生と早く出会いたかったです😢
誤答例は、｢図の斜線部を回転した体積は赤い短冊を回転させたものと近似できる｣と書けば誤答例は認められますか？
すみません。求める体積は、短冊を集めたものと言えば良いですか？
そういうことではありません。体積を求めたい立体を，異なる方法で分割している（けれど，結局同じ立体を分割しているので結果は変わらない）というわけです。
「図の点Qから曲線Cに微小な円柱の高さを取って厚さ√2dxで計算する」というのは間違いでしょうか？
私も同じこと気になりました。
大学への数学とかで斜回転の体積の公式を覚えて理解せずにそのまま使ってる生徒に腹が立ったんだと思う清先生は。ツイートの背景を予想。
そういうことかもしれませんね。
PHを回転して得られる面積をS(x)とするとHの座標xの微小変化dxに対する体積Vの増加量dVはdV=S(x)√2dxとすれば良いのですか？あと、円錐の部分が足りないやつの体積は交点から1まで積分すればできますか？
まず前半についてですが，そうではない，というのがこのテーマの趣旨です。微小体積 dV を薄い円盤だと見なしたときに，その厚さは本当に (√2)dx でしょうか。後半については，「交点から 1 まで」というのがどこからどこまでのことなのかわかりませんでした。
@@884 返信ありがとうございます😊動画では点Pのx座標を0→1まで動かしていますが、点Hのx座標を考えれば厚さは(√2)dxになるのでは？ということです。後半についてはy=xとx+y=3/4の交点から1まで積分（この時もy=x上の点Hを動かす）するとうまくいくのでは？ということです。要は点Pのx座標の増加量に対する円柱の厚さは一定ではないが、点Hのx座標を考えてやれば厚さが(√2)dxとなるということです。
待ってました！
そう言ってもらえて嬉しいです😊撮影のし直しなどをしていたので，公開が遅れてしまいました💦
四角形の切り出し方（P'の取り方）とそれに伴うΔxの取り方の違いだけということはないでしょうか？動画ではP'がy=x^2上の点として厳密には台形PHH'P'として切り出し、PP'それぞれのx軸への垂線の差をΔxとしています。P'をy=x^2上ではなく長方形PHH'P'となるようにとれば、そこから同様にΔxをとって計算すれば間違いはないようにも感じます。
濃密な25分でした
それはよかったです✨ご視聴ありがとうございます😊
とんでもない動画だ。。。敬服しました。ちなみにこれ、撮ろうとしてからうｐするまでトータルで何時間ぐらいかかるんですか？（1）～（3）について紙と鉛筆で結論が出た後からのカウントで、です。僕の見立てだと立案・台本書きに3時間、26分の動画分の撮影に3時間、編集に3時間の計9時間程度かな？という感じなのですが。
ありがとうございます✨そうですね，この動画の準備に関連する時間を全て合計すると，だいたいそれくらい（もうちょっと少ないかな？）になります。
@@884 返信ありがとうございます！動画作成はズブの素人なんですが今までの自分の仕事や経験から類推してみた数字が正解に近かったようで、非常にうれしいです。満足感があります。これからも超絶クオリティの動画、楽しみにしております（チャンネル登録もしました）
@@ywny11007 嬉しいお言葉ありがとうございます！これからも頑張ります🔥
ほへえ…厚さに違和感あるけど微小な長さになるからいけるのかなと思ったんですがやっぱだめなんですねただ縦に分割してるってことを理解して使う分には計算量減るので便利に見えますね誤答になる問題も三角錐足せばいいだけですし
積分区間は回転軸と垂直に取らないといけないって高校の授業で習いました
積分の問題にも前から思っているのですが被積分関数が積分範囲内で発散、不定の所は無視出来るのでしようか？→そんな問題は出さない？
最初の解答も傘状回転体の公式の導出と同じような考え方なのでどこが間違ってるのかわからなかったけれど答案で書いている回転させている所が違うのは気づきませんでした！自分もあってると思いつつ間違えて書きそうなので気をつけなきゃいけないですね！
答案で堂々と書かれると，どこが間違いなのか気付きにくいですよね。記述式の入試ではほぼ間違いなく減点なので，注意しましょう！
初コメント失礼します🙏🙏最後の、漏れができる、縦に区切る方法では積分の範囲がy=xとx+y=3/4との交点からx=1でも間違いですか？
縦に区切ることが問題ですから漏れの部分が逆に過剰になるでしょう。
y＝x^2上のx座標がΔxの点をP’として、線分PP’の傾きを1と近似（HQと同じ傾き）して解くやり方を教わったのですが、それも間違いですか？
45°回転させた図を考えると、単にx軸回転の回転体の体積を求めるときの手続きと同じになるように思います。
縱積分めちゃ優秀やん
縦積分という語を初めて聞いたのですが，どういう積分を縦積分と呼ぶのでしょうか？
置換せずにxでそのまま積分するって意味で使ってます。すみません、わかりづらくて
あーなるほどですね！
なぜ積分は一次近似をするのですか？2次以上の微少量を無視するのは高校数学では自明ですか？
この動画では，2 次以上の微小量については，適当な極限をとればまあ消えてくれるだろう，という程度に考えています。もちろん，数学的に厳密な議論にはなっていません。自明というよりは，認めてしまっているという話です！
@@884 ありがとうございます。
これさみんな結構間違えていると思う。俺が持っている予備校の講師が書いた参考書にも√２と近似できるって書いてある。原点されるかもしれないけど合否に影響はないんじゃない。
22:15 円錐？
(1)は初見で√2Δxか？と思えたのでほんの少し嬉しかったです。職業柄、都合の良い作図を見ると疑ってしまいますね、笑
13:00 回転軸 lを縦にかいた図ですが、この図だとHH' が赤色の短冊の一辺となっており、左の図と異なりませんか？？（どこかで勘違いがありましたら申し訳ありません）
あー！ほんとだ！ご指摘ありがとうございます。その通りです。
@@884 何度か確認しましたが、どうしても気になったのでお聞きさせて頂きました。お返事ありがとうございます。説明も大変わかりやすく勉強になりました。他の動画も視聴して、勉強させて頂きます。
こちらこそ、助かりました！ぜひ他の動画もご覧ください♪
@@makimon1499 こちらこそ助かりました！より良い動画を創っていきますので，これからもぜひご覧ください。
清先生のツイートから来ました。なるほどよくわかりました、ありがとうございます。説明の中で、点Pの位置が0と1の真ん中くらいにあるから勘違いしやすい、と言っていましたが、むしろ、PP'の傾きが直線lとほぼ平行だから、という理由の方が直接的だと思ったのですが、どうでしょうか。
より直接的にはその表現が正しいですね！曲線 C の点 P における接線と直線 l の傾きが近くなるところで，見間違いが起こりやすくなります。
林 俊介 HAYASHI Shunsuke すっきりしました、お返事ありがとうございます。チャンネル登録しました！
@@ますふわ お，マジスカ！ありがとうございます⭐️
逆に漏れてる部分を足したら単に縦に切って積分しても大学の先生は丸にしてくれるんですかね？
その場合、毎回cavalieriの原理を使う必要はあるんですか？
@@しゅや-u2x 今回の問題では，縦に分割して体積を求めても結果として同じ領域の体積を求めていることになるので，数値は一致します。しかし，考え方が誤っているので 0 点でも文句は言えませんね。動画の途中で紹介した「この問題だとうまくいかない」という例題では，縦に分割して体積を求めると円錐部分が足りないという話でした。この場合，円錐の体積を加えてあげれば正しい答えになりますし，考え方も問題ないので満点です。Cavalieri の原理は，あくまで異なる立体の体積を比較するものであり，ちゃんと積分で体積を計算できるのであれば使用する必要はありません！
林 俊介 HAYASHI Shunsuke 返信ありがとうございます！自分的に縦に分割して足す方が感覚的には違和感なくて好きです。典型問題の解き方に引っ張られすぎて思考停止で計算することないようにしようと改めて確認出来ました！ありがとうございます。
かっこいい
この問題に似てる問題第三回全統模試の数学三型で解いたような気がします！
おー，全統でも似たものが出たんですね！大学入試では頻出のテーマです。
なんだ、方針じゃないのか
普通にカバリエリ有能すぎ
y=xの直線をt軸としてtで積分しちゃうな
もちろんそれでも OK です！ただ，x 軸や y 軸以外を軸に座標をとる場合，Jacobian に相当する係数で補正をかけなければいけないのが難しいところですね。
cavalieriの原理とありますが、大学入試で使ってもいいんですか？
実に微妙なところです。問題にもよりますね。学校教科書に載っているかどうかが一つの判断基準になると思いますので，興味があったら検定済教科書で Cavalieri の原理が載っているか調べてみてください〜※今回は，答案の中で使ったわけではないので問題ありません。
数研出版の1番上の教科書を使っていますが、載ってないです。
@@きゅー-l6q とすると，実際の答案で使うのはよくないかもしれませんね。ただ，いずれの場合も積分で体積を求めようとすると同じ式になるので，それを明言すれば使ってもせいぜい微減点で済むとは思います。
雰囲気が小山先生に似てて好き
ちょっとわかる
いさむ？
@@worldwidemr.7148 多分 小山 功（いさお）先生かと。
ハイレベル数学すげ〜
最初から短冊で考えてると答案に書いておけば正答なんでしょうね
どこの体積を考えていて，積分区間がどうなっていて，だから問われている体積が計算できるんだ，としっかり述べていれば問題ありません！「どの部分の体積を計算しているかわからないものの，結果が一致した」という状況だと，答案を書いた本人がちゃんと理解しているのか理解していないのか不明なため，減点対象となってしまうでしょうね。
Pappus-Guldinus theorem
👍🏻
何円払えばいいんですか…？
タダでいいよ😎
1000人！！！
ついに 1000 人いきました！！
簡単な問題ですね…難しい問題を解説して下さい🙇🏻♂️途中の説明で図が間違ったままですね🤔
首都大の入試問題にあるやつだー
おーまじすか！よかったら年度とか教えていただきたいです🙇🏻
@@884 すみませんよく見たら少し違いました🙇♂️ついこの間に解いた問題と図が似ていて、かつ答えも同じだったので、とっさにコメントしてしまいました💦大学への数学 1対1対応の演習 数3微積編 p135と似ていると思います…
@@さこ-f2v なるほどですね！ありがとうございます〜
＜目次＞
00:00 今回はのテーマは，Twitter でちょっと話題になった問題
00:19 問題紹介
01:39 概要説明
02:05 誤った解答例とその "解説"
04:49 本題に入る前の補足（誤りの箇所の見つけ方）
07:05 (1)「決定的な誤り」は厚さにある
12:21 (2) なぜ値は正答に一致したのか
19:39 (3) どういう問題だと失敗するのか
22:03 誤答例の修正
23:25 まとめと視聴者のみなさんへのメッセージ
※この動画を作成するにあたり，清先生の Twitter から予告なく画像をお借りし，使用しております。
清 史弘 先生：
twitter.com/f_sei
今回の動画作成にあたり参考にしたツイート：
小島 宗一郎 さん
twitter.com/LANLECAM/status/1302957102328053767
RaMa さん
twitter.com/MMMMTTTT09/status/1302867004810883073
なお，終盤の板書で「三角錐が足りない」と書いていますが，これは「円錐が足りない」の誤りですので訂正いたします。（これ，自分が最もよくやってしまう言い間違い・書き間違いの 1 つなんです笑）
ご指摘くださった方，ありがとうございました！
また，13:01 で描いた図ですが，l にくっついている辺は HH' ではないですね。こちらも訂正いたします。
ご指摘くださった方，ありがとうございます⭐️
やっぱ他の数学系TH-camrとは一線を画す徹底的な詳しさやな
ありがとうございます✨
僕はこの問題軸がずれているのが嫌なので複素数つかって回転させてから見やすい図形でいつも通りの積分の問題に持ち込みます。
ただこれを聞いて思考が止まらず常に話続けていられる頭の回転に驚きました。すごい解答だと思います。これからも頑張ってください。
あーなるほど，複素数を用いるのもアリですね！
複素数を用いたり，直線 l: y = x に沿って新しい座標をとったり，やりやすい向きに直して計算するのもシンプルでいい解法だと思います。
自分も同じでした。パッと見て足し合わせる方向と回転軸が45°ずれているので、グルっと45°回転移動させて回転方向と足し合わせる方向を一致させてから考えたくなります。（まだ数Cで行列やってた2006年高校入学の世代ですので行列使いますけど笑）
この解答方針を変えずに答案を直せ、と言われると当時の自分にはお手上げだったかもしれません。
初心者で申し訳ないんだけど、傘型積分とかってなんで解答に書いちゃだめなんですか
今の高校範囲ではないですが、一次変換を用いるのもアリですね😅
受験生です。ダメな理由も、わりかしこう言う問題では答えが一致することもある程度知っていましたが、後半からの考察は非常に視点として役に立ちました。ありがとうございます。
こちらこそ，ご視聴ありがとうございます⭐️
受験に向けて，勉強頑張っていきましょう〜
今年５０歳になるおじさんです。
子供が微積をやり始めたので久しぶりに勉強再開。今の子たちはこんなに素晴らしい解説動画を無料で見られるなんて、幸せですね。社会で答えの出ない問題に向き合うことが多い中、悩んだ末に確実な解答があり、しかも解説がすごい。最高の気分転換になりました。
ご丁寧にコメントありがとうございます😊
楽しんでいただけたようでよかったです！
大学受験から離れて久しいが、当時の疑問が解消されてスッキリした。素晴らしい。
ご視聴ありがとうございます！
お役に立てたようでよかったです〜
5:10 このあたりで話されている、1次近似や2次近似についての詳しい解説動画を作っていただけませんか？なぜ傘型積分、バウムクーヘン積分で求まるのかを理解したいのです。
コメントありがとうございます！
今後の動画作りの参考にします。
@@884 お返事ありがとうございます！なかなか参考書や教科書では触れられていない、そういった原理の部分に強く興味があるのですが、どう調べれば知ることができるのかもわからず、、、引き続き、動画楽しみにしております！
僕含め多くの動画や参考書等で「当たり前」として省略されているところではありますが，大事ですよね。
そういうところに目がいくのは素晴らしいと思います。
コメントありがとうございました！
奥が深いですね。とてもためになりました。
お役に立てたようでよかったです！
濃い25分でした！ありがとうございました！！
こちらこそ，ご視聴ありがとうございました！
どうやって考えたらいいかとかを教えてくれて面白いです
ありがとうございます！
他の動画もぜひご覧下さい⭐️
最後まで真剣に見てしまいました。体積とは何かを考えるとても良い機会になり林先生に感謝です。参考書や他の動画で紹介されている傘型積分は正直理解できているのかどうか自分でもわかりません。もっと言うと置換積分やdxの意味すら理解できているのかよくわからないのです。わからないなりに好きでやってますので先生の色々な動画にチャレンジさせていただきます。
お役に立てたようで何よりです！
積分における変数変換は，大学入試でもその後の学習でも大切なので，ぜひ納得のいくまで考えてみてください。
自分は専ら複素数を利用して回転させてから解いています。しかし、学校の先生からはこの手の回転体は、傘型積分、新たな座標軸を置くといった引き出しを増やすよう口酸っぱく言われているので、こういった動画を見ることができて良かったです。
それはよかったです！
他にも高校数学関連の動画をお届けしています。ぜひご覧ください〜
高校生の時、試験問題をバームクーヘン積分で瞬コロした気になってたら返ってきた採点は0点。
おまけに「答えの値はだけはあってるけど、この解法では点はあげれません。なぜダメか、考えて説明に来て下さい」とかコメントが付いてて、後日説明に行ったな。
暇潰しで見た動画で20年前のことを思い出させられるとは。。。
おー，そんなご経験が！
数学好きにはたまらない動画ですね♪ 受験生ではないけど面白かったです。
楽しんでいただけたようで何よりです！
パップスギュルダンの定理を盾に開き直ったとしても
重心の位置は微妙に変化していくので
その場合もまた別の立式をして
積分しないといけないですよね
複素数を用いて回転させて軸を回転軸をX軸にするっていう方法もあって複素数平面って便利だなって思った問題です
x 軸まわりの回転であれば，体積は計算しやすいですもんね！
教えてくださり、ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。いままですべて√2dxで計算してしまっていました。
これからは円錐の側面積に着目した傘型積分を記述に明記するようにします。
ひとつだけ質問してもよろしいでしょうか？
9:42
Δx２次の項だけ無視することができて、 Δx1次の項だけで計算しても良いのでしょうか？
Δx２次の項を無視して良いという考え方の他の事例動画などあれば、ご紹介していただけると嬉しいです。
ありがとうございました😊
受験生です。大変参考になりました。
他の動画も見させていただきます。
それはよかったです！
ぜひ他の動画もご覧ください。
勉強頑張りましょう🔥
@@884 返信ありがとうございます！
再生リストから入試対策の動画も見させていただきました！！
もしよろしければ東工大の問題も扱っていただきたいです！！
チャンネル登録しました☺️今後もよろしくお願いします
@@ベンゼン環-x1e わかりました！
今後の動画作りの参考にしますね♪
備忘録👏70G"【 斜軸回転体の 解法の一つ→ ☆斜軸を 新たな軸にとる 】
PH＝ 1/√2 ･( x－x² ), t＝ OH＝ OQ －QH＝ √2 x －1/√2 ･( x－x² ) ＝ 1/√2 ･( x＋x² ),
よって、dt＝ 1/√2 ･( 1＋2x ) dx だから、[0→1] V＝ π ∫ { 1/√2 ･( x－x² ) }² ･ 1/√2 ･( 1＋2x ) dx
＝ π／2√2 ･ ∫ ( 2x⁵－3x⁴＋x² ) dx ＝ π／30√2 ■
簡潔にまとまっていますね！
ありがとうございます。
点と直線の距離で被積分関数出してベクトルの内積0の式で積分変数を変換してる
旧新数学演習にある問題ですね！
当時傘型積分の理解が甘かったので、林先生と早く出会いたかったです😢
誤答例は、｢図の斜線部を回転した体積は赤い短冊を回転させたものと近似できる｣と書けば誤答例は認められますか？
すみません。
求める体積は、短冊を集めたものと言えば良いですか？
そういうことではありません。
体積を求めたい立体を，異なる方法で分割している（けれど，結局同じ立体を分割しているので結果は変わらない）というわけです。
「図の点Qから曲線Cに微小な円柱の高さを取って厚さ√2dxで計算する」というのは間違いでしょうか？
私も同じこと気になりました。
大学への数学とかで斜回転の体積の公式を覚えて理解せずにそのまま使ってる生徒に腹が立ったんだと思う清先生は。ツイートの背景を予想。
そういうことかもしれませんね。
PHを回転して得られる面積をS(x)
とすると
Hの座標xの微小変化dxに対する
体積Vの増加量dVは
dV=S(x)√2dx
とすれば良いのですか？
あと、
円錐の部分が足りないやつの体積は
交点から1まで積分すればできますか？
まず前半についてですが，そうではない，というのがこのテーマの趣旨です。
微小体積 dV を薄い円盤だと見なしたときに，その厚さは本当に (√2)dx でしょうか。
後半については，「交点から 1 まで」というのがどこからどこまでのことなのかわかりませんでした。
@@884
返信ありがとうございます😊
動画では点Pのx座標を0→1まで動かしていますが、
点Hのx座標を考えれば厚さは(√2)dxになるのでは？
ということです。
後半については
y=xとx+y=3/4の交点から1まで積分
（この時もy=x上の点Hを動かす）
するとうまくいくのでは？
ということです。
要は点Pのx座標の増加量に対する円柱の厚さは一定ではないが、
点Hのx座標を考えてやれば厚さが(√2)dxとなる
ということです。
待ってました！
そう言ってもらえて嬉しいです😊
撮影のし直しなどをしていたので，公開が遅れてしまいました💦
四角形の切り出し方（P'の取り方）とそれに伴うΔxの取り方の違いだけということはないでしょうか？
動画ではP'がy=x^2上の点として厳密には台形PHH'P'として切り出し、PP'それぞれのx軸への垂線の差をΔxとしています。
P'をy=x^2上ではなく長方形PHH'P'となるようにとれば、そこから同様にΔxをとって計算すれば間違いはないようにも感じます。
濃密な25分でした
それはよかったです✨
ご視聴ありがとうございます😊
とんでもない動画だ。。。敬服しました。ちなみにこれ、撮ろうとしてからうｐするまでトータルで何時間ぐらいかかるんですか？（1）～（3）について紙と鉛筆で結論が出た後からのカウントで、です。僕の見立てだと立案・台本書きに3時間、26分の動画分の撮影に3時間、編集に3時間の計9時間程度かな？という感じなのですが。
ありがとうございます✨
そうですね，この動画の準備に関連する時間を全て合計すると，だいたいそれくらい（もうちょっと少ないかな？）になります。
@@884 返信ありがとうございます！動画作成はズブの素人なんですが今までの自分の仕事や経験から類推してみた数字が正解に近かったようで、非常にうれしいです。満足感があります。これからも超絶クオリティの動画、楽しみにしております（チャンネル登録もしました）
@@ywny11007
嬉しいお言葉ありがとうございます！
これからも頑張ります🔥
ほへえ…
厚さに違和感あるけど微小な長さになるからいけるのかなと思ったんですがやっぱだめなんですね
ただ縦に分割してるってことを理解して使う分には計算量減るので便利に見えますね
誤答になる問題も三角錐足せばいいだけですし
積分区間は回転軸と垂直に取らないといけないって高校の授業で習いました
積分の問題にも前から思っているのですが被積分関数が積分範囲内で発散、不定の所は無視出来るのでしようか？→そんな問題は出さない？
最初の解答も傘状回転体の公式の導出と同じような考え方なのでどこが間違ってるのかわからなかったけれど答案で書いている回転させている所が違うのは気づきませんでした！
自分もあってると思いつつ間違えて書きそうなので気をつけなきゃいけないですね！
答案で堂々と書かれると，どこが間違いなのか気付きにくいですよね。
記述式の入試ではほぼ間違いなく減点なので，注意しましょう！
初コメント失礼します🙏🙏
最後の、漏れができる、縦に区切る方法では積分の範囲がy=xとx+y=3/4との交点からx=1でも間違いですか？
縦に区切ることが問題ですから漏れの部分が逆に過剰になるでしょう。
y＝x^2上のx座標がΔxの点をP’として、線分PP’の傾きを1と近似（HQと同じ傾き）して解くやり方を教わったのですが、それも間違いですか？
45°回転させた図を考えると、単にx軸回転の回転体の体積を求めるときの手続きと同じになるように思います。
縱積分めちゃ優秀やん
縦積分という語を初めて聞いたのですが，どういう積分を縦積分と呼ぶのでしょうか？
置換せずにxでそのまま積分するって意味で使ってます。すみません、わかりづらくて
あーなるほどですね！
なぜ積分は一次近似をするのですか？2次以上の微少量を無視するのは高校数学では自明ですか？
この動画では，2 次以上の微小量については，適当な極限をとればまあ消えてくれるだろう，という程度に考えています。
もちろん，数学的に厳密な議論にはなっていません。
自明というよりは，認めてしまっているという話です！
@@884 ありがとうございます。
これさみんな結構間違えていると思う。俺が持っている予備校の講師が書いた参考書にも√２と近似できるって書いてある。原点されるかもしれないけど合否に影響はないんじゃない。
22:15 円錐？
(1)は初見で√2Δxか？と思えたのでほんの少し嬉しかったです。職業柄、都合の良い作図を見ると疑ってしまいますね、笑
13:00 回転軸 lを縦にかいた図ですが、この図だとHH' が赤色の短冊の一辺となっており、左の図と異なりませんか？？
（どこかで勘違いがありましたら申し訳ありません）
あー！ほんとだ！
ご指摘ありがとうございます。その通りです。
@@884 何度か確認しましたが、どうしても気になったのでお聞きさせて頂きました。お返事ありがとうございます。
説明も大変わかりやすく勉強になりました。他の動画も視聴して、勉強させて頂きます。
こちらこそ、助かりました！
ぜひ他の動画もご覧ください♪
@@makimon1499 こちらこそ助かりました！
より良い動画を創っていきますので，これからもぜひご覧ください。
清先生のツイートから来ました。なるほどよくわかりました、ありがとうございます。
説明の中で、点Pの位置が0と1の真ん中くらいにあるから勘違いしやすい、と言っていましたが、むしろ、PP'の傾きが直線lとほぼ平行だから、という理由の方が直接的だと思ったのですが、どうでしょうか。
より直接的にはその表現が正しいですね！
曲線 C の点 P における接線と直線 l の傾きが近くなるところで，見間違いが起こりやすくなります。
林 俊介 HAYASHI Shunsuke すっきりしました、お返事ありがとうございます。チャンネル登録しました！
@@ますふわ お，マジスカ！ありがとうございます⭐️
逆に漏れてる部分を足したら単に縦に切って積分しても大学の先生は丸にしてくれるんですかね？
その場合、毎回cavalieriの原理を使う必要はあるんですか？
@@しゅや-u2x 今回の問題では，縦に分割して体積を求めても結果として同じ領域の体積を求めていることになるので，数値は一致します。しかし，考え方が誤っているので 0 点でも文句は言えませんね。
動画の途中で紹介した「この問題だとうまくいかない」という例題では，縦に分割して体積を求めると円錐部分が足りないという話でした。この場合，円錐の体積を加えてあげれば正しい答えになりますし，考え方も問題ないので満点です。
Cavalieri の原理は，あくまで異なる立体の体積を比較するものであり，ちゃんと積分で体積を計算できるのであれば使用する必要はありません！
林 俊介 HAYASHI Shunsuke 返信ありがとうございます！
自分的に縦に分割して足す方が感覚的には違和感なくて好きです。典型問題の解き方に引っ張られすぎて思考停止で計算することないようにしようと改めて確認出来ました！ありがとうございます。
林 俊介 HAYASHI Shunsuke 返信ありがとうございます！
自分的に縦に分割して足す方が感覚的には違和感なくて好きです。典型問題の解き方に引っ張られすぎて思考停止で計算することないようにしようと改めて確認出来ました！ありがとうございます。
かっこいい
この問題に似てる問題第三回全統模試の数学三型で解いたような気がします！
おー，全統でも似たものが出たんですね！
大学入試では頻出のテーマです。
なんだ、方針じゃないのか
普通にカバリエリ有能すぎ
y=xの直線をt軸としてtで積分しちゃうな
もちろんそれでも OK です！
ただ，x 軸や y 軸以外を軸に座標をとる場合，Jacobian に相当する係数で補正をかけなければいけないのが難しいところですね。
cavalieriの原理とありますが、大学入試で使ってもいいんですか？
実に微妙なところです。問題にもよりますね。
学校教科書に載っているかどうかが一つの判断基準になると思いますので，興味があったら検定済教科書で Cavalieri の原理が載っているか調べてみてください〜
※今回は，答案の中で使ったわけではないので問題ありません。
数研出版の1番上の教科書を使っていますが、載ってないです。
@@きゅー-l6q とすると，実際の答案で使うのはよくないかもしれませんね。
ただ，いずれの場合も積分で体積を求めようとすると同じ式になるので，それを明言すれば使ってもせいぜい微減点で済むとは思います。
雰囲気が小山先生に
似てて好き
ちょっとわかる
いさむ？
@@worldwidemr.7148 多分 小山 功（いさお）先生かと。
ハイレベル数学すげ〜
最初から短冊で考えてると答案に書いておけば正答なんでしょうね
どこの体積を考えていて，積分区間がどうなっていて，だから問われている体積が計算できるんだ，としっかり述べていれば問題ありません！
「どの部分の体積を計算しているかわからないものの，結果が一致した」という状況だと，答案を書いた本人がちゃんと理解しているのか理解していないのか不明なため，減点対象となってしまうでしょうね。
Pappus-Guldinus theorem
👍🏻
何円払えばいいんですか…？
タダでいいよ😎
1000人！！！
ついに 1000 人いきました！！
簡単な問題ですね…
難しい問題を解説して下さい🙇🏻♂️
途中の説明で図が間違ったままですね🤔
首都大の入試問題にあるやつだー
おーまじすか！
よかったら年度とか教えていただきたいです🙇🏻
@@884 すみませんよく見たら少し違いました🙇♂️
ついこの間に解いた問題と図が似ていて、かつ答えも同じだったので、とっさにコメントしてしまいました💦
大学への数学 1対1対応の演習 数3微積編 p135と似ていると思います…
@@さこ-f2v なるほどですね！ありがとうございます〜