Le théorème ergodique de Von Neumann (version discrète)

Voici la version discrète du théorème de Von Neumann, dans sa version "prête au développement" que l'on peut trouver dans Objectif Agrégation.

[@totototo8119]

Bonsoir,
Plus compliqué car raisonnement avec de la compacité (faible) et un peu plus long (j'avais vu cette preuve quelque part, donc j'espère l'avoir reconstituée sans erreur).
C'est assez sportif (chaque étape est difficile)
On peut le faire en constatant que
1) (I-T^*)T_{N}^{*}T_N tend vers 0
On utilise une norme d'algèbre et on commence par majorer le produit des 2 premiers termes
2) la suite a_n= T_{N}^{*}T_N(X) ou X est dans F=Ker(I-T)^{perp} est dans une boule de rayon norme de X (on utilise norme de T et T* plus petits que 1), et est dans F grâce aux lemmes (F stable par T et T^* car Ker(I-T)=Ker(i-T*))
3) rappel une boule fermée dans un Hilbert est séquentiellement compacte pour la topologie faible
Soit L valeur d'adhérence de la suite (a_N) (il en existe par compacité faible séquentielle)
D'après 1) L est dans ker (I-T^*)
D'après 2) L est dans F et via lemme dans l'orthogonal de Ker(I-T^*). Finalement L=0
Conclusion : au plus une valeur d'adhérence et au moins une valeur d'adhérence (compacité) donc la suite (a_N) converge faiblement vers 0.
4) (a_N,X) (ie a_n scalaire X) tend vers 0 d'après 3) donc la suite (T_n(X)) tend vers 0 pour tout X dans F.

[@philcaldero8964]

@@totototo8119 trop fort ! Bravo