我也把思考题算好了，结果跟周聃学长的一致，但方法很粗暴，就是不停用球面余弦法则算出边和角。这里说说怎么做，毕竟对很多人来说这较容易理解。 首先说说这球面余弦法则。假如在球面有个三角形ABC，你知道边长a和b和它们的夹角C，想知道边长c。怎做？注意，在球面，边也是以角度表达。把球面的半径定为1单位，把C设定为z轴，所以C是(0,0,1)。把x轴设在A的方向，那A的座标便是(sin b, 0, cos b)。最后算算B的座标，容易得知它所在的大圆与x-y平面交于(cos C, sin C, 0)，从而得知B点是(sin a cos C, sin a sin C, cos a)。最后，我们知道向量OA和OB的内积就是cos AOB = cos c，所以cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C。这就是球面余弦法则。 顺带一提，平面余弦法则是它的短边极限：1-c^2/2 = (1-a^2/2-b^2/2) + a b cos C，整理一下便是我们熟悉的 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C。 就这样，知道两边一角，你便知道剩下的边。跟平面的余弦法则一样，你可以倒过来用，知道三条边求任意夹角。 那跟经纬道有什么关系？题目的飞机飞的是大圆，可以看成为三角形的一边，另外两边是起点和终点的经线（经线也是大圆），最后的角是北极。这样，纬度便是90度减边长，飞行方向是经线和路径的夹角，而在北极的角便是经度跑了多少。一开始时你知道的开始纬度和飞行距离是两条边，飞行方向是夹角，用余弦法则三次，便可知道余下的一边两角，从而得知终点纬度，经度变化和终点方向。小心的推算，留意向东还是向西，那每点的经纬道和飞行方向便可算出来。 最后，说一下每个点的经纬度，以便有兴趣的网友对一对答案： * 起点：(116.41,39.9)，方向0度（与经线夹角）。飞行半径定为地球半径6371公里。 * 第一点(116.41,57.89)，飞行方向0度，后改为90度。 * 第二点(85.00, 53.67)，飞行方向116.20度，后改为-153.80度。 * 第三点(94.83, 37.02)，飞行方向-160.88度，后改为-70.88度。 * 终点（第四点）是(117.50,40.80)，Google说是北京市的东北，百草洼森林公园西方。
最后的问题其实熟悉球面几何的话很简单。 提示： 其实“前进 L，左转 theta”这个操作一直重复下去是有对称性的，重复4次如果继续考虑下去就会意识到，其实所有这些点都在一个小圆上。意识到这一点就很简单了，因为每次操作就等于绕这个小圆的圆心、以某个恒定的角度 alpha 在小圆上移动一次。 以下为省事，用 a 代替 alpha，而 L 为每次前进距离/地球半径，r 为小圆半径/地球半径。 用球面上余弦公式可得 cos r = cos r cos L + sin r sin L cos pi/4 cos L= (cos r)^2 + (sin r)^2 cos a 上一式可以求解 r ，代入下一式可以求解 a。这样小圆的半径和每次旋转的角度就都知道了，圆心也不难找到。只要找到转 4a 后的点就可以了。 得到 4a 后， 减去 2pi 的倍数，得到的就是终点相对于起点旋转的角度 a'。再用两次余弦公式就能得到 起点-终点 的距离 d 以及 圆心-起点-终点 的角度 b，而圆心-起点-北极 的角度已经知道，是45度，所以 北极-起点-终点 的角度就是上面的 b 再减去45度。 以下求解。 地球半径 6378km，L=2000/6378 r=tan^-1(2^0.5*(1-cos(2000/6378))/sin(2000/6378))=0.219951 a=cos^-1((cos(2000/6378)-(cos(0.219951))^2)/(sin(0.219951))^2)=1.59518 pi/2=1.570796，所以 a>pi/2 理所应当。 4a-2pi=0.0957408=a' 定义这个新的角度。 再用余弦公式 cos d = (cos r)^2+(sin r)^2 cos a' d=0.02088 cos r = cos r cos d + sin r sin d cos b b=1.52408 b-pi/4=0.738682 约等于 42.32度。 d*6378km = 133.17km 所以在北京向北偏东42.32度，133.17km的地方。似乎在前不着村后不着店的荒野…… 截图+GIMP旋转，目测经纬坐标大约 40°48'58.7"N 117°28'57.9"E。( 当然直接在地图上画直线仍然会包含球面-平面投影的误差，但应该很小。精确坐标也能算，就是要麻烦些，而且跟估算的区别大概比北京市本身大小还小，没什么必要。简单算法: 从起点(北京)的纬度获得其到北极的距离，继续用两次余弦公式，用于 北极点-起点-终点 的三角形，可以获得 北极点-终点 距离，得到终点的纬度；然后获得 起点-北极点-终点 的角度，也就得到 终点相对起点 的经度差别。于是得到 终点的经纬度。有兴趣的朋友可以算一下，看看跟估算差别多大。) *edit 修正了一个小数点错误，又修正了最后d的乘法错误，希望这次结果正确了。
李老師總是能把艱澀的題目，用很有邏輯且淺顯易懂的方式告訴我們，當我以為理解學會時，往往又被課後練習給點醒
被4罵5444444455555
同感呀 兄弟
@@hengtian7878 😀
李老师的思维太有才了
如果沒有李老師，我坐了半輩子飛機還以為去美國是飛越太平洋@@
一个好的老师，不是自身拥有多么渊博的知识，而是拥有阐述和理解各种知识的能力并且能够以最简单直接科学有趣的表达出来 这就是李永乐老师
最强的是这个老师同时还拥有渊博的知识
惊人的是：李老师是二者兼得！
为了避免小朋友问题太多，老师特地留了作业
如果題目改成南半球阿根廷布宜諾，飛機最後會飛到布宜諾東邊南大西洋上。
李老师你好
今天是2021年9月10日，祝李永乐老师，及他的同事们教师节快乐！感谢您，李永乐老师不仅是学科老师，更是科学导师！
教師節不是九月二十八嗎？孔子誕辰阿🤗
@@carryhuang9183 两地不一样。
@@carryhuang9183 九月二十八 离10-1 国庆太近了，没办法举办庆祝活动， 所以往前诺了几天。
我們台灣國慶是10/10🤗所以不衝突。
@@carryhuang9183 你们国庆免费吃凤梨吗🤗
真厲害呀，聽老師講完之後我就開始了解黎曼幾何了
你也很厉害！（不断自我挑战哈哈哈哈）
小李老师讲的真好，你的听众不都是小朋友，我都快60岁了人了，我就特别喜欢你的视频，祝你健康快乐！
很多小朋友特意問到老師的衣領。我作爲老師的鄰居替老師回答一下。那是因爲每天老師出門給小朋友錄課的時候，師母都會揪住老師的衣領說，下課馬上回家，不許在外面閑逛。所以一側的衣領就留下記憶了。
哈哈哈哈 小作文出来了
🤣🤣🤣🤣我認真了
归其原因是对球面上的“东西南北”定义的问题（南北和东西在球面上的定义不对称）举个极端例子就是，假如所有人都往北走（忽略地转偏向力）那么所有人都会必然相交经过北极点，但是如果所有人都往东走就永远也不会相交，也没有所谓的“东极点”，但由于球面是对称的，这显然十分荒谬，但由于我们对南北和东西定义不对称，造成了这种神奇的结果
结果是北京西南方，河北省庙沟 坐标[38.66,113.68]。
如果你站在纬度=theta1，经度=theta2，朝向=theta3，向前走距离=L弧度，求你的终点坐标。先弄个右手坐标系，地心到北极是+z方向，地心到(0NS,0WE)是+x方向，地心到(0NS,90E)是+y方向。假设坐标系不动，经纬线绑在坐标系上也不动，地球是半径6371km的完美球体可以随便转。
google地图北纬和东经是正的，我们也这么定。一个点(北纬theta1，东经theta2)沿z轴转-theta2再沿y轴转theta1就到了(1;0;0),此时地面是yz平面，天空是x方向，北极在+z方向。你面朝+z方向沿球面走不拐弯就到北极了。但是你不想去北极，你想去北偏西theta3，距离L弧度的地方。这时候需要把地球沿x轴转-theta3再沿y轴转L弧度，你的目标就在(1;0;0)点了。把整个过程倒过来就能求出原本你的目的地的坐标了：(1;0;0)点沿y转-L弧度->沿x轴转theta3->沿y轴转-theta1->沿z轴转theta2。
Matlab代码如下，
clear
rotX=@(x)[1 0 0;0 cos(x) -sin(x);0 sin(x) cos(x)];
rotY=@(x)[cos(x) 0 sin(x);0 1 0;-sin(x) 0 cos(x)];
rotZ=@(x)[cos(x) -sin(x) 0;sin(x) cos(x) 0;0 0 1];
p2NE=@(x)[asin(x(3)/norm(x)) atan2(x(2),x(1))];
figure(1)
clf
hold on
[x,y,z]=sphere;
mesh(x*0.99,y*0.99,z*0.99)
view(3)
axis equal
L=2000/6371;
cmap1=jet(1000);
theta1=39.92/180*pi;
theta2=116.46/180*pi;
theta3=00/180*pi;
fprintf('[%g,%g]
', theta1/pi*180,theta2/pi*180)
for iTrip=1:4
p1=zeros(3,10001);
for i=1:10001
p1(:,i)=rotY(-L/10000*(i-1))*[1;0;0];
end
p1=rotZ(theta2)*rotY(-theta1)*rotX(theta3)*p1;
dest=p2NE(p1(:,end))/pi*180;
dir1=dest-p2NE(p1(:,end-1))/pi*180;
plot3(p1(1,1),p1(2,1),p1(3,1),'o','markersize',10)
plot3(p1(1,end),p1(2,end),p1(3,end),'s','markersize',10)
plot3(p1(1,:),p1(2,:),p1(3,:),'linewidth',2)
fprintf('[%g,%g]
', dest(1),dest(2))
theta1=dest(1)/180*pi;
theta2=dest(2)/180*pi;
theta3=cart2pol(dir1(1),-dir1(2))+90/180*pi;
end
永乐老师看蒙了。
🤣虽然我看不懂，但是你字多我信你！
思考題: 不要想地球的經緯線反而比較容易，從北京出發往北2000km之後來到A點，從A點左轉90度，可以先畫一個過A點跟北京的大圓，然後連接地心跟A點，再做一個大圓在A點上跟第一個大圓相交90度，因此以方位來算大約是西偏南再飛2000km來到B點，再畫大圓跟過A、B的大圓相交，然後一樣找出兩個大圓在B點夾90度的方向，繼續飛2000km抵達C點即為所求，會在北京的西南方
西瓜皮思路，切一个正方形表皮的西瓜。 半径都相同
思考题:落在北京东北方向137KM处
设北京坐标x=0.7660 y=0 z=0.6429 每次走18度
A x=0.7660 y=0 z=0.6429 向北走所以 法向量(0,1,0)
B x=0.5298 y=0 z=0.8481 可得AB=0.3129 法向量(-0.8481,0,0.5298)
C 设C(a,b,c)
{
a²+b²+c²=1
(a-0.5298)²+b²+(c-0.8481)²= 0.3129²
-0.8481a+0.5298c=0
}
解得
C (a=0.5039 b=0.3090 c=0.8066)
相同思路做球面上点D使DOC垂直COB且CD=0.3129 求得
D(0.7413,0.2939,0.6033)
同理做球面上点E使DOE垂直COD且DE=0.3129 求得
E (0.7556,-0.0144,0.6548)
arcsin(0.6548)-arcsin(0.6429)=0.90°
arctan(144/7556)-0=1.09°
落在 向北0.90纬度,向东1.09经度,飞了137km,未必能飞出北京
另外球面正四边形的内角和大于360度,可以保证不会飞回原点.
举个极端一点的例子,从赤道出发向北,每次走0.5πr后左转90度,3次就可以回到原点,第四次落在北极点
应该是回到原点吧，四次走的都是测地线，每次走的弧长对应的弦长都等长，也就是四个点的连线构成平面的正方形，或者说把2000km弧长对应的大圆弦长作为正方形的边长，把这个正方形放进圆内，其中一边连接北京和其向北2000km的地方，另外两边自然就是剩下的两个点了
好久没遇到能完全看懂的节目了，哈哈哈哈
老師隨便画一個圓圈，就像是用圓規画的。😆
我也把思考题算好了，结果跟周聃学长的一致，但方法很粗暴，就是不停用球面余弦法则算出边和角。这里说说怎么做，毕竟对很多人来说这较容易理解。
首先说说这球面余弦法则。假如在球面有个三角形ABC，你知道边长a和b和它们的夹角C，想知道边长c。怎做？注意，在球面，边也是以角度表达。把球面的半径定为1单位，把C设定为z轴，所以C是(0,0,1)。把x轴设在A的方向，那A的座标便是(sin b, 0, cos b)。最后算算B的座标，容易得知它所在的大圆与x-y平面交于(cos C, sin C, 0)，从而得知B点是(sin a cos C, sin a sin C, cos a)。最后，我们知道向量OA和OB的内积就是cos AOB = cos c，所以cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C。这就是球面余弦法则。
顺带一提，平面余弦法则是它的短边极限：1-c^2/2 = (1-a^2/2-b^2/2) + a b cos C，整理一下便是我们熟悉的 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C。
就这样，知道两边一角，你便知道剩下的边。跟平面的余弦法则一样，你可以倒过来用，知道三条边求任意夹角。
那跟经纬道有什么关系？题目的飞机飞的是大圆，可以看成为三角形的一边，另外两边是起点和终点的经线（经线也是大圆），最后的角是北极。这样，纬度便是90度减边长，飞行方向是经线和路径的夹角，而在北极的角便是经度跑了多少。一开始时你知道的开始纬度和飞行距离是两条边，飞行方向是夹角，用余弦法则三次，便可知道余下的一边两角，从而得知终点纬度，经度变化和终点方向。小心的推算，留意向东还是向西，那每点的经纬道和飞行方向便可算出来。
最后，说一下每个点的经纬度，以便有兴趣的网友对一对答案：
* 起点：(116.41,39.9)，方向0度（与经线夹角）。飞行半径定为地球半径6371公里。
* 第一点(116.41,57.89)，飞行方向0度，后改为90度。
* 第二点(85.00, 53.67)，飞行方向116.20度，后改为-153.80度。
* 第三点(94.83, 37.02)，飞行方向-160.88度，后改为-70.88度。
* 终点（第四点）是(117.50,40.80)，Google说是北京市的东北，百草洼森林公园西方。
飞机飞行路线不仅受地球曲面的影响，还会受地球自转的影响。在北半球使飞行路线右偏。飞机需要不断修正方向和高度，而不是保持最初的转弯角度。所以飞行路线更加复杂。
科氏力作用
@@treesymb 没错。地球是一个非惯性系，因此受惯性力的影响。科氏力就是一种惯性力。也是一种加速度与力的等效性原理。
@@xingliu8506 为什么不是？
所以现代飞机导航除了GPS之外就是惯导系统
@ipiao Hsieh 可能是超出了大多数中学生观众的理解能力。李老师都是用数学来解释，而不是空谈。而地转作用的数学推导要在球坐标中进行。那是大学里的课程。
向李永乐老师的领子致个敬！
哈哈哈哈哈哈
哈哈哈哈
总有一些不好好听课的学生，会外留神儿
最後一題要四個與前一項垂直的大圈線，可能用極座標才好算了。
（思考题）终点不与北京重合。位置为北纬40点9度 东经117点1度（起点以及2k km测地线角度如视频所设。）
- 利用如下性质：直角坐标轴上点沿另外两轴交替旋转轨迹必为测地线且与之前轨迹成直角。
- “无法回到原点”的结论侧面说明了这个颇有意思的性质：有限小多轴旋转逆之积非积之逆（无穷小旋转则不然）。
算法： 建立（1 0 0）指向本初子午线与赤道的交点，(0 0 1)指向北极的笛卡尔坐标系。
(1 0 0)连续两次坐标旋转Trz(116度) Try(-40度)到北京，再四次坐标旋转Try(-18度) Trz(-18度)Try(18度)Trz(18度)到终点，故而得终点坐标在初始坐标系位置为(1 0 0)经上述变换之累计，为（零点三四四二，零点六七二九 零点六五四八）。最后换经纬，得上述答案。
Trz Try 为相应的旋转矩阵变换。
说的挺好，但实际上我没看懂，但我只想说，其实地球是椭圆的。。。
好像只要是數理科目的老師在黑板上畫圓畫線的功力都相當驚人呢
啊又干這堂課啥是啊？🐽
我前面说的不太严谨，如果一直调整飞行方向是可以沿着纬线飞行的，如果是转90度固定方向，那飞行方向会与纬线形成一个角度，并且飞行还会受到自转影响。关于李老师说的思考题，我能确定的是飞行轨迹一开始向北沿着经线，向西左转90度一定不会沿着纬线由于纬线有向北趋势，所以实际飞行方向西偏南，再向左转90度大方向向南偏东，最后一个左转大方向向东偏北，如果不受自转影响这几段路都是测地线。所以最终的落点不会偏离北京太多。
李老师您好，我站在一个飞行员的角度认为：最终结果可能是任何位置，在天上飞不可以忽略风向和地球自转。高空气流有可能把飞机吹到任何一个方向，即使航向一定，也会产生偏航。所以我认为这道题换成跑步更合适
跑步不合適，地形有高有低，如果要爬山你的兩千公里就不到兩千公里了
上学的时候从来都不怎么听课。中学的时候觉得老师讲的太慢了。早就会的东西反复讲。大学的时候又太快了，听不懂只好下来自己看。现在听李老师的可还挺认真。而且基本都懂。
看完李永樂都覺得自己很聰明都懂...直到開始有了練習題
想不到你還把最後落在哪裡的經緯度計出來 😂
8:45
這邊的數字可能有點問題
地球半徑 通常是指理論地心至平均海平面的距離
實際數字約莫在用6,357km到6,378km
常用平均半徑為6371km
李老師使用6370km的整數
到這邊還沒問題
但是飛機可不是飛行在海平面的
通常飛機飛行的高度是在11km以上的平流層
通常都是在12~18km處左右
別忘了這十多公里的半徑長度差距
至少也要用6380km這個數字去計算
嗯，有道理，但是通常我們在講飛機飛了幾公里，指的應該並不是實際飛行距離，而是飛機的軌跡投影在地面的距離，所以給定的飛行距離確實應該以地面距離為準，因此李老師使用地球半徑是合理的，不過這個誤差其實是可以忽略不計啦，因為誤差已經小於1％了。
最后的问题思路
①给定初始点坐标（用球面点切面法向量表示），以及初始方向（与法向量正交）
②给定点延给定方向变换固定角度，然后给定方向绕给定点向左转90度
③再重复②3次
所以关键在于找到点坐标和左转90度的变换矩
最后会去到医院。走断腿了！
烧脑。很明显是回到北京。
@@馬陸 明显不是。。。回北京就变成正方形了，球面上的正方形内角显然不是90度
答案应该在北京的东北某处，因为每次转90度，都是沿着球面上的直线走。第一次转90度后方向是西南，第二次是东南，第三次是东北。
其实飞行距离很重要。如果飞行距离不是2000公里，而是地球周长的四分之一，在第三次要转的时候就已经回到北京。因为飞出了视频前半段球面上内角都为90度的三角形。如果飞行距离是周长一半，第二次要转的时候就已经回到北京。
有人说答案是飞出正方形回北京。那要飞行距离无限接近为0了，是不可能的，因为球面是不存在平行线的。
问题就出在测地线，你出题又没说必须走测地线，必须正南和正北参考点，我为什么不可以走正方形。出题不严谨，不是烧脑是什么
分享一下心得(有錯請指正)：
同一條經線上的任兩點都是最短距離，但緯線只有赤道上的任兩點是最短距離。
經線切出來的平面都通過圓心，而緯線只有赤道切過圓心
@有限创意工作室 多謝補充 ^^ 不過你指的應該是長弧與短弧的區分吧！
每次看完永樂老師的視頻知識，我都會說：不出意外的話，我都懂了。
直到今天。。。看到永樂老師的給出練習題。。。
呃。不出意外，還是出意外了。。。
课后作业题，应该要考虑受地球自转影响，飞机会向右偏航，飞机以为自己是飞直线，其实飞出来的是一条向右弯曲的曲线，最后的终点应该是在北京的西北方向。
大气层以内不受自转或公转影响
可以参考，汽车里的蚊子依然正常飞行
@@goldencup4756 飞机严格上来说已经不是蚊子了，飞机已经开始绕地球了，在这种尺度下地球自转影响比例已经很高了
认真审题再思考，题中只有一个方向，其他全是角和线，只有方向才跟经纬相关，角线是平面几何
飛機向北2000公里，向西2000公里,向南2000公里,向東2000公里，還能回到原位？問題的關鍵在於如何在三維曲面（只有曲線）定義一個在二維平面上的直線概念，在地球上的東南西北是按經緯線而定的，除開赤道（測地線），其餘任一緯線和任一經線（測地線）的相交，相交線之間都不是90°，並不是三維曲面的直線概念，注定無法形成二維正方形的航跡，也就無法回到原點。有趣的是如果以12點作為方向參考，每次轉彎所形成的两條方向線都是測地線，成90°，就可以回到原點
。。。
卧槽，這不是老師的作業嗎
李老师的衣领总是这么有特点!
爱因斯坦式生活
刚和师母打完架 XD
这叫不拘小节
上课不注意听讲，不看黑板上的算式和几何图经纬线图，却注意到老师衣领这么细小不重要的地方（而且衣服是深色的，不那么发现衣领问题），服了你了。
@@jeffgao4862 专心与不专心的区别：）
思考题，飞行轨迹就第四次比较麻烦 （形象认知能力好一点的应该也不麻烦）
把出发点（或者经纬网）挪动一下，第一次飞的落点在赤道上，就得出了前三次飞的轨迹。第 234 次的轨迹跟第 123 的轨迹是一样的。
回到原题，第三次落点在北京西南方，第四次落点在北京的东北方向，具体数值懒得算。
本科《航海学》授课时常做这种题，后来接触了《变分法》才知道如何得到的大圆就是测地线的结论。
唔...請問一下，西遊記裡花果山大王拔走定海神針形成的東海歸墟，創作原型來自日本鳴門漩渦，那，南海歸墟的位置是在台灣鵝鑾鼻外海七星石以南的巴士海峽哪兒？
原來航海學也跟測量學有關。
Air pilot manual vol3 navigation的第一章節就講大圓😂
球面上不需要变分，测地线的定义和直线一样是最短路径，球面上延弧最短好像是一道中学几何题。复杂点可以用Hilbert空间的投影定理来证明，因为弧线是圆心对弦的投影。
不应该是高中数学学的吗，
把地球像拼圖一樣用類似上窄下寬的類梯型組合拆解 就知道第一個答案了
北京出發往北2K後 接著往西方的角度是類梯形的右上角 也就是超過90度了
所以思考題的答案就是北京的東北方 (想像類梯形每個角度被你拉回90度會形成的圖案)
現在的高中國中的內容都陳舊了~永樂老師應該是新世紀的中學教科書範圍內容!
李老师最后的问题，我觉得最后到了B点，也就是北京北面2000公里处。
因为按照李老师说的球面上可以画出有3个直角的三角形：前三次走2000公里，转90度，正好画出一个球面上的正三角形，回到北京。然后再沿经线往北走2000公里。
不认同，你只有直线走完三个90*的弧才能走出三角形，2000公里不够
剛好走四分之一弧才會像你說的
小於四分之一弧就像影片所示
其实飞行距离很重要。如果飞行距离不是2000公里，而是地球周长的四分之一，那像你说在第三次要转的时候就已经回到北京。如果飞行距离是周长一半，第二次要转的时候就已经回到北京。
有人说答案是飞出正方形回北京。那要飞行距离无限接近为0了，是不可能的，因为球面是不存在平行线的。
答案应该在北京的东北某处，因为每次转90度，都是沿着球面上的直线走。第一次转90度后方向是西南，第二次是东南，第三次是东北。
李老师 是否可以讲讲地转偏向力和科里奥利效应 最近在重拾水力学 偶然碰到的，感觉挺有意思的
经常看老师讲课，非常有意思学到了不少知识。思考题的答案是飞机现在在北京机场向北2000km么？
B、C两点所在的小圆半径小于A、D所在的小圆半径，因此虽然BC的弧长和AD的弧长相等，但球面距离不等，所以画不出正方形，这是球面几何不同于欧氏几何的地方。
李老师徒手在黑板上画圆好棒！我高中数学老师也是，几何课从不拿教学圆规三角尺等，都是随手就画，漂亮极了基本9、9.5不离十，我们几个数学爱好学生佩服得不行，每每回忆都赞不绝口。想：这可能是优秀数学老师他的看家本领。
應該是熟能生巧，李老師可能已經徒手在黑板上畫了幾萬個圓了。XDDD
@@vivian93tw 应该是专门练过，没事也画画，上课必能出彩。
如果我上学的时候是李老师教我的话我肯定能学习好。上大学命运就不会是现在这样了。
事實上是在求學時期
就算有像李老師這種的老師 大多數人也都不會認真
@@kuojeff3293 也许吧
为了思考题把我家接灰的地球仪拿出来了哈哈，一开始向北飞是沿着地球弧线飞2000km，然后直角左转直走，就不是沿着地球弧线啦，而是飞去外太空某个点，同时这次左转的角度是90度，是小于经纬度交界角度的，所以是向西南方飞而不是正西方，也就是从点b到c从地球角度来看是西南上方。
从c到d也不是向南方，而是东南方，而且直线飞更加偏向外太空，相当于东南上方。
最后再向左转90度直飞，因为d点在外太空，e肯定也在外太空了。而ab是贴地弧线，cd是外太空直线，如果按照两点之间直线最短，应该是cd两点距离更长一些，e应该在北京a的南边。可是cd毕竟是被抛向外太空的，就好比在地球上开了个天窗，天窗开窗时的下沿基本上会比窗子底座要高，实际上e点应该在a的正北方向一点点的上方。
好比我把一正方形贴纸的一角粘在地球仪的北京北方2000km的b，剩下的四个角让他们拉直，看看贴纸在ab沿着经线贴着地球仪的时候，和撕下贴纸把它拉直的时候，a点的位置是啥区别，也就是最后a和e的区别
谢谢李老师! A good demonstration of non-Eucleadian geometry Q&A! 没看完时直觉上我也觉得最终落点应该是在酒泉基地附近; 事实上, 我隐约觉得有个short cut可以直接算出AD-BC从而得出E的经度(毕竟D、E和北京都是同纬度), 不用分开5段算, 我毕业时间有点久, 现在公司业务比较忙, 没时间弄, 但我觉得您明白我的意思, 呵呵
我曾经启发过小儿子(那时他读P2) : "地球上有个点, 我向南走1米, 向东走1米, 再向北走1米, 竟回到原点, 你猜我人在哪里?" 他后来想了想, 说是北极点, 我说你猜对了, 然后他还纠正我说 : "爸爸, 北极点是不能站人的, 北极不像南极, 北极点多数是海水和浮冰, 所以你不应该会在那里走!" 我哑然失笑; 那一刻, 我开始在想, 我什么时候适合教他non-Eucleadian Geometry, 我又不想他平面几何还没系统学时就把他搞混 ...
请示你的妙法！
@@wahchan3516 也不是什么妙法, 只是应用成熟的球面几何三角代数公式, 李老师只是为了大家更容易理解, 故意用平面几何的三角公式来解题
李老師, 在飛機飛行時, 地球半徑好像是彭漲了9.144 km (3萬呎高空) .
飞机飞行时飞机是膨胀了，但飞行的2000公里是按照贴地算的，是地面上的2000公里并不是在空中的2000公里，所以并没有影响。
而且相對於地球半徑6378公里來說 9公里的誤差其實相當小
每次看完老師的影片都有種相見恨晚的感覺
老师太厉害了，最近正好对球面这个感兴趣，老师就讲了
老师太厉害了，最近正好对球感兴趣，老师就讲了
李老师，问一个生活常识问题，塑料或者亚克力材质的东西，为什么用一段时间后会变黄？而不会变绿或变蓝色呢？而且还会变的很脆容易断裂？
李老师嘴里的小朋友 你好
地球上肯定有一个点用这种飞法可以返回原点，就是南纬和北纬对应纬度上的点，这个点在南纬距离赤道一千公里。
@李永乐老师 可以做一期貝葉斯說服(bayesian persuasion) 的影片嗎?
赤道跟其他纬线圈一样都是圆圈，只不过它最大。最后的作业：“左转90度”、“直线”是把问题变成一个平面几何问题了（地球表面只有弧线和弧度，不存在严格意义上的直线和角度）。三次拐直角后走的直线距离相同，最后就回到了出发点。当然，现实中的飞机是没办法这样飞行的。
我半天没算出来，但也要指出李永乐老师的缺失！李永乐老师讲的北京飞纽约不对，实际直飞是从俄罗斯过白令海峡，再到阿拉斯加过加拿大到纽约！当然不是不是数学问题，而是气候和地理原因！
同学 跑题了 老师讲的是 地球是圆的。。
是因为飞机的安全性要保证在单发条件下航线满足在长时间内能够备降到附近的机场而设计出来的航线，单发可靠性越高这个航线就会越接近测地线。
@@jayjal5111 如果发射一个核弹去美国，应该可以按老师说的走北极。
@@caihaibo 也未必，磁极和天气，加上美国的拦截技术，你说呢？
@@caihaibo 你的核彈要飛到外太空，直到衛星無偵測，才能安全到達目的地
回答思考题（作业） 根据题意，B点不变，经过B点有一条经线，另一条切测地线。 B左转后走了2000KM之后来到C点，之后C点左转90度走了2000KM来到D点，D左转90度走了2000KM来到E点。 这样BCDE 和地心组成了一个正四棱锥。这四个点也是是球体上的一个面。 容易有算出E点的坐标为（40N，116E）回到了北京
不對
"B左转后走了2000KM之后来到C点" 這句話開始是不對的 請看4:00
最后的问题其实熟悉球面几何的话很简单。
提示：
其实“前进 L，左转 theta”这个操作一直重复下去是有对称性的，重复4次如果继续考虑下去就会意识到，其实所有这些点都在一个小圆上。意识到这一点就很简单了，因为每次操作就等于绕这个小圆的圆心、以某个恒定的角度 alpha 在小圆上移动一次。
以下为省事，用 a 代替 alpha，而 L 为每次前进距离/地球半径，r 为小圆半径/地球半径。
用球面上余弦公式可得
cos r = cos r cos L + sin r sin L cos pi/4
cos L= (cos r)^2 + (sin r)^2 cos a
上一式可以求解 r ，代入下一式可以求解 a。这样小圆的半径和每次旋转的角度就都知道了，圆心也不难找到。只要找到转 4a 后的点就可以了。
得到 4a 后， 减去 2pi 的倍数，得到的就是终点相对于起点旋转的角度 a'。再用两次余弦公式就能得到 起点-终点 的距离 d 以及 圆心-起点-终点 的角度 b，而圆心-起点-北极 的角度已经知道，是45度，所以 北极-起点-终点 的角度就是上面的 b 再减去45度。
以下求解。
地球半径 6378km，L=2000/6378
r=tan^-1(2^0.5*(1-cos(2000/6378))/sin(2000/6378))=0.219951
a=cos^-1((cos(2000/6378)-(cos(0.219951))^2)/(sin(0.219951))^2)=1.59518
pi/2=1.570796，所以 a>pi/2 理所应当。
4a-2pi=0.0957408=a' 定义这个新的角度。
再用余弦公式
cos d = (cos r)^2+(sin r)^2 cos a'
d=0.02088
cos r = cos r cos d + sin r sin d cos b
b=1.52408
b-pi/4=0.738682 约等于 42.32度。
d*6378km = 133.17km
所以在北京向北偏东42.32度，133.17km的地方。似乎在前不着村后不着店的荒野…… 截图+GIMP旋转，目测经纬坐标大约 40°48'58.7"N 117°28'57.9"E。( 当然直接在地图上画直线仍然会包含球面-平面投影的误差，但应该很小。精确坐标也能算，就是要麻烦些，而且跟估算的区别大概比北京市本身大小还小，没什么必要。简单算法: 从起点(北京)的纬度获得其到北极的距离，继续用两次余弦公式，用于 北极点-起点-终点 的三角形，可以获得 北极点-终点 距离，得到终点的纬度；然后获得 起点-北极点-终点 的角度，也就得到 终点相对起点 的经度差别。于是得到 终点的经纬度。有兴趣的朋友可以算一下，看看跟估算差别多大。)
*edit 修正了一个小数点错误，又修正了最后d的乘法错误，希望这次结果正确了。
这么强？
@@TchLiyongle 研究相关，了解过一点球面几何和双曲几何的东西，只是皮毛而已，能用上很开心～
@@ethanJ496 虽然我看不懂 但我觉得算出来是对的 哈哈
我的答案跟你差不多 我的思路是西瓜皮思路。 最后算到坐标大约 40°49'N 117°29 E
思考题不是A也不是B，应该是A东北方向，具体位置感觉不太会算。想要回到B点即视频中间说的三个直角形成三角形的是要特例边长必须等于πR/2即1/4周长，球心角=90°，此时三点做平面投影成边长恰好等于根号2*R的正三角形。当边长为2000km也就是＜R时，每步球心角视频算了是18°，此时在球面上拐直角每三点做平面投影每角应＞60°＜90°，经过三次应该偏向A点东北
这期很有趣，期待老师下期解答思考题
嗯
最喜欢李老师深入浅出的讲解。赞老师
最後的思考題 回北京~
因為除了赤道，其他的緯線不是測地線，所以三個直角、再加上四個直線，會回到出發點，
也就是 北京。
课外题是回到北京机场。这道题正好解释了转90度和东西（维度）的区别。李老师妙啊。
能麻烦您多解释一下吗？我不理解怎么定义转90度。也不懂为什么转90度回不到经线或纬线上。感谢！
@@reigak6599 因为纬线不是测地线,所以即使你一开始沿着不是赤道的纬线方向飞行，后面不人工干预的话，最终会偏离出去，纬度越高偏离越大，经线是测地线所以理论上不会偏移，而实际上沿着经线飞行受自转影响很大，所以沿着经线和纬线飞行不同于沿着东西南北固定方向的飞行，因为前者必须人为调整飞行方向
@@perfetlleorchid6551 感谢你的回答。其实题目里有很多需要定义的细节，比如左右的定义需要法平面，你的回答默认这个平面为球面的切面。
@knowledge increaseth 题目实际上是在讲左右的定义与东西南北的定义上是有区别的。
南北和东西是由经线和纬线定义的。而左右的定义确实在确定法平面的基础上的。
感谢你的指教！
@@reigak6599 哦，听你这么严谨的一说，我似乎更懂了，谢谢
答: 交通台不允许该航线 不能起飞
我觉得如果是从pkx往北飞的话会被打下来
没有政治问题
答案应该在北京的东北某处，因为每次转90度，都是沿着球面上的直线走。第一次转90度后方向是西南，第二次是东南，第三次是东北。
其实飞行距离很重要。如果飞行距离不是2000公里，而是地球周长的四分之一，在第三次要转的时候就已经回到北京。因为飞出了视频前半段球面上内角都为90度的三角形。如果飞行距离是周长一半，第二次要转的时候就已经回到北京。
有人说答案是飞出正方形回北京。那要飞行距离无限接近为0了，是不可能的，因为球面是不存在平行线的。
你是对的，是我想错了，没认真画，其实我跟你想的一样，都是西偏南，南偏东，东偏北，
但忽略了终点和起始点交错的角度，并不是90度，
原回复已删
為了避免小朋友說:"我懂了"，李老師特別留了道練習題.......
影片最後問題答案˙˙˙˙˙˙˙˙˙北京
@@黃進福-g7k 為什麼
@@user-rs5sp4eh7q他胡說的 答案應該是在北韓（如果沒算錯）
做过一个经纬坐标转大地坐标的软件，数学上算地球上距离的时候不能简单地把地球按正球体算，是个椭球，应该用高斯投影，泰勒展开一项一项展……
老师教会我们解决问题要从不同角度入手
一个小知识, 因为地球不是圆球, 而是椭球, 纬线的度数算法不是那点和地心和赤道的夹角. 而是那点切线的垂直线和赤道面的夹角, 不经地球圆心的.
这道题是不考虑地球因自转而产生的额外或缩短距离吗？
飞机跟着地球一起在转。如果飞机停在地上，两者是相对静止的。
我有点飘了，小学没毕业的我竟然来看老师的课。但是还看懂了，说明老师讲的简单易懂。
要看长度。第一步的2000km是关键，没到北极点的话，最终会在起始点北京同一纬度上（可能在东边、西边或同一点）；如果第一步的2000km走过了北极点，那就不好说了，一般会在更高纬度上。
还如果第一步过北极点，，北京往北2000公里才勉强出了中国，离北极还10万八千里呢
@@yingjiezheng2281 不知道漢朝時期著有十洲記的東方朔先生那時候跟他叔父與其他船員們是怎麼看待green land這塊綠色大地...
跟冰島一樣，現在構成那塊大地的那些火山據說給冰雪封了
錫蘭（斯里蘭卡）岩山上的錫吉里耶古城...山谷環繞下的這座突出地表的岩山，跟天線盤中的接收器或發射器似的，這遺跡距今都不知多少年了，跟山海經當中“ 絕地天通 ”的存在年代不知是否同時期，當然，目前他們在地理上的距離可能相差十萬八千里
@@user-bu2bu7xf9v 听不懂你要表达的意思，我故乡距离北京2200公里，那离边境还上千公里的距离呢。所以就别扯那么多古书了，多去了解下中国地理，看看北京在哪呢。
90°拐弯避免了极点方向的影响，最后的结果是跟讲解的一样的
@@yingjiezheng2281 地理位置的漂移好像不是那樣緩慢、那樣久遠前的事情呢
小朋友時期没有遇见李老師!!! 现在只能到温习完成當年的夢想,只有相逢恨晚!!!
飞机没油掉海里了😂😂😂
其实这是个务实的答案
取决于这个东南西北是站在地球仪旁的人的角度来说的，还是站在开飞机的人的角度来说的。也就是这个东南西北是按照经纬线的，还是按照相交的两条互相垂直测地线的。
感覺還是很多人搞不清楚"向東西南北飛"和"球面上左右轉90度沿直線飛"的差異
你說得對, 就是這個"曲面上的直線"定義還沒接受, 轉過來了答案就很直白, 也就是本集核心觀念
課後練習很妙, 從反過來的角度詮釋本集想表達的, 講課連同練習兩者合起來, 迫使我們腦中的概念完整了
@@rogerlin7931 感觉用直线解释不如直接说大圆直观，听完自己脑补了半天球面切线和剖面夹角，换成大圆理解果然就没有障碍了。
@@zihangao7385 對，直觀就沒啥意思了，因為關鍵就在“曲面上的直線”和“大圓”之間的連結關係。像老師這種聰明人，最強的地方就是能夠建立這種抽象連結關係，一般人多半只能接受直觀的東西，所以老師的指點是很有意義的。
如果兩個住在地球任何一個地方的人 都先向西走2000公里 再向北一直走 跟往北轉九十度一直走 那個會在北極相遇？還是都會？都不會？
0：15先知道題目後按暫停，放我的想法
緯線不是直線（東西向不是直線）
不同緯度的緯線曲率也不同
赤道到北極點的經線段約10000公里
2000公里的意思是南北差約18度，是不能被忽略的
北京緯度約為40度
往北飛18度即58度
偷懶一下算60度，地球半徑約6400，乘上餘弦值1/2為3200，北緯60的緯度線周長約為20000，2000為1/10，也就是向西飛行了36度
根據伽羅瓦定理，60度角無法三等分，所以要按計算機算40度的餘弦值，為0.77
緯度40度跨36度約為3080公里
換句話說，飛機飛回來的時候應該在北京以西的1080公里的位置，把零頭抹掉就是在北京西部約1000公里
現在繼續看影片
第二題不好心算，要拿紙筆算了
老師老師🙋🏻♂️ 我原本卡關在不知道第一個直角轉完走2000公里的座標要怎麼算 但是 走了兩個直角和三個2000公里之後 會回到原點！ 所以再走2000公里會回到B點 北緯58度 東經116度 ！
非常好的想法 但是只有当地球球径是2000公里的话走完两个直角后才会回到原点
可惜球径不是2000公里（连带58N，116E也不是对的）
李老師，可否说一下天宫一号及天舟定位的知识，及火星太空船在外太空定位？谢谢！
老师先别说经度纬度了 咱们先讨论一个关于衣领的问题
老教授了，全部关注点都在学术上。🤓
李永乐老师涉嫌偷换或者混淆概念，讲解的只是其中一种飞机等地高度飞行，实际是弧线飞行，不是直线。如果不是等地高度，严格按直线飞行，一定可以回到北京原点的。比如打一个激光，沿着光线直线飞行，然后一周四个边，非等地高度，非弧线，肯定可以回到原点。简单说，就是飞机绝对保持在一个平面中飞行，而不是沿弧线飞行，肯定可以回到原点。
思考题我在谷歌地球上量了一下，北京出发直角转4段2000公里后竟然到了唐山，不知道谷歌地球上的测距是否是球面距离？
李永乐老师说的应该是弧线2000公里，而不是直线，回不到北京起点，问题就在这里
按平面算的
@@gentoswyb 地圖上的距離
谷歌地球测距就是测地距，这是它的特色
問一個而外的問題，赤道上起飛的飛機與北京起飛的飛機角動量一樣嗎，如果不一樣對飛行有影響嗎？
強者，感謝老師！
李老师留的课后题和一开始的问题有什么区别吗 向北走之后左转九十度不就是西了吗 再左转九十度就是南了 再左转九十度就是东 最后也会落在起点的西面 是我想简单了吗 难道球面上从北转向90度不是西？
是我想简单了 左转九十度不是西 只有在赤道上才是 左转九十度之后的方向是圆心连位置另一个圆的弧的方向
老师最近发福很多
应该是准备三胎了
@@weuhuaweuhua7676 wc😂
如果飞机飞的足够高，是不是就会有绝对直线了？
来，让地平说的人做这个实验回到原地
最后思考题：按李老师讲的ABCD，点A和点B的坐标是一样的，点C应该是以经过点B并且以球心为圆心做的圆的2000km的弧的终点，并且AB圆弧要垂直BC，目测应该是北纬40-58之间， 然后在经过点C以球心为圆心且垂直BC做圆，2000km的弧就是点D，再经过点D以球心为圆心且垂直CD做圆，2000km的弧就是点E，本人三角函数没学好算不出来点C和D，但感觉E和A应该是重合的（其实就是以球心为圆心，地球半径为长度做了4个一样的扇形，夹角是90°，如果做个切面的话就是个正方形），结论飞机现在在北京。
你说答案是飞出正方形回北京。那要飞行距离无限接近为0了，是不可能的，因为球面是不存在平行线的。
其实飞行距离很重要。如果飞行距离不是2000公里，而是地球周长的四分之一，在第三次要转的时候就已经回到北京。因为飞出了视频前半段球面上内角都为90度的三角形。如果飞行距离是周长一半，第二次要转的时候就已经回到北京。
答案应该在北京的东北某处，因为每次转90度，都是沿着球面上的直线走。第一次转90度后方向是西南，第二次是东南，第三次是东北。
@@owen1226 飞行距离确实很重要，但两千公里的距离远没有地球周长的四分之一。我的思路是过球心所在的面相互垂直，视频前半段达到地球周长的四分之一，也是BC弧与球心所在面垂直于AC弧与球心所在面也垂直于AB与球心所在面，所以假设飞行距离正好是地球周长的四分之一，确实是转2次就飞回北京了，同理如果飞行距离是地球周长的二分之一，转一次就飞回北京了。但当飞行距离小于地球周长的四分之一时，情况比较比较特殊。
飞机先向北飞，也就是沿AB测地线，第一次转90度，向西南，也就是沿BC测地线，而AB与球心O的面垂直于BC与球心O的面，同理面ABO垂直于面BCO垂直于面CDO垂直于面DAO。想象一下，AB的直线垂直于BC的直线垂直于CD的直线垂直于DE直线，就是个正方形，但不在球面上。如果在球面上的话，BC弧是无法与DE弧平行的，AB弧也不平行于CD弧，但它们确实是相互成90度的，所以飞机最后应该还是会回到北京。
@@pengchen7924 朋友，你说那个测地线的面应该叫超平面。问题是ABO和CDO的超平面虽然都与BCO垂直，但不证明AB和CD的穿地连线与BC垂直，也不证明ABO和CDO能平衡啊。举个例子吧，随便选两条相邻纬线的超平面，他们都与赤道的超平面垂直，但他们彼此不垂直。而且在纬线上也找不到平衡的穿地线啊。
@@owen1226 朋友🤝，如果假设飞机从赤道以南1000米出发，飞到赤道以北1000米，再转90度…，超平面BCO和DEO算不算是夹角为18度的两个相互平衡的面呢？
@@pengchen7924 晕，有夹角怎么还算互相平行面呢。我明白你想找两条被赤道平分的南北平行穿地线。重点是你没明白我第一次的回复。地球只有沿着南北方向的经度是直线，东西方向除了赤道都是曲线啊。你想象一下，如果向北飞到离北极点附近转90度，不一直绕圈，能保持向正西么？只要飞直线马上方向就是西南。
用你的例子，第一次在赤道以北1000米处B点转90度，不是你认为的向正西飞直线，而是西南。如果不走曲线保持向西，第二次在C点转90度是不会沿着你指的平行线向正南飞的。
哪怕B,C点都在赤道，第一次转向正西，第二次向正南，但在D点转的时候，也不是向正东飞，而是东北了。
所以我说，除非飞行距离无限小，否则在球面飞不出正方形的。如果你还不能理解，可以看看黎曼几何。
哪個學生這麼可愛居然回答沒油了掉海裡....
從北京出發, 向北飛2000km到達a鄉鎮, 再向西飛2000km到達b郊區, 再向南飛2000km到達c溫泉區, 再向東飛2000km 飛機現在在那
4：36 2個直角回來通原來的地點 所以北京北邊2000公里
沒錯，正解
@@劉安得 错啦，那是赤道到极点的才是三个90度，从北京出发转3个90度是回到北京原点了，正好形成4个90的正方形
@@user-bh5sk2yj5p 所以依照走的長度的不同，走四個直角最後的位置會不同，那走2000公里就不一定會回到北京呀。應該說一定不會吧。
这个问题最早是北师大一位教授提出来的，以前老师这么说的。 但是现在忘了，再听一遍也很好
老师，还有什么是您不知道的吗😂太神了
好喜歡李老師的視頻
这期太有意思了，数学和地理的综合题
还没看完就评论了~ 其实李老师中间讲的这些术语貌似在中学或者高中时候，数学课上都讲过呀！ 怀恋~那段逝去的青春。对了，还有那高三（4）班的老陈。
這片可以給地平論的人看看😂
地平論的人會說儀器是測不準的，都被NASA做了手腳
你應該先問地平論的人，space station在哪裡，看到一個藍藍白白像球型的東西是什麼。
@@aronyang 地平论的人连澳大利亚的存在都不信
您好， 李老師！我有個與物理學有關的問題，看似非常簡單，但是我又弄不明白，希望你能抽空回答。
我們都知道行走時是因為腳向後移，地面從而施加予我們一個向前的反作用力，從而令我們能向前走。這沒有問題。
可是，地面給我們的向前的反作用力是作用在我們的腳板，而不是我們的身軀啊。然而，我們的腳板在行走時是會「黏」著地面不動，而身軀則是向前移動，為什麼是這樣呢？
希望我表達得明白吧，謝謝老師。
因为我们身体的肌肉在走路的过程中保持了微妙的刚性，所以身体和脚都会一起向前。同时因为腿部的肌肉很发达，能够很轻松的推动你的人向前，所以人们不会明显感觉的到肌肉的发力。
講得太好了！從國中就不明白的地理到今天終於懂了
李老师这个题忽略了飞机的飞行高度吧？飞机以 1000 米， 3000 米， 和 10000 米 的高度飞行，最后到达地点会是不同的。
一般飞机的飞行距离都是算的地面距离，速度也一般就算的是地速。
2:20 我們學的是大圈線
思考题的一些想法：具体位置与每段所走长度有关。如果每段走四分之一大圆，则四段走完后在原位置正北方向；如果每段走二分之一大圆，则四段走完后在原位置；如果每段走的长度无穷小（即地球半径无穷大），则四段走完后在原位置。至于每段走2000km，需要结合地球半径6400km的数据进行考虑，不懂怎么算呢……
@@user-ce7ui5ux1e 所以走完四段是在原位置的正北（假设没过北极点）
答案应该在北京的东北某处，因为每次转90度，都是沿着球面上的直线走。第一次转90度后方向是西南，第二次是东南，第三次是东北。
其实飞行距离很重要。如果飞行距离不是2000公里，而是地球周长的四分之一，在第三次要转的时候就已经回到北京。因为飞出了视频前半段球面上内角都为90度的三角形。如果飞行距离是周长一半，第二次要转的时候就已经回到北京。
有人说答案是飞出正方形回北京。那要飞行距离无限接近为0了，是不可能的，因为球面是不存在平行线的。
@@owen1226 对的，大概是东北这样子，就是不懂如何精确计算去验证hhhh
@@cyberpunk4445 对啊，如果在实物球上画就很直观，算不容易。以数学的思维应该是用线性代数，把2D经纬投影到3D XYZ，这样容易找飞行路径。最后再投影回2D算出坐标。不过我觉得李永乐应该有更简单直观的方法。
很簡單的驗證：取1米長的繩子曲成弧度後，再量測繩子兩頭直線距離即得知不足1米。當然，哪位（執著科學家）非得用2000米長的繩子作實驗，那麼咱也不反對!
对，往东飞和往西飞维度不同，距离就不同了