제가 시각적 직관에 의존하여 설명하느라 자세히 설명을 못드린 것 같습니다ㅠㅠ R^n의 부분집합으로서의 영역의 내부라 함은 R^n의 열린 집합이어야 합니다. 즉, 영역 내부 상의 한 점을 잡았을 때 그 점을 중심으로 하는 R^n상의 충분히 작은 ball이 존재하여 그 ball 전체가 온전히 영역에 속해있어야 합니다. (이 정의에 입각하여 생각할 때 2차원 상의 영역 x^2+y^2
앗, 일단 지금 보니 주어진 일단 곡면은 g(x,y,z)=1이 아니라 g(x,y,z)=0이군요... 혹시 이것을 지적하신걸까요? 아니면 식을 g(x,y,z)=2x^2+3y^2-z=0으로 쓰지 않고, (이와 같은 식인) z=2x^2+3y^2으로 쓰신 것을 말씀 하신걸까요? 만약 후자를 말씀하신 거면 사실 큰 이유는 없고 어차피 같은 식이기 때문에 문제에서 보이는 z=2x^2+3y^2을 편하게 보면서 적은 것 같습니다 🤣 혹시 선생님의 질문을 제가 잘 못 파악한거라면 언제든 다시 질문 주시기 바랍니다!
안녕하세요 매번 이렇게 정성스레 설명 올려주셔서 너무 감사합니다ㅠㅠㅠㅠ 얼마나 도움되는지 몰라요😢😢 저 혹시 괜찮으시다면 이번주것도 미리 올려주실 수 있을까요..? 이번주 금요일이 퀴즈라 그전에 미리 이 영상으로 복습할 수 있으면 좋을 것 같아서요!! 항상 너무 감사합니다!!
저도 사실 라그랑주 승수법에서 grad g가 0인 경우를 배제하는 것에 대한 설명이 조금 부실한 것 같아서 걱정했는데 이 부분과 관련하여 지적해주셔서 감사드립니다. 관련해서 설명 드리겠습니다. 책에도 나와있듯이 원래 라그랑주 승수법이 말하는 바는 f를 g의 c등위면에 제한한 함수의 극점에서는 반드시 grad f 와 grad g가 일차 종속이어야 된다는 것입니다. 그런데 grad g가 0벡터이면 무조건 다른 벡터와 일차 종속이 되므로 극점 후보에 자동으로 포함되게 되고, grad g가 0벡터가 아니라면 두 벡터가 종속이기 위해서는 grad f=k* grad g가 성립해야 하는 것입니다. 그러니까 엄밀히 말하면 처음에 케이스를 나누는 것이 Case 1: grad g =0 인경우 Case 2: grad f= k * grad g 로 나뉘는 것이고, Case 2가 다시 두 가지 케이스 Case 2-1: 람다=-1인 경우 Case 2-2: z=0 인 경우 로 나뉘는 것입니다. 근데 여기서 '제가 (0,0,0)이 모순이다' 라고 말씀드린 것은 정확히 말하면 '사실 Case 2는 Case 2-1과 Case 2-2로 나뉘는 줄 알았지만, 사실 Case 2를 가정하면 Case2-2를 만족하는 경우는 없다' 를 뜻하는 것이라서 애초에 Case 2를 가정하지 않은 Case 1의 결과에 대해서는 아무것도 말하지 못하는 것입니다. 그래서 Case 1 에서 나온 경우인 (0,0,0)을 그대로 살려둔 것입니다!
헤세판정법이 안 먹히는 경우에 극대/극소/안장을 확실히 판정하는 일반적인 방법에 대해서는 저도 아는 바가 없지만, 보통 헤세판정법이 안 먹히는 문제의 경우 아래와 같은 풀이를 통해 해결합니다. (아래 방법조차 안 먹히면 경우는 문제가 너무 어려워져서 저도 아직까지 나오는 것을 보지는 못했습니다.) 평행이동을 통해 편의상 임계점이 원점이고 여기서 함숫값이 0이라고 가정하겠습니다. 1. 극소를 보이고자 할 경우: 주어진 함수를 (□)^(2n) 또는 (□)^(2n) 꼴의 합으로 쓸 수 있어 다른 점에서의 함숫값이 항상 0 이상임을 보임으로써 원점이 최소(따라서 극소) 임을 보입니다. 2. 극대를 보이고자 할 경우: 주어진 함수를 -(□)^(2n) 또는 -(□)^(2n) 꼴의 합으로 쓸 수 있어 다른 점에서의 함숫값이 항상 0 이하임을 보임으로써 원점이 최대(따라서 극대) 임을 보입니다. 여기서 주의하셔야 할 것은 원점을 지나는 임의의 직선으로 함수를 제한했을 때 원점에서 극대 혹은 극소라고 해서 그 함수 자체가 원점에서 극대 혹은 극소가 아니라는 점입니다. 이와 관련해서 교재 11장 4절 3번 문제를 풀어보시는 것을 추천드립니다. 3. 안장점임을 보이고자 할 경우: 사실 헤세판정법이 안 먹히는 경우에 대해서는 극대나 극소보다는 안장점임을 보이는 경우가 제일 많이 나오는데요, 이 경우는 원점을 지나는 곡선(주로 (t,t)나 (t,t^2), (t,t^3) 등)으로 함수를 제한했을 때 t0일 때는 함숫값이 모두 음수(혹은 양수) 임을 확인함으로써 극대와 극소 모두 될 수 없음을 보입니다. 이와 관련하여 교재 11장 5절 4번 문제를 풀어보는 것을 추천드립니다. 답변이 도움이 되었길 바랍니다! 혹시 나중에 문제 푸시다가 이 방법으로도 안 풀리는 문제나 더 좋은 테크닉을 발견하시면 제게 알려주시면 감사하겠습니다 ㅎㅎ
우선 결론부터 말씀드리면, 선생님께서 언급하고 계신 [문제에 주어져있는 영역에서 ①, ②, ③ 부분을 뺀 영역]은 문제의 함수가 정의되어 있는 3차원 공간의 열린집합이 아닙니다. 그래서 임계점 정리와 헤세 판정법을 적용하여 극값을 구할 수가 없고, 3변수 함수 g의 등위면의 일부로 생각하여 라그랑주 승수법을 적용하여 풀어야 하는 것입니다. 제가 테크니컬한 부분을 피하기 위하여 일부러 열린집합과 닫힌집합의 정의를 엄밀하게 설명 안하고, 단순히 경계를 하나도 안 포함하는 것이 열린집합, 경계를 모두 포함하는 것이 닫힌집합이라고 다소 직관에 호소한 설명을 하였기 때문에 선생님께서 해당 부분에 의문이 생기신 것 같아 죄송합니다 ㅠㅠ (물론 [경계를 하나도 안 포함하는 것이 열린집합, 경계를 모두 포함하는 것이 닫힌집합]이라는 말은 틀린 말이 아니지만, 제가 '경계'라는 것을 엄밀하게 정의를 안하고 설명했기 문제가 발생한 것입니다 ) 교재 1장 7절 부록에 해당 부분이 자세히 나와 있기는 한데요, n차원 공간의 부분 집합 A가 열린집합이라는 것은 A의 아무 점이나 하나를 택하더라도 그 점을 중심으로하고 A에는 포함되는 반지름의 길이가 양수인 n차원 공을 그릴 수 있다는 것입니다. 여기서 n-1차원 공이나 n-2차원 공이 아니라 'n차원 공'이라는 사실을 유의하셔야 합니다. 이 정의에 의하면 3차원 좌표공간의 부분집합인 S={(x,y,z) | z=0}은 사실 열린집합이 아니라는 것을 보일 수가 있습니다. 왜냐면 S에 속한 임의의 점 p에 대해, p를 중심으로 하는 반지름이 아무리 작은 3차원 공(|(x,y,z)-p|
집합을 이용하여 포함관계를 서술하자면 서술하자면 {최댓값, 최솟값을 갖는 점} ⊂ {극점} ⊂ {라그랑주 승수법을 통해 연립방정식을 풀어서 얻은 점들} 이 됩니다! [점 P가 함수 f의 극점이다]의 정의는 [점 P의 적당한 근처에서만 본다면 P가 최대점이거나 최소점이다]로서, 고등학교 수학에서와 똑같이 다변수의 경우에도 global하게 봤을 때는 최대, 최소(즉, 함수의 최대, 최소)가 아니더라도 얼마든지 local하게 봤을 때 최대, 최소 (즉, 극점)일 수 있습니다. 제가 라그랑주 승수법을 사용하는 과정에서 '극점의 후보'를 구한다고 표현한 것은, 위의 포함관계에서도 보여지듯 라그랑주 승수법을 통해 얻은 여러 개의 점들은 함수를 등위면에 제한했을 때의 극점을 전부 포함하는 것은 맞지만, 그 점들 중에서도 사실 극점이 아닌 점들도 존재할 수 있기 때문에 '후보'라고 표현한 것입니다! 혹시 제 답변에서 잘 이해가 안되는 부분이 있거나 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 말씀해주시기 바랍니다!
![[최적화] 5-1강. 라그랑주 승수법 (Lagrangian multiplier) | 딱 화살표 두 개로 설명 끝! (라그랑주 승수 기하학적 설명)](http://i.ytimg.com/vi/NKB0XqMFuqA/mqdefault.jpg)
![[최적화] 5-1강. 라그랑주 승수법 (Lagrangian multiplier) | 딱 화살표 두 개로 설명 끝! (라그랑주 승수 기하학적 설명)](/img/tr.png)
후배들을 위해 영상을 제작해 주셔서 감사드리고 복받으실겁니다. 훌륭한 수학 교수님의 꿈을 이루시길 바랍니다.❤
강력히 동의합니다!! 큰 도움 주셔서 항상 정말 감사드립니다 ☺️
안녕하세요 조교님! 2:48:00에서 왜 라그랑주 승수법을 이용하는지 궁금합니다! 영역의 내부는 임계점 정리를 쓰는 것 아니었나요?
제가 시각적 직관에 의존하여 설명하느라 자세히 설명을 못드린 것 같습니다ㅠㅠ
R^n의 부분집합으로서의 영역의 내부라 함은 R^n의 열린 집합이어야 합니다. 즉, 영역 내부 상의 한 점을 잡았을 때 그 점을 중심으로 하는 R^n상의 충분히 작은 ball이 존재하여 그 ball 전체가 온전히 영역에 속해있어야 합니다. (이 정의에 입각하여 생각할 때 2차원 상의 영역 x^2+y^2
@@snu7244자세한 설명 감사합니다! 항상 수연도우미 보면서 많은 도움 받고 있어요!
2:34:35 에서 이전처럼 g(x,y,z) = 1로 놓지 않고 식을 저렇게 쓴 이유는 무엇인가요?
앗, 일단 지금 보니 주어진 일단 곡면은 g(x,y,z)=1이 아니라 g(x,y,z)=0이군요... 혹시 이것을 지적하신걸까요?
아니면 식을 g(x,y,z)=2x^2+3y^2-z=0으로 쓰지 않고, (이와 같은 식인) z=2x^2+3y^2으로 쓰신 것을 말씀 하신걸까요?
만약 후자를 말씀하신 거면 사실 큰 이유는 없고 어차피 같은 식이기 때문에 문제에서 보이는 z=2x^2+3y^2을 편하게 보면서 적은 것 같습니다 🤣
혹시 선생님의 질문을 제가 잘 못 파악한거라면 언제든 다시 질문 주시기 바랍니다!
@@snu7244 아아 넵 후자였습니다! 보통과는 좀 다른 형태로 적으셨는데 사실 연립을 위해 사용하는 식이니까 어떻게 써도 상관없을 것 같네요
답글 감사합니다!
오늘도 도움 되는 영상 정말 감사드립니다!
수연도우미 든든하다! 국밥같은 존재 ㅎㅎ
진짜 감사합니다 수포자의 희망이에요
늘 너무 잘보고있습니다..감사합니다 ㅠㅠ
안녕하세요 매번 이렇게 정성스레 설명 올려주셔서 너무 감사합니다ㅠㅠㅠㅠ 얼마나 도움되는지 몰라요😢😢 저 혹시 괜찮으시다면 이번주것도 미리 올려주실 수 있을까요..? 이번주 금요일이 퀴즈라 그전에 미리 이 영상으로 복습할 수 있으면 좋을 것 같아서요!! 항상 너무 감사합니다!!
네 알겠습니다! 이번 주 영상은 이론 수업이 끝난 직후인 수요일 밤에 업로드 하도록 하겠습니다!
저도 시청해주셔서 감사합니다😊
수연도우미 만세 🎉🎉🎉❤❤❤
감사합니다!
2:11:45 Case 2 에서 이미 (0,0,0)이 모순인 것으로 보여졌지만 만약에 위에 grad g = (0,0,0) 조건을 만족하는 (0,0,0) 이 등위면에 있으면, 마지막에 극점 후보에 (0,0,0)은 포함해야 하는건가요?
저도 사실 라그랑주 승수법에서 grad g가 0인 경우를 배제하는 것에 대한 설명이 조금 부실한 것 같아서 걱정했는데 이 부분과 관련하여 지적해주셔서 감사드립니다. 관련해서 설명 드리겠습니다.
책에도 나와있듯이 원래 라그랑주 승수법이 말하는 바는 f를 g의 c등위면에 제한한 함수의 극점에서는 반드시 grad f 와 grad g가 일차 종속이어야 된다는 것입니다.
그런데 grad g가 0벡터이면 무조건 다른 벡터와 일차 종속이 되므로 극점 후보에 자동으로 포함되게 되고, grad g가 0벡터가 아니라면 두 벡터가 종속이기 위해서는 grad f=k* grad g가 성립해야 하는 것입니다.
그러니까 엄밀히 말하면 처음에 케이스를 나누는 것이
Case 1: grad g =0 인경우
Case 2: grad f= k * grad g
로 나뉘는 것이고, Case 2가 다시 두 가지 케이스
Case 2-1: 람다=-1인 경우
Case 2-2: z=0 인 경우
로 나뉘는 것입니다. 근데 여기서 '제가 (0,0,0)이 모순이다' 라고 말씀드린 것은 정확히 말하면
'사실 Case 2는 Case 2-1과 Case 2-2로 나뉘는 줄 알았지만, 사실 Case 2를 가정하면 Case2-2를 만족하는 경우는 없다'
를 뜻하는 것이라서 애초에 Case 2를 가정하지 않은 Case 1의 결과에 대해서는 아무것도 말하지 못하는 것입니다. 그래서 Case 1 에서 나온 경우인 (0,0,0)을 그대로 살려둔 것입니다!
@@snu7244 아하 친절한 설명 감사합니다 :) 항상 잘 보고 있습니다!
정말고마
워요
항상 잘 보고 공부하고 있어요! 12장 내용은 언제 올라오나요?
원래 매주 그렇듯 12장에 해당하는 6주차 영상은 다음 주 금요일 저녁에 올라오는 것이 디폴트이나, 다음 주에는 퀴즈 2가 실시 될 예정이어서 이틀 미리 수요일에 업로드 할 예정입니다!
시청해주셔서 감사합니다😊
혹시 헤세판정법으로 판별이안될때는 극대인지 극소인지 안장점인지 어떻게 판별해야하는지 알려주실수있나요?.
헤세판정법이 안 먹히는 경우에 극대/극소/안장을 확실히 판정하는 일반적인 방법에 대해서는 저도 아는 바가 없지만,
보통 헤세판정법이 안 먹히는 문제의 경우 아래와 같은 풀이를 통해 해결합니다.
(아래 방법조차 안 먹히면 경우는 문제가 너무 어려워져서 저도 아직까지 나오는 것을 보지는 못했습니다.)
평행이동을 통해 편의상 임계점이 원점이고 여기서 함숫값이 0이라고 가정하겠습니다.
1. 극소를 보이고자 할 경우: 주어진 함수를 (□)^(2n) 또는 (□)^(2n) 꼴의 합으로 쓸 수 있어 다른 점에서의 함숫값이 항상 0 이상임을 보임으로써 원점이 최소(따라서 극소) 임을 보입니다.
2. 극대를 보이고자 할 경우: 주어진 함수를 -(□)^(2n) 또는 -(□)^(2n) 꼴의 합으로 쓸 수 있어 다른 점에서의 함숫값이 항상 0 이하임을 보임으로써 원점이 최대(따라서 극대) 임을 보입니다.
여기서 주의하셔야 할 것은 원점을 지나는 임의의 직선으로 함수를 제한했을 때 원점에서 극대 혹은 극소라고 해서 그 함수 자체가 원점에서 극대 혹은 극소가 아니라는 점입니다. 이와 관련해서 교재 11장 4절 3번 문제를 풀어보시는 것을 추천드립니다.
3. 안장점임을 보이고자 할 경우: 사실 헤세판정법이 안 먹히는 경우에 대해서는 극대나 극소보다는 안장점임을 보이는 경우가 제일 많이 나오는데요, 이 경우는 원점을 지나는 곡선(주로 (t,t)나 (t,t^2), (t,t^3) 등)으로 함수를 제한했을 때 t0일 때는 함숫값이 모두 음수(혹은 양수) 임을 확인함으로써 극대와 극소 모두 될 수 없음을 보입니다. 이와 관련하여 교재 11장 5절 4번 문제를 풀어보는 것을 추천드립니다.
답변이 도움이 되었길 바랍니다! 혹시 나중에 문제 푸시다가 이 방법으로도 안 풀리는 문제나 더 좋은 테크닉을 발견하시면 제게 알려주시면 감사하겠습니다 ㅎㅎ
조교님 영상 너무너무 감사합니다❤ 한가지 궁금한게 마지막 기출 문제에서 내부는 해세 판정법을 써야하는거 아닌가요? 경계가 포함이 안되니 열린 집합으로 생각했습니다
우선 결론부터 말씀드리면, 선생님께서 언급하고 계신 [문제에 주어져있는 영역에서 ①, ②, ③ 부분을 뺀 영역]은 문제의 함수가 정의되어 있는 3차원 공간의 열린집합이 아닙니다. 그래서 임계점 정리와 헤세 판정법을 적용하여 극값을 구할 수가 없고, 3변수 함수 g의 등위면의 일부로 생각하여 라그랑주 승수법을 적용하여 풀어야 하는 것입니다.
제가 테크니컬한 부분을 피하기 위하여 일부러 열린집합과 닫힌집합의 정의를 엄밀하게 설명 안하고, 단순히 경계를 하나도 안 포함하는 것이 열린집합, 경계를 모두 포함하는 것이 닫힌집합이라고 다소 직관에 호소한 설명을 하였기 때문에 선생님께서 해당 부분에 의문이 생기신 것 같아 죄송합니다 ㅠㅠ
(물론 [경계를 하나도 안 포함하는 것이 열린집합, 경계를 모두 포함하는 것이 닫힌집합]이라는 말은 틀린 말이 아니지만, 제가 '경계'라는 것을 엄밀하게 정의를 안하고 설명했기 문제가 발생한 것입니다 )
교재 1장 7절 부록에 해당 부분이 자세히 나와 있기는 한데요, n차원 공간의 부분 집합 A가 열린집합이라는 것은 A의 아무 점이나 하나를 택하더라도 그 점을 중심으로하고 A에는 포함되는 반지름의 길이가 양수인 n차원 공을 그릴 수 있다는 것입니다. 여기서 n-1차원 공이나 n-2차원 공이 아니라 'n차원 공'이라는 사실을 유의하셔야 합니다.
이 정의에 의하면 3차원 좌표공간의 부분집합인 S={(x,y,z) | z=0}은 사실 열린집합이 아니라는 것을 보일 수가 있습니다. 왜냐면 S에 속한 임의의 점 p에 대해, p를 중심으로 하는 반지름이 아무리 작은 3차원 공(|(x,y,z)-p|
늦은 시간에도 불구하고 자세한 설명 정말 너무 감사합니다. 학부생들을 위해 항상 영상 올려주셔서 감사합니다.
라그랑주 승수법을 사용하는 과정에서 '극점의 후보'를 구한다고 하는데, 그렇다면 최댓값과 최솟값이 아닌 곳들은 극점이 아닌건가요? 고등학교 수학에서는 최댓값과 최솟값이 아닌 극값이 존재했었는데, 여기서는 그러지 않는 것인지 헷갈려서 질문 드립니다!
집합을 이용하여 포함관계를 서술하자면 서술하자면
{최댓값, 최솟값을 갖는 점} ⊂ {극점} ⊂ {라그랑주 승수법을 통해 연립방정식을 풀어서 얻은 점들}
이 됩니다!
[점 P가 함수 f의 극점이다]의 정의는 [점 P의 적당한 근처에서만 본다면 P가 최대점이거나 최소점이다]로서,
고등학교 수학에서와 똑같이 다변수의 경우에도 global하게 봤을 때는 최대, 최소(즉, 함수의 최대, 최소)가 아니더라도 얼마든지 local하게 봤을 때 최대, 최소 (즉, 극점)일 수 있습니다.
제가 라그랑주 승수법을 사용하는 과정에서 '극점의 후보'를 구한다고 표현한 것은, 위의 포함관계에서도 보여지듯 라그랑주 승수법을 통해 얻은 여러 개의 점들은 함수를 등위면에 제한했을 때의 극점을 전부 포함하는 것은 맞지만, 그 점들 중에서도 사실 극점이 아닌 점들도 존재할 수 있기 때문에 '후보'라고 표현한 것입니다!
혹시 제 답변에서 잘 이해가 안되는 부분이 있거나 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 말씀해주시기 바랍니다!
사랑합니다 선배님❤